Guía de estudio para el cálculo de los parámetros eléctricos de

Cátedra de Transmisión de Energía I. LAT-UNT. (www.herrera.unt.edu.ar/alta-tension).
Preparado por: Ing. Bruno Rizzotti. Ing. Flavio Fernández.
Guía de estudio para el cálculo de los parámetros eléctricos de líneas de
transmisión en alta tensión.
Objetivo:
La presente guía tiene como objetivo servir de apoyo al alumno en el cálculo de los
parámetros eléctricos de una línea de alta tensión a partir de los datos de sus
conductores, proporcionados por el fabricante, y de los datos geométricos de sus
torres. El cálculo se basa y se limita a los conceptos instruidos en la teoría de
“Transmisión de Energía I” y recurre a las técnicas de tratamientos matriciales para el
cálculo de configuraciones mas complicadas
1. Inductancias de línea. Secuencia directa.
1.1.
Matriz de inductancias físicas.
n
Para un sistema de n conductores siendo
∑i
i =1
= 0 , las inductancias propias y mutuas
i
vienen dadas en forma general por:
Lii = 0.05 + 0,46 ∗ log
1
di
Dij
(1)
Lij = −0,46 ∗ log 2 ∗ Dij
j
di
i
i = 1...n
j = 1..(i-1);(i+1)...n
Lii representa la inductancia propia del conductor, Lij la mutua o de acoplamiento entre
los conducotres i y j, y di es el diámetro del conductor i.
Las distancias entre los conductores i y j se puede a su vez expresar en función de sus
coordenadas x y h (altura) en un sistema relativo de coordandas cartesianas como:
D( i , j )
xj
xi
2
hj
hi
2
(2)
Con (1) y (2) se pueden calcular ahora las inductancias propias y una mutuas asociadas
a cada uno de los conductores de la línea, resultando para los flujos concatenados el
siguiente sistema :
ψ 1 = L11 ∗ i1 + L12 ∗ i 2 + L13 ∗ i3 + ...... + L1n ∗ i n
ψ 2 = L21 ∗ i1 + L22 ∗ i 2 + L23 ∗ i3 + ...... + L2 n ∗ in
ψ 3 = L31 ∗ i1 + L32 ∗ i2 + L33 ∗ i3 + ...... + L3 n ∗ in
(3)
:
ψ n = Ln1 ∗ i1 + Ln 2 ∗ i 2 + Ln3 ∗ i3 + ...... + Lnn ∗ in
o expresado en forma compacta:
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[ψ ]nx1 = [L]nxn ∗ [i ]nx1
(4)
Se denomina a [L ] matriz de inductancias físicas, por el significado físico de sus
componentes. El hilo de guardia, como conductor tal que es, debe tambien formar parte
de la matriz de inductancias físicas. El orden de la matriz será entonces igual a la
cantidad total de conductores que tenga la línea. Por ejemplo, para una línea doble terna,
un conductor por haz y dos hilos de guardia, [L] será de orden 8.
nxn
1.2.
Inductancia de servicio.
Se trata a continuación de reducir la matriz de inductancias físicas, y calcular a partir de
ella la inductancia de servicio de la línea.
Por tratarse del cálculo de la inductancia para la secuencia directa, la suma de las
corrientes por los conductores de fase resulta igual a cero, y por lo tanto, no hay
corriente de retorno por el/los hilo/s de guardia ( i HG = 0 ). Hablamos entonces de una
matriz reducida de inductancias:
ψ "# L
ψ #= L
!ψ #$ ! L
1
11
2
21
3
31
L12
L22
L32
"#
##
$
"#
##
!$
L13
i1
L23 * i2 .
L33
i3
(5)
Hacemos cumplir a continuación la condición de transposición de la línea. Dado que
cada conductor ocupa para una misma longitud la posición de cada uno de los otros
conductores y tienen todos además el mismo diámetro, todas las fases tendrán igual
inductancia de acoplamiento (La) y propia (Lp). Su valor se determina tomando los
valores medios de las inductancias en (5). Resulta así:
1
La = (L12 + L13 + L23 )
(6)
3
Lp = L11 = L22 = L33
La matriz de inductancias reducida para el sistema transpuesto es:
 L p La La 
L =  La L p La 


 La La L p 
*
(7)
De esta última expresión se deriva la inductancia de servicio (el superíndice * indica del
sistema transpuesto):
ψ "# L
ψ #= L
!ψ #$ ! L
1
p
2
a
3
a
La
Lp
La
"#
##
$
"#
##
!$
La
i1
La * i2
Lp
i3
(8)
desarrollando el producto para la primera fila:
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ψ 1 = L pi1 + Lai2 + Lai3
1
6
ψ 1 = L pi1 + La i2 + i3 dado que
− i1
3
ψ 1 = i1 L p − La
n
∑i
i =1
i
= 0 Æ i2 + i3 = −i1
8
(9)
de donde finalmente resulta
ψ1
= Lp − La = Lservicio
i1
(10)
2. Resistencia. Secuencia directa.
Para la resistencia de los conductores empleamos el valor provisto en catálogo por el
fabricante para corriente continua:
Rca = Rcc ∗ 1,05
(11)
3. Resistencia y reactancia homopolares.
n
La hipótesis de que
∑i
i
= 0 ya no es válida cuando se considera un sistema de
i =1
corrientes de secuencia homopolar. La corriente total por los conductores de fases
retorna en parte por tierra y en parte, de existir, por el hilo de guardia. Para el cálculo de
la impedancia homopolar de la línea se deberá tener en cuenta por lo tanto la resistencia
y la reactancia de la tierra, parámetros que son a su vez dependientes de la frecuencia.
Las teorías de Carson y Polarzek permiten cálcular su valor, pero se encuentran mas allá
del alcance del curso de Transmisión de Energía I. Nos limitaremos al uso de la fórmula
final para el caso de una línea con transposición y sin hilo de guardia:
700 ∗ ρ / f
Zo = ( Rca + 3 ∗ 10 −3 ∗ f ) + jω ∗ (3 ∗ 10 −3 ∗ 0,46 ∗ log∗
)[Ω / km]
(12)
3
ξ ∗ r ∗ Dm 2
donde:
Rca: Resistencia del conductor por fase (Ω/Km)
ρ: Resistividad del terreno (Ω .m)
f: Frecuencia (Hz)
r: Radio del conductor de fase (m)
Dm: Distancia media geométrica (m)
ξ: Coeficiente de haz ; 0,78 (un conductor por fase); 0,94 (cuatro conductores por fase)
En presencia del hilo de guardia Xo se reduce por un factor 0,85 ÷0,95.
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4. Capacidad de servicio de una línea.
4.1.
Capacidades propias y de acoplamiento de una línea. Secuencia directa.
Sea Cii la capacidad propia de la fase i de una línea, y Cij la capacidad de acoplamiento
entre las fases i y j. La carga sobre los conductores de fase asociada a las tensiones de
fases de dichos conductores resulta dada por la siguiente expresión:
1
6
1
Q1 = C11U 1 + C12 U1 − U 2 ++ C1n U 1 − U n
1
6
1
6
Q2 = C21 U 2 − U 1 + C22U 2 ++ C2 n U 2 − U n
1
6
1
6
(13)
6
Qn = Cn1 U n − U1 + Cn 2 U n − U 2 ++ CnnU nn
4.2.
Matriz de capacidades físicas.
De la ley de Gauss (teoría de campos electrostáticos) la diferencia de potencial entre dos
puntos A y B a lo largo del campo eléctrico generado por una carga Q (ver Figura 1)
vale:
B
Qi
U A − U B = ∫ E ∗ dx =
2 ∗π ∗ ε 0
A
Qi
B
∗ ln
U A −UB =
2 ∗π ∗ ε 0
A
B
dx
x
A
∫
(14)
ε 0 = 8,85E −9 [ F / km] (Permitividad del
vacío).
Figura 1
Esta expresión permite determinar el potencial de un conductor de una línea en función
de la distribución de las cargas sobre todos sus conductores. Para ello hacemos uso del
principio de imágenes perfectas.
Sean Q la carga en cada conductor, h la distancia del conductor a las cargas imágenes, D
la distancia entre conductores y d el diámetro de los conductores, como se indica en la
Figura 2.
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Qi
Qj
-Qi
-Qj
Figura 2
U0 es el potencial de referencia o potencial de tierra. Para un sistema de n conductores,
el conjunto de las tensiónes U en cada conductor podrá expresarse matricialmente en
función de las cargas Q como:
U − U "# a
U −U
a
#
=
#
#
!U − U $ !a
1
0
11
2
0
21
n
0
n1
a12
a22
an 2
"#
##
#$!
a1n Q1
a2 n Q2
ann Qn
"#
##
#$
(15)
Los coeficientes de potencial aij resultan de acuerdo a (14) y a la Figura 2:
2 ∗ hii
1

i = j ⇒ a ij = 2πε ln d
0
i

a ij = 
i ≠ j ⇒ a = 1 ln hij
ij

2πε 0 Dij

(16)
n
Para el sistema de n conductores
∑Q
i =1
i
=0
Invirtiendo la ecuación (15), se obtiene una relación entre Q y U:
Q "# γ
γ
Q
#
=
#
#
!Q $ !γ
1
11
2
21
n
n1
γ 12
γ 22
γ n2
"#
##
#$!
γ 1n U 1 − U 0
γ 2n U 2 − U 0
γ nn U n − U 0
"#
##
#$
(17)
[ ] [ ]
donde γ ij = aij
−1
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Comparando la expresión (17) con la (13) correspondiente a la definición de capacidad
propia y de acoplamiento, resulta en forma genérica:
n
Capacidad propia de la fase i: Cii = ∑ γ ik
(18)
Capacidad de acoplamiento entre las fases i y j: Cij = −γ ij
(19)
k =1
Con lo que resulta para un sistema de n conductores una matriz de capacidades físicas
del tipo:
C
11
C21
!C
n1
4.3.
"# ##
#$ !
C12 C1n
γ 11 + γ 12 ++γ 1n
C22 C2 n
−γ 21
=
−γ n1
Cn 2 Cnn
"#
##
#$
−γ 12
−γ 1n
γ 21 + γ 22 ++γ 2 n −γ 2 n
−γ n 2
γ n1 + γ n 2 ++γ nn
(20)
Capacidad de servicio.
La capacidad de servicio se obtiene reduciendo adecuadamente la matriz de capacidades
físicas (20). La primera condición a verificar, es que el/los hilo/s de guardia están
puestos a tierra, y por lo tanto no se inducen cargas sobre ellos.
Figura 3
Para un sistema de 4 conductores (3 fases y 1 hilo de guardia) como el de la Figura 3, el
potencial del conductor 4 (hilo de guardia) vale cero, y por lo tanto no se induce carga
sobre la capacidad C44; se la elimina en este proceso de reducción. A su vez, las
capacidades de acoplamiento entre los conductores de fase y el hilo de guardia resultan
en paralelo con las capacidades propias de cada conductor de fase. Así entonces
reducimos la matriz física a una matriz de capacidades equivalentes:
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C11* = C11 + C14
*
C 22
= C 22 + C 24
*
C 33
= C 33 + C 34
C11* C12 C13 
*
Ce = C 21 C 22
C 23 


*
C 31 C 32 C 33 
(el superíndice * indica valores reducidos o de capacidad equivalente).
(21)
Agregando la condición de transposición de la línea:
2
1
1 *
*
C11 + C22* + C33
3
1
Ca = C12 + C23 + C31
3
Cp =
7
6
(22)
con lo que la matriz de capacidades equivalente del sistema transpuesto resulta:
C
p
Ce = Ca
Ca
!
Ca
Cp
Ca
Ca
Ca
Cp
"#
##
$
Aplicando una transformación U/Y sobre el sistema reducido, obtenemos el valor de la
capacidad de servicio para la secuencia directa, como se muestra en la Figura 4.
Figura 4
Cservicio = C p + 3Ca
4.4.
(23)
Capacidad homopolar de la línea.
Alimentando el circuito de capacidades equivalentes de la Figura 4 (esquema del lado
izquierdo) con un sistema homopolar de tensiones, la diferencia de tensiones sobre las
capacidades de acoplamiento Ca resulta cero, y por lo tanto no toman carga. La
capacidad de servicio de secuencia homopolar resulta entonces:
C0 = C p
(24)
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