La tarta de cumpleaños - Escuela de Pensamiento Matemático

La tarta de cumpleaños
Dentro de una semana es el cumpleaños de Juan. Así que su madre le preguntó a Juan –
¿Cuantos amigos tuyos van a venir? – Y Juan contestó – Seremos 15. – Así que la
madre de Juan encargó una tarta para 16 personas, ya que Juan había entendido mal la
pregunta y se había contado así mismo. Así que cuando la madre les enseñó la tarta,
1
sobraba un
de la tarta. Ya que solo eran 15 y no eran 16. ¿Qué podía hacer la madre
16
de Juan, para solucionar el problema?
(Nota: Ella no podía comer el trozo de tarta que sobró porque estaba a dieta y además
2
Juan quería que todos comieran lo mismo, es decir. Que ninguno comiera
si los
16
1
demás habían comido
)
16
La tarta de cumpleaños (Respuesta)
La solución a este problema es muy sencilla... Tenemos que conseguir, a partir de que la
tarta esté dividida en 16 trozos. Que quede dividida solo en 15. Parece imposible, pero
no lo es.
Bien la solución sería utilizar la siguiente fórmula. Que demostraremos más tarde:
1
1
1
= +
n − 1 n n(n − 1)
En este caso n sería igual a 16:
1
1
1
= +
16 − 1 16 16(16 − 1)
1
1
1
= +
15 16 240
La solución sería dividir el trozo que ha quedado en 240 Partes. Y dar a cada niño
1
y
16
1
1
. Todos tomarían lo mismo
. Sin embargo, como la madre no estaba
240
15
dispuesta a dividir un trozo en 240 partes se lo tuvo que comer y echar a pique la dieta...
Pero bueno, que poder se podía.
un
¿Cómo demostrar que
1
1
1
= +
?
n − 1 n n(n − 1)
Su demostración es muy sencilla, y se puede demostrar gráficamente con un pastel. Una
fracción es una división en partes iguales de la unidad. Pues lo único que tenemos que
1
1
1
1
hacer para convertir
en un
. O en un es sumarle otra fracción. Si estamos
16
15
4
3
hablando de una tarta, siempre tendremos que coger uno de los trozos para repartirlos
entre los demás. ¿Pero como? Muy sencillo.
Tenemos una tarta divida en
Así que cogemos
4
.
4
1
4
Y lo dividimos en 3 partes iguales. Es decir:
1
1
1
O lo que es lo mismo:
=
.
4
4(3) 12
3
3
3
y . Es decir dos clases de trozos que son iguales. Así que
12 4
si juntamos cada cuarto con cada doceavo. Nos dan 3 trozos iguales que ahora mismo
como lo estamos viendo no sabemos lo que dan. Pero ¡Entonces!, ¿Qué pasa si
juntamos los 3 trozos iguales? x + x + x = 1
Ahora mismo tenemos
Y como dije antes. ¿Qué es una fracción? Una fracción es una división en partes iguales
de la unidad. ¡Anda! ¡Si he divido la unidad en 3 partes iguales! Entonces son 3 . Lo
3
3 3 3
1 1 1
1
1
1
= +
y si llamamos n al
= +
= +
4 − 1 4 4(4 − 1)
3 4 12
3 4 12
número de partes en que estaba dividida la tarta al principio (En este caso 4). Nos da:
que significa que:
1
1
1
= +
n − 1 n n(n − 1)