014

PERT: Su aplicación para el análisis de la duración de la carrera
Profesorado en Matemática y Cosmografía de la FACENA (UNNE)
Caputo, Liliana N. - Soto, Norma A. - Borda, Ma. Graciela
Facultad de Cs. Exactas y Naturales y Agrimensura - UNNE.
Av. Libertad 5450 - (3400) Corrientes - Argentina.
Tel./Fax: +54 (03783) 457950 - Int. 405
E-mail: lcaputo@exa.unne.edu.ar
ANTECEDENTES
El presente trabajo consiste en determinar cuáles son aquellas asignaturas que, en la práctica, originan el retraso en el
egreso de la carrera de Profesorado en Matemática y Cosmografía de la Facultad de Ciencias Exactas esto es, para
cuáles asignaturas su regularización y/o aprobación se constituyen en tareas con una cierta probabilidad de ser críticas
en cada ejecución del proyecto. Pretende, además, complementar el análisis del sistema de correlatividades de dicha
carrera realizado previamente en el trabajo “CPM: Su aplicación en el análisis de la incidencia de las correlatividades en
la duración de la carrera Profesorado en Matemática y Cosmografía de la FACENA (UNNE)”.
En base a la duración promedio de la carrera [1] y al análisis antes mencionado, se formularon las siguientes hipótesis:
- La ruta constituida por aquellas actividades con cierta probabilidad de ser críticas, diferirá con respecto a la ruta
crítica determinada al realizar el análisis teórico del plan de la carrera mediante CPM.
- El tiempo esperado de egreso de los estudiantes estará cercano a los 7 años (82 meses).
- La probabilidad de que un alumno egrese en el tiempo establecido por el plan de estudios (4 años lectivos esto es, 46
meses) será de, aproximadamente, un 10% y la de que no se retrase más de un año respecto a ella de,
aproximadamente, un 15%.
MATERIALES Y METODOS
El trabajo realizado consiste en la evaluación del proyecto formado por las tareas de regularizar y/o aprobar las
asignaturas correspondientes al plan de estudios de la carrera Profesorado en Matemática y Cosmografía, utilizando el
método PERT. La adopción de este método de análisis se fundamenta en que el plan de estudios de una determinada
carrera cumple con dos de las tres hipótesis en las cuales se basa el método. En efecto, en primer lugar, es evidente que
no puede estimarse con exactitud el tiempo que le demandará a un estudiante regularizar y/o aprobar una determinada
asignatura del plan de estudios; por el contrario, existe una gran incertidumbre al respecto. Tiene sentido pues,
considerar al tiempo de realización de cada tarea como una variable aleatoria que tiene una cierta distribución de
probabilidad [2]. En este trabajo admitiremos como verdadera la hipótesis de que esta distribución se corresponde con
la distribución beta. Este supuesto, es totalmente arbitrario, puesto que tal como lo afirman Carlos Pérez Mackeprang y
otros autores [4], la experiencia indica que la distribución de probabilidades de los tiempos de ejecución de cada
actividad difiere notablemente de la distribución mencionada. Por último, consideramos que las duraciones de cada
tarea son variables aleatorias independientes, y es lo que fundamenta el hecho de que la duración esperada del proyecto
esté dada por la suma de las duraciones de las tareas con ciertas probabilidades de ser críticas.
Al suponer que las duraciones de las tareas admiten una distribución de probabilidad cercana a la beta, se hace
necesario definir los parámetros de dicha distribución. El método PERT denomina tiempos optimista, normal y
pesimista a cada uno de estos parámetros y, como dicen Hillier y Lieberman [2], pueden ser considerados iguales al
mínimo, la moda y el máximo, respectivamente, de la distribución de probabilidades de la duración de cada tarea.
Siguiendo esta idea, se consideraron los tiempos estimados en el análisis mediante CPM [5] como tiempos optimistas.
Posteriormente, se analizaron los tiempos de ejecución de cada actividad de 31 egresados de la carrera, en el período
1990 – 2001 (ambos inclusive), y se determinó el tiempo pesimista de ejecución de cada tarea como la duración
máxima de cada una de ellas. Como duraciones normales, se adoptó para cada actividad si duración modal. (Tabla 1)
El tamaño de la muestra resultó pequeño, puesto que fueron excluidos aquellos egresados en el período estudiado que
aprobaron, al menos, una asignatura en calidad de alumno libre sin haberla cursado, puesto que estos casos no se ajustan
a la red construida en [5] (donde cada tarea de tipo A está precedida por la correspondiente actividad de tipo R);
también se excluyeron los casos en que el alumno aprobó asignaturas como estudiante de otra carrera - previo a su
ingreso como alumno de la carrera en estudio - y le fue reconocida como equivalente a otra del plan de estudios del
Profesorado en Matemática y Cosmografía, porque, en la mayoría de los casos, no fue posible acceder a la información
respecto al tiempo empleado para regularizar y aprobar las mismas. A continuación, con estas tres estimaciones de
tiempos se calcularon los tiempos esperados y varianzas de cada tarea (Tabla 1), mediante las ecuaciones válidas bajo
la hipótesis de que los tiempos se distribuyen beta: t e =
t o + 4t n + t p
; σ2e
( t p − to )
=
2
. Sin embargo, la sensibilidad de
6
6
la media aritmética respecto a los valores extremos (aún cuando en este caso se trate de la media ponderada) permite
pensar que este análisis podría estar distorsionado por algunas duraciones máximas de baja frecuencia. Por tal motivo,
optamos por realizar un estudio de los valores outliers y elegir como tiempos pesimistas las duraciones máximas no
outliers de cada una de las tareas. Para determinar los tiempos optimistas y normales, en cambio, se conservaron las
estimaciones previas (Tabla 2). Posteriormente, se determinó: a) el camino al que de ahora en más nos referiremos con
el nombre de “ruta crítica” (entre comillas), formado por aquellas tareas que tienen una cierta probabilidad de ser
actividades críticas en cada uno de los casos mencionados (con y sin valores outliers) b) las probabilidades de egresar
en 4 y 5 años. c) las probabilidades y duraciones necesarias para sacar conclusiones respecto a las hipótesis planteadas.
d) la duración de la carrera que admite una probabilidad de egreso del 90%. Finalmente se compararon los resultados de
ambos análisis entre sí, así como también los de cada uno de ellos con los obtenidos a partir del análisis en base a CPM,
ya mencionado.
DISCUSION DE RESULTADOS
En principio, al analizar los datos obtenidos, pudo observarse que existen asignaturas en las cuales no se registran los
tiempos optimistas adoptados. Las tareas en tal situación son: 7A (Análisis Matemático I; mínimo: 3), 8A (Algebra
Moderna; mínimo: 5), 14A (Análisis Matemático II; mínimo: 2) y 13A (Física I, mínimo: 8). Sin embargo, se decidió
mantener esas estimaciones como tiempos optimistas puesto que, como quedó demostrado al realizar el análisis con
CPM, son los que proporcionan la duración mínima del proyecto. Puede observarse también que existen asignaturas
cuyos tiempos de realización parecen excesivos en comparación con el tiempo optimista (tal es el caso de Elementos de
Computación e Introducción a la Filosofía); sin embargo, debe tenerse en cuenta que estas asignaturas pertenecen al
segundo año del plan preferencial, a pesar de que el sistema de correlatividades posibilita que se las curse en el primer
año. El que los alumnos respeten las recomendaciones del plan y la forma en que se han establecido los tiempos (desde
el instante en que el estudiante está en condiciones de cursar hasta que la regulariza o aprueba, según el caso) hace que
sus duraciones parezcan, en un primer momento, excesivas. Sin embargo, cabe suponer que la hipótesis de que ambas
pueden ser regularizadas en el segundo cuatrimestre de primer año, trae implícito el hecho de que las tareas
correspondientes tendrán la holgura suficiente que posibilite cursarlas en segundo año, sin sufrir retrasos en el egreso.
Tabla 1: Tiempos optimistas, normales, pesimistas, esperados y varianzas de cada tarea (Incluye valores outliers)
Asignatura
Matemática “A”
Gometría Métrica
Lengua Castellana
Matemática “B”
Psicología del Adolescente
Geometría Analítica
Análisis Matemático I
Algebra Moderna
Pedagogía General
Introducción a la Filosofía
Elementos de Computación
Matemáticas Especiales
Didáctica (Teoría)
Análisis Matemático II
Física I
Complementos
de Matemática
Cosmografía y Elementos de
Astronomía
Práctica de la enseñanza
Tarea
to
1R
1A
2R
2A
3
4R
4A
5
6R
6A
7R
7A
8R
8A
9
10
11R
11A
12R
12A
13
14R
14A
15R
15A
16R
16A
17R
17A
18
4
1
4
1
4
5
1
5
5
1
7
1
11
1
12
9
5
1
5
1
5
12
1
7
1
12
1
4
1
12
Duración
tn
tp
4
3
4
1
4
5
10
12
5
4
7
12
17
12
12
9
17
1
5
6
5
24
8
19
32
12
1
5
3
12
16
27
64
15
121
17
52
35
17
29
31
45
130
133
35
58
113
40
35
55
80
144
97
79
99
24
33
32
33
90
Tiempo
Varianza
esperado (te)
( σe )
6
6.7
14
3.3
23.5
7
15.5
14.7
7
7.7
11
15.6
34.8
30.3
15.8
17.2
31
7.5
10
13.3
17.5
42
21.7
27
38
13.5
6.3
9.3
7.7
25
4
18.7
100
5.4
380.25
4
72.25
25
4
21.8
16
53.8
393.4
484
14.7
66.7
324
42.25
25
81
156.25
484
256
144
266.8
2.25
28.4
21.8
28.4
169
2
Al determinar la “ruta crítica” del proyecto, utilizando las primeras tres estimaciones de tiempo hechas (es decir, las que
incluyen entre los tiempos pesimistas valores outliers), la misma resultó constituida por las tareas siguientes: regularizar
Matemática “A”, Matemática “B”, Geometría Analítica, Análisis Matemático I y Análisis Matemático II, así como
)
también aprobar esta última. Puede observarse pues, que el tiempo esperado de duración de la carrera resulta de 87.6
meses (7.5 años lectivos, lo cual nos estaría hablando de un retraso de alrededor del 87.5% con respecto a la actual
duración de la carrera, y del 157% respecto los 34 meses correspondientes a la duración teórica) y un desvío standard de
27.64; la probabilidad de egresar al cabo de 4 ciclos lectivos (46 meses) resulta del 6.58%, aproximadamente y la de no
retrasarse en más de un año respecto al tiempo de egreso propuesto por el plan (esto es, egresar a los 58 meses), es del
14.15%. La probabilidad correspondiente al egreso al cabo de 7 años lectivos, en cambio, es del 41%. Por otra parte,
con una duración aproximada de 123 meses (exactamente 123.09, lo que equivale, aproximadamente a 10.5 años
lectivos), se obtiene una probabilidad de egreso del 90%. Asimismo, la duración de la carrera correspondiente a un 10%
de probabilidad de egreso es de 52 meses (4.5 años lectivos) y la correspondiente al 15% de 59 meses. Si se comparan
resultados entre este análisis y aquel en que se utilizó CPM, puede observarse que en la ruta crítica obtenida en aquel
momento (Tabla 3) las tareas 12R, 16R y 16A (correspondientes a Matemáticas Especiales y Complementos de
Matemática) han sido reemplazadas por 14R y 14A (Análisis Matemático II), manteniéndose el resto del camino crítico
sin cambios. En efecto, podemos observar que la suma de los tiempos esperados de las tres primeras es de 30.3 meses,
que no logra superar los 63.7 meses (más de 5 años) de tiempo esperado para la ejecución de las tareas 14; ésto nos
habla de que la duración total de las tareas 12 y 16, puede incrementarse hasta en 33.4 meses, sin afectar la duración
del proyecto. Entonces, de aquellas tareas que en el estudio mencionado se habían señalado como factibles de
convertirse en críticas, sólo las tareas correspondientes a Análisis Matemático II tienen en realidad probabilidad de
serlo. Cabe señalar, también, que se mantiene invariante el hecho de que la “ruta crítica” está constituida casi
exclusivamente por tareas de tipo R [5]. Es importante señalar que la duración total esperada de las tareas 14 constituye,
aproximadamente, el 72.6% de la duración total de la carrera. Esto es consecuencia de lo extremo que resultan los
tiempos pesimistas de duración de las tareas correspondientes a algunas asignaturas (Tabla 1)
Tabla 2: Tiempos optimistas, normales, pesimistas, esperados y varianzas de cada tarea (Sin valores outliers)
Asignatura
Matemática “A”
Gometría Métrica
Lengua Castellana
Matemática “B”
Psicología del Adolescente
Geometría Analítica
Análisis Matemático I
Algebra Moderna
Pedagogía General
Introducción a la Filosofía
Elementos de Computación
Matemáticas Especiales
Didáctica (Teoría)
Análisis Matemático II
Física I
Complementos
de Matemática
Cosmografía y Elementos de
Astronomía
Práctica de la enseñanza
Tarea
to
1R
1A
2R
2A
3
4R
4A
5
6R
6A
7R
7A
8R
8A
9
10
11R
11A
12R
12A
13
14R
14A
15R
15A
16R
16A
17R
17A
18
4
1
4
1
4
5
1
5
5
1
7
1
11
1
12
9
5
1
5
1
5
12
1
7
1
12
1
4
1
12
Duración
tn
tp
4
3
4
1
4
5
10
12
5
4
7
12
17
12
12
9
17
1
5
6
5
24
8
19
32
12
1
5
3
12
4
17
4
15
10
5
32
28
17
29
7
45
58
54
35
58
41
13
35
31
38
96
68
43
56
12
17
32
33
30
Tiempo
esperado (te)
Varianza
4
5
4
3.3
5
5
12.2
13.5
7
7.7
7
15.7
22.8
17.2
15.8
17.2
19
3
10
9.3
10.5
34
16.8
21
30.8
12
3.7
9.3
7.7
15
0
7.1
0
5.4
1
0
26.7
14.7
4
21.8
0
53.8
61.4
78.03
14.7
66.7
36
4
25
25
30.25
196
124.7
36
84.03
0
7.1
21.8
28.4
9
( σe )
2
Evaluando la duración del proyecto cuando se han omitido los máximos outliers (Tabla 2), la “ruta crítica”, se ha
modificado con respecto a los dos análisis anteriores. En efecto, quedó constituida sólo por las tareas 1R, 6R, 7R, 14R y
14A es decir, la regularización de Matemática “B” ha dejado de ser “crítica”. También, se ha modificado el tiempo
)
esperado de duración del proyecto, reduciéndose a 68.83 meses (6 años lectivos, aproximadamente) y el desvío
standard a 18.02. Esta duración representa un retraso del 102.5% con respecto a la duración teórica de la carrera (34
meses), y un 49.6% respecto a la propuesta por el actual plan de estudios (46 meses). La probabilidad de egresar al cabo
de 4 años lectivos, en cambio, es ahora del 10.25%, mientras que la de egresar a los 5 resulta del 27.38%. En este caso,
la probabilidad de egresar en 7 años es del 76%. Una duración de la carrera de 45.75 meses se corresponde con una
probabilidad del 10%; una de 50.16 meses con el 15% de probabilidad y una de, aproximadamente, 92 meses, con el
90%. Si bien los tiempos esperados de las tareas 14 se han reducido a 51 meses, constituyen ahora el 74%,
aproximadamente, del tiempo esperado de finalización de todo el proyecto.
Al comparar las rutas críticas obtenidas en los tres análisis efectuados (Tabla 3) se advierte que sólo las tareas 1R, 6R y
7R pertenecen a los tres caminos críticos. Las tareas 12R (Regularización de Matemáticas Especiales) y las
correspondientes a Complementos de Matemática, sólo resultan críticas en el análisis teórico; Análisis Matemático II,
en cambio, resulta “crítica” en los casos en que las estimaciones se basan en datos reales (aún en aquellos en que se han
“suavizado” los tiempos pesimistas). Por último, la regularización de Matemática “B” es una actividad crítica tanto en
el análisis teórico como en el que incluye valores extremos, lo cual parece indicar que su probabilidad de ser una tarea
crítica está relacionada con algunas realizaciones particulares del proyecto.
Tabla 3: Tareas críticas resultantes del análisis por CPM y PERT.
Tarea
Asignatura
1R
4R
6R
7R
12 R
14 R
14 A
16 R
16 A
Matemática “A”
Matemática “B”
Geometría Analítica
Análisis Matemático I
Matemáticas Especiales
Análisis Matemático II
Complementos de
Matemática
Metodología de análisis
P.E.R.T.
C.P.M.
Sin outliers
Con outliers
Crítica
Crítica
Crítica
Crítica
Crítica
No crítica
Crítica
Crítica
Crítica
Crítica
Crítica
Crítica
No
crítica
No
crítica
Crítica
No crítica
Crítica
Crítica
No crítica
Crítica
Crítica
No crítica
No crítica
Crítica
No crítica
No crítica
Crítica
CONCLUSIONES
Puede concluirse sin lugar a dudas que las tareas con mayor probabilidad de generar atrasos en el egreso de los
estudiantes del Profesorado en Matemática y Cosmografía son las tareas consistentes en regularizar asignaturas básicas
en la formación disciplinar de los futuros docentes (Matemática “A”, Matemática “B”, Geometría Analítica, Análisis
Matemático I y Análisis Matemático II). Merece especial atención la asignatura Análisis Matemático II, puesto que
corresponde al último año del plan de estudios y, en los dos análisis basados en la experiencia de los estudiantes, ha
resultado con alta probabilidad de ser crítica; se observa también, que en estos casos, sus tiempos esperados de
regularización y aprobación constituyen – en promedio - el 73% de la duración esperada de toda la carrera. Es por ello
que parece atinado suponer que el cambio de régimen de evaluación de esta asignatura (desde el año lectivo 2000
pertenece al régimen de promoción, sin examen final) podría significar un acortamiento de la duración de aprobación de
esta asignatura y, como consecuencia, una reducción del tiempo esperado del proyecto. Asimismo, el acortamiento de
las tareas correspondientes a esta asignatura podrían generar el ingreso al “camino crítico” de otras tareas, que hoy
tienen margen suficiente para retrasarse mientras se concluyen las tareas 14 (tal es el caso de las actividades
correspondientes a Algebra Moderna y Física I)
Cabe mencionar aquí que la hipótesis planteada al inicio de este trabajo respecto a la conformación de la “ruta crítica”
del proyecto ha sido plenamente verificada, puesto que si bien existe un tramo de la misma que es común en los tres
análisis realizados, las tareas 14 no están incluidas en el primero. Respecto a la hipótesis referida a la duración esperada
de la carrera, resulta aceptable si se compara con los resultados del análisis que incluye valores outliers, pero no así con
los del que los excluye. Se arriba a la misma conclusión respecto a la probabilidad de no incurrir en un atraso de más de
un año respecto a la duración propuesta en el plan de estudios. En cambio, si se analizan los resultados obtenidos al
excluir los valores outliers, se puede corroborar que la hipótesis planteada respecto a la probabilidad de egresar al cabo
de 4 años, resulta aceptable.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Comisión de autoevaluación de FACENA – UNNE. Informe de prediagnóstico. 1996.
[2] Hillier y Liebermann. Introducción a la Investigación de Operaciones. Mc Graw – Hill. 1993.
[3] Pérez Mackeprang,C; Alberto, C.; Carignagno,C. y Castro, S. Programación por camino crítico, introducción al
método: Actividades en los vértices. Revista de la Escuela de Perfeccionamiento en Investigación Operativa Nº14.
Tandil, abril de 1998, pp. 15 a 28.
[4] Pérez Mackeprang,C; Alberto, C.; Carignagno,C. y Castro, S. Análisis de las hipótesis tradicionales en el PERT.
Revista de la Escuela de Perfeccionamiento en Investigación Operativa Nº15. Tandil, noviembre de 1998, pp. 45 a
52.
[5] Caputo, L. CPM: Su aplicación en el análisis de las correlatividades del plan de estudios de la carrera Profesorado
en Matemática y Cosmografía. XI Reunión de Comunicaciones Científicas y Tecnológicas. UNNE. 2002.