Desarrollos de Fourier no standard para dos formas modulares de

Desarrollos de Fourier no standard
para dos formas modulares de Drinfeld distinguidas
Bartolomé López
La formas modulares de Drinfeld (característica p) se definen de modo análogo
a las formas modulares clásicas, y admiten desarrollos en serie con índices en
el conjunto de los números naturales. También se definen operadores de Hecke
que actúan sobre los espacios de formas modulares. Uno de los primeros hechos
observados (por David Goss), en el inicio de la teoría de las formas modulares
de Drinfeld, fue que los autovalores no determinaban las formas propias para
los operadores de Hecke: por ejemplo, se vio que la serie de Eisenstein de peso
q − 1 y el discriminante tenían los mismos autovalores.
El objetivo de esta charla es “explicar” por qué sucede esto en este ejemplo
concreto. La herramienta que usamos es un cierto tipo de desarrollos con índices
en el conjunto de polinomios mónicos del anillo de polinomios sobre un cuerpo
finito.
Aunque parece que en general las formas modulares de Drinfeld raramente admiten estos desarrollos, las dos formas modulares citadas sí los admiten. En el
caso de la serie de Eisenstein de peso q − 1 era conocido, pero en el caso del
discriminante no; éste es el primer punto que se demuestra.
Además estos desarrollos son únicos. Esto se utiliza para calcular la acción de
los operadores de Hecke sobre dichos desarrollos y obtener una relación entre
los autovalores y los coeficientes que en cierto modo recuerda el caso clásico; de
esta relación se concluye que la acción de Hecke determina la formas modulares
que son funciones propias y admiten este tipo de desarrollos, por ejemplo la
serie de Eisenstein de peso q − 1 y el discriminante, aunque tengan los mismos
autovalores. La unicidad de los desarrollos y la relación entre los autovalores y
los coeficientes es el segundo punto que se demuestra.