BANDAS DE ENERGIA en SOLIDOS MODELO de KRONIG-PENNEY Dr. Andres Ozols Noviembre 2004 Dr. A. Ozols 1 MODELO ANALITICO DE BANDAS DE ENERGÍA Las hipótesis del modelo son: -El electrón en el cristal es una partícula libre, con una masa efectiva. Esta contiene la información sobre la interacción media con otros electrones, iones, defectos cristalinos, fonones y otros entes dispersivos. -El potencial de interacción con los iones es periódico. -La energía potencial del cristal es periódica. -La interacción con los núcleos atómicos es de corto alcance. Está decae muy rápidamente al alejarse. Dr. A. Ozols 2 MODELO BANDAS DE ENERGÍA Niveles de energía próximos al ión en un potencial coulumbiano EP = q2 4πε 0 r -Principio de Exclusión de Pauli: dos electrones con spin diferente no pueden ocupar el mismo nivel de energía. •Los niveles de energía en el sólido forman bandas de energía. Dr. A. Ozols 3 MODELO DE KRONIG – PENNEY Este modelo describe el movimiento de un solo electrón en la una red cristalina periódica unidimensional. Este atraviesa en forma dos tipos de regiones en forma alternada: región I región II Ep = 0 Ep = E0 Ese movimiento de la partícula esta descripto por la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: = 2 ∂ 2ψ ( x) EP − EC = 2mψ ( x ) ∂x 2 = 2 ∂ 2ψ ( x) + ( EP − EC )ψ ( x ) = 0 2 2m ∂x Dr. A. Ozols 4 MODELO DE KRONIG – PENNEY - El potencial del cristal describe por medio la función periódica: u(x) (función de Bloch periódica) - La función onda ψ (x) tiene una amplitud modulada en x: ψ (x) = u(x) ejKx DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH 2m ∂ 2ψ ( x) ( E − EP )ψ ( x) = − ∂x 2 =2 ONDA REGION I EP = 0 2mE ∂ 2ψ ( x ) = − ψ ( x) 2 2 ∂x = Dr. A. Ozols 5 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH 2m ∂ 2ψ ( x ) = − 2 ( E − EP )ψ ( x) 2 ∂x = REGION I EP = 0 ∂ 2ψ ( x) 2mE = − ψ ( x) 2 2 ∂x = Si 2mE α = 2 = 2 ψ I ( x ) = u I ( x )e jKx ∂ 2ψ I ( x ) jKx 2 = − α u ( x ) e I ∂x 2 Dr. A. Ozols 6 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH Desarrollando las derivadas ∂ψ I ( x) ∂[uI ( x)e jKx ] = ∂x ∂x ∂ψ I ( x) ∂[u I ( x )] jKx = jKu I ( x)e jKx + e ∂x ∂x ∂ 2ψ I ( x) ∂[uI ( x)] jKx ∂ 2 [uI ( x)] jKx ∂[uI ( x)] jKx jKx = − + + ( ) jK e Ku x e e jK e I 2 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ 2 [u I ( x)] jKx ∂[u I ( x)] jKx jKx jKx 2 2 e + 2 jK e − K u ( x ) e = − α u ( x ) e I I ∂x 2 ∂x ∂ 2 [uI ( x)] jKx ∂[uI ( x)] jKx 2 2 jKx α e 2 jK e ( K ) u ( x ) e + − − =0 I 2 ∂x ∂x Dr. A. Ozols 7 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH REGION II EP = E0 2m[ E − E0 ] ∂ 2ψ II ( x ) = − ψ II ( x) 2 2 ∂x = Si 2m[ E0 − E ] β = =2 2 ψ II(x) = uII(x) ejKx ∂ 2ψ II ( x ) ∂ 2 jKx ( u ( x ) e ) = II 2 2 ∂x ∂x Análogamente a los desarrollos con la región I: ∂ 2 [uII ( x)] jKx ∂[uII ( x)] jKx 2 2 jKx + − − =0 β e 2 jK e ( K ) u ( x ) e II 2 ∂x ∂x Dr. A. Ozols 8 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH Las soluciones de la ecuaciones: uI ( x) = Ae j (α − K ) x + Be− j ( β + K ) x u II ( x) = Ce j (α − K ) x + De − j(β +K )x Las condiciones de contorno: x =0 X =a y x=-b uI (0) = uII (0) uI (a) = uII (−b) duI ( x) dx duI ( x) dx duII ( x) x =0 = dx x =0 Dr. A. Ozols duII ( x) x =a = dx x =− b 9 DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE BLOCH Al resolver estas ecuaciones se obtiene un sistema de 4 ecuaciones de 4 incógnitas que conducen a la ecuación: β 2 −α 2 sh( β b) sen(α a) + ch( β b) cos(α a) = cos[ K (a + b)] 2αβ E < E0 1.- El 1er miembro es una relación trigonométrica. 2.- El 2do miembro es una función armónica válida entre + 1 y –1. 3.- El 1er miembro puede dar valores mayores que 1. Además, K está cuantificado por las condiciones del Teorema de Bloch: K= 2π n N (a + b) Dr. A. Ozols N nº de átomos (a+b) parámetro de red 10 DETERMINACION DE LAS BANDAS DE ENERGIA Se obtienen bandas de energía permitidas y prohibidas. Dr. A. Ozols 11 MODELO DE KRONIG – PENNEY Dr. A. Ozols 12 BANDAS de ENERGIA Dr. A. Ozols 13 BANDAS de ENERGIA Dr. A. Ozols 14