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Primos gemelos: una conjetura que aspira
a ser teorema.
José Acevedo Jiménez.
06/07/2016
Intenté de varias formas resolver ese problema;
aplicando ecuaciones y matemáticas modernas.
Pero, siempre se resiste y supera toda prueba,
por eso es conjetura y no un fantástico teorema.
Conjetura no tortures aquellas mentes inquietas,
que buscan responder las preguntas más complejas,
revela tu secreto y deja, que finalmente,
te den el estatus que mereces convirtiéndote en una verdad eterna.
Definiciones.
Número primo.
Es aquel número natural mayor que 1 que solamente tiene dos divisores: el propio número y el 1.
Ejemplos:
2, 3, 5, 7.
Número compuesto.
Todo número natural mayor que 1 que no es primo.
Primos gemelos.
Dos números primos
Ejemplo:
son gemelos si la diferencia entre ellos es igual a 2.
3 y 5 son números primos gemelos, puesto que:
.
Conjetura de los primos gemelos.
Dicha conjetura afirma que existen infinitas parejas de números primos gemelos. Es decir:
Existen infinitos números primos
tales que
.
Longitud de tira de números.
La longitud de una tira de números es la cantidad de números que posee dicha tira.
Ejemplo:
2, 3, 4, 5, 6, 7; es una tira de longitud 6.
Afirmaciones.
Afirmación 1.
Existen infinitos números primos.
1
Afirmación 2.
La tercia (3, 5, 7) es la única tercia de número primos triates. Esto se puede demostrar algebraicamente
escribiendo el primer número primo como , el siguiente primo como
y el tercero como
.
Si
es múltiplo de 3, entonces, no es una tercia de triates primos.
Si tiene la forma
, entonces, el siguiente
es divisible entre 3.
Si tiene la forma
el último de los 3 es el múltiplo de 3.
Afirmación 3.
Existen tiras o cadenas de números compuestos consecutivos que pueden tener cualquier longitud finita. Esto
es así, puesto que:
(es múltiplo de 2).
( +1)! + 3 (es múltiplo de 3).
( +1)! + 4 (es múltiplo de 4).
( +1)! + 5 (es múltiplo de 5).
…
( +1)! + (es múltiplo de n).
(es múltiplo de (
)).
Así podemos obtener una tira de longitud (x), formada solo por números compuestos.
Afirmación 4.
En una tira o cadena de cualquier longitud impar, digamos
existen números que son múltiplos de: 1, 3, 5,…, .
Ejemplo:
de números naturales impares consecutivos,
19, 21, 23, 25, 27; es una cadena de longitud 5, entonces: existen números que son múltiplos de 1, 3, 5.
Tiras de números impares consecutivos.
Una tira o cadena de longitud 1, solo puede tener dos posibilidades: el número es primo o es compuesto. Esto
lo denotaremos así: o ; donde
hace referencia a un número primo y a uno compuesto.
En la tira de longitud 2, tenemos:
Sabemos que existen infinitas tiras de números impares consecutivos donde se cumple que:
Lo que no podemos afirmar es que existen infinitas tiras de números impares consecutivos donde se cumple
que:
Pero eso, no afecta lo que queremos expresar.
2
Los casos anteriores son fáciles de demostrar, por ejemplo, por la afirmación 3 sabemos que existen infinitas
cadenas de números impares de longitud 2 donde se cumple el caso
. Esto será válido para cualquier
cadena de números impares consecutivos de longitud
En la tira de longitud 3, tenemos:
No importa si no están todas las tiras de longitud 3 posibles, lo importante es que observamos en dos de ellas
aparecen números primos gemelos (resaltadas en rojo) y que, tal como lo predijo la afirmación3, aparece una
tira de longitud 3 con la característica:
Algo importante es saber que por la afirmación2, no podemos tener una cadena de longitud 3 donde se cumpla
el caso:
Salvo cuando
. En este caso,
corresponden con: 3, 5, 7.
Al construir esta tira de longitud 3, observamos que aparece una nueva pareja de números primos gemelos. A
parte de:
, pareja de primos gemelos que bien podría estar contenida en la tira de longitud 2 y que se
puede repetir en la 3, hemos encontrado una nueva pareja en la tira de longitud 3
, la pareja de
primos gemelos:
Seguimos construyendo tiras, como ya habrán notado con las de longitud impar nos es más que suficiente.
En la tira de longitud 5, tenemos:
Obviamente existen más cadenas de longitud 5 de números impares consecutivos, pero eso aquí poco importa.
Lo que importa es que nuevas parejas de números primos gemelos van surgiendo. En las tiras de longitud 5
resaltadas de rojo podemos observar que bien podrían corresponder con las parejas conocidas en las tiras de
longitud 3, pero las tiras de longitud 5 resaltadas en verde nos dan nuevas parejas que no están contenidas en
la tira de longitud 3. Bueno, no necesariamente tiene que ser en ese orden. Lo que podemos asegurar es que
por lo menos dos nuevas parejas de primos gemelos han surgido; obsérvese que en una tira de longitud 3 solo
tenemos dos casos donde aparecen números primos gemelos en la tira de 5 tenemos más de 4 casos
(recordemos que no completamos todas las tiras de longitud 5) en los que aparecen parejas de primos
gemelos. De aquí podemos concluir que hay nuevas parejas de primos gemelos distintas a las parejas de
primos gemelos que aparecen en la tira de longitud 3. Siguiendo el mismo procedimiento, podemos seguir
formando tiras de longitud 7, longitud 9, longitud 11 y en general longitud impar
hasta el infinito, pero la
idea que hemos querido transmitir no lo requiere pues ha quedado clara. Las parejas de nuevos números
primos gemelos seguirán apareciendo.
3
Las tiras no salen de la nada, hay restricciones.
Es importante notar que en una tira los números (primos y compuestos, impares) hacen uso de sus
posibilidades, por ejemplo: en una tira de longitud 1, existen dos posibilidades: el número, es primo o es
compuesto. En este caso lo único que debe cumplir es que tal número sea divisible por 1, primos y
compuestos cumplen con tal condición. En una tira de dos, como se mencionó anteriormente, tenemos las
siguientes posibilidades:
Como la tira es par, obviamente el único número impar menor es 1, por lo tanto, todas las parejas dadas o
posibilidades cumplen la regla, es decir: tanto primos como compuestos pueden ser divididos por 1.
En el caso de una tira de longitud 3 la cosa se pone más interesante, por la afirmación 4, en una tira de
longitud 3 debe existir un número compuesto que es múltiplo de 3. Las posibilidades de una tira de longitud 3
son:
En cada una de las tiras de longitud 3, existe un
que es múltiplo de 3.
Caso de tiras de longitud mayor que 3.
Observemos la tira:
esta no es una posibilidad, obligatoriamente debe ser múltiplo
de 3, eso implica que
debe ser también múltiplo de 3, pero es un número primo. Usando esta sencilla
lógica podemos construir tiras posibles de números.
Técnica para construir tiras posibles que contengan primos gemelos.
Tira longitud 3:
Tira longitud 5:
4
Tira longitud 7:
Con estos ejemplos la técnica queda más que clara. Iniciamos con una pareja de primos, estos se desplazan a
la derecha mientras que los compuestos de desplazan a la izquierda. Es evidente que existen más posibilidades
que involucran primos gemelos, pero la técnica nos da las necesarias para alcanzar nuestro propósito.
Obsérvese que mientras mayor es la longitud de la cadena las posibilidades crecen también. No estamos
diciendo que cada posibilidad es infinita, como se dijo antes eso no es relevante para este escrito. Lo que se ha
dicho es que en la infinitud de los números naturales tales entes se agrupan en tiras que son posibles,
independientemente de si son o no infinitas.
Nota:
Los subíndices solo indican la posición que ocupa el número en la tira. Por ejemplo: un
número primo y que es el tercer número de una tira.
indica que es un
“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.”
― Hipatia de Alejandría
Este escrito no pretende demostrar la infinitud de los números primos gemelos, esa es tarea de un matemático. Mediante el mismo, el autor solo ha querido defender su “derecho a pensar” aunque lo haya hecho de manera
errónea.
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