Introducción a la Matemática Discreta Grado en Ingenierı́a - Tecnologı́as Informáticas Práctica 2. Enteros E.T.S. de Ingenierı́a Informática 1. Aplica el Algoritmo Extendido de Euclides (AEE) y el Algoritmo de Restos Reducidos (ARR) a 15 pares de enteros elegidos al azar y con distintos tamaños, y escribe el número de divisiones que se realizan en la siguiente tabla AEE ARR Compara el AEE con el ARR. 2. Aplica el AEE a varios pares de números de Fibonacci. Analiza en cada caso: Cuál es el mcd que se obtiene y cómo es la sucesión de divisores. 3. Aplica el AEE a varios pares de números de Fibonacci consecutivos. ¿Qué sucesión de coeficientes se obtiene? Interpreta la sucesión de divisores y la de cocientes. 4. Comprobar que para cualquier valor de n que se elija es posible encontrar dos enteros para los que el algoritmo de Euclides realiza exactamente n divisiones. Encontrar a y b de modo que el cálculo del mcd(a, b) por el algoritmo de Euclides realice exactamente 44 divisiones. 5. Elige varios enteros n entre 1 y 65000 y cronometra los tiempos necesarios para generar todos los primos menores o iguales que n. Haz una gráfica de que compare n y el tiempo necesario t(n) para ese n, representando n en el eje OX y t(n) en el eje OY . ¿Qué tipo de función aproxima la de la gráfica? 6. El n-ésimo número de Euclides (sobre 280 Qn a.C.), En , se define como el siguiente número al n-ésimo primorial, es decir, En = 1 + i=1 pi , donde pi denota el i-ésimo número primo. Encontrar dos números de Euclides que no sean primos. 7. El n-ésimo número de Mersenne (1641) es de la forma Mn = 2n −1. Mersenne conjeturaba que los únicos primos de Mersenne Mp con p ≤ 107 se obtenı́an para p ∈ {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 107}. Demostrar que cometió 3 fallos.