Solución del Examen de Junio 2005-06

Obtener la Función de Transferencia de un filtro paso de banda con las siguientes especificaciones:
•
•
Banda pasante máximamente plana, comprendida entre 1kHz y 1.44kHz con Ap ≤ 3dB.
Un cero de transmisión, al menos, en fz1 = 1.72kHz. La atenuación a altas frecuencias crece al
menos con 20dB/década.
Solución detallada
Los pasos a seguir son los siguientes: obtener las especificaciones del paso de baja prototipo (normalizadas), obtener (aproximar) la función de transferencia del LPP y aplicar la transformación
en frecuencia para tener la expresión del paso de banda que se nos pide.
Tomamos como frecuencia central del filtro paso de banda,
1000 ⋅ 1440 Hz = 1200Hz
f0 =
ω 0 = 2πf 0 rad/s = 7540rad/s
y como ancho de banda
Δf = 1440Hz – 1000Hz = 440Hz
B = 2π ( 1440 – 1000 )rad/s = 2765rad/s
Como no nos especifican el valor de los límites de las bandas de rechazo, ni mínimos de atenuación en ellas, no hay necesidad de redefinir las especificaciones. Sí nos indican la frecuencia de
un cero de transmisión en la banda de rechazo superior. Podemos calcular su posición en el prototipo paso de baja normalizado utilizando la transformación en frecuencia de LPP a BP (desnormalizada en frecuencia),
2
2
p + ω0
s = -----------------pB
o lo que es lo mismo, haciendo s = jω y p = jΩ ,
2
2
2
2
– Ω + ω0
Ω – ω0
jω = -----------------------⇒
ω = ------------------jΩB
ΩB
que para Ω z = 2π1720rad/s = 10807rad/s , resulta en
ωz = 2
Necesitamos por tanto un LPP máximamente plano en la banda pasante, con A p ≤ 3dB y un cero
de transmisión en ω z = 2 . La atenuación a altas frecuencias debe crecer al menos con 20dB/dec .
No nos especifican ni el borde de la banda ni la atenuación mínima en la banda de rechazo.
Puesto que tenemos (al menos) un cero de transmisión finito, y una atenuación a altas frecuencias
de 20dB/dec , el orden debe ser como mínimo n = 3 .
Si intentamos una aproximación máximamente plana genérica, nos encontraremos con la
2
necesidad de encontrar las raíces de un polinomio de 6 orden (de tercer orden en s ) para separar
D(s) y D(– s) . Una alternativa es recurrir a la utilización de un chebyshev inverso, que es un caso
particular de aproximaciones máximamente planas con cero(s) de transmisión finitos, y que
además podemos resolver analíticamente. El crecimiento de la atenuación a altas frecuencias
( 20dB/dec ) es compatible con filtros chebyshev inversos de orden impar, lo que se corresponde
bien con el orden mínimo determinado previamente. Buscaremos por tanto un chebyshev inverso
de orden 3.
Las funciones de transferencia de los filtros chebyshev inversos, en la forma habitual, están normalizadas respecto al borde de la banda de rechazo, mientras que la posición del cero de transmisión ω z = 2 ha sido calculada para un LPP normalizado respecto al borde de la banda de paso,
como es habitual. Por tanto, la posición del cero de transmisión en el filtro chebyshev inverso será
ω zLPP
2- = ----ω zCI = ---------ωs
ωs
donde ω s es el factor de selectividad del filtro chebyshev inverso (que es el mismo que el del LPP
o del PB que buscamos).
La posición de los ceros de transmisión de los chebyshev inversos (normalizados respecto al
borde de la banda de rechazo) es la inversa de los ceros de reflexión de los chebyshev directos
(normalizados respecto al borde de la banda de paso) de los que se derivan. La posición de estos
ceros de reflexión está dada por
2k + 1 π
ω rk = cos ⎛⎝ --------------- ---⎞⎠
n 2
k = 0, …, n – 1
en nuestro caso, con n = 3 ,
π
3
ω r0 = cos ⎛⎝ ---⎞⎠ = ------6
2
π
ω r1 = cos ⎛ ---⎞ = 0
⎝ 2⎠
5π
π
3
ω r2 = cos ⎛⎝ ------⎞⎠ = – cos ⎛⎝ ---⎞⎠ = – ------6
6
2
y los ceros de transmisión del chebyshev inverso,
1
2
ω z0, 2 = ---------- = ± ------ω r0, 2
3
1
ω z1 = ------- = ∞
ω r1
Igualando el único valor finito con el resultado anterior, tenemos
2 3
ω s = ---------- = 1 ,732
2
Este valor será necesario, aparte de para conseguir que el cero de transmisión esté en la posición
especificada, para renormalizar la función de transferencia del chebyshev inverso de manera que
quede normalizado respecto al borde de la banda pasante, como es habitual en los prototipos paso
de baja.
Ahora debemos obtener la función de transferencia del filtro chebyshev inverso. Lo primero es
obtener los polos del chebyshev directo del que deriva, para lo que necesitamos conocer su ε , que
llamaremos ( ε CD ) . Este se obtiene, como sabemos, de
1
ε CD = -----------------------ε CI C 3(ω s)
donde ε CI es el correspondiente a nuestro filtro objetivo (que es chebyshev inverso),
ε CI = ε Objetivo =
10
A
-----p10
–1 =
10
0,3
– 1 = 0,997
Por otra parte1,
3
C 3(ω) = 4ω – 3ω
y evaluando en ω s ,
C 3(ω s) = 15 ,587
De donde,
1
ε CD = ------------------------ = 0,0643
ε CI C 3(ω s)
Ahora, los polos del chebyshev directo están dados por
2k + 1 π
2k + 1 π
s k = – α sin ⎛ --------------- ---⎞ + jβ cos ⎛ --------------- ---⎞
⎝ n 2⎠
⎝ n 2⎠
k = 0, 1, 2
con
1
1
α = --- ⎛ ξ – ---⎞
2⎝
ξ⎠
1
1
β = --- ⎛ ξ + ---⎞
2⎝
ξ⎠
1
---
⎛1
⎞n
1
ξ(ε, n) = ⎜ --- + ----2- + 1⎟
⎝ε
⎠
ε
donde lógicamente ε = ε CD . En nuestro caso,
α = 1 ,4266
Los polos son, entonces
ξ(ε, n) = 3 ,1460 y
β = 1 ,7194
π
π
s 0 = – α sin ⎛ ---⎞ + jβ cos ⎛ ---⎞
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
π
π
s 1 = – α sin ⎛ ---⎞ + jβ cos ⎛ ---⎞ = – α
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
(1.1)
5π
5π
π
π
s 2 = – α sin ⎛ ------⎞ + jβ cos ⎛ ------⎞ = – α sin ⎛ ---⎞ – jβ cos ⎛ ---⎞
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
dónde se ha utilizado que 2
1. La obtención de este polinomio puede hacerse de múltiples maneras: a partir de una tabla, a partir de la
expresión de los ceros de reflexión del chebyshev directo y de la constante del coeficiente, o a partir de la
ley recursiva en función de los dos polinomios de chebyshev de orden inmediatamente inferior.
cos ( π – x ) = – cos ( x )
y finalmente,
s 0, 2 = – 0 ,7133 ± j1 ,4890
s 1 = – 1 ,4266
Los polos del chebishev inverso son los inversos,
s' 0, 2 = – 0,2617 ± j0,5462
s' 1 = – 0,7010
y el denominador del chebishev inverso será
3
D(s) = K ∏ ( s – s' i ) =
i=1
2
2
= K ( ( s + 0,2617 ) + 0,5462 ) ( s + 0,7010 ) =
= K ( s 3 + 1 ,2244s 2 + 0,7337s + 0,2571 )
El numerador tendrá el cero de transmisión finito, que como hemos visto estará situado (normalizado respecto al borde de la banda de rechazo) en
ω zLPP
2- = -----ω zCI = ---------ωs
3
es decir que,
2
N(s) = s + 4 ⁄ 3
La función de transferencia será, obviamente
N(s)
D(s) = ---------D(s)
La constante multiplicativa (el coeficiente de la potencia de mayor orden) del denominador la
podemos obtener de
4⁄3
H(0) = 1 = -------------------⇒K
K = 5 ,186
K0,2571
de donde,
D(s) = 5 ,186s 3 + 6 ,3497s 2 + 3 ,805s + 4 ⁄ 3
Ahora normalizamos las funciones respecto al borde de la banda pasante, que es como suelen
emplearse los paso de baja prototipo
H LPP(s') = H CI(s)
s'
s = ----ωs
usando ω s =
3 = 1, 7321 , y cambiando ya la notación de la variable de frecuencia compleja,
2
s +4
H LPP(s) = ------------------------------------------------------------------------------------3
2 ,9941s + 6 ,3497s 2 + 6 ,5905s + 4
2. De aquí se deduce que sólo es necesario calcular la mitad (uno más o menos, según sea de orden par o
impar) de los polos, ya que aparecen siempre por pares complejos conjugados.
Por último, sólo nos queda aplicar la transformación en frecuencia pertinente:
2
2
p + w0
s = -----------------pB
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS
3er Curso Ingeniería de Telecomunicación - Curso 2005/2006
Convocatoria de Junio
1.– En
la figura puede verse una red LBT que se usará en una topología ENF.
Sabiendo que la función de transferencia Tcb es
N cb ( s )
Y2 Y3 + Y4 ( Y1 + Y2 + Y3 )
T cb ( s ) = ---------------- = --------------------------------------------------------------------------------------------D1 ( s )
( Y1 + Y2 + Y3 ) ( Y4 + Y5 ) + Y3 ( Y1 + Y2 )
y que la condición para minimizar la sensibilidad de una topología ENF es
(1)
a0=a2ω12.
Demostrar que la única posibilidad es que Y5 sea 0.
Solución:
La función de transferencia de la red LBT debe tener la forma
2
N cb
a2 s + a1 s + a0
T cb ( s ) = -------------- = -----------------------------------------2
2
D1 ( s )
s + sω 1 ⁄ q p + ω 1
(2)
comparando las ecuaciones (1) y (2) puede verse que tanto en el numerador como en el
denominador deben ser polinomios de segundo orden con todos los términos distintos de cero.
Por lo tanto, tanto en el numerador como en el denominador deben existir términos que
correspondan a dos condensadores, que darán lugar a los términos en s2; dos resistencias, que
darán lugar a los términos independientes); y términos mixtos resistencia·condensador, que
darán lugar a los términos en s.
En el numerador aparecen cuatro admitancias, si nos fijamos primero en Y 4 caben dos
posibilidades: que sea una resistencia o un condensador.
Analizemos ambos casos:
1.
Supongamos que Y4 es una resistencia: Y 4 = G 4 . Para que aparezcan términos en s
2
es necesario que Y 2 = sC 2 y Y 3 = sC 3 y para que aparezca un término
independiente es imprescindible que Y 1 = G 1 . En este caso el numerador quedaría
como:
2
N cb ( s ) = Y 2 Y 3 + Y 4 ( Y 1 + Y 2 + Y 3 ) = s C 2 C 3 + G 4 ( G 1 + sC 2 + sC 3 ) =
2
= s C 2 C 3 + sG 4 ( C 2 + C 3 ) + G 4 G 1
(3)
Con esta selección el denominador quedará como:
D1 ( s ) = ( Y1 + Y2 + Y3 ) ( Y4 + Y5 ) + Y3 ( Y1 + Y2 ) =
= ( G 1 + sC 2 + sC 3 ) ( G 4 + Y 5 ) + sC 3 ( G 1 + sC 2 )
2
s C 2 C 3 + G 4 ( G 1 + sC 2 + sC 3 ) + G 1 sC 3 + ( G 1 + sC 2 + sC 3 )Y 5 =
(4)
2
s C2 C3 + s ( G4 C2 + G4 C3 + G1 C3 ) + G4 G1 + Y5 ( G1 + s ( C2 + C3 ) ) =
Ahora caben dos posibilidades para Y5, que sea una resistencia o que sea un condensador.
1.a.- Que Y5 sea una resistencia Y 5 = G 5 . En este caso el término independiente del
denominador será G 1 G 4 + G 1 G 5 . Comparando los términos de D1(s) con Ncb(s)
vemos que:
a2 = 1
a
G4 G1
-----0- = --------------------------------2
G
G
+
G
G
1
4
1
5
ω1
(5)
y para que ambos términos sean iguales es necesario que G 5 = 0 .
1.b.-
Si Y5 es un condensador Y 5 = sC 5 entonces el término en s2 en el denominador
será C 2 C 3 + C 5 ( C 2 + C 3 ) , mientras que para el término independiente tendremos G 1 G 4 . Por lo tanto en este caso
C2 C3
a 2 = -------------------------------------------------C2 C3 + C5 ( C2 + C3 )
a
G4 G1
-----0- = ------------= 1
2
G4 G1
ω1
que para que sean iguales es necesario que C 5 = 0 .
(6)
2.
La otra posibilidad es que Y4 sea un condensador: Y 4 = sC 4 . En este caso, para que
exista término independiente distinto de cero es obligatorio que Y2 e Y3 sean
resistencias. Y 2 = G 2 y Y 3 = G 3 y para que exista el término cuadrático
Y 1 = sC 1 . Por lo tanto el numerador será:
N cb ( s ) = Y 2 Y 3 + Y 4 ( Y 1 + Y 2 + Y 3 ) = G 2 G 3 + sC 4 ( sC 1 + G 2 + G 3 ) =
2
= s C 1 C 4 + sC 4 ( G 2 + G 3 ) + G 2 G 3
(7)
y el denominador
D1 ( s ) = ( Y1 + Y2 + Y3 ) ( Y4 + Y5 ) + Y3 ( Y1 + Y2 ) =
= ( sC 1 + G 2 + G 3 ) ( sC 4 + Y 5 ) + G 3 ( sC 1 + G 2 ) =
2
s C 1 C 4 + G 4 ( sC 1 + G 2 + G 3 ) + G 1 sC 3 + ( G 1 + sC 2 + sC 3 )Y 5 =
(8)
2
s C 1 C 4 + s ( C 4 G 2 + C 4 G 3 + C 1 G 3 ) + G 3 G 2 + Y 5 ( sC 1 + G 2 + G 3 ) =
Ahora nuevamente caben dos posibilidades para Y5.
2.a.- Que Y5 sea una resistencia Y 5 = G 5 . En este caso el término independiente en
el denominador será G 3 G 2 + G 5 ( G 2 + G 3 ) y el término en s2 C 1 C 4 . Comparando los términos de D1(s) con Ncb(s) vemos que:
a2 = 1
a
G2 G3
-----0- = --------------------------------------------------2
G3 G2 + G5 ( G2 + G3 )
ω1
(9)
que para que sean iguales es necesario que G 5 = 0
2.b.-
La otra posibilidad es que Y5 sea un condensador Y 5 = sC 5 . En este caso el término cuadrático en el denominador será C 1 C 4 + C 1 C 5 y el término independiente G 3 G 2 . Comparando con el numerador se tendrá
C1 C4
a 2 = --------------------------------C1 C4 + C1 C5
a
-----0- = 1
2
ω1
y para que sean ambos coeficientes iguales es necesario que C 5 = 0 .
Por lo tanto en todos los casos debe cumplirse que la admitancia Y5 sea nula.
(10)
2.– Hacer
una comparativa razonada de los distintos biquad multiamplificador.
Solución:
Existen muchas topologías de biquads que utilizan más de un amplificador. Pero la mayoría
pueden englobarse en dos grupos: 1) Los que se basan en la emulación de elementos y 2) Los
que utilizan simulación funcional.
1. Los de este primer grupo se basan en partir de un circuito RLC pasivo y sustituir los
inductores (los elementos menos convenientes para implementaciones prácticas) por
circuitos activos que emulan su funcionamiento. En este caso lo habitual es usar el
convertidor genérico de inmitancias de Antoniou que se muestra en la Fig. 1.
Fig.4.33 Schauman
Figura 1: Convertidor genérico de inmitancias de Antoniou
En este circuito la admitancia equivalente vista desde la puerta 1 es:
I1 ( s )
Y1 Y3 Y5
Y in = ------------- = -----------------V1 ( s )
Y2 Y4
(11)
1
Como la admitancia de un inductor es Y L = ------ para que el circuito de la Fig. 1 simule
sL
el comportamiento de un inductor caben dos posibilidades:
1) que Y 2 = sC 2 y todos los demás resistencias Y 1 = G 1 , Y 3 = G 3 , Y 5 = G 5 e
Y4 = G4 , ó
2) que Y 4 = sC 4 y todos los demás resistencias Y 1 = G 1 , Y 3 = G 3 , Y 5 = G 5 e
Y 2 = G 2 . Si tomamos como referencia el primer caso, la autoinducción equivalente es
C2 G4
L = --------------------G1 G3 G5
(12)
Las ventajas de esta aproximación son:
La síntesis es sencilla puesto que deriva de un circuito pasivo que ya ha sido
a.-
b.-
c.-
d.-
dimensionado y únicamente hay que dimensionar los elementos del convertidor
genérico de inmitancias.
Como viene de un circuito pasivo que si ha sido diseñado correctamente posee
una sensibilidad óptima, el circuito activo heredará parte de esa robustez aunque
es necesario tener en cuenta un análisis de sensibilidad para dimensionar los
elementos del GIC.
Existen muchos grados de libertad para emular el inductor. Con ellos se puede
llegar a compensar efectos de segundo orden como son: mejorar la sensibilidad
de la ωo y de la Q, con respecto a la ganancia finita del amplificador operacional
y a su producto ganancia-ancho de banda finito. También se pueden usar para
conseguir valores muy variados de la L tanto muy grandes como muy pequeños
sin necesidad de usar valores muy diferentes en los elementos pasivos.
Se pueden aprovechar los nudos de baja impedancia de las salidas de los
amplificadores operaciones para poner en cascada varios biquads para construir
filtros de alto orden. Esta propiedad es común a casi todos los biquads basados
en amplificadores operacionales de tensiones.
Algunos de los inconvenientes son:
a.Con esta técnica sólo se pueden emular inductores a tierra y por lo tanto sólo
están permitidos filtros paso de baja o paso de banda.
b.Podrían emularse inductores en ramas serie pero usando alguna transformación
como la de Gorski-Popiel la cual necesitará muchos amplificadores para emular
un sólo inductor.
2.
Los que utilizan simulación funcional. En este caso lo que se pretende es construir un
circuito que tenga la misma función de transferencia que la deseada aunque no se
basa en ninguna síntesis pasiva previa. El ejemplo que hemos considerado en clase es
el que se basa en la obtención de la función de transferencia paso de alta
Vo
H0
H ( s ) = ------ = --------------------------------ωo
Vi
2
2
s + s ------ + ω o
Q
(13)
la cual puede obtenerse mediante un diagrama de bloque como el de la Fig. 2
Natarajan, Fig.6.21
Figura 2: Biquads basado en integradores
Para construir este biquad es necesario el empleo de amplificadores/sumadores e integradores con peso negativo.
El caso más directo es la aproximación KHN que da como resultado el circuito de la
Fig. 3.
Las ventajas de este biquads son:
a.Diseño muy sencillo.
Se obtienen simultáneamente las tres funciones de transferencia básicas. Paso de
baja, paso de banda y paso de alta.
c.Las tres salidas se pueden combinar posteriormente con un bloque sumador
generalizado para conseguir cualquier función de transferencia de segundo
orden, por lo tanto es completamente general.
Los inconvenientes principales son:
a.Se necesitan tres amplificadores para implementar las funciones de transferencia
básicas y uno más para conseguir la función de transferencia completa, en total
cuatro amplificadores.
b.El amplificador del sumador tiene un modo común a la entrada que cambia con
la señal, esto hace que el amplificador deba ser diseñado con más cuidado y que
sea más costoso que uno en el que el modo común no cambia con la señal.
c.Los errores de fase de los distintos amplificadores debidos al GB finito de los
amplificadores operacionales van todos en el mismo sentido por lo que se
acumulan y provocan errores de fase en el lazo completo muy importantes,
pudiendo llegar incluso a provocar inestabilidad. Aunque no causen
inestabilidad provocan unas variaciones de los parámetros nominales (wo y Q)
que pueden ser muy fuertes. Para que estas variaciones no sean importantes es
necesario diseñar los amplificadores con un GB muy grande comparado con las
frecuencias de interés, lo que implica el uso de amplificadores muy costosos en
términos de potencia y en el caso de circuitos integrados de área y por lo tanto
de coste.
b.-
Natarajan, FIg. 6.22
Figura 3: El biquad KHN.
Una variación del biquad KHN es el de Tow-Thomas que se muestra en la Fig. 4.
En este caso, el primer integrador y el sumador se han fundido en un sólo bloque integrador-sumador, pero como el amplificador-sumador hacía una inversión, esta debe ser
compensada con otra inversión en el lazo, la cual se consigue mediante la inclusión de
un amplificador inversor con ganancia -1 ubicado después del segundo integrador. De
esta forma la función de transferencia permanece inalterada.
Las ventajas de este biquads son las mismas que las del biquads KHN pero además
a.Todos los amplificadores operacionales tienen su modo común fijo, por lo que
se pueden utilizar amplificadores más económicos.
Los inconvenientes principales son:
a.Se tienen sólo la versión paso de banda y la paso de baja pero no la paso de alta.
b.Serán necesarios técnicas un poco más complejas para conseguir implementar
funciones de transferencia arbitrarias y puede que no se puedan conseguir todas
las posibles.
c.Sigue teniendo el problema de la acumulación de los errores de fase en la misma
forma que el biquad KHN
Figura 4: Biquad Tow-Thomas
Otra variante es el biquad de Ackerberg-Mossberg que se ilustra en la Fig. 5.
QR
A3
R/k
a
A1
r
C
C
Vi
r
R
R
Vo1
b
A2
Vo2
Figura 5: Biquad Ackerberg-Mossberg.
En este caso el segundo integrador y el inversor que está a continuación en el biquad
de Tow-Thomas se ha sustituido por un integrador no inversor.
Las ventajas son las mismas que las del biquad de Tow-Thomas pero resuelve, en
parte, el problema de la acumulación d errores de fase, ya que el error de fase introducido por el segundo integrador es de la misma magnitud y de signo contrario al introducido por el primero. Por lo tanto en este caso se pueden utilizar amplificadores con
GB significativamente menores que en los casos anteriores para conseguir los mismos
errores.
3.
Un último caso que se puede considerar como biquads multiamplicador son los
basados en OTAs. Aunque esto no es necesario para el examen. Dos ejemplos de
estos biquads se muestran en la Fig. 6.
Las ventajas principales son:
a.Son especialmente adecuados para filtros integrados, ya que sólo utilizan OTAs
y condensadores a tierra. Estos elementos están normalmente disponibles en
tecnologías CMOS standard lo que los hace más baratos para produccióm
masiva.
Figura 6: Biquads con OTAs.
b.-
c.-
d.e.-
Como la transconductancia de los OTA puede controlarse mediante alguna señal
eléctrica, como una tensión o una intensidad, se pueden ajustar fácilmente
después de fabricarlos.
Son especialmente adecuados para trabajar a altas velocidades, puesto que no se
basan en amplificadores de compensación interna como en el caso de los
amplificadores operacionales de tensiones.
No requieren proporcionar bajas impedancias de salida lo qeu simplifica el
diseño y ahorra potencia.
Son más eficientes en cuanto al consumo de potencia, porque su funcionamiento
es parecido al de los elementos activos fundamentales, los transistores.
Los inconvenientes son:
Son menos lineales, al intentar hacerlos lineales el diseño se complica y puede
llegar a no compensar. Por lo tanto son especialmente adecuados para
aplicaciones en las que no se requieran distorsiones muy bajas.
b.Se requieren muchos elementos activos para un filtro relativamente
simple.diferentes
c.No es fácil conseguir alta precisión en las relaciones de pesos que se basan en
relaciones de transconductancias.
a.-