TALLER DE ARTE Y GEOMETRA III: LNEAS (1D), POLGONOS Y

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ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA EL TALLER DE
ARTE Y GEOMETRÍA III: LÍNEAS (1D), POLÍGONOS Y
OTRAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS (2D)1.
Badillo, Edelmira y Edo, Mequè.
1.
2.
3.
4.
5.
Presentación
Planteamiento teórico
Objetivos generales del taller
Contenidos matemáticos desarrollados
Desarrollo de actividades
5.1.Material para maestros (as)
5.2.Material para alumnos (as)
6. Bibliografía
7. Listado de anexos
1. Presentación:
Desde hace unos años estamos introduciendo una manera innovadora de ver la
geometría en la escuela aprovechando la riqueza y la complejidad que nos proporciona
el arte (Badillo y Edo, 2004 a, b). A continuación les presentamos un entorno de
aprendizaje y enseñanza para los conceptos de líneas, tipos de líneas y polígonos en el
ciclo superior de primaria a partir del estudio de una selección de cuadros y esculturas
de los autores Paul Klee, Wassily Kandinsky y Alexander Calder, que nos ha permitido
trabajar con igualdad de importancia los aspectos artísticos y los matemáticos asociados
a estas obras de arte.
Como ya resaltamos en el taller de arte y geometría I: ángulos (Badillo y Edo, 2004 a,
b) y en el taller de arte y geometría II: Triángulos (Badillo y Edo, 2006, 2007 a, b),
nuestra propuesta tiene su origen en la línea de trabajo desarrollada en los últimos años
por Edo y otros, centradas en el diseño y aplicación de situaciones didácticas en las que
se relacionan arte y matemática en Educación Infantil y el Ciclo Inicial de primaria
(Edo, 1999, 2000, 2003).
Proponemos una metodología en la que conjuntamente maestros y alumnos se
involucran en un proceso de reflexión sobre la funcionalidad de los conceptos
geométricos para interpretar y crear “producciones artísticas”. Resaltamos al mismo
tiempo emociones, sentimientos y valores en el estudio y creación de una composición
artística, sin dejar de lado el desarrollo de competencias matemáticas como: (1) el papel
de la definición y la demostración matemática, (2) la importancia del uso del lenguaje
matemático en el aula, (3) el uso de diferentes representaciones de los conceptos
matemáticos, etc. Todo esto desde una visión constructivista de la enseñanza y el
aprendizaje de la matemática, en la que maestros y alumnos construyen conceptos
matemáticos, alternando procedimientos intuitivos, geométricos y algebraicos, que
1
Estos orientaciones didácticas que a continuación reproducimos están relacionados con las experiencias «Taller de
Arte y Geometría en el ciclo superior de Primaria: Ángulos» y «Taller de Arte y Geometría en el ciclo superior de
Primaria: Triángulos (1ª y 2ª part3)» de esta obra.
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contribuyen a desarrollar un pensamiento geométrico en alumnos de primaria, con el
propósito de justificar, interpretar y explorar elementos artísticos y espaciales de su
entorno inmediato (Badillo y Edo, 2004 a, b; Torres y Juanola, 1998 a, b).
Desde este referente en el que se sugiere el diseño de actividades didácticas que integren
la geometría y el arte en educación infantil y primeros cursos iniciales de primaria,
hemos propuesto el desarrollo de una unidad didáctica en la que se da un tratamiento
integrado y coordinado entre la geometría y el arte, como un espacio de reflexión que
nos permite trasladar al aula de geometría una visión dual de la matemática. Es decir
que ayude a los niños a integrar y trasladar la visión que tienen de los conocimientos
matemáticos como un sistema formal abstracto de auto contenido hacia entenderlos
como un instrumento que permite la resolución de problemas prácticos en contextos
reales (Onrubia y otros, 1999).
Todo lo anterior implica la adopción de diferentes estrategias de enseñanza y de
diferentes tipos de evaluación, en la que la responsabilidad del proceso de regulación de
la construcción del conocimiento sea compartida entre alumnos y maestros. Por tanto,
se tendrá en consideración: la auto-evaluación, la hetero-evaluación y la co-evaluación
como parte integral de la formación de los alumnos (Badillo, 2003a).
La propuesta didáctica que queremos compartir con ustedes se implementó en el aula
durante el curso académico 2007-08 en las clases de 5º y 6º de primaria de la Escuela
Salesiana Mare de Déu de la Mercè de Badalona de dos líneas. El taller de Arte y
Geometría que se desarrolló durante el primer y segundo trimestre del curso 2007/08
dedicando una hora de clase semanal forma parte del proyecto sobre “Geometría y
medida” que estamos liderando en nuestra escuela en el marco de una de las asignaturas
complementarias que ofrecemos. Aprovechamos este espacio para agradecer a los
alumnos que formaron parte de esta experiencia por su actitud y compromiso a lo largo
del taller y a todas las tutoras y las profesoras de plástica de la escuela que colaboraron
durante todo el desarrollo del taller haciendo un seguimiento de las producciones
artísticas de los alumnos desde la asignatura de plástica.
Creemos conveniente resaltar que la escuela tiene una gran diversidad multicultural y
étnica en el alumnado. Aproximadamente, el 10% del alumnado son inmigrantes
(mayoría chinos, magrebís, Europa del este y sudamericanos), con una gran movilidad y
deserción escolar. El nivel socio-económico de las familias de la escuela es muy bajo y
una gran parte de ellas son familias desestructuradas. Igualmente, nos encontramos en
las diferentes aulas con casos de niños con necesidades educativas especiales (ACI). Por
tanto, hemos de resaltar la diversidad social y cultural como una riqueza añadida al
contexto de la experiencia, sin dejar de lado la complejidad en la gestión del aula que
esta pluralidad implica y, la validez y viabilidad que dan los resultados de esta
innovación para reproducirlos en las diferentes aulas de nuestro entorno (Badillo y Edo,
2006).
2. Planteamiento teórico:
Los planteamientos teóricos que sustenten este taller se basan en una visión
constructivista del aprendizaje y la enseñanza en el que la actividad matemática que se
genera en el aula tiene en cuenta diferentes criterios que han sido señalados de forma
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recurrente por la investigación psicoeducativa reciente en el ámbito de la educación
matemática (Onrubia et al., 2001; Badillo y Edo, 2004a), tales como:
• Contextualizar el aprendizaje de las matemáticas en actividades auténticas y
significativas para los alumnos.
• Activar y utilizar, como punto de partida, el conocimiento matemático previo,
formal e informal, de los alumnos.
• Orientar el aprendizaje de los alumnos hacia la comprensión y la resolución de
problemas, teniendo en cuenta variedad de sistemas de representación y
traducción entre sistemas de representación: gráficos, tablas, ecuaciones,
descripciones verbales, etc.
• Vincular el lenguaje formal matemático con su significado referencial o su uso
en la cotidianidad.
• Avanzar de manera progresiva hacia niveles más altos de abstracción y
generalización: construcción del conocimiento mediante un proceso de
abstracciones reflexivas que empiecen en acciones; éstas se interioricen en
procesos; finalmente estos procesos se encapsulan en objetos (Teoría APOE,
Dubinsky et al., 1997; Badillo, 2003b)
• Promover sistemáticamente la enseñanza en la interacción y la cooperación entre
alumnos. Por tanto, resaltamos la importancia del trabajo cooperativo.
• Ofrecer a los alumnos las oportunidades suficientes de “hablar de matemáticas”
en el aula.
• Atender los aspectos afectivos y motivacionales implicados en el aprendizaje y
dominio de las matemáticas. (Onrubia et al., 2001; pp. 498)
Las actividades y contenidos que desarrollaremos a continuación fueron diseñadas a
partir de los aspectos anteriormente enunciados: (1) la naturaleza dual de la matemática
(relación del pensamiento intuitivo geométrico y el pensamiento formal matemático),
(2) el uso de representaciones, (3) la importancia de la definición matemática y la
demostración matemática y del uso del lenguaje matemático y, (4) la autorregulación de
los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Igualmente, en relación con el proceso de descripción y análisis de una producción
plástica, realizada por los mismos alumnos o por algún artista reconocido, es bueno
hacerla siguiendo alguna pauta establecida (Edo y Gómez, 2006). Roser Gómez,
especialista en educación visual y plástica, recomienda realizar este análisis en tres fases
(figura A.).
ƒ
ƒ
ƒ
La fase inicial se centra en una Descripción objetiva de los elementos que se
reconocen en la obra (líneas, puntos, manchas, figuras, volúmenes, superficies,
texturas, colores, etc.). Elementos que forman parte del alfabeto visual y plástico y
que al mismo tiempo, muchos de ellos, son conceptos básicos del currículum
matemático de primaria.
La segunda fase consiste en una Evocación creativa centrada en la mirada subjetiva
de cada espectador: ¿Qué podría ser?, ¿qué me sugiere?, ¿qué me recuerda?, ¿qué
me provoca?, etc.
La tercera fase consiste en un Intento de síntesis centrado en la pregunta: ¿Qué título
le pondrías? Obviamente se hace antes de haber comunicado cual es el título que le
puso el autor.
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Al seguir esta pauta observamos que la primera fase, la más objetiva y más conectada
con la matemática, dota al alumno de una serie de “herramientas” derivadas del análisis
de la forma que permiten que la segunda fase, la más subjetiva y creativa, llegue a ser
más interesante, rica en matices y diversa dentro de una misma aula. Siguiendo esta
pauta conseguimos entonces que la primera mirada, geométrica y objetiva, se conecte y
convierta en elemento necesario para aumentar la capacidad de interpretar y crear
composiciones artísticas, vinculándose al mismo tiempo el desarrollo de sentimientos y
emociones estéticas. En la tercera fase, cuando se imaginan un posible título, aparecen a
menudo elementos claves de la descripción objetiva o de la evocación creativa, por
tanto entendemos esta parte de la actividad como un intento de síntesis de las
conversaciones anteriores. Veremos, más adelante, algunos ejemplos de algunas de
estas fases.
Análisis de un cuadro con alumnos de primaria
Descripción objetiva de los elementos
que se reconocen en la obra (líneas,
puntos, manchas, figuras, volúmenes,
superficies, texturas, colores, etc.)
¿Qué ves?
¿Qué hay?
¿Qué elementos reconoces?
¿Qué podría ser?
¿Qué me sugiere?
¿Qué me recuerda?
¿Qué me provoca?
Evocación creativa
centrada en la propia mirada
subjetiva
¿Qué título le pondrías?
Intento de síntesis
PERCEPCIÓN
LENGUAJE
Figura A.
3. Objetivos generales del taller:
Al igual que en el Taller de arte y geometría I: ángulos (Badillo y Edo, 2004 a, b) y en
el Taller de Geometría II: triángulos 1ª y 2ª parte (Badillo y Edo, 2006, 2007 a, b), los
objetivos generales que nos planteamos al diseñar e implementar el taller de geometría
sobre el concepto de triángulo fueron los siguientes:
1. Utilizar obras de arte conocidas para la introducción, construcción y evaluación de
conceptos geométricos (conceptual).
2. Interpretar obras de arte conocidas a partir de la aplicación de los conceptos
geométricos desarrollados (conceptual/procedimental).
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3. Crear y justificar producciones artísticas como resultado de la aplicación de los
conceptos geométricos desarrollados (procedimental/conceptual).
4. Conocer y valorar los elementos conceptuales, históricos y biográficos de los
autores de las obras seleccionadas (actitudinal).
4. Contenidos matemáticos:
En el presente taller hemos propuesto la siguiente secuencia de contenidos para que los
alumnos lleguen a construir un esquema rico y variado de los conceptos líneas, tipos de
líneas y de polígonos:
Quinto / Sexto
1. Introducción de las líneas y los polígonos a partir de las obras de dos autores: Wassily
Kandinsky (Cuadros) y Alexander Calder (Esculturas: móviles).
2. Clasificación de líneas: curvas, poligonales, abiertas, cerradas, paralelas,
perpendiculares y secantes.
3. Perímetro de una línea poligonal cerrada (1 D).
4. Diferencia entre línea poligonal y polígono.
5. Definición de polígonos y elementos de un polígono.
6. Clasificación de polígonos según el número de lados y los tipos de ángulos.
¾ Triángulo. Clasificación según la longitud de los lados y los tipos de ángulos:
equilátero, escalé, isósceles, acutángulo, obtusángulo y rectángulo.
¾ Cuadriláteros. Clasificación según el criterio de paralelismo de los lados.
¾ Otros.
7. Diferencia entre círculo y circunferencia. Elementos.
8. Perímetro de figuras planas. Cálculo de perímetros.
9. Unidades de medida de áreas. Conversión de unidades.
10. Área y superficie de figuras geométricas planas. Cálculo de área directa e indirecta.
5. Desarrollo de actividades:
5.1 Material para maestros (as).
• Hoja para el diseño de la portada del dossier.
Con el propósito de favorecer la creatividad de los alumnos se les proporciona una
imagen de las pinturas de Wassily Kandinsky: “Amarillo, rojo y azul” y “Composición
VIII”, para 5º y 6º, respectivamente. Dándoles libertad para que construyan a partir de la
imagen de la pintura la portada del dossier. Se hace énfasis que tomen como referencia
el convenio establecido para describir una obra de arte famosa: Apellido y nombre del
autor, año de creación, título de la obra, dimensiones, técnica utilizada, y lugar de
exposición.
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• Actividad 1. Familiarización e introducción al tema.
a) Objetivos:
Se presentaran dos tipos de actividades de familiarización. Un primer grupo (1.1) de
actividades buscan, por un lado, que los alumnos construyan las relaciones entre arte y
geometría y, por otro lado, obtener las ideas previas de los alumnos en relación con los
conceptos de línea y tipos de línea, polígonos y clasificación de polígonos, según sus
lados y según sus ángulos. Un segundo grupo de actividades se centran en el estudio de
los rasgos más significativos de la vida y obra de los pintores escogidos (1.2-1.3). Los
objetivos que nos planteamos con estas actividades son:
¾
Identificar las ideas previas que tienen los niños sobre líneas y tipos de líneas,
polígonos y clasificación de polígonos, según sus lados y según sus ángulos. a
partir de la pinturas de Wassily Kandinsky (1.1).
¾
Introducir a los niños en la interpretación de las obras de arte, emitiendo juicios
valorativos, expresando los sentimientos y emociones que les transmite el autor,
resaltando los elementos artísticos y las técnicas que se utilizan, a partir de la
contemplación de las formas geométricas esbozadas en el cuadro de Kandinsky
(1.1-1.2).
¾
Motivar a los niños hacia la investigación de los rasgos más importantes de la
vida y obra de este pintor, centrándonos en la relación con la Geometría (1.21.3).
¾
Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden en el
estudio de estos conceptos (1.3).
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Fotocopia de la portada del dossier (Anexo I: figura 1 a y b)
• Fotocopia de la actividad 1. Comentarios de la imagen de las figuras 1.
2. Maestra/o:
• Retroproyector
• Transparencia de la figura 1 a y b (Anexo I: Pinturas de Wassily
Kandinsky: “Amarillo, rojo y azul” y “Composición VIII”)
• Transparencias: interpretación personal de la obra (Anexo II),
descripción de la vida y obra del autor (Anexo III) y objetivos del taller
(Anexo IV)
• Fotocopia ampliada y plastificada del cuadro de Wassily Kandinsky.
• Papel (colocado en la pizarra) para escribir las ideas de los alumnos
• Rotuladores
c) Agrupamiento:
Trabajo en gran grupo, en pequeño grupo y exposición del profesor.
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d) Desarrollo de la actividad 1:
1.1. Comentamos la imagen de la figura 1 (a y b) del material del alumno.
Se presenta la figura 1 a o b, de la pintura de Wassily Kandinsky, para:
a. Formular hipótesis de estas líneas, respondiendo interrogantes del tipo:
¿Cuando ves esta imagen qué ideas te vienen a la cabeza? ¿Qué crees que
forman?, ¿De donde crees que las hemos sacado?, ¿Dónde las podrías encontrar?
¿Qué objetivo tiene la presentación de esta imagen?, ¿Para qué nos servirá en
clase de matemática?, etc.
b. Sacar conclusiones de la imagen presentada (intentando remarcar tanto
elementos constructivos del cuadro como, medida, relación, proporción, peso,
agrupamiento, dirección, movimiento, ritmo; como elementos expresivos,
armonía / contraste, equilibrio / inestabilidad, neutralidad / acento, unidad /
fragmentación)
c. Observar las ideas previas de los niños sobre líneas, tipos de líneas, paralelas y
perpendiculares; y sobre polígonos y tipos de polígonos. Por eso, se les entrega
una fotocopia de la figura 1 a o b, según el curso, y de la actividad 1, donde se les
plantean los siguientes interrogantes
[En una hoja se anotarán las aportaciones de los niños antes del desarrollo de las
actividades]
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d. Cuándo observas esta imagen ¿qué palabras relacionadas con la geometría te
imaginas? Es decir, ¿qué elementos geométricos identificas?
[Se pondrá énfasis en el uso del lenguaje formalizado de las matemáticas, mediante el
uso de palabras sinónimas que ayuden a la comprensión de los términos matemáticos]
e. ¿Qué tipos de líneas identificas?
f. ¿Qué diferencias encuentras entre ellas? ¿Cómo las clasificarías?
g. ¿Podéis explicarlo con vuestras palabras o definir la diferencia entre línea
poligonal cerrada y polígono?
h. ¿Puedes identificar polígonos en el cuadro? ¿Qué tipos de polígonos identificas?
i. ¿Qué partes crees que tiene un polígono? ¿Qué otras cosas ves en el cuadro?
[Se trata de enfatizar la importancia del rigor matemático, de la demostración
matemática, tanto gráfica como algebraica]
j. ¿Conoces el transportador? ¿Para qué sirve esta herramienta o instrumento
geométrico? ¿Sabes utilizarlo?
k. Ahora intentaremos juntos describir este objeto, el transportador, ¿qué
observamos que tiene? ¿Si lo comparamos con una regla, qué significado pueden
tener estas líneas? ¿En qué unidades se miden los ángulos de un polígono? ¿Y los
lados de un polígono?
[Se presenta, nuevamente, la pintura completa de Wassily Kandinsky, para buscar la
interpretación personal de los alumnos (Anexo II)]
l. ¿Qué significado tiene esta imagen?
m. ¿Qué podría ser?
n. Coloquémonos en el lugar del pintor. ¿Qué idea o sentimientos creéis que quiere
transmitir con esta obra?
o. ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posición y
colocación de las líneas, la secuencia de las líneas, del fondo, ¿cuántos planos
vemos? ¿Cuál creemos que es el principal y por qué? etc.
p. ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías?
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1.2. Descripción por parte de la maestra de la obra haciendo referencia a (Anexo
III):
Posteriormente, después de la puesta en común en gran grupo, y de las respuestas
individuales que los alumnos han dado a las anteriores preguntas, nos centramos por un
lado, en el estudio de los rasgos más significativos de la vida y obra de los pintores
escogidos, y por otro lado, intentamos hacer emerger las sensaciones que les provoca
este cuadro.
Para motivar la investigación de la obra de Wassily Kandinsky y la de otros pintores
que permiten el estudio de estos conceptos geométricos, expusimos de manera dinámica
los rasgos más importantes de este pintor, presentando su fotografía, su firma y
pactamos con los alumnos que en próximas sesiones ellos mismos presentaran otras
pinturas de su obra y de otros autores que nos ayudaran en el estudio de estos conceptos
geométricos.
Título: Amarillo, rojo, azul (1925)
Autor: Kandinsky Wassily.
Técnica: Óleo sobre lienzo.
Medidas: 128 x 201,5 cm
Lugar de ubicación: Musée National d’Art
Moderne, Centre Georges Pompidou, Paris.
Título: Composición VIII (1932)
Autor: Kandinsky Wassily.
Técnica: Óleo sobre lienzo.
Medidas: 140 x 201 cm.
Lugar de ubicación: Solomon R. Guggenheim
Museum, New York.
Igualmente, presentamos los objetivos del taller de geometría (Anexo IV): Las
matemáticas como herramienta para interpretar y para crear obras de arte.
1.3. Motivación para investigar de forma individual sobre:
a. Características más importantes de la vida y obra de este pintor, centrándonos
más en la relación con las matemáticas (Geometría).
b. Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a
estudiar este tema: líneas, tipos de líneas; polígonos y clasificación de
polígonos, etc.
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• Actividad 2. Definición, representación y construcción de líneas
poligonales cerradas y de polígonos.
Consideramos que para entender los conceptos geométricos (matemáticos) es esencial
que los alumnos sean capaces de razonar, es por ello que hemos diseñado una serie de
actividades partiendo del cuadro, que buscan que los alumnos encuentren sentido y
aplicación a las matemáticas, mediante el desarrollo de ideas, la exploración de
conceptos, la justificación de los resultados obtenidos y, la formulación y demostración
constante de conjeturas. Sin embargo, hemos de entender que el razonamiento y la
demostración no se pueden enseñar, sino que éstas tendrían que ser parte consciente y
esencial de la actividad matemática que se genera en el aula durante toda la escolaridad
(NTCM, 2000).
a) Objetivos:
Con esta actividad perseguimos el siguiente objetivo:
¾ Construir progresivamente los siguientes conceptos: líneas, clasificación de
líneas (abiertas y cerradas; poligonales y curvas), perímetro y el concepto de
polígono.
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Fotocopia de la actividad 2.
• Geoplanos isométricos y cuadriculares. Un Geoplano de cada tipo por
parejas de alumnos.
• Hilo de cobre de 0,6 mm. de diámetro.
• Trozos de papel de diferentes tipos (de celofán, de seda, de diferentes
colores, etc.)
• Pegamento y cinta adhesiva.
• Regla.
2. Maestros:
• Transparencia del esquema conceptual sobre líneas (Anexo V)
• Transparencia del esquema conceptual sobre polígonos (Anexo VI)
c) Agrupamiento:
Trabajo en parejas, individual y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 2:
En esta actividad se hace énfasis en la construcción del concepto de polígono a partir de
un trabajo previo de los conceptos de línea y tipos de líneas. La fuerza de la actividad
recae sobre un trabajo manipulativo de los alumnos que les ayude a ir construyendo
progresivamente el concepto de polígono a partir de la definición de línea poligonal
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cerrada. Es decir, que se hace énfasis en la necesidad de que desde un primer momento
los alumnos hagan conjeturas sobre las diferencias y las relaciones que existen entre
objetos unidimensionales (1D), como es el concepto de línea poligonal cerrada, y
objetos bidimensionales (2D), como es el concepto de polígono. Para ello, sugerimos la
utilización de recursos y procedimientos manipulativos, como el geoplano y los trozos
de alambre de cobre, que favorezcan la construcción colectiva y progresiva de los
conceptos geométricos. En este sentido, el tipo de situaciones que se le presentan en los
diferentes apartados buscan que los alumnos hagan conjeturas sobre los objetos
geométricos y a partir de un trabajo manipulativo puedan llegar a demostrar o modificar
sus conjeturas iniciales.
Finalmente, nos gustaría resaltar de esta actividad, la importancia que otorgamos a los
procedimientos de medida directa e indirecta. Por ello, nos gustaría llamar la atención
sobre la necesidad de que los alumnos comprendan los atributos mesurables de los
objetos, y las unidades, sistemas y procesos de medida. De allí que propongamos
situaciones en las que los alumnos tengan que aplicar técnicas e instrumentos
apropiados para obtener la medida de objetos unidimensionales, desde parámetros
estándar (uso de la regla) y no estándar (establecer una unidad de referencia, como por
ejemplo separación entre clavo y clavo del geoplano).
Actividad 3. Actividad plástica con Tangram.
a) Objetivos:
Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexión
sobre la importancia que tiene, en la construcción de una producción artística, que
relacione arte y geometría, la justificación de los siguientes aspectos:
1. El uso práctico de los contenidos geométricos en la construcción de una
producción artística.
2. Los procedimientos utilizados en la construcción de los objetos geométricos
(líneas, ángulos, polígonos, otras figuras planas, etc.) que conforman la
producción artística.
3. Las diferentes técnicas artísticas y materiales que utilizan en la construcción de
la producción artística.
4. Título de la producción artística, nombre de los autores, y la descripción de los
sentimientos que quiere transmitir con su producción artística.
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Fotocopia de la actividad 3.
• Tangram de 7 piezas. Un juego por parejas de alumnos.
• Tarjetas plastificadas de figuras de objetos construidas con el Tangram
(Anexo VII).
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• Fotocopia del Tangram de 7 piezas recortables en papel de dibujo. Uno
por cada alumno (Anexo VIII).
• Cartulina de color en DNA 3.
• Ceras, rotuladores, Plastidecor, colores, etc.
2. Maestra/o:
• Breve historia del Tangram de 7 piezas (Anexo IX).
c) Agrupamiento:
Trabajo en parejas, individual, en pequeño grupo y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 3:
Inicialmente, se les presenta el Tangram de 7 piezas y se les pregunta si conocen qué es
y si saben la historia de este juego (Anexo IX). Posteriormente, se lee una breve historia
de este juego chino y se les proporciona un Tangram de 7 piezas por pareja con la
consigna de que identifiquen las piezas y que las clasifiquen (en algunos casos se les da
la opción de que hagan un mapa conceptual de la clasificación de las figuras o piezas
del Tangram). Esta primera parte se desarrolla con gran facilidad y agilidad.
La segunda parte consiste en reproducir con el Tangram, en parejas, algunas figuras que
les proporcionamos en unas tarjetas plastificadas. Esta actividad que aparentemente
resulta fácil, es potente porque nos permite detectar las dificultades que presentan
algunos alumnos en la ubicación, distribución y representación espacial, que es una de
las competencias básicas que deben desarrollarse durante esta etapa de escolaridad.
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Esta dificultad aumenta cuando se les pide a los alumnos el paso de la bidimensión
manipulativa (construcción de una figura con el Tangram) a la bidimensión estática o
representación abstracta de la figura construida (dibujo en papel cuadriculado). A
continuación mostramos algunos ejemplos en los que se esboza lo anteriormente
descrito:
Finalmente, se organizan en grupos de tres alumnos y se le proporcionan un Tangram
recortable a cada alumno, una cartulina de color por grupo y material de plástica
(rotuladores, ceras, Plastidecor, etc.) y se les pide que libremente, se pongan de acuerdo
sobre una temática que sea el eje vertebrador de una composición artística con los tres
Tangram del grupo. Una las condiciones es que cada figura se tiene que formar usando
todas las piezas del Tangram. Igualmente, se hace énfasis en que la producción artística
tiene que ser argumentada y justificada.
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• Actividad 4. Unidades de longitud y perímetro de una
figura geométrica plana.
a) Objetivos:
Esta actividad está muy relacionada con la actividad 2, tiene como objetivo que los
estudiantes puedan analizar las características y propiedades de los objetos geométricos
de una dimensión (líneas curvas y líneas poligonales cerradas) y dos dimensiones
(polígonos y figuras planas en general) y desarrollar razonamientos matemáticos sobre
las relaciones geométricas.
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Fotocopia de la actividad 4.
• Geoplanos (isométrico y cuadricular). Un juego por parejas de alumnos.
• Metro, regla y cinta métrica de más de 3 metros.
• 5 trozos de alambre de cobre de 0, 6 mm. de diámetro.
• Escuadra y transportador de ángulos.
• Papel de diferentes tipos: cuadriculado, de seda, de celofán, etc.
c) Agrupamiento:
Trabajo en parejas y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 4:
Somos conscientes de la necesidad de que los alumnos vayan construyendo
conocimiento informal y formal sobre líneas, diferentes tipos de líneas y una variedad
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de figuras bidimensionales mediante actividades de dibujarlos y visualizarlos y con
nociones intuitivas sobre los objetos geométricos unidimensionales y bidimensionales
adquiridas a través de los años de interacción con objetos de su cotidianidad. Desde
esta visión, las situaciones que hemos diseñado para esta actividad 4, buscan que los
alumnos investiguen relaciones manipulando el geoplano y dibujando, midiendo,
visualizando, comparando, transformando y clasificando los diferentes objetos
geométricos unidimensionales y bidimensionales, siempre argumentando y justificando
cada una de las afirmaciones y conclusiones a las que lleguen (NTCM, 2000).
En este sentido, es como planteamos una serie de situaciones que buscan relacionar
intra-matemáticamente conceptos que muchas veces, por restricciones del currículo, les
presentamos a los alumnos de forma inconexa, creando diferentes compartimentaciones
de los contenidos matemáticos. Por tanto, en esta actividad queremos resaltar la
necesidad de mostrar a los estudiantes que los contenidos de medida y geometría están
fuertemente relacionados y su estudio y conocimiento puede proporcionarles
herramientas para la resolución de problemas de la cotidianidad. Por tanto, como
maestros no podemos olvidar que los conceptos y las destrezas sobre la medida pueden
desarrollarse y utilizarse a lo largo de todo el curso escolar y en diferentes unidades de
las diferentes asignaturas del currículo o disciplinas científicas, y no deben ser tratados
como una unidad de estudio separada o aislada.
Lo anterior descrito, justifica el hecho de que las situaciones 3 y 6, pretenden llevar a
los estudiantes a la medida de objetos relacionados con el contexto que les envuelve.
Son situaciones abiertas que intentan promover la aplicación justificada de técnicas e
instrumentos apropiados para su medida, atendiendo a los atributos de cada uno de los
objetos (entender que para obtener las dimensiones de una pista básquet (2D)
necesariamente se requiere la medida de dos dimensiones unidimensionales: ancho y
largo. Mientras que la medida de una de las dimensiones o bien el largo o el ancho es
independiente o no requiere la medida de la otra dimensión). Es decir, los polígonos y
las figuras geométricas planas (2D) contienen implícitamente la unidimensión (1D),
ancho y largo. El caso contrario no es condicional (la 1 D no contiene la 2D). En último
lo que nos proponemos es que los estudiantes sean capaces de componer y descomponer
figuras geométricas planas de dos dimensiones con el fin de calcular áreas y perímetros.
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Otro aspecto a resaltar es que las situaciones buscan que los alumnos sean críticos
cuando miden un objeto. Es decir que el resultado que obtienen de la medida debería
tener sentido. Es por ello que dedicamos una atención especial a las estimaciones y a los
sistemas de referencias que se convierten en herramientas y recursos para que los
alumnos puedan reconocer en la vida real cuando es razonable una medida. Con este
propósito aconsejamos que las situaciones que se planteen a los estudiantes para estimar
medidas e instrumentos de medidas sean escogidas de tal manera que los estudiantes
puedan utilizar su conocimiento del tamaño de objetos y cosas conocidas que puedan
servirles de referencia, tales como las que proponemos: la longitud del lápiz, de su
altura, de la altura de la puerta, etc. Igualmente, a partir de estos patrones de referencias
deberían ser capaces de utilizarlos para estimar medidas grandes, como la longitud de
20 pistas de básquet, etc.
Finalmente queremos comentar algunas reflexiones que podrían tenerse en cuenta a la
hora de resolver la situación 10. Algunas de las posibles respuestas de los alumnos
podrían ser:
12 cm
Creemos conveniente resaltar que las respuestas de los alumnos que pueden generar
riqueza para la construcción y relación de los conceptos de perímetro (1 D) y de
superficie (2), son:
a) Con relación al perímetro de una figura geométrica.
o Sin necesidad de medir, los alumnos podrían llegar a la conclusión de que la
longitud constante de los trozos de alambre de cobre de 12 cm., es el valor del
perímetro de todas las figuras geométricas. Es decir, este grupo de alumnos
tienen claro que el perímetro es una longitud (1D) y puede ser igual en
diferentes figuras geométricas, independientemente de la forma y del tipo.
o Midiendo, los alumnos con la ayuda de la regla podrían medir la longitud de
cada uno de los lados y posteriormente sumarlas. Así encontrarían que siempre
el resultado es 12 cm., deduciendo que el perímetro es una longitud (1D) que
resulta de la suma de los lados de un polígono. Sin embargo, no podemos dejar
de hacer preguntas que le permitan a los alumnos llegar a la generalización
descrita en el párrafo anterior.
17
b) Con relación a la superficie de una figura geométrica.
o Según cálculo indirecto y medida no estándar, los alumnos con la estrategia
de dibujar los polígonos en papel cuadriculado o milimetrado y tomando como
referencia un cuadrado de la hoja pueden contarlos y encontrar el valor de la
superficie. Lo interesante es que los alumnos observen y comprendan que
pueden encontrarse y construir diferentes figuras geométricas que tienen el
mismo perímetro (1 D), pero no necesariamente tienen la misma superficie (2D)
y forma.
o Según cálculo directa y medida estándar, si los alumnos conocen
procedimientos algebraicos para calcular el valor de la superficie de las figuras
más conocidas, podrían a partir de conocer el valor de las diferentes dimensiones
de las figuras calcular directamente su área. Sin embarco, también deberíamos
ayudarles a constatar y argumentar la generalización comentada en el párrafo
anterior.
• Actividad 5. Diferencia entre circunferencia y círculo.
a) Objetivo:
Esta actividad está muy relacionada con las actividades 2 y 4, tiene como objetivo que
los estudiantes puedan analizar las características y propiedades de los objetos
geométricos de una dimensión (líneas curvas cerradas como la circunferencia) y de dos
dimensiones (figuras geométricas planas en general como el círculo) y desarrollar
razonamientos matemáticos sobre las relaciones geométricas.
b) Materiales: como la circunferencia
1. Alumnos:
• Fotocopia de la actividad 5.
• Geoplano isométrico y cuadricular (uno por grupo).
• Cinta métrica o metro.
• Regla, escuadra, compás y transportador de ángulos.
• 5 trozos de 10 cm. de alambre de cobre de 0,6 mm.
2. Maestros:
• Mapa conceptual de círculo y circunferencia (Anexo X)
c) Agrupamiento:
Trabajo individual y puesta en común en gran grupo.
d) Desarrollo de la actividad 5:
A partir de un trabajo previo sobre la definición de líneas curvas y poligonales abiertas
y cerradas podemos llevar a los alumnos a definir y a diferenciar los conceptos de
círculo y circunferencia. En general los alumnos de manera generalizada llegan a
definir la circunferencia en términos unidimensionales como “la línea curva cerrada
que tiene la misma distancia desde un punto llamado centro a cualquiera punto de la
18
línea curva”. Y, el círculo lo definen como “la circunferencia que tiene fondo o
superficie”. Sin embargo, en muchos casos tenemos que ayudarles a identificar y definir
cada uno de los elementos que los conforman.
En lo que respecta al ejercicio 3 de esta actividad, se les propone a los alumnos
conseguir y demostrar el valor del número pi (π) a partir de un procedimiento
manipulativo. La dificultad de este ejercicio puede estar en el concepto de perímetro o
longitud de una circunferencia. Si previamente se ha trabajado el concepto de perímetro
como longitud de una figura geométrica plana, los alumnos no tendrán gran dificultad
para resolverla. Sin embargo, si tendríamos que ayudarles a construir dos
circunferencias con los dos trozos de alambre de 10 cm. y 20 cm, respectivamente. Una
opción es proporcionarles en papel dos circunferencias que cumplan estas condiciones o
proporcionar objetos manipulables que cumplan con estas condiciones. A partir de aquí
es fácil, usando calculadora o calculando las divisiones, que los alumnos deduzcan que
la relación que hay entre el perímetro o longitud de la circunferencia y del círculo y
su diámetro siempre es una constante (3, 1416…) que se conoce en geometría como el
número pi (π = 3, 1416…).
Lo interesante es que los alumnos puedan generalizar la anterior relación, sin necesidad
de comprobarlo con circunferencias concretas. Es decir, que lleguen a comprender que
el valor del número pi (π = 3, 1416…), es independiente del tamaño de la
circunferencia, ya que si la longitud aumenta el diámetro también aumentará y se
conserva el valor de esta constante de proporcionalidad directa que es el número pi (π =
3, 1416…).
Finalmente, queremos hacer énfasis en la diferencia entre circunferencia como una
línea curva cerrada (1 D) y círculo como figura geométrica plana con superficie (2D).
En este sentido al remarcar, manipular y visualizar que la circunferencia sólo tiene
longitud con la ayuda del material que le proporcionamos, puede ayudar a los
estudiantes a comprender y dotar de significado a la relación entre estos objetos
geométricos, ya que el círculo tiene al mismo tiempo longitud = perímetro(1 D),
midiendo el contorno del círculo y tiene superficie (2 D) calculando el espacio que se
genera entre los radios (siempre cumpliendo la relación de proporcionalidad directa
entre el diámetro y la longitud de la circunferencia que es el número pi): A = πr.r = πr2
r
r
• Actividad 6. Construcción de producciones artísticas a partir del
estudio de la obra de Kandinsky.
a) Objetivo:
Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexión
sobre la importancia que tiene, en la construcción de una producción artística, que
relacione arte y geometría, la justificación de los siguientes aspectos:
19
1. El uso práctico de los contenidos geométricos en la construcción de una
producción artística.
2. Los procedimientos (geométricos y/o algebraicos) utilizados en la construcción
de los objetos geométricos (líneas, ángulos, polígonos, otras figuras planas, etc.)
que conforman la producción artística.
3. Las diferentes técnicas artísticas y materiales que utilizan en la construcción de
la producción artística.
4. Título del cuadro, nombre del autor, y la descripción de los sentimientos que
quiere transmitir con su producción artística.
b) Materiales:
Cualquier tipo de material y técnica plástica es aceptado. Los alumnos deben escogerla
y justificar su elección.
c) Agrupamiento:
Producción individual, descripción y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 6:
Creemos conveniente resaltar dos aspectos interesantes de este tipo de actividades. Por
un lado, el clima de interés y de relajación que aporta el entorno del arte y la plástica.
Realmente los alumnos disfrutan al ver como conceptos geométricos y matemáticos les
ayudan a inspirarse y crear producciones artísticas cálidas, cargadas de muchos
sentimientos y emociones. En el momento del trabajo de plástica, los alumnos escuchan
música, en muchos casos escogidas por ellos, y disfrutan de una hora de relajación y
creación individual.
20
Por otro lado, intentamos proporcionar otra motivación extrínseca al trabajo sobre la
plástica y la geometría, como un medio para promover: (1) la argumentación
matemática, (2) la expresión verbal y escrita y, (3) la imaginación y la creatividad. Es
así, como nació la idea de crear una Galería de Arte en la que se pudieran exponer los
“mejores cuadros” pintados y argumentados por los niños y niñas de todas las clases de
nuestra escuela. Es decir, que se reserva un espacio de cinco cuadros por clase, y en
total se exponen por trimestre 60 cuadros de los alumnos de 1ro a 6to. Los cuadros
seleccionados por votación democrática de la clase y, sólo en caso de empate los
maestros de la escuela hacemos la selección definitiva, deben de cumplir los cuatro
criterios esbozados al inicio de la actividad (apartado a).
A continuación presentamos una foto de la galería y un ejemplo de cerca de uno de los
trabajos seleccionados por los alumnos de 6to. Todos los cuadros de los alumnos
seleccionados al exponerse van acompañados por el nombre del autor, el título del
cuadro y la foto del autor (a). Esto ayuda a que todas las personas de nuestro centro
valoren las producciones artísticas que elaboran nuestros alumnos y asocien cada cuadro
con su autor.
21
A continuación presentaremos algunos ejemplos de trabajos realizados por niños de
quinto y sexto de primaria de la Escuela Salesiana Mare de Déu de la Mercè de
Badalona donde implementamos el taller. Todos los ejemplos que presentamos siguen
el modelo, expuesto en el apartado a), que sugerimos a los niños y niñas sobre la
construcción de producciones artísticas. Para ilustrar la forma como trabajaron los niños
y niñas este tipo de actividad, a continuación presentamos cuatro ejemplos de
producciones artísticas realizadas por alumnos de quinto y de sexto.
Concretamente en el primer ejemplo queremos resaltar el valor artístico y creativo de
esta producción, ya que su autor, es un alumno que siempre había mostrado poco interés
por la plástica. Cuando resultó seleccionado por los compañeros verbalizó que todo era
gracias a la geometría que le ayudaba a inspirarse, y le gustaba este tipo de arte que
estábamos estudiando, la obra de Kandinsky y Klee, en el que los conceptos
geométricos simulan y representan objetos de la realidad. Otro aspecto a comentar es la
ternura de los sentimientos que transmite y, queremos aprovechar para resaltar que
desde cualquier área curricular, en este caso la matemáticas, podemos trabajar valores
como el derecho a la igualdad de oportunidades, a la equidad, el respeto por los otros…
Martínez, (2008). La cara del mundo.
Técnica: Lápiz, rotulador negro, ceras y fijador de ceras.
Sentimientos: Los polígonos representan los diferentes países que forman al mundo. Hay
colores más vivos y alegres que representan a las sociedades que tienen la suerte de vivir
bien (comida, ropa, y hasta lujos) y los colores tristes y oscuros representan a los países
pobres que tienen poco o nada. El cuadro es un sueño, no es la realidad… porque he
pintado muchos más países ricos que pobres… y he pintado a los pobre pequeñitos…
Espero no despertar de este sueño o que cuando me despierte se haga realidad y sean más
los niños que tiene de todo y sean felices de verdad.
Conceptos geométricos: Diferentes tipos de líneas, figuras geométricas planas,
polígonos y ángulos.
22
El segundo ejemplo que hemos seleccionado, es de una alumna de la china, son curiosos
los sentimientos que quiere transmitir con el cuado: “libertad para todos los seres
vivos”. No sabemos si este grito de libertad va ligado a su situación personal o cultural.
Sin embargo queremos resaltar que en todos los cuadros que ha pintado y justificado lo
hace explícito. La justificación matemática que hace esta alumna es muy interesante,
enfatiza en el concepto de figuras geométricas planas en general, demostrando una
claridad conceptual entre la diferencia entre objetos unidimensionales y
bidimensionales, diferencia entre línea y figuras planas. Igualmente, la diferencia entre
figuras poligonales y figuras no poligonales, pero clasificándolas correctamente como
figuras bidimensionales.
Rou, M. (2007). El bosque de colores.
Técnica: Yo para hacer este cuadro he utilizado pinturas y ceras.
Sentimientos: Los sentimientos que quiero expresar con este cuadro son: alegría y
libertad.
Alegría: por los colores del fondo que representan flores y árboles.
Libertad: porque todos somos libres en este mundo, no debemos de capturar animales,
tienen derecho a estar libres, hasta todos nosotros!!!
Conceptos geométricos: cosas de una dimensión como líneas y tipos de líneas
(poligonales, curvas, rectas, etc. Y cosas de dos dimensiones, aunque no hice
exactamente polígonos, sino más bien figuras geométricas planas en general.
El tercer ejemplo que hemos seleccionado, es de un niño que presenta algunos rasgos de
déficit de atención e hiperactividad, y queremos valorar la motivación y la capacidad de
concentración que ha mostrado durante el desarrollo de taller y, más concretamente, en
las sesiones de plástica. Es un alumno que ha mostrado una gran evolución conceptual y
actitudinal. Sin embargo, en el segundo trimestre, tuvimos que gestionar el hecho de
que su cuadro no fue seleccionado y hubo momentos en que no quería participar más y
se mostraba muy triste. Este es un aspecto que como maestros debemos de tener en
cuenta, la Galería de Arte puede convertirse en una fuente de conflictos y de desinterés
23
cuando los niños no son escogidos, pero consideramos que el hacer énfasis en la
democracia y en el respeto por las ideas de los otros nos ayudó a gestionar las diferentes
emociones que fueron surgiendo durante todo el desarrollo del taller.
Moyano, A. (2007). Las líneas curvas y horizontales
Técnica: Ceras y fijador. Primero dibujé con lápiz flojito y después pinté con ceras de
vivos. Por último, resalté las líneas de las figuras (perímetro) con cera negra y
Elcolores
tercer ejmplo,
después le eché el fijador para que quedara brillante.
Sentimientos: este cuadro es precioso porque representa la amistad. Todas las partes de
las figuras geométricas se unen por la línea negra. Siempre hay personas que se
preocupan por unir a otras. Así como todo está unido en el universo y en la tierra.
Conceptos geométricos: Líneas y tipos de líneas, ángulos y figuras geométricas planas
con área y perímetro.
Finalmente, el último ejemplo seleccionado es de una alumna que tiene un gran nivel en
matemáticas, en particular, y podríamos definirla como una “buena” estudiante en
general. La riqueza de este cuadro lo podemos apreciar desde diferentes competencias:
la expresión plástica, la expresión verbal, la argumentación geométrica y la imaginación
y creatividad.
Queremos resaltar de este cuadro diferentes aspectos en los que hemos insistido a lo
largo del taller como son: (a) el uso adecuado de los conceptos geométricos en el aula
de primaria, claridad que muestra la alumna en el uso de los conceptos de líneas (1D),
polígonos y figuras no poligonales pero definiéndolas también como planas (2D); (b)
diferencia entre 1D y 2D; (c) el uso de ejemplos y no ejemplos de los conceptos
matemáticos, cuando verbaliza la construcción de polígonos y no polígonos; y, (d) el
trabajo sobre no prototipos de los conceptos, evidenciado en la identificación de
polígonos en diferentes posiciones o rotados.
24
Díaz, M. (2007). El mundo “MIMI”.
Técnica: He utilizado lápiz, rotulador negro, pinturas y ceras.
Sentimientos: Los sentimientos que quiero expresar con este cuadro son: alegría, tristeza,
orden y confusión. Este cuadro nos representa los diferentes sentimientos que podemos
tener en nuestra vida. Hay momentos en que estamos felices que serían los colores vivos
y otros en los que perdemos a un ser querido o sufrimos, el negro… También a veces
planificamos cosas como los cuadritos y no nos salen bien, por eso hay espacios en
blanco y no todo está lleno de colores. Y las diferentes tipos de líneas poligonales y
curvas que están en el medio del cuadro, nos representan las separaciones entre los
pueblos.
Conceptos geométricos: Líneas y tipos de líneas: poligonales, curvas, rectas, paralelas,
secantes y perpendiculares, y diferentes tipos de polígonos y ángulos. Y en algunos casos
si observan bien hay escondido algún polígono regular y otros que no son polígonos sino
otras figuras planas.
• Actividad 7. Medida y escala (OPCIONAL).
a) Objetivo:
Con esta actividad perseguimos el siguiente objetivo:
¾ Comprender y visualizar la interrelación y la funcionalidad de los conceptos en
la resolución de situaciones de la cotidianidad.
¾ Relacionar los bloques conceptuales de medida, geometría, numeración y
tratamiento de la información, en la resolución de situaciones de la
cotidianidad.
¾ Desarrollar destrezas en la visualización y en el razonamiento sobre las
relaciones espaciales.
¾ Comprender los atributos mensurables de los objetos y las unidades, sistemas
y procesos de medida.
25
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Fotocopia de la actividad 7.
• Regla y escuadra.
• Metro y cinta métrica (más de 3 metros)
• Papel milimetrada, cuadriculado y hojas en blanco.
• Cartulina de diferentes colores.
• Tijeras, pegamento y cinta adhesiva.
• Cámara digital y trípode.
c) Agrupamiento:
Producción individual, trabajo en parejas y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 7:
En esta actividad se han diseñado una serie de situaciones que buscan que los alumnos
encuentren relaciones intra-matemática entre los diferentes conceptos del currículo.
Concretamente, relacionamos los bloques conceptuales de medida, geometría,
numeración y tratamiento de la información, con el propósito que los estudiantes
puedan ver de manera global la interrelación y la funcionalidad de los conceptos en la
resolución de situaciones de la cotidianidad.
Inicialmente, se les recuerda a los estudiantes aspectos conceptuales sobre el sistema
internacional de medidas de longitud y la conversión de unidades. Posteriormente, en
los ejercicios del 1 al 3, se proponen la resolución de una serie de conversiones de
unidades de longitud, usando estrategias de cálculo mental y escrito para multiplicar y
dividir por la unidad seguida de cero (10, 100, 1000, etc.)
En la actividad 4, se presenta una situación de la vida real en la que pueden aplicar los
conceptos anteriormente trabajados. Esta actividad se puede complementar y enriquecer
con la lectura de planos de la ciudad y el cálculo aproximado de distancias en el plano.
Concretamente, la secuencia de interrogantes que se proponen en las situaciones 5 y 6,
persigue que los alumnos busquen medios para describir, analizar y comprender un
aspecto concreto y básico de la realidad, como es la lectura e interpretación de planos.
Progresivamente, se lleva a los alumnos a la construcción de objetos a escala y a la
26
justificación del proceso aplicado, tanto para aumentar como para disminuir su tamaño
real. Por último, se explica el convenio matemático para expresar escala, el significado
asociado al cálculo de escalas, tanto para disminuir (1:10.000) como para aumentar (10:
1), así:
Siempre que realices un dibujo de un objeto o de una persona cualquiera de manera que
cada centímetro del dibujo se corresponda con una medida más grande o más
pequeña que en la realidad, estás utilizando el concepto de escala.
Diremos que el dibujo está hecho a escala 1:2, si el dibujo que has obtenido del objeto
de la vida real es más pequeño pero conserva sus proporciones reales. Es decir, es
exactamente la mitad del real, porque cada centímetro del dibujo corresponde a 2 cm.
de la realidad.
La actividad 10, integra los bloques conceptuales de la geometría, medida, numeración,
tratamiento de la información y análisis de datos. Se parte de una situación significativa
como es la medida de la altura de todos los niños de la clase y se propone el registro de
toda la infomación en una tabla de datos.
Posteriormente, se propone a los alumnos hacer una gráfica a tamaño real y se escoge
un lugar de la clase para construirla con tiras de cartulina de diferentes colores y se
decide la escala real en la que se construirá, que generalmente es de 10 cm. Lo
interesante de esta primera parte de la actividad es que los alumnos se encuentran frente
a la situación de seleccionar las unidades, los instrumentos de medida y las escalas
apropiadas para resolver el problema planteado. Igualmente, el tener que manejar un
27
número de información tan grande (la altura de 26 alumnos de la clase), les permite ver
la necesidad y la potencia del uso de instrumentos para recoger, organizar y presentar
datos relevantes, como es el uso de tablas, para posteriormente, hacer el tratamiento y el
análisis de la información.
De igual manera, se plantean una serie de interrogantes que ayudan a los alumnos al
análisis y la interpretación de la información. En este caso concreto, se propone una
traducción de los datos representados en la tabla en una gráfica de histograma.
Inicialmente, a tamaño real, y se propone el análisis cualitativo y cuantitativo de los
datos unidimensional y bidimensionales. Posteriormente, se propone que la gráfica
realizada a tamaño real en la pared la realicen a escala en una de papel cuadriculado. En
efecto, se plantea la necesidad del estudio de las variables que intervienen en la
situación problema y del uso de escalas para poder graficar la información en los ejes de
coordenadas.
Finalmente, para resolver los apartados del 10 d) al k), se hace una foto de frente a cada
uno de los alumnos manteniendo la misma distancia, y se imprime en papel a una escala
de 1: 10, sin decírselo a los alumnos. El objetivo de esta secuencia de actividades es que
lleguen a encontrar la escala de la foto y, relacionar la representación gráfica real de su
altura con una situación significativa como es el análisis de las escalas de las fotos.
28
• Actividad 8. Construimos móviles con polígonos a partir de la obra
de Alexander Calder.
a) Objetivo:
Esta actividad tiene como objetivo promover en los estudiantes procesos de reflexión
sobre la importancia que tiene, en la construcción de una producción artística, que
relacione arte y geometría, la justificación de los siguientes aspectos:
1. El uso práctico de los contenidos geométricos en la construcción de una
producción artística.
2. Los procedimientos (geométricos y/o algebraicos) utilizados en la construcción
de los objetos geométricos (líneas, ángulos, polígonos, otras figuras planas, etc.)
que conforman la producción artística.
3. Las diferentes técnicas artísticas y materiales que utilizan en la construcción de
la producción artística.
4. Título del cuadro o de la escultura, nombre del autor, y la descripción de los
sentimientos que quiere transmitir con su producción artística.
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Fotocopia de la actividad 8.
• Hilo de aluminio de varios colores.
• Hilo de cobre de 0,4 mm. (o hilo de nylon de caña de pescar)
• Palillos de madera cilíndricos de aproximadamente 3 mm. de diámetro.
• Separadores de plástico de varios colores.
• Tijeras y lápiz.
2. Maestros:
• Imágenes de una selección de obras de Alexander Calder (Anexo XI)
c) Agrupamiento:
Producción individual, descripción y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 8:
1.1. Comentamos la obra del autor.
Inicialmente se presenta un power point con la obra del autor (ver anexo XI), sin
explicar el objetivo de la sesión. Siguiendo el modelo de análisis que proponemos para
el tratamiento del arte y la geometría, en esta primera fase inicial nos centramos en
buscar que los alumnos lleguen hagan una Descripción objetiva de los elementos que se
reconocen en la obra del escultor Alexander Calder, haciendo preguntas del tipo:
29
o ¿Cuando ves estas imágenes qué ideas te vienen a la cabeza? ¿Qué observas?,¿Qué
objetivo tiene la presentación de esta imagen?, ¿Para qué nos servirá en clase de
matemática?, ¿Identifiques objetos geométricos?, etc.
Posteriormente, en la segunda fase intentamos que los alumnos puedan observar las
diferentes obras y puedan evocar sentimientos y emociones que les transmite el autor
con su obra, mediante preguntas del tipo:
o ¿De donde crees que las hemos sacado?, ¿Dónde las podrías encontrar? ¿Qué podría
ser?, ¿qué me sugiere?, ¿qué me recuerda?, ¿qué me provoca?, etc.
Finalmente, en la tercera fase se busca que los alumnos hagan un intento de síntesis de
los objetos geométricos y artísticos observados, centrado en la pregunta: ¿Qué título le
pondrías? Obviamente se hace antes de haber comunicado cual es el título que le puso
el autor.
1.2. Descripción por parte de la maestra de la obra haciendo referencia a:
En un segundo momento y después del trabajo inicial sobre la evocación de las ideas
previas de los estudiantes y de la verbalización de las emociones se presentan las obras
seleccionadas del autor con sus títulos y se les ofrece a los estudiantes la posibilidad de
que ellos utilicen los conceptos que hemos venido estudiando en las actividades
anteriores (polígonos y figuras geométricas planas) en la creación de una escultura con
las características que nos ofrece Alexander Calder, como son los móviles.
Para motivar la investigación de la obra de Alexander Calder y la de otros escultores
que permiten el estudio de estos conceptos geométricos, les proporcionamos a los
estudiantes la ficha de la actividad en la que de manera dinámica se esbozan los rasgos
más importantes de este pintor, presentando su fotografía, su firma y pactamos con los
alumnos que en próximas sesiones ellos mismos presentaran otras pinturas de su obra y
de otros autores que nos ayudaran en el estudio de estos conceptos geométricos.
Escultor.
Nació el 22 de julio de 1898 en
Filadelfia (EE.UU.).
Murió el 11 de noviembre de 1976 en
New York (EE.UU.).
1.3. Motivación para investigar de forma individual sobre:
30
a. Características más importantes de la vida y obra de este escultor americano,
centrándonos más en la relación con las matemáticas (Geometría).
b. Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a estudiar
este tema: polígonos, clasificación de polígonos y, en general, figuras
geométricas planas.
1.4. Creación de la producción artística: móviles.
Queremos resaltar que la actividad plástica que requiere la construcción de los móviles
es bastante laboriosa y entretenida. Por tanto sugerimos que se desarrolle de manera
coordinada con el/la profesor (a) de plástica. Las pautas para la construcción y
justificación de la escultura es la siguiente:
a. Diseñar la escultura o móvil con papel y lápiz.
b. Trazar diferentes tipos de polígonos con lápiz y regla en los separadores. Esta
fase es preciosa porque ayuda a que los alumnos construyan de manera libre
polígonos y figuras geométricas en forma no prototípica, saliéndose de los
ejemplos o prototipos tradicionales que se trabajan en el aula de primaria.
c. Clasificar los polígonos, registrarlos en una tabla y justificar su clasificación.
d. Recortar los polígonos y las figuras geométricas planas construidos.
e. Montar el móvil con el material proporcionado.
31
• Actividad 9. Tangram de cuatro. Relación entre perímetro y
superficie.
a) Objetivo:
Esta actividad está muy relacionada con las actividades 2, 3, 4 y 5. Tiene como objetivo
que los estudiantes puedan analizar las características y propiedades de los objetos
geométricos de una dimensión (líneas poligonales cerradas y el concepto de perímetro)
y dos dimensiones (polígonos, figuras planas en general y el concepto de superficie de
una figura plana) y desarrollar razonamientos matemáticos sobre las relaciones
geométricas.
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Fotocopia de la actividad 9.
• Cartulina blanca
• Papel cuadriculado o milimetrado
• Tangram de cuatro piezas de cartulina recortable.
• Tijeras, lápiz, regla y pegamento.
c) Agrupamiento:
Producción individual, trabajo en grupo pequeño, descripción y justificación en gran
grupo.
d) Desarrollo de la actividad 9:
Esta actividad es complementaria a las actividades 2, 3, 4 y 5. Lo que nos interesa es
ayudar a los estudiantes a construir las relaciones entre objetos geométricos
unidimensionales y bidimensionales. En este sentido el diseño de las situaciones que
hemos propuesto en estas actividades permite que los estudiantes en un entorno de
juego y diversión, como es la manipulación de las piezas del Tangram puedan llegar a
argumentar y a consolidar la definición de los conceptos de perímetro y superficie de
una figura plana que consideramos funcionales para resolver problemas de la
cotidianidad y, para dotar de significados a los procedimientos y formulas que
generalmente le proporcionamos sin ningún tipo de razonamiento.
La primera parte de la actividad está centrada en la construcción del Tangram de 4
piezas, se les puede plantear a los estudiantes que construyan un cuadrado de 10 x 10
cm. y plantearles una situación abierta como: “Divide este cuadrado en cuatro partes
iguales que tengan la misma forma y el mismo área”. Esta situación problema da
mucho juego y algunas de las respuestas que pueden dar los alumnos son:
32
Posteriormente, nos quedamos con el tangram de 4 piezas que está formado por las
diagonales del cuadrado y lo construimos con cartulina y lo recortamos, así:
Una vez recortado, hemos de decidir si queremos trabajar simultáneamente medida
indirecta o medida directa del perímetro de las figuras que formaremos y de su área. En
este caso, sería necesario que una de las caras del tangram sea de papel cuadriculado o
milimetrado, de tal forma que los alumnos puedan hacer una medida directa de las
dimensiones de las piezas. Seguidamente, los alumnos en forma individual o en parejas
hacen un reconocimiento de las cuatro piezas que forman el tangram y se les pide que
identifiquen sus elementos. Al respecto, queremos resaltar que cada una de las piezas es
un triángulo rectángulo isósceles2 que a los alumnos les cuesta diferenciar porque no
están en posición prototípica pero que es interesante que aprendan a identificarlos y
acostumbrarse a verlos en diferentes posiciones. Por tanto, sus elementos son los
siguientes:
Posición
prototípica
Cateto
C
Triángulo
rectángulo
isósceles
Hipotenusa
H
Cateto
C
La segunda situación pide la relación que hay entre el perímetro del cuadrado y la
hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles, que es:
H
Perímetro ■ = H + H + H + H = 4H
H
H
H
Antes de comenzar a mover las piezas, que sería partir de la situación 3, se han de dejar
claras las normas del juego y de la solución de las actividades:
1. Siempre se han de utilizar todas las piezas del Tangram.
2. Sólo se tienen que hacer el número de movimiento que se indiquen.
2
Si estáis interesados en consultar una propuesta didáctica sobre el tratamiento del concepto de triángulo, elementos
y clasificación, sugerimos la lectura del documento «Taller de Arte y Geometría en el ciclo superior de Primaria:
Triángulos I y II parte» de esta obra.
33
3. Cada figura que se obtiene se ha de dibujar en la ficha de la actividad, antes de
pasar al movimiento de fichas de la actividad siguiente.
4. Se ha de escribir por escrito la solución de cada ejercicio antes de pasar al
siguiente.
5. IMPORTANTE: no podemos deshacer la figura obtenida. Es decir, cada
movimiento de ficha parte de la figura que se obtiene en el ejercicio anterior y
no del cuadrado inicial.
Una posible solución de la situación 3 es:
H
H
H
C
H
C
Dos movimientos
de piezas
C
H
H
Triángulo
rectángulo
isósceles
C
Ha cambiado:
• Forma y perímetro
Se mantiene:
• La superficie (las
mismas 4 piezas)
Perímetro▲= H + H + C + C + C + C = 2H + 4C
Una posible solución de la situación 4 es:
C
C
H
C
Un movimiento
de pieza
H
C
C
H
C
Perímetro
C
Trapecio
C
H
= H + C + H + C + C + C = 2H + 4C
Ha cambiado:
• Forma
Se mantiene:
• Perímetro
• La superficie (las
mismas 4 piezas)
34
Una posible solución de la situación 5 es:
C
C
H
H
C
Un movimiento
de pieza
C
Paralelogramo
romboide
C
C
H
C
C
H
Perímetro
Ha cambiado:
• Forma
Se mantiene:
• Perímetro
• La superficie (las
mismas 4 piezas)
= H + C + C + H + C + C = 2H + 4C
Una posible solución de la situación 6 es:
C
C
H
C
C
Un movimiento
de pieza
C
= C + C + C + C+ C + C = 6C
Rectángulo
C
C
H
Perímetro
C
C
C
Ha cambiado:
• Forma y perímetro
Se mantiene:
• La superficie (las
mismas 4 piezas)
A manera de conclusión y para tener claro a la hora de poner en común los resultados y
argumentar las respuestas, queremos resaltar los siguientes aspectos claves de esta
actividad:
o El trabajo sobre diferentes maneras de representar una figura geométrica plana.
Es decir que se representan las figuras en posiciones no prototípicas dando más
riqueza a los esquemas conceptuales de los estudiantes.
o Se puede visualizar que podemos encontrar figuras con la misma superficie, el
mismo perímetro y diferentes formas. Pero de igual manera podemos encontrar
figuras con diferentes formas, diferente perímetro y la misma área.
o Se trabaja de manera lúdica y manipulativa conceptos tan abstractos como el de
perímetro y área de figuras plana
35
o La potencia de la actividad radica en que de manera concreta y visual los
alumnos pueden construir figuras con la misma área porque las piezas que se
utilizan siempre son las mismas. Es decir, siempre se mantiene constante la
variable área y podemos observar las relaciones que pueden surgir con el
perímetro y la forma.
• Actividad 10. Cálculo de área de polígonos regulares e
irregulares.
a) Objetivo:
Esta actividad tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las
características y propiedades de los objetos geométricos de una dimensión (líneas
poligonales cerradas y el concepto de perímetro) y dos dimensiones (polígonos, figuras
planas en general y el concepto de superficie de una figura plana) y desarrollar
razonamientos matemáticos sobre las relaciones geométricas y el cálculo de áreas y
perímetros.
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Fotocopia de la actividad 10.
• Geoplano isométrico y cuadricular (uno por parejas)
• Papel cuadriculado o milimetrado
• Tijeras, lápiz, regla y pegamento.
c) Agrupamiento:
Trabajo en parejas y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 10:
La primera actividad busca que los estudiantes comprendan y argumenten la diferencia
entre perímetro y superficie, es una actividad que se puede realizar ayudándose con el
geoplano (reproduciendo en el geoplano los polígonos que aparecen en la trama
cuadricular) y calculando de manera directa o indirecta el valor de su perímetro y de su
área.
En general, los estudiantes encuentran de manera rápida y bien argumentada la solución,
las figuras que tienen la misma superficie son el rectángulo, el triángulo rectánguloisósceles y el cuadrado que está rotado 45º. Atención con los errores que pueden tener
los estudiantes al identificar los polígonos representados en forma no prototípica (en
posiciones no convencionales). Los polígonos que tienen el mismo perímetro son el
cuadrado de 8 unidades y el hexágono irregular de 8 unidades. Igualmente, atención con
los errores en el sistema de referencia de unidad de longitud, más concretamente al
considerar la diagonal del cuadrado como una unidad, así:
36
•
En el caso del triangulo rectángulo-isósceles, si tomamos de referencia el segmento
que va de clavo a clavo del geoplano o de la trama cuadricular y lo representamos
como 1 unidad.
•
1, 4 unidades
Afirmar que el perímetro del triángulo
rectángulo-isósceles es igual a 6 unidades,
porque la diagonal es 1,4 unidades y no 1
unidad. Por tanto, el área del triángulo es
aproximadamente 6,8 unidades o 7 unidades.
1 unidad
•
Igualmente, en el caso del cuadrado girado 45º, cometen el error de considerar que
el perímetro es 4 unidades, ya que el perímetro sería aproximadamente 5,6 unidades
o 6 unidades.
En lo que respecta a la segunda situación, se presentan una serie de situaciones con una
gran potencia visual, representadas en un lenguaje gráfico, que ayudarán a que los
estudiantes, progresivamente, deduzcan la ecuación o fórmula o relación para el cálculo
del área de paralelogramos: cuadrado, rectángulo, romboide. Nos gustaría llamar la
atención sobre las diferencias y relaciones que hay entre el cuadrado y el rectángulo.
Recordemos la definición de rectángulo: “cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados
opuestos paralelos (paralelogramo) y sus cuatro ángulos rectos (90º)”. Hasta aquí
podríamos estar hablando del cuadrado y del rectángulo. Sólo podemos distinguirlos
cuando se añade que sus cuatros lados tienen la misma longitud o son iguales. Por tanto,
no olvidemos que el cuadrado es un rectángulo especial, el que tiene sus cuatro lados de
la misma longitud (Ver esquema conceptual de polígonos, ver anexo VIc).
Igualmente, en el ejercicio 3, se plantea una secuencia para que los alumnos deduzcan la
ecuación para calcular el área de un triángulo, a partir de la ecuación encontrada y
justificada para el cálculo del área de un cuadrilátero. Es importante enfatizar que todo
cuadrilátero paralelogramo se puede dividir, por lo menos, en dos triángulos semejantes.
Por tanto, el área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo. Así:
A▄=bxh
A■ = b x h = l x l
A
=bxh
Al trazar una de sus diagonales a los anteriores paralelogramos, obtenemos dos
triángulos semejantes. En el caso del rectángulo, se forman dos triángulos rectángulos escalenos. Por su parte, al trazar la diagonal del cuadrado se forman dos triángulos
rectángulos-isósceles y, finalmente, en el paralelogramo romboide, se forman dos
triángulos obtusángulos-escalenos (Ver mapa conceptual del concepto de triángulo,
anexo VIb).
37
Por tanto, el área de cada uno de los triángulos que se forma al trazar la diagonal es la
mitad del cuadrilátero. Es decir, la mitad del producto de la base por la altura, así:
A ▲ = bxh
2
Como hemos podido observar al trazar las diagonales de los diferentes paralelogramos
de la situación, se obtienen diferentes tipos de triángulos. Sin embargo hemos podido
visualizar y podemos generalizar que independientemente del tipo de triángulo, se
obtiene que la fórmula o ecuación para calcular su área siempre es la misma: la mitad
del área del paralelogramo, que ya en el ejercicio 2, demostramos que
independientemente del tipo de paralelogramo es el producto de la base por la altura.
El ejercicio 4, se propone para comprobar si los estudiantes han comprendido
conceptualmente el concepto de área de un triángulo. Es una actividad que
consideramos visualmente potente porque permite que los estudiantes puedan manipular
conceptos que muchas veces los transmitimos de manera acrítica y los alumnos
terminan memorizando fórmulas sin significado alguno. Algunos aspectos conceptuales
a tener en cuenta de esta actividad son:
I
II
III
h
b
1. Encontramos representados cada unos de los triángulos según sus ángulos: el
triángulo I es obtusángulo-escaleno, el triángulo II es rectángulo-isósceles y el
triángulo III es acutángulo-escaleno (Ver mapa conceptual del concepto de
triángulo, anexo VIb).
2. Al tener un triángulo de cada tipo según sus ángulos, nos encontramos que la
actividad permite visualizar lo que ocurre con, por lo menos, una de sus alturas. En
el caso de los triángulos acutángulos las alturas SIEMPRE están dentro y en
38
consecuencia el ortocentro siempre estará en el interior del triángulo. En el caso de
los triángulos rectángulos por lo menos dos de sus alturas coinciden con los catetos
del triángulo y la tercera es interna, por tanto el ortocentro coincide con el vértice
que une los dos catetos. Y, finalmente, en los triángulos obtusángulos dos de sus
alturas están fuera y sólo una es interior; en consecuencia, el ortocentro está fuera
del triángulo obtusángulo.
1. Los tres triángulos representados en la trama coinciden en tener por lo menos una de
las alturas y una de las bases iguales. Por tanto, los estudiantes tendrían que concluir
que el área de los tres triángulos es la misma y en cambio el perímetro de los tres
triángulos es diferente, ya que la longitud de sus lados es diferente.
Las situaciones 6 y 7, al igual que en las situaciones 4 y 5, buscan que los alumnos
puedan llegar al cálculo de áreas de cualquier polígono irregular a partir del concepto de
área de un paralelogramo y del concepto de área de un triángulo. Concretamente, se les
propone una estrategia de descomposición de los polígonos irregulares en rectángulos o
triángulos que puede ser funcional para el cálculo de áreas de objetos de la vida real
(superficie de hojas, cartulinas, terrenos, pistas de básquet, su habitación, etc.)
• Actividad 11. Suma interna de los ángulos de un polígono:
triángulos y cuadriláteros.
a) Objetivo:
Los objetivos que nos planteamos con esta actividad son:
¾ Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar que la medida de
los ángulos internos de un triángulo suman 180º, independientemente del tipo de
triángulo.
¾ Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar que la medida de
los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360º, independientemente del
tipo de cuadrilátero
¾ Promover progresivamente e individualmente a los alumnos a hacer conjeturas
sobre los objetos geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes
tipos de procedimientos: geométrico, algebraico, etc.
¾ Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y
algebraico) para abordar la solución de situaciones que involucren diferentes
tipos de triángulos mediante el uso de diferentes sistemas de representaciones de
los conceptos geométricos utilizados.
b) Materiales:
1. Alumnos:
• Tijeras y pegamento
• Transportador (uno o más)
39
•
•
•
•
Regla y escuadras
Lápiz y papel de diferentes colores
Rotuladores
Ficha del dossier de la actividad 11.
c) Agrupamiento:
Trabajo individual y en grupo grande.
d) Desarrollo de la Actividad 11:
A continuación, presentaremos un ejemplo de una secuencia de actividades que buscaba
que los alumnos llegaran a demostrar las condiciones suficientes y necesarias que ha de
cumplir la suma de los ángulos internos de un polígono para que sea un triángulo y para
que sea un cuadrilátero. Esta actividad parte de conceptos elementales previamente
construidos en el aula por los alumnos como son: los conceptos de segmentos, ángulos,
polígonos (triángulos y cuadriláteros), partes y clasificación de triángulos y
cuadriláteros.
La primera situación busca de manera progresiva que los alumnos lleguen a deducir y
generalizar la condición que han de cumplir la suma interna de los ángulos de un
triángulo. Esta actividad tiene un gran peso manipulativo y está estructurada de tal
manera que los alumnos si van aplicando los conceptos previos estudiados pueden
llegar al enunciado de una definición y a la demostración de la misma, mediante
procedimientos geométricos, algebraicos y numéricos.
En general es una actividad que
valoramos como positiva porque para
todos los alumnos es relativamente fácil
llegar a demostrar el teorema de la suma
interna de los ángulos de un triángulo, y
para nosotras, como maestras, fácil de
gestionar la sesión. Sin embargo para que
los alumnos puedan resolver la actividad
con éxito tenemos que darles algunas
consignas que facilitaran sus procesos de
definición y demostración:
1. Recordarles que inicialmente tienen
que clasificar los triángulos según
sus lados y según sus ángulos. Esto
permite que los alumnos den
importancia a los elementos de un
triángulo y a la importancia que
tienen a la hora de definir la
clasificación de cada uno de los
triángulos.
40
Ordinariamente los alumnos en sus esquemas de triángulo tienden a separar la
clasificación de triángulos según sus lados y según sus lados en cajones diferentes,
evidenciando errores conceptuales. Así,
a) El triángulo BCA es Rectángulo y escaleno
b) El triángulo EDF es Acutángulo e isósceles
c) El triangulo GHI es obtusángulo y escaleno
2. Antes de recortar cada uno de los triángulos tienen que identificarlos y
representarlos teniendo en cuenta las convenciones matemáticas (ver figura adjunta).
Esto permite un trabajo sobre los diferentes sistemas de representaciones y el uso de
lenguaje matemático en el aula (geométrico, algebraico y numérico).
3. Un aspecto importante es señalar de manera clara los vértices del triángulo para que
después sea más fácil el recortarlos y unir el puzzle de los tres ángulos del triángulo
y obtener así un ángulo plano de 180º.
En lo que respecta a la segunda actividad, los aspectos anteriormente descritos les
permitirán demostrar la suma interna de los ángulos de un cuadrilátero que siempre es
360º, independientemente del tipo de cuadrilátero. Resaltamos que inicialmente
tendríamos que pedir a los estudiantes que clasifiquen los cuadriláteros atendiendo a sus
elementos: ángulos y lados (paralelismo de los lados).
5.2 Material para los alumnos (as).
Los documentos ilustrativos de este taller, se encuentran en “El Taller de Arte y
Geometría III: líneas (1D), polígonos y otras figuras geométricas planas (2D)”, en la
pestaña de desarrollo curricular.
6. Bibliografía:
BADILLO, E. y EDO, M. 2007a. «Taller de arte y geometría en el ciclo superior de
primaria II: Triángulos (1ª PARTE) ». En C. Tomás y M. Casas (coord.).
Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer
Educación. Barcelona. CD-ROM, 39 pág.
BADILLO, E. y EDO, M. 2007b. «Taller de arte y geometría en el ciclo superior de
primaria II: Triángulos (2ª PARTE)». En C. Tomás y M. Casas (coord.).
Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer
Educación. Barcelona. CD-ROM, 25 pág.
BADILLO, E. 2006. Art i Geometria CS. 27ª. Escola d’Estiu del Vallès Occidental.
L’educaci, ara. Documento inédito sin publicar.
BADILLO, E. y EDO, M. 2006a. «Taller de arte y geometría II: triángulos.
Documentación para el taller». En C. Tomás y M. Casas (coord.). Educación
Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer Educación.
Barcelona. CD-ROM, 45 pág.
41
BADILLO, E. y EDO, M. 2006b. Els conceptes de triangle, elements i tipus a partir del
quadre Tranquil·litat (1930) de Wassily Kandinsky. Guix, 329, 49-57.
BADILLO, E. y EDO, M. 2004a. «Taller de Arte y Geometría en el Ciclo Superior de
Primaria I: Ángulos». En C. Tomás y M. Casas (coord.). Educación Primaria.
Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona.
CD-ROM, 28 pág.
BADILLO, E. y EDO, M. 2004b. «Taller de Arte y Geometría I: Documentación para el
taller», Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En C. Tomás y M.
Casas, (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años).
Wolters Kluwer Educación. Barcelona. CDROM, 35 pág.
BADILLO, E. 2003a. La Matemática como herramienta para interpretar y crear Obras
de Arte. Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseñanza de las
matemáticas (JAEM).
BADILLO, E. 2003b. La derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza
y aprendizaje en profesores de matemática de Colombia. Tesis Doctoral.
Universitat Autònoma de Barcelona.
CASTELNUOVO, E. 1981. La matemática. La Geometría. Barcelona: KETRES
EDITORA S.A.
DUBISNKY, E. et al. 1997. A Framework for Research and Curriculum Development
in Undergraduate Mathemathics Education. Research in Collegiate
Mathemathics Education. 2, 1-32.
EDO, M. 2003. Intuir nociones geométricas desarrollando emociones estéticas.
Ponencia núcleo temático 3. Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la
enseñanza de las matemáticas (JAEM).
EDO, M. 2000. Mundo matemático. Formas en el espacio. En: Anton, M. y Moll, C.
(Coord.). Educación infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años). Barcelona:
CISSPRAXIS. SA, pp. 301-409.
EDO, M. 1999. “Reflexiones para una propuesta de geometría en el parvulario”, en
Suma, 32, pp. 53-60.
EDO, M. y GÓMEZ, R. 2006. «Matemática y arte en infantil a partir del cuadro
“Bailando por miedo” de Paul Klee», Desarrollo Curricular. Estrategias e
Instrumentos. En: M. Antón, y B. Moll (coord.). Educación Infantil.
Orientaciones y Recursos (0-6 años). Barcelona: CISSPRAXIS.
GRUPO CERO. 1996. MATEMÁTICAS. IV TERCER ciclo. Materiales curriculares
para la educación primaria 6-12 años. Madrid: MEC-EDELVIVES.
NTCM. 2000. Principio y Estándares para la Educación Matemática. Granada:
S.A.E.M. Thales.
42
ONRUBIA, J. et al. 1999. La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: una
perspectiva psicológica. En: Coll, C., Palacios, J., Marchesi, A. (Comp.).
Desarrollo psicológico y educación 2. Psicología de la educación escolar.
Madrid: Alianza. P. 487-508.
TORRES, M., y JUANOLA, R. 1998a. Dibujar: mirar y pensar. Consideraciones sobre
educación artística. Barcelona: Rosa Sensat.
TORRES, M., y JUANOLA, R. 1998b. Una manera de enseñar artes plásticas en la
escuela. 140 ejercicios para educación infantil y primaria. Barcelona: Rosa
Sensat.
7. Listado de anexos:
Anexo I. Imagen de los cuadros de Wassily Kandinsky: Fig. 1 a) Amarillo, rojo y azul
(1925) y Fig. 1 b) Composición VIII (1923)
Anexo II. Interpretación personal. Pautas para la interpretación del cuadro
Tranquilidad de Wassily Kandinsky.
Anexo III. Descripción de los aspectos más relevantes sobre la vida y obra de Wassily
Kandinsky.
Anexo IV. Presentación del taller de Arte y Geometría.
Anexo V. Mapa conceptual sobre líneas.
Anexo VI. Mapa conceptual sobre polígonos.
VI a) Polígonos en general, VI b) Triángulos y VI c) Cuadriláteros.
Anexo VII. Tarjetas para plastificar con dibujos en Tangram.
Anexo VIII. Tangram recortable.
Anexo IX. Breve historia del Tangram
Anexo X. Esquema conceptual sobre círculo y circunferencia.
Anexo XI. Imágenes de una selección de obras de Alexander Calder.
43
Kandinsky, W. (1925). Amarillo,rojo y azul3
3
Anexo I. Cuadro para estudiar los conceptos de línea y polígonos en 5º de primaria.
44
Kandinsky, W. (1923). Composición VIII4
4
Anexo I. Cuadro para estudiar los conceptos de línea y polígonos en 6º de primaria.
45
Interpretación personal5
1. ¿Qué significado tiene esta imagen? ¿Qué podría ser?
2. Colócate en el lugar del pintor, y, piensa sobre: ¿Qué ideas o
sentimientos crees que quiere transmitir con esta obra?
3. ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de
colores, la posición y colocación de las líneas, la secuencia de
las líneas, del fondo? ¿Cuántos planos ves? ¿Cuál crees que es
el principal y por qué, etc.?
4. ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué
título le pondrías?
5
Anexo II
46
Descripción de los aspectos más relevantes sobre la
vida y obra de Wassily Kandinsky.6
Biografía: nació en Moscú, en el seno de una familia acomodada, y
aunque pasó más de la mitad de su vida en Alemania y Francia,
conservó un fuerte vínculo emocional con su ciudad. Durante sus
primeros treinta años, la pintura sólo fue la afición apasionada de
un joven soñador y romántico, pero convencional. Estudió
Derecho y Economía, y su brillante carrera académica le deparó
una cátedra en Estonia, a la que renunció para trasladarse en
1896 a Munich y dedicarse a la pintura.
(1896) Renuncia a su carrera exitosa como economista y abogado
y se traslada a Munich para dedicarse a la pintura.
(1901) Se transforma en animador de pequeñas asociaciones de
artistas modernos que promueven exposiciones. Phalanx,
fundado en este mismo año, es el primero de esos grupos,
que expone obras impresionistas,. simbolistas y
modernistas, las tres influencias más visibles en los
primeros cuadros de Kandinsky.
(1916-1908) Viaja por Europa en compañía de Münter y expone en
los Salones de Otoño y de los Independientes en París,
donde conoce el fauvismo y el cubismo.
(1909) En ese año funda la Nueva Asociación de Artistas de
Munich, conocida por sus siglas en alemán NKVM con
Jawlensky, Kubin y Münter entre otros, al tiempo que
empieza a fraguarse el entramado ideológico que
desembocará en la abstracción.
6
Anexo III
47
(1912) Abandona la NKVM para fundar junto con Jawlensky y
Münter El Jinete Azul. Conoce a Paul Klee, entre otros
pintores contemporáneos famosos.
(1914) El estallido de la Primera Guerra Mundial en 1914 devuelve
a Rusia, donde la Revolución de 1917 promueve una de las
vanguardias artísticas más activas y singulares del siglo
XX.
(1917) Se casa con Nina Adreevsky, su segunda y definitiva
esposa, y cuatro años después vuelve a Alemania en un
viaje de trabajo del que no retornará.
(1922-1933) Walter Gropius le ofrece formar parte del claustro
de la Bauhaus, donde dirigirá el Taller de Pintura
Decorativa y el curso de iniciación. Allí se reencontró con
su amigo Paul Klee, y junto con él, Jawlensky y Feininger
formarán Los Cuatro Azules. Durante estos años la obra
de Kandinsky se disciplina; al color se añade la geometría y
la interacción de la forma, y su pintura se aprovecha de
las múltiples tendencias que coinciden en distintos
momentos en la Bauhaus.
(1933) Obligado a abandonar Alemania por el ascenso del
nazismo, que incluye su obra en la siniestra nómina del
arte degenerado, se instala en Neully, cerca de París. Allí
espera encontrar un clima propicio, pero la escena
francesa está entonces dominada por corrientes poco
afines a la abstracción.
(1944) Muerto en este año, no pudo ver su definitiva
consagración tras el triunfo de la abstracción en los años
de posguerra. Sus últimas obras se alejan de la geometría
de la Bauhaus, optando por formas orgánicas y
biomórficas.
48
Presentación del Taller7
TÍTULO: Los conceptos geométricos como una
herramienta para interpretar y crear obras de
arte.
NIVEL: Ciclo superior de primaria
OBJETIVOS:
o Usar obras de arte conocidas para la
introducción, construcción y evaluación de
conceptos geométricos (conceptual).
o Interpretar obras de arte conocidas a partir
de la aplicación de los conceptos geométricos
desarrollados (conceptual/procedimental).
o Crear y justificar producciones artísticas
como resultado de la aplicación de los
conceptos
geométricos
desarrollados
(procedimental/ conceptual).
o Conocer y valorar los elementos conceptuales,
históricos y biográficos de los autores de las
obras seleccionadas (actitudinal).
7
Anexo IV
49
LÍNEAS
8
ABIERTAS
LÍNEA RECTA
INCLINADA
VERTICAL
POLIGONALES
HORIZONTAL
CERRADAS
POLIGONALES
CURVAS
TRIÁNGULO
TRAPECIO
PARALELAS
SECANTES
CUADRILÁTERO
RECTÁNGULO
CURVAS
PENTÁGONO
CIRCUNFERENCIA
TRAPEZOIDE
PERPENDICULARES
8
Anexo V
ÓVALO
50
POLÍGONOS
Anexo VI a
Es una línea poligonal con fondo… Es una figura geométrica plana.
tienen
Lados
Vértices
Ángulos
Diagonales
Línea poligonal
cerrada
Polígonos
Según el número de lados y ángulos pueden ser:
Triángulos
Cuadriláteros
Pentágonos
Polígonos de 3 lados, 3
vértice y 3 ángulos
Polígonos de 4 lados, 4
vértice y 4 ángulos
Polígonos de 5 lados, 5
vértice y 5 ángulos
Vértice
Lado
Ángulo
Hexágonos
Polígonos de 6 lados, 6
vértice y 6 ángulos
51
Vértice
Anexo VI b
TRIÁNGULOS
Lado
Lado
Ángulo
Lado
Polígono o figura geométrica plana
Vértice
tienen
3 Lados
3 Vértices
3 Ángulos
Ninguna Diagonal
Se clasifican según sus:
LADOS
EQUILÁTERO:
3 lados iguales
ISÒSCELES:
2 lados iguales
1 lado diferente
ESCALENO:
3 lados diferentes
ÁNGULOS
RECTÁNGULO:
1 ángulo recto
2 ángulos agudos
OBTUSÁNGULO:
1 ángulo obtuso
2 ángulos agudos
ACUTÁNGULO:
3 ángulos agudos
Vértice
52
CUADRILÁTEROS
Anexo VI c
Vértice
Diagonal
Lado
Ángulo
Polígono o figura geométrica plana
tienen
4 lados
4 Vértices
4 Ángulos
2 Diagonales
Se clasifican según sus lados y ángulos:
Paralelogramos:
2 parejas de lados opuestos paralelos
QUADRAT:
4 lados iguales y 4 ángulos rectos.
RECTANGLE:
2 lados iguales (entre si) y 4 ángulos rectos
ROMBE:
4 lados iguales
2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos
ROMBOIDE:
2 lados iguales (entre si)
2 ángulos agudos y 2 ángulos obtusos
Trapecio:
2 parejas de lados opuestos paralelos
2 lados opuestos paralelos
2 lados opuestos NO paralelos
2 ángulos agudos y 2 obtusos
Trapezoide:
NINGÚN lado paralelo
Todos los lados diferentes y
NO paralelos
Ángulos agudos y obtusos
53
FIGURAS PARA CONSTRUIR CON EL TANGRAM9
9
Anexo VII
54
55
56
TANGRAM RECORTABLE PARA LA ACTIVIDAD DE
PLÁSTICA10
10
Anexo VIII
57
Breve historia del Tangram11
El Tangram (chino:
, pinyin: qī qiǎo bǎn; "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría") es un juego chino muy antiguo, consistente en formar
siluetas de figuras con la totalidad de una serie de piezas dadas. Las 7 piezas llamadas Tans, que juntas forman un cuadrado, son las siguientes:
•
5 triángulos de diferentes tamaños, 1 cuadrado y 1 paralelogramo romboide
Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo
cantonés "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los
años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre.
No se sabe con certeza quien inventó el juego ni cuando, pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, época
para la cual el juego era ya muy conocido en varios países del mundo. En China, el Tangram era muy popular y era considerado un juego para mujeres y
niños.
A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangram, el juego era
llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las
artes. Napoleón Bonaparte se volvió un verdadero especialista en el Tangram desde que fue exiliado en la isla de Santa Helena.
En cuanto al número de figuras que pueden realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran
tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900. Actualmente se pueden
realizar con el Tangram alrededor de 16.000 figuras distintas.
Hoy en día el Tangram no se usa sólo como un entretenimiento, se utiliza también en psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía.
En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades
psicomotrices e intelectuales de los niños pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.
11
Anexo IX
58
CIRCUNFERENCIA
CÍRCULO
Área
Línea curva cerrada con la misma
distancia desde el CENTRO.
Es una circunferencia con FONDO.
Es una figura plana curva.
Longitud
Sólo tiene longitud.
Tiene Área y longitud.
Elementos de la circunferencia
cuerda
centro
Partes del círculo
radio
diámetro
Segmento
circular
Anexo X
Sector
circular
Corona
circular
59
SELECCIÓN DE OBRAS DE ALEXANDER CALDER12
12
Anexo XI