El Papel de un Porisma Euclidiano en la Comprensión de

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El Papel de un Porisma Euclidiano en la Comprensión de las
Propiedades Proyectivas:
Algunas Ideas Acerca de la Génesis de Nueva Práctica Matemática
Carlos Alvarez J.
Depto. de Matemáticas, UNAM
alvarji@unam.mx
Abstract: In this paper we analyse different ways in which a
mathematical practice may be conceived in different historical contexts.
We focus our study in a particular statement, a Porism formulated by
Pappus in Book VII of his Mathematical Collection. This Porism is partially
modified by C. MacLaurin and R. Simson (both certainly under Newton’s
influence) in XVIIth century in order to re establish some main
propositions of Apollonius’ theory of Conics. Te amazing fact is that this
way to interpret the theory of conics leads directly to the projective
theory of conics. That is why we are interested in this particular
interpretation of Euclid’s Porism, that is why the question concerning
different ways to create within a particular mathematical practice is
meaningful.
Key words: porism; conic; ancient geometry; projective geometry;
analysis.
Resumen: En este texto nos preguntamos acerca de las distintas
modalidades que en momentos históricos distintos puede adquirir la
práctica matemática. Tomamos como caso de interés el de un Porisma
formulado por Pappus en su recuento acerca del libro de los Porismas de
Euclides en el libro VII de su Colección Matemática. Dicho Porisma es
retomado por C. MacLaurin y R. Simson (sin duda bajo la influencia de
Newton) en el siglo XVII para recuperar a través de él parte de la Teoría
de Cónicas de Apolonio. El punto sorprendente es que de esta relectura
de la teoría de cónicas se desprenden los puntos básicos de la teoría
proyectiva de cónicas. Es por ello que dicha lectura nos interesa, es por
ello que nuestra pregunta acerca de las distintas modalidades de una
práctica matemática tiene sentido.
Palabras Clave: porisma; cónicas; geometría antigua; geometría
proyectiva; análisis.
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 1 - 13, maio 2012.
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Introducción
Un problema que nos parece central en el marco de la filosofía de la práctica
matemática es el dar cuenta de la interacción de nociones que emergen en dominios
ajenos de las matemáticas y que en ciertos momentos se entrecruzan y relacionan
adquiriendo un nuevo sentido y propiciando con ello la génesis de nuevas teorías
matemáticas. Un ejemplo de este caso lo constituye la teoría de cónicas en la
antigüedad, la que antes de encontrar su expresión más acabada en el texto de
Apolonio, tiene un importante antecedente en la solución de una clase de
problemas cuya construcción requiere de las secciones cónicas, y que son
caracterizados por Pappus en su Colección Matemática (CM) como problemas
sólidos.1 Por otro lado la teoría de las cónicas se vincula con problemas relacionados
con la determinación de lugares geométricos, lo que constituye uno de los aspectos
más desarrollados en esta teoría a lo largo del siglo XVII, y también con una serie de
problemas cuya naturaleza no es caracterizada con claridad sino hasta el siglo XIX y
que tienen que ver con la determinación de las propiedades proyectivas.
En el estudio de estas propiedades podemos constatar que la teoría de
cónicas se relaciona con otras teorías desarrolladas en la antigüedad, en particular
con aquella desarrollada por Euclides a lo largo de los tres libros sobre los Porismas.2
Nuestro propósito en este breve ensayo es el describir las modificaciones y
variaciones de uno de los porismas euclidianos, para tratar de comprender en qué
sentido se trata de un enunciado que se refiere, y de qué manera lo hace, a ciertas
propiedades proyectivas.
1
Ejemplos bien conocidos de problemas sólidos son la inscripción de un heptágono regular en una
circunferencia, la trisección de un ángulo o la duplicación de un cubo y en general la inserción de dos
medias proporcionales entre dos líneas dadas.
2
Esta es claramente la posición sostenida por V. Poncelet, quien asegura en su Traité des Propriétés
Projectives des Figures que el carácter y naturaleza del texto Euclidiano sólo podría ser comprendido
una vez que fue posible comprender la naturaleza de las propiedades proyectivas de las figuras.
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Los Porismas de acuerdo con la tradición de Pappus
De acuerdo con el testimonio de Pappus dado en CM, los tres libros de los
Porismas escritos por Euclides forman parte de las 32 obras que constituyen el
τὀπoσ ἀναλυὀμενoσ, el lugar del análisis o el lugar de la (re)solución (de problemas),
que es la materia dispuesta a profundizar más allá de la doctrina elemental (que
proveniente de los Elementos) en la búsqueda de la solución de los problemas
mediante la construcción de líneas. Lo primero que Pappus aclara es que los
porismas constituyen un tipo especial de enunciados que comparten aspectos de los
problemas y aspectos de los teoremas:
Los porismas no forman parte ni de los teoremas ni de los problemas,
más bien constituyen un tipo intermedio ya que pueden ser considerados
como teoremas o como problemas; [...] la mejor distinción para estas
proposiciones fue dada por los antiguos, para quienes un teorema es lo
que se propone (enuncia) para una prueba de lo que se ofrece, un
problema es lo que se propone para una construcción de lo que se
ofrece, un porisma es lo que se propone para encontrar lo que se ofrece
(theorema esse quod proponitur in ipsis propositi demonstrationem;
problema, quod affertur in constructionem propositi; porisma vero, quod
proponitur in porismum, hoc est in inventionem & investigationem
3
propositi).
Pero más allá de la forma que pueda tener los porismas, Pappus aclara que
constituyen una forma primitiva de enunciados en los que se trata de determinar un
lugar geométrico, lo que los vincula directamente con la determinación o
caracterización de ciertas curvas, las cuales desempeñan un papel en la
caracterización y solución de los problemas geométricos. De ahí el interés por
recuperar el sentido de estas proposiciones de las cuales sólo se cuenta con el
testimonio de Pappus ya que se trata de una obra perdida.4 En realidad Pappus
3
Pappi Alexandrini Mathematicæ Collectiones a Federico Commandino Urbinate in Latinum
Conversæ. Venecia 1588. Tomaremos las citas y referencias de esta edición de Commandino ya que
fue la edición consultada por todos los autores de los que trataremos en este texto.
4
Si bien los libros de los Porismas el testimonio de Pappus del libro VII de CM constituyó el material
fundamental para las reconstrucciones que de dichos libros euclidianos prepararon tanto Robert
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proporciona en el libro VII de CM sólo dos enunciados explícitos para los porismas
euclidianos; el primero de ellos parece ser una formulación del propio Pappus con la
que, afirma, ha sido capaz de resumir en uno solo el contenido de diez porismas de
Euclides.
El Porisma de Pappus
Como lo hemos señalado, en el Libro VII de CM Pappus señala que diez de los
porismas de Euclides pueden resumirse en la siguiente proposición:
Porisma (PE) Si en una figura convexa o no convexa (ὕπτίον ἣ παρφπτιον) [de
cuatro líneas rectas] tres puntos [de intersección] están dados en una
línea [de la figura], mientras que [cada uno] de los restantes, excepto uno,
se encuentran en contacto (ἂπτηται ϑέςει) con una línea [recta] dada,
entonces éste también permanecerá en contacto (ἂψεται ϑέςει) con una
línea [recta] dada.
En un lenguaje moderno podemos decir que este enunciado se refiere a una
configuración geométrica formada por cuatro líneas (rectas) y los seis puntos de
intersección que ellas determinan.5 De los tres puntos que hay en cada una de estas
líneas, se consideran dados (fijos) tres de ellos, por lo que la línea recta en la que
yacen también está dada. Los tres puntos restantes forman un triángulo y este
porisma asegura que si dos de ellos describen una trayectoria rectilínea, conforme
cada una de las líneas que se intersectan en dichos puntos gira en torno del punto
correspondiente que se ha fijado, entonces el tercer punto también describirá una
línea recta. Es claro que el enunciado de Pappus busca respetar el espíritu y la forma
de los porismas euclidianos tal y como él mismo los caracterizó, ya que no se
enuncia como un problema, a la manera de: “...encontrar el lugar descrito
(recorrido) por del tercer punto …”; así como tampoco se enuncia como un teorema,
Simson (Opera Quaedam Reliqua. Glasgow, 1776) Michel Chasles (Les trois livres de porismes
d'Euclide. Paris, 1860).
5
Visto que se considera que no hay tres rectas que se intersecten en un mismo punto.
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a la manera de: “... probar que el lugar descrito (recorrido) por el tercer punto es la
línea recta ....”. En este caso se asegura que dicho lugar es una línea recta y se pide
encontrarla ya que ésta ha sido dada.6 De acuerdo con ellos, en el cuadrilátero
𝓆[hkgl], con las rectas g=AC, h=AK, l=HC, k=HB, los puntos A, B y C de la recta g han
sido dados, mientras que el punto K se desplaza a lo largo de la línea (dada) KG
cuando las rectas h y l giran en torno de los puntos A y C respectivamente, y el
punto L se desplaza a lo largo de la línea (dada) LG cuando las rectas h y k giran en
torno de los puntos A y B respectivamente.
Fig1
El porisma afirma que bajo estas condiciones el giro de las rectas k y l en
torno de los puntos B y C hace que el punto H cambie a su vez de posición y que
describa así una línea recta que ha sido dada. Esto significa que si la recta h gira en
torno del punto A, y toma la posición h’, los puntos K y L tomarán las posiciones K’ y
L’, ya que las rectas BL y CK toman las posiciones BL’ y CK’ respectivamente. El punto
H, determinado por las rectas k=BL y l=CK, estará ahora en la nueva posición
H’=BL’∗CK’; se afirma que el punto móvil H» describe como lugar a una línea recta
que pasa por el punto G.
6
Acerca del uso polisémico del término “dado” en el lenguaje de la geometría antigua, y en particular
en el contexto que nos ocupa remitimos al lector al excelente artículo de F. Acerbi The languaje of the
Givens: its form and its use as a deductive tool in Greek mathematics. Arch. Hist. Exact Sci. 2011, 65,
pp. 119-153.
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De las proposiciones que Pappus demuestra en CM y que se presume deben
ser consideradas como lemas para el texto perdido de Euclides, el Teorema VII-130
se relaciona con el Porisma PE ya que asegura que si en la configuración asociada a
este porisma (Fig.1), un punto F colineal con los puntos A, B y C, es tal que la
siguiente proporción de rectángulos se satisface, entonces, los puntos H, G y F son
colineales:
AF×BC AB×DE
=
(1)
AB×FC AD×FE
De hecho el converso también se cumple: si los puntos H, G y F son
colineales, entonces el punto F y los puntos A, B, D, E y C de la recta transversal g
satisfacen la proporción de rectángulos (1). Pero lo más relevante es que los seis
puntos colineales A, B, D, E, C y F tienen la misma relación para los lados del
cuadrángulo [HKGL] y para los del cuadrángulo [H’K’GL’]; por lo que la proporción se
satisface si y sólo si los puntos H, G, H’ y F son colineales.
El Porisma de Pappus en una versión proyectiva
El Porisma PE puede ser visto a partir de una lectura que permite
comprender el por qué Poncelet consideraba que este enunciado, al igual que la
mayor parte de los enunciados del texto euclidiano, se refiere a propiedades
proyectivas de las figuras.7 Podemos considerar que en este caso se tiene tres
sucesiones o dominios de puntos (colineales) que constituyen a las rectas h, h» y g,
las que se encuentran en perspectiva a partir de los puntos H, H’ y G; de modo que
la composición de perspectivas
ALK ⊼ ABC ⊼ AL’K’ (2)
7
Es claro que cuando Poncelet habla acerca del texto de los Porismas sólo tiene a su alcance la
primera reconstrucción del texto euclidiano hecha por R. Simson, lo que el propio Poncelet deja ver
en el prefacio de su Traité des Propriétés Projectives des Figures de 1822.
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es equivalente a la perspectiva
ALK ⊼ AL’K’. (3)
De acuerdo con ello de la colinealidad de los puntos F, G. H y H’ asegurada
por el Porisma PE se concluye que la transformación proyectiva:
AFBC ⊼ ATLK ⊼ AFDE,
(4)
se puede obtener también como
AFBC ⊼ AT’L’K’ ⊼ AFDE;
(5)
lo que claramente permite comprender de un modo distinto el sentido del Teorema
VII-130 de CM: la proporción (1) es equivalente a la igualdad de las razones cruzadas
𝜚(AFBC)=𝜚(AFDE). La igualdad de estas dos razones cruzadas es una condición
necesaria y suficiente tanto para la colinealidad de los puntos H, F y G como para la
de los puntos H’, F y G.8
Como parte de esta lectura proyectiva del Porisma PE se puede asegurar que
los triángulos [HLK] y [H’L’K’] se encuentran en perspectiva axial respecto de la recta
g; el Porisma asegura que las tres rectas HH’, LL’ y KK’ que unen a los vértices
correspondientes concurren en el punto G. De hecho cualquier par de triángulos que
se encuentren en perspectiva axial siempre podrán ser inmersos en una
configuración equivalente a la configuración del Porisma PE, lo que presenta al
Teorema de Desargues como un caso particular.
La reconstrucción de Newton de los Porismas euclidianos
Es hacia fines de los años 1660's cuando Newton describe con claridad el
método sugerido para encontrar una cónica que pase por cinco puntos dados (de los
cuales no hay tres que sean colineales), método con el cual introduce a su
8
Si a=FG, entonces es claro que T=a∗h y T’=a∗h’. Es claro que en esta proposición la elección de las
rectas y de los puntos de intersección puede cambiar pero en cada caso la afirmación del porisma se
mantiene.
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Geometría Orgánica, pensada para describir y caracterizar no sólo a las cónicas sino
a cualquier curva geométrica mediante un cierto número (finito) de puntos fijos,
llamados polos, y de rectas movibles que giran en torno de dichos puntos; la curva
será descrita a partir de los puntos de intersección de las rectas movibles.
Pero si bien Newton no incluye ninguna prueba para esta construcción, en
dos textos escritos veinte años después introduce una prueba que nos remite de
manera indirecta a la práctica geométrica de los porismas. En los Principia (lema IXX), y algunos años antes en su texto Solutio Problematis Veterum de Loco Solido el
cual data aproximadamente de 1680, Newton proporciona una justificación para la
construcción orgánica de las cónicas. Newton afirma que en dicha construcción
siempre es posible encontrar a un paralelogramo 𝒬[HKGL] tal que dos de sus
vértices opuestos, H y G, sean puntos de la cónica; al prolongar desde uno de los
vértices de la curva, digamos H, los lados adyacentes, HK y HL, hasta que intersecten
a la curva en los puntos C y B respectivamente, y si desde estos puntos se trazan
líneas rectas a cualquier punto H’ de la curva y al tomar a los puntos de intersección
de estas líneas con los lados opuestos respectivos, X’=GL∗CH», Y’=GK∗BH’, se tiene
que la razón entre los segmentos X’G y Y’G es constante (Figura 2). Esto equivale a
afirmar que si H’’ es otro punto de la cónica y X’’=GL∗CH’’, Y’’=GK∗BH’’, entonces se
cumple que
X'G
Y'G
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=
X''G
Y''G
.
(6)
9
Fig 2
De hecho es fácil hacer ver que si se parte del otro vértice G y se toman los
puntos de intersección de la cónica con los lados adyacentes a este punto, los
puntos B1 y C1 de las líneas GK y GL, entonces A=C1C∗B1B es un punto de la recta KL.
Al tomar ahora los puntos de intersección de las rectas BH’ y CH’ con las líneas GL y
GK se obtienen los puntos L’=GL∗BH’ y K’=GK∗CH’. Ahora los puntos L’, K’ y A son
colineales. Esta construcción muestra una configuración muy similar a la del Porisma
PE: un cuadrángulo completo 𝒬[HKGL] y los puntos A, B y C que pertenecen a las
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rectas KL, HL y HK respectivamente, la única y gran diferencia es que estos tres
puntos no son colineales.
Sobre la legitimidad de esta relación entre la configuración del Porisma PE y
la que se encuentra en la construcción de Newton, es Colin MacLaurin quien en una
carta enviada a J. Machin, secretario de la Royal Society, fechada el 21 de diciembre
de 1732 y publicada en el vol.32 de las PT, nos aclara que
I had tried in the year 1719, what could be done by the rotation of Angles
on more than two Poles; and had observed that if the intersections of the
Legs of the Angles were carried over Right Lines as in Sir Isaac Newton's
Description, the Dimension of the Curve were not raised by the increase
of the number of Poles, and Right Lines; and therefore neglected this at
that time, as of no use to me; confining myself to two Poles only, and
varying the Motions of the Angles as you find them in my Book. [...] But in
June or July 1722, upon the hint I got from Mr. Sympson, of Mr. Pappus'
Porisms, I saw that what he has there ingeniously demonstrated, might
be considered as a case of the above mentioned description of a Conic
Section, by the rotation of any number of Angles about as many Poles;
the intersections of their Legs, in the mean time, being carried over fixed
Right Lines, excepting that of two of them which describes the Locus [...]
In November 1722, looking into Sir Isaac's Principia, I saw that the
description of the Conic Section by three Right Lines, moving as above,
about three poles, could be immediately drawn from his 20th Lemma,
which itself is a case of this description. This gradually led me to seek
Geometrical Demonstrations for the whole, as far as it related to the
Conic Sections.
Hay en efecto una idea clara de modificar el porisma original a partir de la
cual se obtiene el que si los puntos A, B y C son colineales el lugar descrito por los
puntos H, H’,... es una línea recta, pero si no son colineales entonces este lugar es
una cónica.
Conclusión
Quisiéramos hacer una última observación para dar cuenta de la relevancia y
posteridad de este encuentro. En la lectura proyectiva que hemos señalado para el
Porisma PE es posible releer las dos configuraciones, la de Pappus y la de
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Newton/MacLaurin, como la representación de una transformación definida entre
dos haces de rectas centrados en los puntos B y C en la que se trata de describir el
lugar de los puntos de intersección de las rectas correspondientes. Esta
transformación se encuentra totalmente descrita a partir de las rectas c=LG y b=KG
que son los ejes de la misma. De este modo se obtiene
k ⊼ h ⊼ l,
en donde la recta h pertenece al haz de rectas centrado en el punto A. Como se
observa tanto en las Figuras 1 y 3 se satisface el que el punto H (y los puntos H’, ...)
es la intersección de las rectas correspondientes k y l (k’ y l’,...) De este modo
reencontramos la definición de cónica propuesta por J. Steiner en 1832:
Two points B and C on a conic are the centers of a pair of line bundles
which are projective when the corresponding lines meet at a point of the
9
conic.
Con ello damos cuenta de una clara interacción entre un viejo estilo de
concebir y de tratar algunos enunciados geométricos, con un proyecto que en el
siglo XVII se anunciaba como el más prometedor de cuantos se hubieran llevado a
cabo: encontrar una clasificación completa de las curvas geométricas. Dicho
proyecto de investigación no logró los alcances que pretendía, pero en lo que se
refiere a la clasificación de las cónicas resulta ser una readaptación del enunciado
que Pappus propuso para resumir algunos de los porismas euclidianos. De este
reencuentro no es poco lo que la geometría proyectiva desarrollada en el siglo XIX
se va a alimentar, una nueva práctica matemática alimentada de dos antecedentes
distantes en el tiempo y en los proyectos en cuyo seno surgieron. La filosofía de la
práctica matemática tiene mucho que aprender de casos como este.
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J.Steiner. Systematische Enwickelung der Abhängikeit geometrischer Gestalten, 1832.
Notae Philosophicae Scientiae Formalis,
vol. 1, n. 1, p. 1 - 13, maio 2012.
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