Unidad Central del Valle del Cauca Facultad de Ciencias Administrativas, Económicas y Contables Programa de Contaduría Pública Curso de Matemáticas Financieras Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa Ejercicios resueltos sobre series uniformes Ejemplo 1. Durante un año se hacen depósitos de $50.000 al final de cada mes, en una corporación de ahorro que paga un interés del 2.1% mensual. ¿Cuánto se tendrá acumulado al cabo de los 12 meses? En este caso tenemos: A = 50.000 i = 2.1% mensual n = 12 meses F =? F=? 0 1 2 3 4 5 6 7 A=50.000 i =2,1% Aplicando F4.1 tenemos: (1,021)12 − 1 F = 50.000 0,021 F = 674.388,1 Usando la calculadora: 8 9 10 11 12 meses Ejemplos sobre series uniformes 12 n 2.1 i% 0 PV -50,000 PMT COMP FV EXE 674,388.10 Al final del año tendrá acumulado en su cuenta $674.388,10. Ejemplo 2. Un electrodoméstico puede ser adquirido a crédito pagando una cuota inicial de $50.000, y 18 cuotas de $30.000 cada una por mes vencido; si el almacén cobra un interés del 3% mensual, ¿cual será el valor de contado del artículo? En el ejemplo tenemos los siguientes datos. CI = 50.000 A = 30.000 i = 3% n = 18 P =? P=? 0 1 2 3 4 5 17 18 meses A=30.000 50.000 i =3% En este caso, el valor de contado del artículo será igual al valor presente de la anualidad más la cuota inicial pagada. Aplicando F4.3, se tiene: Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa Series uniformes 3 (1 + 0,03)18 − 1 P = 50.000 + 30.000 18 0,03(1 + 0,03) P = 50.0000 + 412.605,39 P = 462.605,4 Usando la calculadora: 18 n 3 i% 0 FV -30,000 PMT COMP PV EXE 412,605.39 + 50,000 462,605.39 Ejemplo 3. Se tiene planeado realizar un préstamo de $1.000.000 en una corporación financiera que cobra intereses del 42.58% efectivo anual. La corporación otorga un plazo de 24 meses y el pago se realizará con cuotas mensuales iguales. Se desea saber. a) ¿Cuál será el valor de cada pago? b) Si se realizara un solo pago al final del plazo, ¿cual sería su monto? SOLUCION: Para el caso a: P E n m i A F = $1.000.000 = $42.58% anual = 24 meses = 12 meses =? =? =? Lo primero que debemos hacer es hallar el interés periódico equivalente, para lo cual utilizamos la expresión F 2.2 i = 12 1,4258 − 1 Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa Series uniformes 4 i = 3% mensual El siguiente diagrama, permite visualizar la situación: 1.000.000 0 1 2 3 4 5 22 23 24 meses A=? i = 3% Aplicando F4.5 tenemos: 0,03(1,03)24 A = 1.000.000 24 (1 + 0,03) − 1 A = 59.047,42 Debe pagar 59.047,42 cada mes La segunda parte del ejercicio se puede graficarse de la siguiente manera: 1.000.000 0 1 2 3 4 5 22 23 24 meses i = 3% F=? Aplicando la expresión F3.1 tenemos: F = 1.000.000(1,03) F = 20.32.794,11 Debe cancelar $2.032.794, como pago único al final del plazo 24 Ejemplo 4. Se ha pactado el pago de una obligación, cancelando 24 cuotas de $20.000 c/u mes anticipado. ¿Cuál será el monto de la obligación, si el interés a pagar es del 3.1% mensual? Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa Series uniformes 5 P=? 0 1 2 3 4 5 23 24 Meses A=20.000 i=3,1% Utilizando la expresión de valor presente para una anualidad vencida, 24 periodos (de 0 a 23 hay 24 pagos), tenemos: P=? -1 0 1 2 3 4 5 23 24 Meses A=20.000 i=3,1% (1 + 0,031)24 − 1 P = 20.000 = 335.090,9 24 0,031(1 + 0,31) Valor presente en el punto “-1” Para hallar el valor presente en el punto “0”, simplemente “trasladamos” P-1 a P0 utilizando para ello la expresión de equivalencia dada para hallar valor futuro: F = 335.090,90(1,031) = 345.478,7 En este caso “F” el valor en el punto “0”, es decir el valor presente de la anualidad Podemos igualmente “Acomodar” el flujo de tal manera que permita utilizar la expresión de equivalencia de una anualidad vencida, para obtener el valor en P0: Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa Series uniformes 6 P 0 1 2 3 4 22 20.000 A 23 24 meses A=20.000 i=3,1% En este caso tenemos: A = 20.000 i = 3,1% n = 23 meses P=? (1 + 0,031)23 − 1 P = 20.000 + 20.000 23 0,031(1 + 0,031) P = 345.478,7 Usando calculadora: Como es una anualidad anticipada, la calculadora debe estar en el modo “BGN”, el cual se activa pulsando las teclas SHIFT y MODE. Las letras “BGN deben aparecer en pantalla BGN 345,478.689 0 FV 24 n 3.1 i% -20,000 PMT COMP PV EXE 345,478.68 Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa Series uniformes 7 Ejemplo 5. El propietario de un apartamento, pacta con el arrendatario un canon mensual de arrendamiento de $150.000 mensuales, los cuales deberán ser consignados al inicio de cada mes en una cuenta de ahorro que paga un interés del 2% mensual. El propietario salió de viaje y al cabo de dos años regresa a su ciudad. Asumiendo que el arrendatario canceló cumplidamente el arriendo, ¿cuánto tendrá acumulado en su cuenta de ahorros?. En este caso los datos son: A = 150.000 i = 2% mensual n = 24 meses F = .? F=? 0 1 2 3 4 5 22 A=150.000 i = 2% (1 + i )n − 1 F = A i (1 + 0,02)24 − 1 F = 150.000 0,02 F = 4.563.279,4- Æ Valor futuro en el periodo 23 El valor futuro pedido (en el periodo 24) será: F = P(1 + i ) n F = 4.563.279,4(1.02) F = 4.654.545 Æ Valor acumulado al cabo de los dos años Usando la calculadora: Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa 23 24 meses Series uniformes 8 BGN 4,654,544.958 0 PV 24 n 2 i% -150,000 PMT COMP FV EXE 4,654,544.95 Ejemplo 6. Un agricultor recibe un préstamo por valor de $5.000.000, de una entidad de fomento agropecuario, la cual le concede un periodo de gracia de cuatro años, durante los cuales no abona a capital ni a intereses. A partir de este periodo debe cancelar el préstamo más los intereses acumulados, pagando 5 cuotas anuales iguales. Si la entidad le cobra un interés del 30% anual, ¿cual será el valor de cada una de las cuotas? El siguiente diagrama nos detalla el ejemplo propuesto: 5.000.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 años A=?5 i = 30% Para hallar el valor de la anualidad, es necesario calcular primero el valor acumulado hasta el momento en el cual se inician los pagos, en este caso hasta el periodo cuatro (Recordemos que el valor presente de una anualidad se ubica un periodo antes del primer pago. Como la anualidad se inicia en el periodo 5, el valor presente se debe calcular para el periodo 4). O sea: F = 5.000.000 (1,3)4 F = 14.280.500 Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa Series uniformes 9 Ahora solo resta hallar el valor de la anualidad, dado un valor presente, durante 5 periodos, 14.280.5000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 años A=?5 i = 30% i(1 + i )n A = P n (1 + i ) − 1 0.3(1.3)5 A = 14.280.500 5 (1.3) − 1 A= 5.863.309.8 Deberá pagar $5.863.309,8 cada año, durante 5 años, para cancelar el préstamo. Ejemplo 7: Un alcalde desea establecer un fondo para garantizar el mantenimiento de las instalaciones del consejo municipal, el cual debe realizarse a perpetuidad, y cuyo costo anual de $5.000.000. Suponiendo que el costo y los intereses permanecen constantes, ¿Cuánto deberá depositar hoy en una entidad que le reconoce intereses del 20% anual? P = .? I = 20% N = Infinito P= A i P= 5.000.000 = 25.000.000 0.2 Debe establecer un fondo de $25.000.000, para garantizar retiros de $5.000.000 anuales a perpetuidad. Profesor: Javier Hernando Ossa Ossa