Cotas Básicas

Depto. de Ingenierı́a Matemática
U. de Chile
Cotas Básicas
por: Marcos Kiwi
Última modificación: 15/Dic/2011
Cotas elementales:
(1 − x)n ≥ 1 − nx para todo n ∈ N y 0 ≤ x ≤ 1.
x
x
1
1 − x1 ≤ e−1 ≤ 1 − x+1
para todo x ≥ 1.
Cotas para exponenciales: Si x ∈ R:
1 + x ≤ ex .
ex <
xy
e x+y
1
1−x
si x < 1.
y
si x, y > 0.
< 1 + xy
ex ≤ 1 + x + x2 si |x| ≤ 1.
|x|
4
≤ |ex − 1| <
7|x|
4
si |x| ≤ 1.
|ex − 1| ≤ e|x| − 1 ≤ |x| e|x| .
ex >
xn
n!
+ 1 si n ∈ N \ {0} y x > 0.
e−x ≤ 1 −
x
2
si 0 ≤ x ≤ 1,5936.
Cotas para factoriales:
√
n
n! = 2πn ne
1+Θ
1
n
. Especı́ficamente, para todo n ∈ N se tiene que
√
2πn
n n
e
≤ n! ≤
√
2πn
n n+(1/12n)
e
.
Cotas para coeficientes Binomiales:
n k n (n)
Qk
nk
k
≤
≤
≤ nk , para todo n, k ∈ N, k 6= 0, donde (n)k = i=0 (n − i).
≤
k
k
k!
k!
n
en k
≤
para todo n, k ∈ N, k 6= 0.
k
k
n
nn
≤ k
para todo 0 < k < n.
k (n − k)n−k
k
n
≤ 2nH(λ) para 0 < λ < 1, donde H(λ) = −λ lg λ − (1 − λ) lg(1 − λ).
λn
22n
2n
1
=√
1+O
.
n
n
πn
1