Multiplicación de matrices y transformaciones lineales.

Algebra Lineal XVII: Multiplicación de matrices y
transformaciones lineales.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx
En la nota anterior se mostró la relación estrecha entre la suma y multiplicación escalar de transformaciones lineales y la suma y multiplicación escalar de matrices. En estas notas se mostrará la relación,
igualmente estrecha, entre la multiplicación de matrices y la composición de transformaciones lineales.
El objetivo final es la definición del álgebra de matrices.
Figura 1: Representación Gráfica de la Composición de Transformaciones Lineales.
1.
Matriz representativa de la composición de transformaciones
lineales.
En las notas Álgebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales se definió la
composición o producto de transformaciones lineales. De manera mas especı́fica sean S : V → V′ y
T : V′ → V′′ dos transformaciones lineales. El producto o composición de transformaciones lineales,
T S, es el mapeo
T S : V → V′′ (T S)(~v ) = T [S(~v )] ∀~v ∈ V.
La figura 1 provee de una representación gráfica de la composición o producto de transformaciones
lineales. Note que, en general, el producto ST no está definido.
′
} y BV′′ = {~v1′′ , ~v2′′ , . . . , ~vr′′ } bases de V, V′ y V′′
Sean BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }, BV′ = {~v1′ , ~v2′ , . . . , ~vm
respectivamente. Estas suposiciones implican que dimV = n, dimV′ = m, dimV′′ = r. Mas aún, sea M
1
′
} donde
la matrı́z representativa de S respecto a las bases BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }, BV′ = {~v1′ , ~v2′ , . . . , ~vm
M viene dado por


m11 m12 . . . m1n
 m21 m22 . . . m2n 


M = .
..
..
.. 
 ..
.
.
. 
mm1 mm2 · · · mmn
Entonces,
S(~v1 )
′
= m11~v1′ + m21~v2′ + . . . + mm1~vm
=
m
X
mi1~vi′
′
= m12~v1′ + m22~v2′ + . . . + mm2~vm
=
m
X
mi2~vi′
i=1
S(~v2 )
i=1
..
.
S(~vm )
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
′
= m1n~v1′ + m2n~v2′ + . . . + mmn~vm
=
m
X
min~vi′
i=1
Similarmente, sea N la matriz representativa de T respecto
{~v1′′ , ~v2′′ , . . . , ~vr′′ } donde N viene dado por

n11 n12 . . .
n21 n22 . . .

N = .
..
..
 ..
.
.
nr1 nr2 · · ·
′
} y BV′′ =
a las bases BV′ = {~v1′ , ~v2′ , . . . , ~vm

n1m
n2m 

.. 
. 
nrm
Entonces,
T (~v1′ )
= n11~v1′′ + n21~v2′′ + . . . + nr1~vr′′ =
r
X
ni1~vi′′
= n12~v1′′ + n22~v2′′ + . . . + nr2~vr′′ =
r
X
ni2~vi′′
i=1
T (~v2′ )
i=1
..
.
′
T (~vm
)
..
.
=
..
.
n1m~v1′′
..
.
+
..
.
n2m~v2′′
..
.
+ ... +
nrm~vr′′
=
r
X
nim~vi′′
i=1
Entonces, se tiene que
(T S)(~vj ) = T [S(~vj )]
= T [m1j ~v1′ + m2j ~v2′ + . . . + mnj ~vn′ ]
= m1j T (~v1′ ) + m2j T (~v2′ ) + . . . + mnj T (~vn′ )
= m1j [n11~v1′′ + n21~v2′′ + . . . + nr1~vr′′ ] + m2j [n12~v1′′ + n22~v2′′ + . . . + nr2~vr′′ ]
+ . . . + mnj [n1n~v1′′ + n2n~v2′′ + . . . + nrn~vr′′ ]
= [m1j n11 + m2j n12 + . . . + mnj n1n ]~v1′′ + [m1j n21 + m2j n22 + . . . + mnj n2n ]~v2′′
+ . . . + [m1j nr1 + m2j nr2 + . . . + mnj nrn ]~vr′′
Entonces, la matriz representativa de la transformación lineal T S, respecto a las bases BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vm },
del espacio vectorial V y BV′′ = {~v1′′ , ~v2′′ , . . . , ~vr′′ } del espacio vectorial V′ denotada por P , tendrá en la
2
columna j los siguientes elementos
p1j
= m1j n11 + m2j n12 + . . . + mnj n1n =
k=n
X
mkj n1k ,
k=n
X
mkj n2k ,
k=n
X
mkj nrk ,
k=1
p2j
= m1j n21 + m2j n22 + . . . + mnj n2n =
k=1
..
.
prj
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
= m1j nr1 + m2j nr2 + . . . + mnj nrn =
k=1
De manera mas general, el elemento de la matriz P localizado en la i-ésima fila y la j-ésima columna
estará dado por
k=n
X
nik mkj ,
pij = m1j ni1 + m2j ni2 + . . . + mnj nin =
k=1
este elemento es el resultado de multiplicar la i−ésima fila de la matriz N con la j−ésima columna de la
matriz M .
Definición de multiplicación de matrices. Sea M ∈ Mm×n y N ∈ Mn×r . Entonces, la multiplicación
de matrices P = N M es una matriz perteneciente a Mm×r , tal que el elemento de P localizado en la
i−ésima fila y la j−ésima columna, denotado pij está dado por
pij = ni1 mj1 + ni2 mj2 + . . . + nin mjn =
k=n
X
nik mkj ,
k=1
Este resultado se obtiene multiplicando la i−ésima fila de N por la j−ésima columna de M . Además,
esta definición implica que si N y M son las matrices representativas de T y S entonces P = N M es la
matriz representativa de la transformación T S.
Es importante notar que para que la operación de multiplicación de matrices pueda definirse, es
necesario que el número de filas de la matriz N sea igual al número de columnas de la matriz M . Si esta
condición se satisface, las matrices se dice que son conformables.
Teorema. Suponga que las operaciones de suma y multiplicación de matrices indicadas a continuación
pueden realizarse, entonces, se tienen las siguientes propiedades.
1.
La multiplicación es asociativa
(AB)C = A(BC).
2.
En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa
AB 6= BA.
3.
La multiplicación es distributiva respecto a la adición.
(A + B)C = AC + BC,
4.
y C(A + B) = CA + BA.
La multiplicación conmuta con la multiplicación por escalar
λ(AB) = (λA)B = A(λB).
3
Finalmente, se probará un último resultado que permite emplear la matriz representativa de una transformación
lineal para determinar la imagen de un vector bajo la transformación lineal.
Teorema. Sea T : V → V′ una transformación lineal y sea M la matriz representativa de T respecto
~ el vector
a la base BV del espacio vectorial V y a la base BV′ del espacio vectorial V′ . Entonces, si X
coordenado de un vector ~v ∈ V respecto a la base BV del espacio vectorial V, entonces
~ = MX
~
Y
es el vector coordenado de T (~v ) respecto a la base BV′ del espacio vectorial V′ .1
′
} entonces, M , la matriz representativa de
Prueba. Sea BV = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vn }, BV′ = {~v1′ , ~v2′ , . . . , ~vm
T respecto a las bases BV y BV′ est´a dada por


m11 m12 . . . m1n
 m21 m22 . . . m2n 


M = .
..
..
.. 
 ..
.
.
. 
mm1
mm2
Entonces
~v = x1~v1 + x2~v2 + . . . + xn~vn
···
mmn

x1
 x2 

~ =
donde X
 .. 
 . 

xn
Por lo tanto
T (~v )
= x1 T (~v1 ) + x2 T (~v2 ) + · · · + xn T (~vn )
′
′
= x1 (m11~v1′ + m21~v2′ + · · · + mm1~vm
) + x2 (m12~v1′ + m22~v2′ + · · · + mm2~vm
)
′
′
′
+ · · · + xn (m1n~v1 + m2n~v2 + · · · + mmn~vm )
= (m11 x1 + m12 x2 + · · · + m1n xn )~v1′ + (m21 x1 + m22 x2 + · · · + m2n xn )~v2′
′
+ · · · + (mm1 x1 + mm2 x2 + · · · + mmn xn )~vm
Por lo tanto, el vector coordenado de T (~v ) respecto a la base BV′ está dado por

 
 
m11 x1 + m12 x2 + · · · + m1n xn
m11 m12 · · · m1n
x1
 m21 x1 + m22 x2 + · · · + m2n xn   m21 m22 · · · m2n   x2 
 
 
~ = 
~
Y

 =  ..
..
..
..
..   ..  = M X



.
.
.
.
.  . 
mm1 x1 + mm2 x2 + · · · + mmn xn
mm1 mm2 · · · mmn
xn
2.
Problema Resuelto.
Considere
bases, R2 y BR2 = {(1, 2), (2, 1)}, P2 (x)
© los siguientes espacios vectoriales y sus2respectivas
ª
2×2
2
y BP (x) = p1 (x) = 1, p2 (x) = 1 + x, p3 (x) = 1 + x y M
y
½·
¸ ·
¸ ·
¸ ·
¸¾
1 0
0 1
0 0
0 0
BM2×2 =
,
,
,
0 0
0 0
1 0
0 1
1 Debe notarse que X
~ puede considerarse como una matriz de una columna y tantas filas como la dimensión de V,
~ puede considerarse como una matriz de una columna y tantas filas como la dimensión de V′ .
similarmente, Y
4
Considere las siguientes transdormaciones lineales
S : R2 → P2 (x)
S(a1 , a2 ) = (a1 − a2 ) + a2 x + a1 x2
·
¸
a2
a1
2
T (a0 + a1 x + a2 x ) =
a0 a2 − a1
T : P2 (x) → M2×2
Determine:
1.
La transformación lineal compuesta T S : R2 → M2×2 .
2.
La matriz representativa, M, de la transformación lineal S : R2 → P2 (x) respecto a las bases BR2
y BP2 (x) .
3.
La matriz representativa, N, de la transformación lineal T : P2 (x) → M2×2 respecto a las bases
BP2 (x) y BM2×2 .
4.
La transformación lineal compuesta T S : R2 → M2×2 .
5.
La matriz representativa, P, de la transformación lineal T S : R2 → M2×2 respecto a las bases BR2
y BM2×2 .
6.
Verifique que la matrix P está dada por N M.
Resultados. Para la matriz M, se tiene que
S(1, 2)
= −1 + 2 x + x2 = −4(1) + 2(1 + x) + 1(1 + x2 )
S(2, 1)
=
1 + x + 2 x2 = −2(1) + 1(1 + x) + 2(1 + x2 )
Por lo tanto, la matriz M está dada por


−4 −2
1 
M= 2
1
2
Para la matriz N, se tiene que
·
¸
·
¸
·
¸
·
¸
·
¸
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
T (1) =
=0
+0
+1
+0
1 0
0 0
0 0
1 0
0 1
·
¸
·
¸
·
¸
·
¸
·
¸
0 1
1 0
0 1
0 0
0 0
T (1 + x) =
=0
+1
+1
−1
1 −1
0 0
0 0
1 0
0 1
·
¸
·
¸
·
¸
·
¸
·
¸
1 0
1 0
1 0
0 0
0 0
T (1 + x2 ) =
=1
+0
+1
+1
1 1
0 0
1 1
1 0
0 1
Por lo tanto, la matriz N está dada por

0
 0

N=
1
0
0
1
1
−1

1
0 

1 
1
Respecto a la transformación lineal compuesta T S : R2 → M2×2 , se tiene que
·
¸
¤
£
a1
a2
(T S)(a1 , a2 ) = T [S(a1 , a2 )] = T (a1 − a2 ) + a2 x + a1 x2 =
a1 − a2 a1 − a2
5
Para la matriz P, se tiene que
·
¸
·
1
2
T (1, 2) =
=1
−1 −1
¸
·
·
1
2 1
=2
T (2, 1) =
0
1 1
¸
·
1 0
+2
0 0
¸
·
0
0
+1
0
0
¸
·
0 1
−1
0 0
¸
·
0
1
+1
1
0
0
1
0
0
0
0
¸
¸
−1
·
0
+1
0
·
0
0
0
1
0
1
¸
¸
Por lo tanto, la matriz P está dada por

1
 2
P=
 −1
−1

2
1 

1 
1
y puede probarse que

1
 2
P=
 −1
−1
3.
 
0 0
2
 0 1
1 
=
1   1 1
0 −1
1


1 
−4 −2
0 
 2
1  = N M.
1 
1
2
1
Problemas Propuestos.
Problema 1. Considere la transformación lineal T : P3 → R3 dada por
T (a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = (a0 − 2a3 , a1 + 2a2 , a2 − a3 )
y considere las bases BP3 = {1, 1 + x, x2 , x2 + x3 } y BR3 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.
1.
Pruebe que T es realmente una transformación lineal.
2.
Pruebe que BP3 = {1, 1 + x, x2 , x2 + x3 } y BR3 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} son realmente bases
de los espacios vectoriales P3 y R3 .
3.
Determine M la matriz representativa de T respecto a las bases BP3 y BR3 .
4.
Encuentre la imagen bajo T del polinomio p(x) = 3 − x + x2 − 5x3 .
5.
~ el vector coordenado de p(x) respecto a la base BP3 = {1, 1 + x, x2 , x2 + x3 }.
Encuentre X
6.
~ = M X.
~
Determine el vector Y
7.
~ es el vector coordenado de T (p(x)) respecto a la base BR3 = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}.
Verifique que Y
Problema 2. Considere la transformación lineal T : P2 → P2 dada por
T (p(x)) = p(x+2)
T (a0 +a1 x+a2 x2 ) = a0 +a1 (x+2)+a2 (x+2)2 = (a0 +2 a1 +4 a22 )+(a1 +2 a2 ) x+a2 x2
y considere la base BP2 = {1, x, x2 }.
1.
Pruebe que T es realmente una transformación lineal.
2.
Pruebe que BP2 = {1, x, x2 } es realmente una base de los espacios vectoriales P2 .
3.
Determine M la matriz representativa de T respecto a la base BP2 = {1, x, x2 }.
4.
Encuentre la imagen bajo T del polinomio p(x) = 3 − x + x2 .
5.
~ el vector coordenado de p(x) respecto a la base BP2 = {1, x, x2 }.
Encuentre X
6.
~ = M X.
~
Determine el vector Y
7.
~ es el vector coordenado de T (p(x)) respecto a la base BP2 = {1, x, x2 }.
Verifique que Y
6