Examen febrero

Teoría de juegos
Examen 3 de febrero de 2015
Macar lo que corresponda:
Reglamentado
Libre
Nombre ___________________________________________ C.I. _____________________________________
NOTA: Es una prueba con materiales a la vista
ADVERTENCIA: una respuesta sin fundamentación o explicación podrá ser calificada como insuficiente.
Estudiantes reglamentados: Deben realizar los dos ejercicios de la primera parte y uno a elección de la segunda parte. Se califica
sobre tres ejercicios. Disponen de una hora y media.
Estudiantes libres: Deben realizar la totalidad del examen. Se califica sobre cuatro ejercicios. Disponen de dos horas.
Primera parte
Ejercicio 1
La siguiente matriz representa un juego estático entre el Jugador 1 y el Jugador 2. Los números entre paréntesis representan las
utilidades de los jugadores. El número a la izquierda de la coma es la utilidad del jugador 1 y el de la derecha, la utilidad del
jugador 2.
Jugador 2
y1
y2
y3
y4
x1
(0,-1)
(4,1)
(2,0)
(1,-1)
Jugador 1
x2
(1,1)
(3,1)
(-2,3)
(1,0)
x3
(3,-2)
(3,2)
(3,3)
(2,-3)
1.1 (2 puntos) Determine si los jugadores tienen estrategias dominadas y reduzca la matriz eliminándolas. Fundamente.
1.2 (2 puntos) Determine si la matriz reducida tiene equilibrios de Nash y diga cuáles son. Fundamente.
Ejercicio 2
Considere el siguiente juego de señalización.
2,1
100,3
u
u
L
𝐽1𝑡1
R
𝛼
50,0
J2
𝛽
0,5
d
d
0,0
N
2,4
u
1−𝛼
L
0,1
d
60,0
0,5
u
1−𝛽
𝐽1𝑡2
R
J2
d
100,2
2.1. Determine los valores de 𝛼 y 𝛽. En otras palabras, determine (i) la probabilidad que el jugador 2 asigna a que el jugador 1
sea de tipo 1 después de haber visto que el jugador 1 jugó L y (ii) la probabilidad que el jugador 2 asigna a que el jugador 1 sea
de tipo 1 después de haber visto que el jugador 1 jugó R. Explique.
2.2. ¿Hay equilibrios agrupadores en este juego? Si los hay, identifíquelos, si no los hay, diga por qué no.
2.3. ¿Hay equilibrios separadores en este juego? Si los hay, identifíquelos, si no los hay, diga por qué no.
1
Segunda parte
Ejercicio 3
Considere un juego en que el jugador 1 (J1) decide en primer lugar si moverse hacia la izquierda (I) o hacia la derecha (D) y
después el jugador 2 (J2) decide si moverse hacia la izquierda (I’) o hacia la derecha (D’). Los pagos de los jugadores 1 y 2 son,
respectivamente: (i) (2,2), si ambos juegan izquierda; (ii) (0,0), si J1 juega izquierda y J2 juega derecha; (iii) (1,-1), si J1 juega
derecha y J2 juega izquierda; y (iv) (-1,1) si ambos juegan derecha.
3.1. Suponga que el jugador 2 observa la jugada del jugador 1 antes de hacer su propia jugada. Represente el árbol del juego y
determine el o los resultados por retroinducción.
3.2. Suponga que el jugador 2 no observa la jugada del jugador 1 antes de hacer su propia jugada. Represente el árbol del juego
y determine el o los equilibrios de Nash.
Pauta de respuesta
Ejercicio 1
1.1
Jugador 1
x1
x2
x3
Jugador 2
y1
(0,-1)
(1,1)
(3,-2)
y2
(4,1)
(3,1)
(3,2)
y3
(2,0)
(-2,3)
(3,3)
y4
(1,-1)
(1,0)
(2,-3)
Primero observo las estrategias del Jugador 1 y determino que x2 es una estrategia dominada y por lo tanto la elimino.
Jugador 2
y1
y2
y3
y4
x1
(0,-1)
(4,1)
(2,0)
(1,-1)
Jugador 1
x3
(3,-2)
(3,2)
(3,3)
(2,-3)
Una vez eliminada x1 observo las estrategias del Jugador 2 y determino que tanto y1 como y4 son estrategias dominadas y por
lo tanto las elimino.
Luego de eliminar y1 e y4 me queda la siguiente matriz reducida:
Jugador 2
y2
y3
x1
(4,1)
(2,0)
Jugador 1
x3
(3,2)
(3,3)
1.2. Ahora en la matriz reducida se observa que ni el Jugador 1 ni el Jugador 2 tienen estrategias dominadas. Para el Jugador 1
lo mejor es jugar x1 cuando el Jugador 2 juega y2 y lo mejor es jugar x3 cuando 2 juega y3. A su vez, para el Jugador 2 lo mejor es
jugar y2 cuando el Jugador 1 juega x1 y lo mejor es jugar y3 cuando 1 juega x3. Por lo tanto los perfiles de estrategia (x1, y2) y
(x3, y3) son equilibrios de Nash, ya que contienen las mejores jugadas de cada jugador dadas las jugadas del otro jugador.
Pero ninguno de esos resultados constituye un equilibrio porque alguna de las estrategias no es una mejor respuesta a la jugada
del otro jugador. Todos ellos implican el uso de estrategias dominadas.
Ejercicio 2
2.1. Observamos que el jugador 1 de tipo 1 siempre juega L, sin importar lo que juegue el jugador 2. Si J2 juega u, J1T1 gana 100
si juega L y 2 si juega R. Si J2 juega d, J1T1 gana 50 si juega L y gana 0 si juega R. R es dominada para J1T1.
Asimismo, el jugador 1 de tipo 2 siempre juega R, sin importar lo que juegue el jugador 2. Si J2 juega u, J1T2 gana 2 si juega L y
60 si juega R. Si J2 juega d, J1T2 gana 0 si juega L y gana 100 si juega R. L es dominada para J1T2.
Por lo tanto, 𝛼 = 1, 𝛽 = 0.
2.2. No habrá equilibrios agrupadores en este ejercicio, dado J1T1 siempre juega L y J1T2 siempre juega R. Por lo tanto, las
únicas creencias racionales son 𝛼 = 1, 𝛽 = 0.
2.3. Sí existe un equilibrio separador en el que J1T1 juega L y J1T2 juega R.
𝛼 = 1, 𝛽 = 0
2
¿Qué hace J2?
Si observa L, está seguro que se está enfrentando a un J1T1 y entonces juega u (gana 3 en vez de 0).
Si observa R,está seguro que se está enfrentando a un J1T2 y entonces juega d (gana 2 en vez de 0).
¿J1T1 tiene incentivos a desviarse?
No. Si juega L gana 100 y si juega R gana 0.
¿J1T2 tiene incentivos a desviarse?
No. Si juega R gana 100 y si juega L gana 2.
Entonces existe un equilibrio separador en el que J1T1 juega L, J1T2 juega R y J2 juega u si observa L y d si observa R.
NOTA: El otro posible equilibrio separador donde J1T1 juega R y J1T2 juega L no podría existir, puesto que para cualquier jugada
de J2, J1T1 maximiza su utilidad jugando L (R es dominada para J1T1). Lo mismo ocurre para J1T2: L es dominada para este
jugador.
Ejercicio 3
3.1 Es un juego con información perfecta. La representación del juego en forma extensiva:
J1
I
D
J2
J2
D’
I’
D’
I’
2
2
0
0
1
-1
-1
1
Empezamos por el último en jugar. El jugador 2 prefiere jugar I’, si J1 jugó I, y prefiere jugar D’, si J1 jugó D. En la primera etapa,
el jugador 1 anticipa lo que hará el jugador 2 después, por lo tanto puede anticipar que si elige I obtendrá 2 y si elige D obtendrá
-1. El jugador 1 entonces elige I y luego el jugador 2 elige I’. El resultado por retroinducción es entonces (I,I’).
3.2 Es un juego con información imperfecta. La representación del juego en forma extensiva:
J1
I
D
J2
J2
D’
I’
D’
I’
2
2
0
0
1
-1
-1
1
3
Donde la línea punteada indica el conjunto de información del jugador 2. Para determinar el equilibrio de Nash, pasamos a la
forma normal:
J1
J2
I’
D’
I
(2,2)
(0,0)
D
(1,-1)
(-1,1)
Mejores respuestas. Si J1 elige I, mejor respuesta de J2 es I’. Si J1 elige D, mejor respuesta de J2 es D’. Si J2 elige I’, mejor
respuesta de J1 es I. Si J2 elige D’, mejor respuesta de J1 es I. Por lo tanto, hay un solo equilibrio de Nash en que ambos juegan
izquierda.
4