UNIVERSIDAD DE ANTIOQUÍA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUÍA
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11
TALLER Nº15 APLICACIÓNES TRIGONOMETRICAS
Reseña histórica
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los
ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los
primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar
medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de
los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la
predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la
navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y
astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la
Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de
las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y
desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para
convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo
X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y
demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como
esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a
los valores modernos de las funciones trigonométricas
Las aplicaciones modernas de la trigonometría, abarcan muchos tipos de problemas que tienen
poco o nada que ver con ángulos y triángulos; entre ellas, fenómenos como la luz, las ondas
eléctricas y los movimientos planetarios.
Objetivo: Aplicar las funciones trigonométricas a la solución de problemas.
TEORÍA:
La Trigonometría es la parte de las matemáticas elementales puras, que trata de la resolución
analítica de los triángulos, relacionando sus lados y sus ángulos. La palabra Trigonometría
significa “medición de Triángulos”
Los principales sistemas de medición de ángulos son el sexagesimal (unidad de medida es el
grado: 1º = 1/360 de la circunferencia) y el circular (unidad de medida es el radián).
La relación entre grado y radian esta dada por: 180º = π radianes.
Definición de Funciones trigonométricas: dados un ángulo α en posición normal, un
punto P(x, y) (distinto del origen) sobre el lado terminal del ángulo. Las seis funciones
trigonométricas de α se definen, en términos de la abscisa x, la ordenada y y la distancia r del
punto P al origen.
Solución de triángulos
Resolver un triángulo significa encontrar el valor o medida de algunos de sus elementos,
cuando se conocen los valores o medidas de otros. Esta aplicación de la trigonometría nos
permite encontrar la medida de alturas y distancias cuando esta no se puede hacer
directamente.
Ejemplo: Hallar la altura de una montaña o la distancia entre dos lugares del espacio.
Para la solución de triángulos rectángulos es necesario recordar:
•
•
•
•
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos
(teorema de Pitágoras)
La hipotenusa es el lado mayor pero es menor que la suma de los catetos.
Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90º (son complementarios)
Se requiere como mínimo conocer dos de sus elementos (además del ángulo recto) y
que uno de estos sea un lado.
Los triángulos oblicuángulos son los que no tienen ningún ángulo recto. En este tipo de
triángulos, los tres ángulos son agudos o el triángulo posee dos ángulos agudos y uno obtuso.
Decimos que un triángulo esta perfectamente determinado cuando se conocen tres
cualesquiera de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado.
En la solución de triángulos oblicuángulos se presentan los siguientes casos.
• Se dan dos ángulos y un lado
• Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
• Se dan dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
• Se dan los tres lados.
•
Cualquier triángulo puede resolverse usando suma de ángulos interiores, ley de senos o ley de
cosenos.
Expresiones de uso corriente
El ángulo de elevación es el ángulo que forma la visual de un observador con el plano
horizontal que pasa por el ojo del observador cuando el objeto observado esta por encima
de dicho plano. Si el objeto queda por debajo de dicho plano, entonces el ángulo formado
se llama ángulo de depresión
Solución de Triángulos
4. Calcular el área de triangulo ABC
dado.
1. Un muro de una casa tiene 2,10 m
de alto. Para alcanzarlo es
necesario utilizar una escalera que
forme 48° con la horizontal. ¿Cuál
debe ser la longitud de la escalera?
2. Deseamos medir la altura de un
árbol. En un determinado momento
del día medimos la longitud de su
sombra, que es 9m y medimos el
ángulo que forma la recta que une
el extremo superior del árbol y el
extremo de su sombra y da como
resultado 47°. ¿Cuál es la altura
del árbol?
3. Un rectángulo, ABCD, tiene como
base AB y medida 4.5m, altura BC
y medida 1.5m. Calcular el ángulo
que forma la diagonal AC, con la
base.
5. Calcular el perímetro del trapecio
dado, si el ángulo ADC mide
60°.
6. Un edificio está en la orilla de un
lago. Un observador está situado
en dirección opuesta en la otra
orilla y los separa el agua. Dispone
de utensilios para medir ángulos y
de escala para medir pequeñas
distancias. Sobre el piso plano
mide una distancia de 1m y los
ángulos que forman las visuales
que van de los extremos del
segmento a la parte más alta del
edificio son 45° y 50°
respectivamente.¿Cuál es la altura
del edificio?
7. ¿Cuál es el ángulo que debe
formar un techo, con la horizontal,
si las vigas que lo sostienen tiene
una longitud de 5m y el pilote
central 1m? ¿Cuál es la longitud de
la viga horizontal?
8. Un cuadro localizado sobre una
pared es tal que su borde inferior
esta a una distancia de 20 cm
sobre el nivel del ojo de un
observador situado a 2 m de la
pared. Si el ángulo que forman las
visuales con los bordes inferior y
superior respectivamente, mide
10°, ¿Cuál es la altura del cuadro?
9. Un avión sale de un aeropuerto y
se eleva manteniendo un ángulo
constante de 8° hasta que
adquiere una altura de 6 km.
Determinar a que distancia
horizontal del aeropuerto se
encuentra en ese momento.
10. Desde un punto situado a dos
metros sobre el nivel del piso, u
hombre de 1.7 m observa la torre
de un edificio situado a 20 m sobre
la horizontal. Si el ángulo que
forma la visual con la horizontal es
de 45°, ¿Cuál es la altura del
edificio?
11. Calcular el ancho de una calle si un
observador situado sobre un
edificio de 90 m de altura, ve el
otro lado de la misma bajo un
ángulo de 60° con respecto a la
horizontal.
12. Una persona se encuentra en la
ventana de su apartamento que
esta situada a 8 m del suelo y
observa el edificio de enfrente de la
siguiente manera: la parte superior,
con un ángulo de elevación de 30°
y la parte inferior con un ángulo de
depresión de 45°. Determinar la
altura del edificio de enfrente.
13. Dos lados adyacentes de un
paralelogramo se cortan en un
ángulo de 35° y tienen longitudes
de 3 y de 8 cm. Determinar la
longitud de la diagonal corta.
14. Calcular la distancia entre los
puntos A y B, entre los cuales hay
una montaña, sabiendo que sus
distancias a un punto O de la cima
de la montaña son de 300 m y
400 respectivamente y que el
ángulo AOB es de 50°.
15. Desde un punto A sobre un plano
horizontal se halla atado un globo
(el globo se sostiene verticalmente
en el aire); al mismo nivel de A se
eligen otros dos puntos B y C (A, B
y C colineales), distantes entre sí
90 m. desde estos puntos B y C se
miden los ángulos de elevación
(respecto al globo) 40º y 30º
respectivamente. Hallar la altura en
metros a la cual se encuentra el
globo.
16. El ángulo de elevación del sol,
cuando un hombre de 6 pies de
altura proyecta una sombra de 10.4
pies es de ?º.
17. En el triángulo ABC, la línea AB
está a lo largo de una ribera
estrecha. Medimos la distancia c =
AB como 118 m, y los ángulos A y
B tiene 63° y 55° . ¿Cuál es la
distancia b = AC? ¿cual es la
distancia perpendicular desde C a
la línea c = AB?
En un triángulo ABC , resolver los
triángulos pedidos
18. A =32º, B = 123º y a = 11.
19. a = 167, b = 145 y C = 53º
20. a = 75, b = 92 y c = 107
21. a = 105, b = 110 y A = 57º
22. Dos observadores colocados a 110
m de separación en A y en B en la
orilla de un río están mirando una
torre situada en la orilla opuesta en
el punto C. se miden los ángulos
CAB y CBA que son 43º 57º
respectivamente. ¿A qué distancia
esta el primer observador de la
torre?
23. Un poste telegráfico esta inclinado
con un ángulo de 11º de la vertical
del sol. Un poste emite una sombra
de 96 pies de largo sobre el suelo
horizontal cuando el ángulo de
elevación del sol es de 23º. Hallar
la longitud del poste.
24. Un hombre eleva una cometa. La
cometa esta a una distancia de
1000 cm, el ángulo que forma la
cometa con la vista del hombre es
de 60º por encima de la horizontal.
(El hombre sostiene el hilo a la
altura de la cabeza); ¿A que altura
esta la cometa del piso, si el
hombre mide 1.8 m, ¿Si la cometa
cayera perpendicularmente, a que
distancia caería del hombre?
25. Dos edificios, uno frente del otro,
se hallan en el mismo plano
separados por una calle de 60 m.
La base de cada uno forma con
respecto a la cima del otro, ángulos
de elevación de 30º y 75º
respectivamente. Hallar el ángulo
de depresión que hace la cima del
edificio más alto con la cima del
edificio mas bajo.
26. Un poste telefónico forma un
ángulo de 82º con el piso. El
ángulo de elevación del sol es de
76º. Encuentre la longitud del poste
del teléfono si su sombra es de
3.5m
27. Sobre un barranco situado en la
rivera de un río se levanta una torre
de 100m de altura. Desde el
extremo superior de la torre se
observa un punto P a la orilla
opuesta con un ángulo de
depresión de 35º y desde la base
de la torre se observa el mismo
punto con un ángulo de elevación
de 15º. Hallar la altura del barranco
donde esta situado el punto P y el
ancho del río.
28. Cuando el ángulo de elevación del
sol es de 64º, un poste de teléfono
que esta inclinado un ángulo de 9º
directamente frente al sol forma
una sombra de 21m de longitud en
la horizontal. Hallar la longitud
aproximada del poste.
29. Un globo se encuentra elevado;
desde un punto A, se observa el
globo con un ángulo de elevación
de 24º10’ y desde un punto B que
esta en el mismo plano que A se
observa el globo con un ángulo de
elevación de 47º40’, si A y B estan
separados 8,4 km. Hallar la altura
del globo respecto al suelo.
30. Un cohete es visto desde 3
estaciones A, B y C bajo ángulos
de 45º, 45º y 60º respectivamente.
Sabiendo que B está al norte de C,
A al oeste, y que AB = 5 km;
Calcular la altura del cohete.
31. Desde la orilla de un río,
observamos la copa de un árbol
situado en la otra orilla, bajo un
ángulo de 60º. Si nos retiramos 10
m. de la orilla, el ángulo de
observación es de 45º. Calcular la
altura del árbol y la anchura del río.
32. Hallar el ángulo
αº