Práctico 9 File - Eva - Universidad de la República

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Álgebra Lineal II
Segundo semestre 2014
Práctico 9
Durante todo el práctico k representará a R o a C.
1. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas.
a) Si ϕ es una forma bilineal en un espacio vectorial V de dimensión finita, existe una base B de V
tal que MB (ϕ) es diagonal.
b) Si ϕ es una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial V de dimensión finita, MB (ϕ) es
simétrica para toda base B de V .
c) Dos matrices congruentes tienen los mismos valores propios.
d ) Toda matriz simétrica es congruente a una matriz diagonal.
2. Determinar cuáles de las siguientes funciones ϕ : V × V → k son formas bilineales, donde V es un
espacio vectorial sobre el cuerpo k.
a) ϕ(u, v) = α(u) β(v), donde α, β ∈ V ∗ .
b) V = R, k = R, ϕ(x, y) = x + 2y.
c) V = R2 , k = R, ϕ(u, v) = det[u, v], donde u y v indican la primera y segunda columna de [u, v]
respectivamente.
3. Verificar que las siguientes funciones son formas bilineales y hallar la matriz asociada a cada una de
ellas en la base B.
a) ϕ : k3 × k3 → k, ϕ((x, y, z)(x0 , y 0 , z 0 )) = xx0 − 2xy 0 + yx0 − zz 0 , B = {(1, 0, 1), (1, 0, −1), (0, 1, 0)}.
b) ϕ : M
2 (k) × M
2 (k)
tr (B),
B) = tr(A)
→ k, ϕ(A,
0 0
0 0
0 1
1 0
.
,
,
,
B=
1 0
0 1
0 0
0 0
4. Se define ϕ : Mn (k) × Mn (k) → k mediante ϕ(A, B) = tr (AB).
a) Probar que ϕ ∈ BilS (Mn (k)).
b) Probar que ϕ es no degenerada.
5. En cada uno de los casos siguientes encontrar una base ϕ-ortogonal B y hallar MB (ϕ).
a) ϕ ∈ BilS k2 , tal que Φ(x, y) = x2 + 6xy + 2y 2 , para todo (x, y) ∈ k2 .
b) ϕ ∈ BilS k2 , tal que Φ(x, y) = 2xy, para todo (x, y) ∈ k2 .


3 1 2
c) ϕ = βA ∈ BilS k3 , siendo A = 1 4 0 .
2 0 −1
d ) ϕ ∈ BilS k3 , tal que Φ(x, y, z) = 2x2 + y 2 + 3z 2 − 2xy + 4xz + 6yz, para todo (x, y, z) ∈ k3 .
1
6. Sea V un R-espacio vectorial de dimensión finita y ϕ ∈ BilS (V ). Probar que existe una base ϕortonormal de V .
Sugerencia: partir de una base ϕ-ortogonal de V y normalizarla.
7.
a) Sea V un C-espacio vectorial de dimensión finita y ϕ ∈ BilS (V ). Probar que en V existe una base
ϕ-ortonormal {v1 , . . . , vn } tal que Φ(vi ) ∈ {0, 1}, para todo i = 1, . . . , n.
Sugerencia: recordar que en C todo elemento tiene una raı́z cuadrada.
b) Sean A, B ∈ Mn (C) simétricas. Probar que si A y B tienen el mismo rango, entonces existe
ϕ ∈ BilS (Cn ) y dos bases B, C de Cn tales que A = MB (ϕ) y B = MC (ϕ).
Luego A y B representan a una misma forma bilineal simétrica si y solo si tienen el mismo rango.
8. Para cada una de las matrices A, hallar los invariantes (rango, ı́ndice y signatura) de Φ, siendo
ϕ = βA ∈ BilS (R3 ).








1 2 0
−1 3 −3
1 3 2
5 −3 3
A = 2 3 2  , A =  3 −5 3  , A = 3 3 2 , A = −3 3 −3 .
0 2 −1
−3 3 −3
2 2 2
3 −3 3
9. Sean A, B ∈ Mn (R) matrices simétricas tales que B es invertible y tiene todos sus valores propios del
mismo signo. Probar que existe una matriz invertible Q ∈ Mn (R) tal que Qt A Q y Qt B Q son matrices
diagonales.
Sugerencia: considerar primero el caso en que B tiene todos sus valores propios positivos y definir a
partir de B un producto interno en Rn .
10. Hallar en los siguientes casos la forma bilineal simétrica ϕ asociada a la forma cuadrática Φ, una base
ortonormal B del espacio tal que MB (ϕ) es diagonal y el ı́ndice, la signatura y el rango de ϕ. En todos
los casos se considera el producto interno habitual en Rn .
a) Φ : R2 → R, Φ(x, y) = −2x2 + 4xy + y 2 .
b) Φ : R2 → R, Φ(x, y) = 7x2 − 8xy + y 2 .
c) Φ : R3 → R, Φ(x, y, z) = 3x2 − 2xz + 3y 2 + 3z 2 .
√
11. Sea S = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x2 + 3y 2 + 3z 2 − 2xz + 2 2(x + z) + 1 = 0}. Calcular la ecuación de S en
función de las coordenadas en la base B hallada en 10c y describir S geométricamente.
12. Clasificar las siguientes cuádricas:
3x2 + 3y 2 + 5z 2 + 2xy − 2xz − 2yz − 1 = 0; x2 + y 2 − 3z 2 − 2xy + 6xz + 6yz + c = 0, c = 0, −1;
x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz + x + y + z + c = 0, discutir según c ∈ R;
2x2 + 2y 2 + z 2 + 2xz + 2yz + x + y − 2z + 1 = 0; 2x2 + 2y 2 + z 2 + 2xz + 2yz + x + y + z − 1 = 0.
13. Sea S la superficie cuádrica definida por 2x2 + 5y 2 + 2z 2 + 6xy − 2yz + 3x − 2y − z + 14 = 0.
a) ¿Qué tipo de cuádrica es S?
b) Hallar explı́citamente las ecuaciones de los ejes en los cuales S tiene su forma reducida.
2