Multiplicación y división de números naturales

UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Multiplicación y división de números naturales
1. Identificación
Nivel: Primario
Grado: Quinto
Área: Matemática
SC 3: Multiplicación y división
de números naturales
Resumen:
En esta unidad didáctica se desarrollan los procedimientos para efectuar operaciones de
multiplicación y división con números naturales. Se identifican los múltiplos y divisores de
un número natural y se aplican los criterios de divisibilidad en la resolución de divisiones
diversas. Además, se resuelven problemas vinculados a la cotidianidad que involucran estas
operaciones para su solución.
Para desarrollar esta unidad didáctica se recomienda utilizar las siguientes metodologías: Explorar los conocimientos previos con ejercicios para el cuaderno y la pizarra, uso de las tablas
de multiplicación, ejercicios prácticos para trabajarlos en el cuaderno y la pizarra, y preparar
actividades para trabajarlas en grupos, en las que resuelvan situaciones vinculadas a la cotidianidad que involucren el uso de las dos operaciones. Finalmente, diseñar problemas basados en situaciones cotidianas que involucren multiplicaciones y divisiones para su resolución.
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Multiplicación y división de números naturales
2. Descripción
Base teórica o conceptual:
La multiplicación consiste en una operación de composición que requiere sumar
reiteradamente un número de acuerdo a la cantidad de veces indicada por otro.
Los números que intervienen en la multiplicación reciben el nombre de factores,
mientras que el resultado se denomina producto. El objetivo de la operación, por lo
tanto, es hallar el producto de dos factores.
Cada factor, por otra parte, tiene su propia denominación: la cifra a sumar repetidamente es el multiplicando, mientras que el número que indica la cantidad de veces
que hay que sumar el multiplicando es el multiplicador.
La división se utiliza para repartir una cantidad en grupos iguales.
Los términos de la división son:
• Dividendo: es el número que vamos a dividir.
• Divisor: es el número por el que vamos a dividir.
• Cociente: es el resultado.
• Resto: la parte que no se ha podido distribuir.
El resto puede ser:
• Cero (división exacta), cuando todo el dividendo queda distribuido perfectamente
entre el divisor y no sobra nada.
• Distinto de cero, pero siempre menor que el divisor (división no exacta), cuando parte del dividendo no se ha podido distribuir.
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Orientaciones para el/la docente
En el proceso de enseñanza-aprendizaje del contenido de esta secuencia curricular, la o el
docente debe auxiliarse de una serie de herramientas pedagógicas y recursos que faciliten
y sirvan de apoyo al trabajo realizado y que permitan la mejor comprensión de los mismos
por parte de sus estudiantes.
• Resolución de multiplicaciones utilizando el algoritmo convencional.
• Multiplicación y división de un natural o decimal por 10, 100, 1 000 y 10 000.
• Resolución de divisiones utilizando el algoritmo convencional.
• Resolución de problemas y operaciones donde se requiera el uso de la combinación de
operaciones de multiplicación y división de números naturales y sus propiedades.
• Establecimiento de las reglas de divisibilidad entre 2, 3, 5, 6 y 10.
• Establecimiento de generalizaciones como consecuencia de multiplicar y dividir por números mayores o menores que uno.
• Resolución de problemas donde se requiera el uso de la multiplicación y división de
números naturales.
• Utilización de la calculadora para resolver problemas que involucran operaciones con
cálculos complejos.
• Selección de métodos y herramientas adecuados para la realización de cálculos y la
resolución de problemas.
Aprendizajes esperados
Al concluir el proceso de enseñanza de esta unidad didáctica, los estudiantes serán capaces de resolver problemas y operaciones:
• Utilizando combinación de operaciones de multiplicación y división de números naturales y/o decimales.
• Comprueba el resultado de operaciones realizadas utilizando diferentes medios y estrategias tales como:
a) Operación inversa.
b) Calculadora.
• Identifica los divisores de un número natural.
• Deduce las reglas de divisibilidad del 2, 3, 4, 5, 6 y 10.
• Determina si un número natural es divisible por 2, 3, 4, 5, 6 o 10, aplicando las reglas
de divisibilidad.
• Utiliza la calculadora para resolver problemas que involucran operaciones con cálculos
complejos.
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Multiplicación y división de números naturales
Mapa conceptual
Multiplicación y división
de números naturales
Identificarán
Multiplicación
de números naturales
y sus propiedades.
Múltiplos de un
número natural.
Divisores de un
número natural.
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Estimación
de productos.
Estimación
de cocientes.
División de los
números naturales.
Reglas de divisibilidad
por 2, 3, 4, 5, 6 y 10.
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Recursos didácticos digitales
Para el docente
• Multiplicación. Recurso en el que el o la
estudiante realizará diferentes tipos de
multiplicaciones: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~23003429/educativa/Mat_5_3_multiplicacion.html
Recursos materiales necesarios
para las actividades
• Pizarra.
• Cartulina.
• Hojas en blanco.
• Lápices de colores.
• Periódicos y revistas.
• División. Recurso en el que el o la estudiante realizará distintos tipos de divisiones de tres cifras: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~23003429/
educativa/division3.html
• Tabla de multiplicar. Recurso en el que
el o la estudiante repasará las tablas de
multiplicar: http://www.genmagic.org/repositorio/albums/userpics/retau1c.swf
• Tipos de divisiones. Recurso en el que
el o la estudiante conocerá el concepto
de división y realizará diferentes tipos de
divisiones: http://cplosangeles.juntaextremadura.net/web/edilim/tercer_ciclo/
matematicas5/division_5/division_5.html
• Papel de construcción.
• Computadora o laptop
(recomendable).
• Objetos del entorno
escolar o familiar.
Recursos didácticos
que se aportan como anexo
• Anexo 1. Propiedades
de la multiplicación.
• Propiedades de la división.
•Anexo 2. Criterios de divisibilidad.
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3. Secuencia didáctica
Tiempo total estimado para todas las actividades
El tiempo total estimado para todas las actividades es de 14 sesiones
de 45 minutos.
Actividad de inicio
Trabajamos con las multiplicaciones
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
Para desarrollar los conceptos relacionados con las multiplicaciones, es conveniente, primero, recuperar las experiencias previas de sus estudiantes y, después, adecuar el ambiente con el grupo a fin de que se logre la atención de
todos y todas.
• Formar grupos de 3 o 4 estudiantes. Luego, plantearles situaciones como
las siguientes:
- ¿Cómo se obtienen los múltiplos de un número?
Resp. Se obtienen multiplicando dicho número por cualquier número natural
distinto de cero.
- Para obtener los siguientes múltiplos: 10, 15, 25, 35 y 45, ¿por cuáles
números se ha multiplicado el 5?
Resp. El cinco se ha multiplicado por 2, por 3, por 5, por 7 y por 9.
- Para la producción de un calzado una fábrica invierte la suma de 456 pesos.
¿Cuánto tiene que invertir la fábrica para producir 75 calzados?
Resp. Costo calzado x cantidad a producir = 456 x 75 = 34 200 pesos
(Costo de inversión de la fábrica).
• Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones.
• Aplicar las estrategias indicadas en las sugerencias al docente para facilitar
el aprendizaje de los temas.
• Si cuenta con tecnología, utilizar los recursos digitales. Si no cuenta con
tecnología, utilizar los recursos propuestos en los anexos 1 y 2.
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Otras actividades
Trabajamos con las divisiones
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
Formar los estudiantes de la misma forma en la que estuvieron organizados en
la actividad anterior. Luego, plantearles situaciones como las siguientes:
• Para saber si un número es divisible por otro, ¿de qué mecanismo contamos
para saberlo?
Resp. Aplicando los criterios de divisibilidad.
• Para saber si el número 9 654 es divisible por 3. Verificamos si la suma de
sus dígitos es múltiplo de 3.
9 + 6 + 5 + 4 = 24. Como 24 es múltiplo de 3, el número 9 654 es divisible
por 3.
• Para saber si el número 343 es divisible por 7. Se restan el número sin la cifra de
las unidades y el doble de las unidades y el resultado es cero o un múltiplo de siete. 34 – (2 x 3) = 28. Como 28 es múltiplo de 7, el número 343 es divisible por 7.
Continuar aplicando los criterios de divisibilidad y, después, plantearles un
problema como el siguiente:
• Una barra de queso tiene un valor de 2 736 pesos. Si la barra de queso pesa
6 libras, ¿cuál es el costo de una libra de queso? ¿Cuál es el costo de tres
libras de queso?
Para saber el costo de una libra de queso, se divide el valor del queso entre
el número de libras: 2 736 ÷ 6 = 456 (Precio de una libra de queso).
Para conocer el precio de tres libras de queso, se multiplican el precio por
libra y las tres libras: 456 x 3 = 1 368 peso (Precio de tres libras de queso).
Continuar aplicando ejercicios similares. Utilizar los anexos 1 y 2.
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Actividad de cierre
Resolvemos problemas cotidianos con las dos operaciones
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
• Al concluir con la práctica con las multiplicaciones y divisiones, el o la docente
suministrará a los estudiantes informaciones, por ejemplo, sobre el precio de
una caja de detergente líquido que contiene 24 unidades y tiene un valor de
6 672 pesos. Podrían preguntar: ¿Cuál es el valor por unidad de los detergentes? Motivará a sus estudiantes para que inventen problemas que involucren
las operaciones de multiplicación y división para su solución.
• Formar los estudiantes en grupos de 3 o 4 integrantes. Escribir las informaciones en la pizarra que les permitan construir los problemas y resolverlos.
• Al terminar sus producciones, un integrante de cada grupo pasará a la pizarra
para resolver el problema correspondiente.
• Para concluir, preparar la presentación de los trabajos realizados con la participación de los padres. Propiciar el ambiente para que sus estudiantes expongan los procedimientos que siguieron en la realización de esta actividad.
• Felicitar a sus estudiantes y a los padres por los esfuerzos realizados.
4.
4. Si observas, trata…
Si observas
Trata
De preparar ejercicios de reforzamiento para el
Que algún estudiante tiene dificultad
cuaderno y la pizarra. Solicitar la cooperación
para calcular los múltiplos y divisode los padres. Si es posible, recurrir a las sares de un número.
las de tareas.
De preparar ejercicios de reforzamiento para
Que algún estudiante tiene dificulel cuaderno y la pizarra. Utilizar los recursos
tad para resolver las operaciones de
de los anexos 1 y 2. Solicitar la cooperación
multiplicación y división.
de los padres.
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5. Recursos didácticos para el docente y el estudiante
Para ampliar el conocimiento de las y los estudiantes.
Criterios de divisibilidad
Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta.
Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
Ejemplo:
24, 238, 1 024, ...
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Ejemplo:
564 5 + 6 + 4 = 15 15 es múltiplo de 3.
2 040 2 + 0 + 4 + 0 = 6 6 es múltiplo de 3.
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.
Ejemplo:
45, 515, 7 525, 230, ...
Criterio de divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las
unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó un múltiplo de 7.
Ejemplo:
343 34 − 2 · 3 = 28 28 es múltiplo de 7.
105 10 − 5 · 2 = 0
2 261 226 − 1 · 2 = 224
Se repite el proceso con 224 22 − 4 · 2 = 14 14 es múltiplo de 7.
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Medidas de tendencia central
Criterio de divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
Ejemplo:
36, 400, 1 028, ...
Criterio de divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.
Ejemplo:
72, 324, 2 400, ...
Criterio de divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
Ejemplo:
4 000, 1 048, 1 512, ...
Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
Ejemplo:
81 8 + 1 = 9
3 663 3 + 6 + 6 + 3 = 18 18 es múltiplo de 9.
Criterio de divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.
Ejemplo:
130, 1 440, 10 230, ...
Criterio de divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan
los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11 .
Ejemplo:
121 (1 + 1) − 2 = 0
4224 (4 + 2) − (2 + 4) = 0
Otros criterios de divisibilidad
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Criterio de divisibilidad por 25
Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.
Ejemplo:
500, 1 025, 1 875, ...
Criterio de divisibilidad por 125
Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.
Ejemplo:
1 000, 1 125, 4 250, ...
Anexo 2: Para ampliar conocimientos del docente
Recursos para imprimir
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
Al igual que ocurría con las propiedades de la suma, cuando hablamos de las propiedades de la multiplicación o del producto de números, estamos hablando de propiedades que ese conjunto siempre va
a cumplir, es decir, un determinado conjunto de acciones que podemos aplicar siempre que queramos
o necesitemos.
Las propiedades del producto de los números enteros son las siguientes:
•Propiedad conmutativa
•Propiedad asociativa
•Elemento neutro
•Propiedad distributiva
•Sacar factor común
Propiedad conmutativa del producto: a · b = b · a
La primera de las propiedades de la multiplicación de los números enteros es la propiedad conmutativa y esta dice que al cambiar el orden de los factores, el producto no varía. Esto quiere decir que
podemos multiplicar los números en el orden que queramos sin que el resultado se vea afectado.
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Por ejemplo, si tenemos que multiplicar + 3 por – 2 podemos hacerlo en ese orden o
también hacer – 2 por + 3, y el resultado va a ser el mismo en cualquiera de los dos
casos. (+ 3) · (– 2) = (– 2) · (+ 3)
Propiedad asociativa del producto: (a · b) · c = a · (b · c)
La segunda de las propiedades de la multiplicación de números enteros es la propiedad asociativa, la cual dice que la multiplicación de varios números enteros no depende de la forma en que se asocien, es decir, cuando haya solamente multiplicaciones
podemos empezar a multiplicar los factores que queramos y el resultado multiplicarlo
por el resto de factores (empezar a multiplicar por donde nosotros queramos, eso sí,
siempre que solamente haya multiplicaciones. Cuando haya sumas o restas por el
medio esto ya no lo podríamos hacer): [(+ 3) · (– 2)] · (– 5) = (+ 3) · [(– 2) · (– 5)]
La propiedad asociativa nos permite resolver productos de tres o más factores: se
multiplican sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo + si el número de
factores negativos es par, o el signo – si el número de factores negativos es impar.
(+ 4) · (– 3) · (– 2) · (+ 5) = + 120
Elemento neutro para el producto: a · (+ 1) = a
El elemento neutro para el producto es el (+ 1). Esto significa que si multiplicamos
cualquier número entero por (+1), el resultado va a ser el mismo número entero.
(– 5) · (+ 1) = – 5
(+ 1) · (– 5) = – 5
Propiedad distributiva del producto: a · (b ± c) = a · b ± a· c
La propiedad distributiva permite transformar productos en sumas o restas.
(+ 3) · [ (– 2) + (+ 1)] = (+ 3) · (– 2) + (+ 3) · (+ 1)
(+ 3) · [ (– 2) – (+ 1)] = (+ 3) · (– 2) – (+ 3) · (+ 1)
Sacar factor común: a · b ± a · c = a · (b ± c)
Cuando en una suma o resta de productos figura un mismo factor, se puede aplicar la
propiedad distributiva que, en este caso, se llama sacar factor común.
(+ 3) · (– 2) + (+ 3) · (+ 1) = (+ 3) · [ (– 2) + (+ 1)]
(+ 3) · (– 2) – (+ 3) · (+ 1) = (+ 3) · [(– 2) – (+ 1)]
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Propiedades de la división
1. División exacta
En una división exacta, el dividendo es igual al divisor por el cociente.
D=d·c
15 = 5 · 3
2. División entera
En una división entera, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
D=d·c+r
17 = 5 · 3 + 2
3. No es una operación interna en los números naturales y enteros:
El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o
entero. 2 : 6
4. No es conmutativa:
a:b≠b:a
6:2≠2:6
5. Cero dividido entre cualquier número da cero.
0:5=0
6. No se puede dividir por 0.
Porque no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al dividendo.
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