Lógica Matemática III Primeras propiedades de las Funciones Recursivas Proposición 1 . Sea g : N m N y sean x 1 , … , x n variables distintas. Para cada i ∈ 1, … , m, sea z i alguna de las variables x 1 , … , x n . Considere la función f : Nn N fx 1 , … , x n gz 1 , … , z m Así, si g es una Función Recursiva, también lo será f. Prueba. Supongamos que para cada i ∈ 1, … , m, se tiene que z i x j i con j i ∈ 1, … , n. Pero entonces z i nj i x 1 , … , x n . Así las cosas, tenemos que fx 1 , … , x n gz 1 , … , z m g nj 1 x 1 , … , x n , … , nj m x 1 , … , x n y por tanto, f es recursiva ya que se obtiene por Sustitución a partir de la recursiva g y de las Iniciales nj 1 , … , nj m . Algunas aplicaciones de este resultado: 1). Permutar variables: Si g : N 2 N es recursiva, entonces f : N2 N fx 1 , x 2 gx 2 , x 1 es recursiva. Pues, basta tomar m 2, n 2, z 1 x 2 y z 2 x 1 . 2). Añadir variables artificiales: Si g : N 2 N es recursiva, entonces f : N3 N fx 1 , x 2 , x 3 gx 1 , x 3 es recursiva. Pues, basta tomar m 2, n 3, z 1 x 1 y z 2 x 3 . La nueva variable x 2 , se le llama artificial pues no influye en el valor de fx 1 , x 2 , x 3 . 3). Repetir variables: Si g : N 3 N es recursiva, entonces f : N2 N fx 1 , x 2 gx 1 , x 2 , x 1 es recursiva. Pues, basta tomar m 3, n 2, z 1 x 1 , z 2 x 2 y z 3 x 1 . La Regla de Sustitución puede ser extendida al caso en que cada H i puede ser Rafael Rojas Barbachano 1 Lógica Matemática III una función de algunas y no necesariamente todas las variables involucradas: Proposición 2 . (Método de Sustitución’) Sea G : N m N recursiva y sean x 1 , … , x n variables distintas. Para cada i ∈ 1, … , m, sean n i 0 y H ′i : N n i N funciones recursivas. Entonces, la función F ′ : N n N dada por F ′ x 1 , … , x n G H ′1 z 11 , … , z 1n 1 , … , H ′m z m1 , … , z mn m donde z kj ∈ x 1 , … , x n , tambien es recursiva. Prueba. Para cada i ∈ 1, … , m, sea H i : N n N la función dada por H i x 1 , … , x n H ′i z i1 , … , z in i . Ésta(s) es(son) recursiva(s) por la Proposición 1 . Pero entonces, F ′ x 1 , … , x n G H 1 x 1 , … , x n , … , H m x 1 , … , x n la cual resulta ser recursiva ya que se obtiene por Sutitución a partir de la recursiva G y de las recursivas H 1 , … , H m . † También en la regla de Recursión se puede extender. Proposición 3 . (Método de Recursión’) Sean n, k y l números positivos. Consideremos las Funciones Recursivas ′ H : N k N y G ′ : N l N, así como también la función F : ℕ n1 ℕ dada por, i) Fx 1 , … , x n , 0 H ′ z 1 , … , z k ii) Fx 1 , … , x n , y G ′ w 1 , … , w l donde las z i ∈ x 1 , … , x n y las w j ∈ x 1 , … , x n , Fx 1 , … , x n , y, y Así, la función F es una Función Recursiva. Prueba: TAREA. . † Proposición 4 . Considere la siguiente definición alternativa de función Inicial: Son Iniciales, las siguientes funciones: I) La función Sucesor: II’) La funcion Constante Cero: Z : N N, ∀x Zx 0 III) Las funciones Proyección: nk Toda función recursiva (primitiva) en el primer sentido es la misma que en este segundo. Prueba: TAREA. Sugerencia: Basta ver que ∀k, C nk es recursiva (usando recursión’) y esto se hace por inducción. Rafael Rojas Barbachano 2 Lógica Matemática III Veamos unos primeros ejemplos de funciones recursivas. Algunas Funciones Recursivas Proposición. Las siguientes funciones son recursivas primitivas: a) La Predecesor : : N N, dada por: x−1 x si x 1 o si x 0 0 sugerencia: 0 0 x x b) La Diferecia Positiva : − : N 2 N; dada por: x−y x−y si x ≥ y o si x y 0 x−0 0 sugerencia: x − y x − y _− _ c) El Valor Absoluto de la Diferencia : x−y x−y si x ≥ y o y−x sugerencia: x − y : N 2 N; dada por: si x y x − y y − x d) El Mínimo de dos Números : min : N 2 N; dada por: x minx, y si x ≤ y o y si x y sugerencia: minx, y x − x − y e) El Mínimo de varios números : min n : N n N. con n ≥ 2 sugerencia: Por Inducción: para todo n ≥ 2, min n es una F.R.P. y para ello usar Rafael Rojas Barbachano 3 Lógica Matemática III min n1 x 1 , . . . , x n , x n1 minmin n x 1 , . . . , x n , x n1 . f) El Máximo de dos números : max : N 2 N; dada por: x maxx, y si x y o y si x ≤ y sugerencia: maxx, y y x − y g) El Máximo de varios números : max n : N n N. h) El Signo de un número : sg : N N; dada por: 1 sgx o 0 sugerencia: sg0 si x 0 si x 0 0 sgx 1 i) El Signo Contrario de un número : sg : N N; dada por: 0 sgx si x 0 o 1 si x 0 sugerencia: sgx 1 − sgx Recordar, El Algoritmo de la División para N : ∀x ∀y ≠ 0 ∃! q, r x y q r con r y j) El Residuo de dividir x entre y : res : N 2 N. ( res x, y k) El Cociente de dividir x entre y : coc : N 2 N. ( coc x, y r ). q ). Nota: Si bien la división entre cero no está definida, queremos que coc y res lo estén para todo par de naturales, en particular para x, 0 . Se le puede asignar cualquier valor, para nosotros tomará el valor de 0 en ambos casos. Convenimos pues, que coc x, 0 Rafael Rojas Barbachano 0 y res x, 0 0 4 Lógica Matemática III Prueba: TAREA. Sugerencia: Resolver primero res ′ x, y, coc ′ x, y, con la intención de que y x coc ′ x, y res ′ x, y finalmente, resx, y res ′ y, x y cocx, y coc ′ y, x. Rafael Rojas Barbachano 5