Mecánica - LD Didactic

LD
Hojas de
Física
Mecánica
Movimientos de rotación del cuerpo rígido
Momento de inercia
P1.4.5.2
Momento de inercia
y forma del cuerpo
Objetivos del experimento
g Determinación de los momentos de inercia de cuerpos de simetría de rotación en base a su período de oscilación
sobre un eje de torsión.
g Comparación de los períodos de oscilación de dos cuerpos de distinta masa pero de igual momento de inercia.
g Comparación de los períodos de oscilación para cuerpos huecos de igual masa e iguales medidas.
g Comparación del período de oscilación de dos cuerpos de igual masa e igual forma pero de diferentes dimensiones.
Fundamentos
El momento de inercia de un cuerpo es una medida de la
resistencia que éste presenta ante un cambio de su movimiento de rotación, y depende de la distribución de su masa
respecto del eje de rotación. Para calcular el momento de
inercia J se divide el cuerpo en una cantidad suficiente de
elementos de masa ∆mi a distancia ri del eje de rotación y
se realiza la sumatoria sobre todos los elementos de masa:
J = ∑ ∆mi ⋅ ri
2
El cálculo de la integral se simplifica si se toman cuerpos con
simetría de rotación rotando en torno de su eje de simetría.
El caso más sencillo aquí es el de un cilindro hueco de paredes finas con un radio R. Dado que todas las porciones de
masa están a distancia R del eje de rotación, vale para el
cilindro hueco
J
(I)
Para cuerpos con distribución de masa continua, la sumatoria
se convierte en una integral. Si, además, la distribución de
masa es homogénea, se obtiene finalmente
J
(II)
(III)
"
=M⋅
1 R 2
⋅ r ⋅ 2 π ⋅ r ⋅ H ⋅ dr con V = π ⋅ R 2 ⋅ H
V 0∫
y se obtiene
M: masa total, V: volumen total, r: distancia de un elemento
de volumen dV al eje de rotación
J
Cálculo de los momentos de inercia de un cilindro hueco, de
un cilindro macizo y de una esfera
1114-Sel
Fig. 1
= M ⋅R2
En el caso de un cilindro sólido de igual masa M e igual radio
R, la ecuación (II) se transforma en la fórmula
i
1
J = M ⋅ ⋅ ∫ r 2 ⋅ dV
V V
!
1
"
=
1
⋅M ⋅ R2
2
(IV)
P1.4.5.2
LD Hojas de Física
Montaje y desarrollo
Materiales
El montaje del experimento se muestra en la fig. 2.
1 eje de torsión
1 juego de cilindros para el eje de torsión
1 esfera para el eje de torsión
347 80
347 81
347 82
1 trípode pequeño en forma de V
300 02
1 cronómetro I, 30 s / 15 min
313 07
- Adosar la esfera y marcar la posición cero sobre la mesa.
- Hacer girar 180° la esfera hacia la derecha respecto de la
posición cero, y soltar.
- Comenzar a medir el tiempo cuando la esfera pase la posi-
ción cero, y detener la medición luego de cinco oscilaciones.
- Calcular el período de oscilación T.
- Reemplazar la esfera por un disco y repetir la medición.
- Reemplazar el disco por el soporte.
- Repetir la medición primero con el cilindro macizo y luego
El momento de inercia de un cilindro sólido es, entonces,
más pequeño que el del cilindro hueco, ya que las distancias
de las porciones de masa al eje de rotación están entre 0 y
R.
Para la esfera sólida de radio R se obtendrá un valor de
momento de inercia todavía más bajo (ver fig. 1). La ecuación (II) se convierte aquí en la fórmula
J
#
=M⋅
con el cilindro hueco.
- Por último, realizar la medición con el soporte vacío.
1 R 2
4π 3
⋅R
⋅ r ⋅ 2π ⋅ r ⋅ 2 ⋅ R 2 − r 2 ⋅ dr con V =
V 0∫
3
Ejemplo de medición
Tabla 1: Comparación de los cuerpos observados y de los
períodos de oscilación medidos
y se obtiene
J
#
=
2
⋅M ⋅ R2
5
(V)
Además de la masa M y el radio R de los cuerpos observados, hay un tercer factor, adimensional, que entra en el cálculo del momento de inercia, el cual depende de la forma del
cuerpo.
El momento de inercia es determinado por el período de
oscilación de un eje de torsión sobre el que están adosados
los cuerpos de prueba y que está elásticamente unido al
trípode mediante un muelle de voluta. El sistema es llevado a
oscilar de manera armónica. En caso de ser conocida la
constante de torsión D, se toma el período T de oscilaciones
y se obtiene el momento de inercia del cuerpo de prueba
T 
J = D⋅ 
 2π 
2
Cuerpo
M
g
2⋅R
cm
5 ⋅T
s
T
s
Esfera maciza
930
14,5
9,2
1,84
Cilindro macizo
chato (disco)
340
22
9,6
1,92
Cilindro macizo alto
330
9
4,7
0,94
Cilindro hueco
360
9
6,2
1,24
Soporte vacío
–––
–––
2,9
0,580
(VI)
Análisis
Fig. 2
Montaje del experimento para determinar los momentos de
inercia de algunos cuerpos con simetría de rotación
a) Comparación cualitativa:
Cuerpos de distinta masa pero de igual momento de inercia:
La esfera y el cilindro macizo chato (disco) tienen distinta
forma y distinta masa. Oscilan con un período aproximadamente igual, o sea, tienen igual momento de inercia.
Cuerpos huecos y macizos:
Los cilindros huecos y los macizos tienen una masa aproximadamente igual e igual diámetro. Los períodos de oscilación se diferencian claramente, o sea, tienen diferente momento de inercia.
Cuerpos de igual masa y forma pero de distintas dimensiones:
El cilindro macizo chato (disco) y el cilindro macizo alto tienen una masa aproximadamente igual pero distinto diámetro.
Oscilan con períodos claramente distintos, o sea, tienen
diferente momento de inercia.
2
P1.4.5.2
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b) Comparación cuantitativa:
Con la ecuación (VI) puede calcularse el momento de inercia
J en base a los períodos de oscilación T de la tabla 1. En el
experimento P1.4.5.1 se determinó la constante de torsión D,
necesaria para el cálculo:
D = 0,023
Nm
rad
Los resultados del cálculo constan en la tabla 2. Para el so2
porte vacío se obtiene J = 0,2 g m
En la tabla 2 se indican, además, los factores adimensionales
de las ecuaciones (III), (IV) y (V), y son comparados con los
valores calculados en base a los valores medidos. En todos
los casos (esfera maciza, cilindro macizo y hueco) coinciden
la medición y la teoría dentro de los márgenes de precisión
de la medición.
Tabla 2: Momentos de inercia J determinados en base a los
períodos de oscilación medidos.
J
J
J
Cuerpo
g ⋅ m2
M ⋅R2
M ⋅R2
Esfera maciza
2,0
0,41
2
5
Cilindro macizo chato
(disco)
2,1
0,51
1
2
Cilindro macizo alto
0,32 *
0,48
1
2
Cilindro hueco
0,70 *
0,96
1
Medición
Teoría
* luego de descontar el momento de inercia del soporte vacío
Resultado
Para la determinación del período de oscilación de un cuerpo
sobre un eje de torsión es importante el momento de inercia
y no la masa.
El momento de inercia depende no sólo de la masa y el radio, sino también de la forma del cuerpo con simetría de
rotación.
A igual masa y forma, el momento de inercia es proporcional
al cuadrado del diámetro.
Un cuerpo hueco tiene, a igual masa e iguales dimensiones,
un mayor momento de inercia que un cuerpo macizo.
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