Capítulo 1: Cuantización de la materia

C A P Í T U L O
1
Cuantización de la materia
1.1.
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS
1. Obtenga la energı́a variacional para la partı́cula en la caja de potencial utilizando la función
de prueba Φ(x) = x(l − x).
Solución:
W =
5h2
4π 2 ml2
∆W = 1,3 %
2. Utilice como función variacional de prueba para la partı́cula en la caja Φ(x) = x2 (l − x) y
compare la energı́a variacional obtenida con la que proporciona la función Φ(x) = x(l − x).
Explique por qué es mejor esta última.
Solución:
Para la función Φ(x) = x2 (l − x), W1 =
Para la función Φ(x) = x(l − x), W2 =
7h2
4π 2 ml2
5h2
4π 2 ml2
Como las diferencias con el valor exacto E =
obtenemos ∆1 = W1 − E1 =
n2 h2
8ml2
14−π 2 h2
8π 2 ml2
> ∆ 2 = W 2 − E2 =
10−π 2 h2
8π 2 ml2
que, en términos relativos es : ∆1 , → 1, 32 % y ∆2 → 42 %
luego, la función más adecuada es: Φ(x) = x(l − x)
2
Capı́tulo 1
Cuantización de la materia
3. Obtenga la energı́a variacional del estado fundamental del oscilador armónico empleando
2
como función de prueba Φ(x) = e−bx , donde b es un parámetro de optimización.
Solución:
b = − h̄2 d22 +
H
2m dx
W (b) =
h̄2 b
2m
+
kx2
2
k
8b
√
bóptimo =
km
2h̄
y W (bóptimo ) =
hν
2
= E0
4. Obtenga la energı́a variacional del estado fundamental del oscilador cuártico, cuyo potencial
2
es V (x) = cx4 , empleando como función de prueba Φ(x) = e−bx .
Solución:
b = − h̄2 d22 + cx4
H
2m dx
W (b) =
h̄2 b
2m
+
3c
16b2
bóptimo =
3cm 13
4h̄2
y W (bóptimo ) =
3
8
6h̄4 c
m2
13
5. Demuestre que si la función variacional de prueba Φ(x) es ortogonal a la función propia
exacta del estado fundamental ψ0 (x), es decir si hΦ|ψi = 0, entonces la integral variacional
proporciona un lı́mite superior a la energı́a del primer estado excitado. Obtenga la mejor
aproximación a la energı́a del primer estado excitado del oscilador armónico usando la función
2
de prueba Φ(x) = Axe−bx /2 .
Solución:
W − E1 =
W (b) =
3
4
P
h
i=1
h̄2 b
m
+
|ci |2 Ei − E1 =
k
b
P
|ci |2 (Ei − E1 ) ≥ 0 → W ≥ E1
i
√
bóptimo =
km
h̄
y W (bóptimo ) =
3h̄
2
k
m
12
= 32 hν
Sección 1.1
Enunciados y soluciones de los Problemas
3
6. Utilice la función variacional de prueba lineal ψ(x) = c1 x(l − x) + c2 x2 (l − x)2 (0 ≤ x ≤ l)
para calcular la energı́a de los estados fundamental y primero excitado de la partı́cula en la
caja de potencial unidimensional.
Solución:
H − S11 W
Determinante secular: 11
H21 − S21 W
H11 =
h̄2 l3
6m
H22 =
S11 =
l5
30
S22 =
h̄2 l7
105m
l9
630
H12 − S12 W =0
H22 − S12 W H12 = H21 =
S12 = S21 =
h̄2 l5
30m
l7
140
Ecuación caracterı́stica: aW 2 + bW + c = 0
con a =
l14
100×189×28 ,
l4 W 2 −
2 12
h̄ l
b = − m×21×30×15
yc=
h̄2 l2
m 56W
+
h̄4 252
m2
h̄4 l10
m2 ×30×70
=0
2
2
h
h
con raices W0 = 0, 125 ml
2 y W1 = 1, 293 ml2
7. Utilice la función variacional de prueba lineal ψ(x) = c1 x(l−x)+c2 x(x−l/2)(l−x) (0 ≤ x ≤ l)
para calcular la energı́a de los estados fundamental y primero excitado de la partı́cula en la
caja de potencial unidimensional.
Solución:
H − S11 W
Determinante secular: 11
H21 − S21 W
H11 =
h̄2 l3
6m
H22 =
S11 =
l5
30
S22 =
h̄2 l5
40m
l7
840
H12 − S12 W =0
H22 − S22 W H12 = H21 = 0
S12 = S21 = 0
las raices son: W0 =
5h2
ml2
2
h
= 0, 1266 ml
2 y W1 =
2
21h2
ml2
2
h
= 0, 5319 ml
2
2
h
h
comparables a los exactos: W0 = 0, 125 ml
2 y W1 = 0, 5 ml2
8. Determine los coeficientes de las funciones propias variacionales del problema anterior.
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Capı́tulo 1
Cuantización de la materia
9. Obtenga los valores propios de la energı́a de una partı́cula unidimensional que se mueve sujeta
a la función de potencial V (x) = (k/2)x2 + bx realizando el cambio de variable x0 = x + c
para convertir la ecuación de valores propios en la de un oscilador armónico.
Solución:
b = − h̄2 d22 + k x2 + bx
H
2m dx
2
E = (v + 12 )h̄
k
m
12
−
b2
2k
= (v + 12 )hν −
b2
2k
10. Demuestre que las funciones variacionales que se obtienen usando el método de variaciones
lineal forman un conjunto ortogonal.
Solución:
ϕα =
α
i ci fi
P
y ϕβ
β
j cj fj
P
b − Eβ |ϕβ >∗ = 0 y < ϕβ |H
b − Eα |ϕα >= 0
< ϕα |H
y de aquı́ se deduce que < ϕα |ϕβ >= 0
11. Obtenga la corrección de primer orden de la energı́a para una partı́cula en una caja de
potencial unidimensional de longitud l perturbada de la forma V (x) = ax/l.
Solución:
(1)
En =
a
2
12. Obtenga la corrección de primer orden de la energı́a para una partı́cula en una caja de
potencial unidimensional perturbada de la forma: V (x) = kx (0 ≤ x ≤ l/2) y V (x) = k(l − x)
(l/2 ≤ x ≤ l).
Solución:
(1)
En = kl
(1)
En =
1
kl
4,
4
+
1
n2 π 2
, para n impar
para n par
cuando n → ∞ ambas expresiones coinciden en el valor
kl
4
Sección 1.1
Enunciados y soluciones de los Problemas
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13. Suponga que la constante de fuerza de un oscilador armónico aumenta ligeramente de la forma
k → (1 + )k. Obtenga los valores propios de la energı́a exactos y desarrolle el resultado en
serie de potencias de hasta segundo orden. Calcule las correcciones de primero y segundo
orden de la energı́a y compárelas con el resultado exacto.
Solución:
1
Energı́a exacta Ev = (v + 12 )hν(1 + ) 2
Desarrollando en serie de potencias: Ev = (v + 21 )hν(1 +
Corrección de primer orden: Ev0 =
hν
2 (v
2
− 18 2 + · · · )
+ 12 )
h
Corrección de segundo orden orden: Ev0 = (v + 12 )hν 1 +
2
−
2
2
i
14. Deduzca la expresión para la corrección de tercer orden de la energı́a para sistemas no
degenerados.
Solución:
(3)
En =
0
0
0
Hin
Hjn
Hij
(0)
(0)
(0)
(0)
(E −Ei )(En −Ej )
i6=nj6=n n
PP
− En0
0 2
|Hin
|
(0)
(0)
(En −Ei )
i6=n
P
15. Sea un operador Hamiltoniano que puede desglosarse perturbativamente de la forma general
(0)
(0)
Ĥ = Ĥ (0) + Ĥ 0 , y tomemos como función de prueba variacional lineal Φ(x) = c1 ψ1 + c2 ψ2 ,
(0)
(0)
donde ψ1 y ψ2 son las dos primeras funciones propias del operador Hamiltoniano de orden
cero. Encuentre una relación entre las energı́as variacionales que se obtienen ası́ y la expresión
perturbativa para las mismas incluyendo hasta segundo orden.
Solución:
(0)
(0)
E± = 12 (E1 + E2 ) ±
1
2
h
(0)
(0)
(E1 − E2 )2 + 42
i 12
0 2
, con = |H12
1
16. Sea una partı́cula en una caja de potencial unidimensional cuyo suelo está inclinado, de
modo que V (x) = kx/l, en el interior de la caja. Determine variacionalmente los dos primeros
niveles de energı́a usando como función de prueba una combinación lineal de las dos primeras
funciones propias de la partı́cula en la caja.
Solución:
E+ = E1 +
k
2
−
2 2
163 k ,l
3·81·π 4 h2
E− = E2 +
k
2
+
2 2
163 k ,l
3·81·π 4 h2
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Capı́tulo 1
Cuantización de la materia
17. Deduzca la expresión para las correcciones de segundo orden de la energı́a de estados degenerados.
Solución:
∞
P
(2)
En =
j=d+1
b 0 |ψ 0 >|2
|<ϕ0j |H
n
0 −E 0
En
j
18. Determine las funciones de onda correctas de orden cero de los dos primeros estados degenerados del sistema de dos osciladores armónicos degenerados acoplados mediante la perturbación
cxy.
Solución:
(0)
√1
2
h
ψ 1 − ψ2
(0)
√1
2
h
ψ 1 + ψ2
ϕn =
ϕn =
(0)
(0)
i
(0)
(0)
i
19. Calcule el desdoblamiento de los niveles de energı́a degenerados para el segundo nivel de
energı́a excitado correspondiente a un sistema de dos osciladores armónicos degenerados
acoplados mediante la perturbación cxy.
Solución:
(0)
(1)
= 3hν −
(0)
(1)
= 3hν
(0)
(1)
= 3hν +
E1 = En=2 + E1
E2 = En=2 + E2
E3 = En=2 + E3
c
α
c
α
20. Calcule el desdoblamiento de los niveles de energı́a degenerados para el primer nivel de energı́a
excitado correspondiente a un sistema de dos osciladores armónicos degenerados acoplados
mediante la perturbación cxy, incluyendo las correcciones de segundo orden de la energı́a.
Solución:
Enx ,ny = hν[nx + ny + 1] +
hνc
2k (nx
− ny ) −
Para nx = 1, ny = 0,
E1,0 = 2hν +
E0,1 = 2hν −
ch̄
1
2(km) 2
ch̄
1
2(km) 2
−
−
h̄c2
1
4(k3 m) 2
h̄c2
1
4(k3 m) 2
hνc2
8k2 (nx
+ ny + 1)