Ruiz Basto, J. (2008). Matemáticas I. Álgebra en acción (1ra. reimpr

Ruiz Basto, J. (2008). Matemáticas I. Álgebra en acción (1ra.
reimpr). México: Grupo editorial Patria. P.p. 14-15, 18-19, 2223, 26-28 y 30-32.
MATEMÁTI CAS 1
Algebra en acción
BACHILLERATO GENERAL
Joaquín Ruiz Basto
PRIMERA REIMPRESIÓN
MÉXICO, 2008
GRUPO EDITORIAL PATRIA
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e Historia. México. pág. 66. 75. 100. 103.
Agradecemos al Prof. Vázquez Conde por la fotografía de la pág. 51.
Representación de las esculturas Reloj de sol de Almussafes y Reloj de sol de Ontinyeni
proporcionados por los escultores Joan Olivares Alfonso y Rafael Amorós. Pag. 74.
Agradecemos las facilidades que otorgó el Zoológico de Chapultepec
a esta casa editorial. Fotografía de la pág. 129.
Matemáticas I para Bachillerato General. Álgebra en Acción
Derechos reservados respecto a la primera edición:
2007, Joaquín Ruiz Basto
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Queda prohibida la reproducción total o parcial del contenido de la presente obra en
cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por
escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición: 2007
Primera reimpresión: 2008
Introducción al álgebra
Capítulo 1
1.1 Aritmética y números positivos ........................................... 6
1.2 Números y variables ............................................................ 10
1.3 Los números reales .............................................................. 14
1.4 Adición y sustracción de números reales ............................ 18
1.5 Multiplicación y división de números reales ....................... 22
1.6 Razones, tasas y proporciones ............................................. 26
o 1.7 Variación directa e inversa ................................................... 30
t-eé
áb^
a~
1.8 Sucesiones y series aritméticas ............................................ 34
1.9 Sucesiones y series geométricas ......................................... 38
Complemento teórico ................................................................. 42
Capítulo 2 1 Polinomios en una variable
2.1 Propiedades de las igualdades ............................................. 52
2.2 Potencias y raíces ... .............................................................. 56
2.3 Suma, resta y multiplicación de polinomios ....................... 60
2.4 Productos de binomios (Productos notables ) ...................... 64
2.5 Potencias de binomios ( Binomio de Newton ) ..................... 68
2.6 Conversión a productos (Factorización ) .............................. 72
2.7 Factorización de trinomios ... ... . .... . ............... . ................ . ..... 76
2.8 Simplificación de expresiones racionales
(Fracciones algebraicas) ...................................................... 80
2.9 División de polinomios ........................................................ 84
Complemento teórico ................................................................. 88
VI
1
Ecuaciones lineales
Capítulo 3
3.1 Solución de ecuaciones lineales ........................................ 96
3.2 Funciones y ecuaciones lineales ........................................ 104
3.3 Solución gráfica de sistemas lineales ................................ 108
• 3.4 Solución de sistemas lineales 2 x 2 .................................. 112
• 3.5 Determinantes de sistemas lineales 2 X 2 ......................... 116
3.6 Solución de sistemas lineales 3 X 3 .................................. 120
Comp lemento teórico ............................................................... 124
Ecuaciones cuadráticas
4.1 Solución de ecuaciones cuadráticas sencillas ................... 132
4.2 Solución general de ecuaciones cuadráticas ..................... 136
4.3 Funciones y ecuaciones cuadráticas .................................. 140
4.4 La fórmula cuadrática ....................................................... 144
Complemento teórico ............................................................... 148
Soluciones a los ejercicios impares ...................................... 153
Capitulo 4
LOS NÚMEROS REALES
Los números que se utilizan en álgebra son los números reales . Éstos son el cero y
todos los números positivos y negativos.
- 2, 7, 1.25, 0.16, 12, - ir = -3.14159...
Los números reales pueden dibujarse como puntos sobre una recta llamada recta
numérica . Los puntos representan números negativos si están a la izquierda del
punto marcado 0 (origen), y positivos si están a su derecha.
1. Los números reales se pueden describir
corno:
Mediante divisiones iguales se sitúan los enteros, y entre éstos, las fracciones
-2/x-1 3+0.5/\4+0.3
a) Todos los números con signo (enteros
o con fracciones).
b) Los números racionales e irracionales.
2. Es posible distinguir un racional de un
irracional mediante su escritura decimal:
Un número
Racional: tiene fracción decimal periódica
1.25=1.250=1.249, 4=4.0=3.9
Irracional: su fracción es no periódica
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Los números simétricos
tienen igual distancia al origen.
-3y 3,-j'2 yj'2-, -0.4y0.4
El valor absoluto 11
del número es su distancia al origen.
131=3,
-31
=3, 101 =0
Los números reales están formados por dos tipos de números:
Números racionales
Números como 3.5 = 2 _ 2 = _ ! , 5 = ,
J= 1.41421..., 7r= 3.14159...
que se escriben como razón de dos enteros.
Números irracionales
Verifica tu avance
Números como /2, - 15, 1 que no
J2 '
pueden escribirse como razón de dos enteros.
Dos números simétricos: ¿Poseen signos
distintos? ¿Tienen igual valor absoluto?
Los racionales contienen a los naturales y a los enteros y, por supuesto , a todas las
fracciones comunes.
9
/ Observaciones
importantes
En la recta numérica:
1. El punto es la gráfica del número, y éste
es la coordenada del punto.
2. Punto y número se usan como sinónimos.
Ejemplo 1. Ordenando números reales
Graficar los siguientes números y determinar el orden entre ellos
a) 1, - 2, 0, -6
b) -,r2, l 3
4, -2.5,
5
3. Graficar el número es ubicar el punto.
4. Los números se ordenan como sigue:
Todo punto a la derecha de otro
representa un número mayor (>).
- 1 es mayor que - 3
- 1 >-3
Solución
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
2 es mayor que -1
2>-1
-3 -2 -1 0 1 2
1>0>-2>-6
a)
- J -1.4
3 4
14>5>-V>-2.5
b) .
-3 1-2 -1
Verifica tu avance
¿Por qué todo número positivo es mayor
que cualquier número negativo?
14
-2.5
0
11
5 = 0.s
2
Ejemplo 2. Simétricos y distancias al origen
Encontrar el simétrico de cada número y su distancia al origen.
22
a) - 4 b) 2.5 c) - 7
Solución
Simétrico Distancia al origen
1
a)4; 1- 4 4
b) -2.5;
12.51 =2.5
221 22 _ _
71 7
Ejemplo 3. Identificando números reales
Determinar cuáles números son racionales y cuáles irracionales.
a) 25
b) - 4-9 c)
3
Solución
a) Racional b) Racional c) Irracional
Ejemplo 1 b)
/ Observaciones
importantes
1. Mediante divisiones de la unidad (de 10
en 10 en el sistema decimal -sucesivas-,
u otras divisiones: cuartos, tercios, etc.)
ubicas racionales que consideras como
un irracional (- 1.4, -1.41, -1.414 son
aproximaciones a -,F2 ).
2. A veces las fracciones decimales sólo
aproximan fracciones comunes
(1/3 z 0.3)
Simétricos
El simétrico de un número se obtiene
cambiándole el signo al número.
Verifica tu avance
Escribe una lista de cinco enteros sucesivos a partir del cero, y sus simétricos.
Ordénala.
25 = 5 4.9 _ 49 = 2.23607....
3 30
Ejemplo 4. Modelando con desigualdades y variables
Decir: 4 es mayor que 3, equivale a decir: 3 es menor que 4. Usando variables y los
signos de desigualdad mayor que ( > ) y menor que (< ), indicar cuándo:
a) Un número es negativo.
b) Un número es positivo.
c) Un número es mayor que otro.
Solución
Ejemplo 4
Fíjate en
■ • lo siguiente...
Todo número negativo está a la izquierda del
0, es decir, es menor que 0:x < 0
Un número es mayor que otro s: al restarle
este último se obtiene un número positivo:
7>3porque7-3 >0.
Verifica tu avance
a) x < 0 b) x > 0 c) x > Y. También: x - y > 0.
Ejemplo 5. Temperaturas en el país
Una de las regiones más frías del país se localiza en el estado de Chihuahua, en el
municipio de Temósachic donde la temperatura llega a alcanzar en invierno mediciones
bajo cero, como muestra el registro de normales climatológicas.
a) Ordénalas de menor a mayor.
b) ¿Cuál fue la menor
temperatura registrada?
c) ¿Cuál la mayor?
¿Cuál es el simétrico de x? ¿y el de -x?
Evalúa cada una de estas expresiones para
valores positivos y negativos de la variable.
¿Qué observas sobre el signo ¿Cuál es el simétrico del 0? ¿Por qué?
Observaciones
importantes
1. Un signo - delante de una variable no
indica necesariamente un valor negativo.
Si x = - 5 entonces su simétrico -Y = 5
2. Para indicar que una variable x representa un número positivo, o uno negativo, lo
correcto es ubicarlo respecto a 0:
x > 0 ( positivo); x < 0 (negativo)
1
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
DE NÚMEROS REALES
En la recta numérica puedes sumar números con signo. Ubica uno de los puntos. De
allí avanzas una longitud igual a la del otro número, a la derecha si éste es positivo
o a la izquierda si es negativo.
Fíjate en
lo siguiente...
(-3)+5
-5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
1. El orden en que ejecutas la suma no
afecta el resultado ( es la propiedad conmutativa ), es decir, a + h = b + a.
5 + (-3)
Si vas a sustraer dos números procedes igual:
Sustracción
2. Para sumar varios números, los asocias
de dos en dos (esta es la propiedad asociativa).
Para sustraer b de a, suma el simétrico de b
a - b = a + (-b)
a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
Verifica tu avance
• ¿Qué ocurre cuando sumas el 0? (propiedad del neutro aditivo)
Así, toda sustracción es en realidad una suma:
5-2= 5+(-2); 8-(-3)=8+3; -10-(-1)=-10+1
Las sumas en la recta numérica conducen a las dos siguientes reglas:
• ¿Qué ocurre si sumas dos simétricos?
(propiedad del inverso aditivo)
Describe con una expresión algebraica
estas otras dos propiedades de la adición.
Suma de números con signo
1. Si los números poseen signos iguales se suman sus valores absolutos y se pone
el signo común.
2. Si poseen signos distintos se restan sus valores absolutos y se pone el signo
del que tiene mayor valor absoluto.
3. La propiedad de cerradura indica que
la suma y los sumandos pertenecen al
mismo conjunto o tipo de números.
Así:
3+4=7; -3- 4=-7
Reglal
En cambio, 3 + (- 2) = 1; - 3 + 2 = - 1
Regla 2
Verifica tu avance
3 + 5 es un natural , lo mismo que 3 y 5.
¿Ocurre lo mismo con 3 - 5'?
¿y con 3 - 3?
Ejemplo 1. Sumando en la recta numérica
Realizar las siguientes adiciones en la recta numérica.
a) 2 + (-6) b)-1.5- 3.5 c)-5-(-4)
Solución
Ejemplo 1
-6
1
a) 2 + (-6) = -4
-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
Fíjate en
L-
+2
lo siguiente...
b) -1.5-3.5 =-1.5+(-3.5)=-5
-3.5
1. La resta se interpreta como suma en los
incisos b) y e).
-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
2. Esto equivale, cuando hay dos signos seguidos, a cambiarlos por un signo +
(como ocurre en el inciso c).
3. Si hay un solo signo - entre ambos
números, (como en el inciso b), puede
considerarse, por la misma razón anterior, como signo del segundo número.
18
1.5
+
c)-5-(-4)=-5+4= -1
1
11
i -6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
-5
Ejemplo 2a)
Ejemplo 2 . Usando reglas y propiedades de la adición
Observaciones
imnortantes
Efectúa las sumas siguientes.
a)3-(-12)-7- 10
b)
1
-61-2
1. En la práctica, para sumar números con
signo es útil sumar por un lado positivos
y por otro negativos.
Solución
a) 3 - (-12) - 7 - 10 Escribe la expresión
3+12 -7-10
=3+12-7-10 Cambia -(-12)por+12
15 -17
15 - 17 Suma positivos y suma negativos
2. Este proceso puede realizarse mentalmente o por escrito. En este último caso
puede optarse por abreviar pasos (como
se hizo) o por explicitar las reglas y propiedades:
- 2 Resta ; signo negativo (17 > 15).
b) -6-2
Escribe la expresión
Suma valores absolutos; antepón signo común
3 + 12 - 7 - 10
= 3 + 12 + (- 7) + (-10 ) Sustracción
Suma fracciones y simplifica
3
= (3 + 12) + (-7 + (-10))
Asociatividad
= 15 + (-17) Regla 1
Ejemplo 3. Piñatas navideñas
_ - 2 Regla 2
En un negocio familiar de piñatas navideñas, las producciones y ventas en las últimas
cinco semanas del año presentaron los movimientos que se muestran en la tabla.
a) ¿Qué existencias hubieron al final
de cada semana?
e) ¿Quedaron piñatas al final de la
temporada?
Fíjate en
lo siguiente...
Semanas
Piñatas
b) ¿Hubo alguna semana donde la
demanda superó las existencias? Elaboradas 33 24
=a aA
Vendidas
19
37
61 40
38
62
31
43
Ejemplo 2b)
1. Como 6 -2 =
6)+( -2^
1 1
6 - 2 es la suma de dos negativos.
2. Por esta razón usas la regla 1 al sumarlos.
Solución
Estrategias para resolver etproblema
1. Haz un modelo verbal
Recuerda
2. Construye una tabla
Para sumar fracciones iguala denominadores:
a)
Saldo
anterior
Piñatas elaboradas
Saldo
semanal
Vendidas
1 1_ 1 3 4
6+2
6+6 6
1
T
Fracción equivalente
Semanas
Piñatas
-m
Elaboradas
33 . 24
Vendidas
-19
Saldo
14
-37 /
1
3
4 61
Simplifica el resultado:
4
5
^ 40
38
-62/ -43/
0
-3
-31
Zx2 2
4
=-=
6 Z" x 3
3
(Consulta Complemento teórico del capítulo)
4
b) En la cuarta semana. Quedaron pendientes de entregar tres piñatas.
c) Cuatro piñatas.
19
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
DE NÚMEROS REALES
Puedes multiplicar un número positivo con uno negativo mediante una suma.
2(-4) = (-4) + (-4) _ -8
3(-3) = (-3) + (-3) + (-3) = -9
Observaciones
importantes
1. Como el cero no tiene recíproco, la
división entre 0 no está definida. Intenta
dividir por 0:
Cua ndo uno d e los facto res es negativo notamos que el produc to es negativo. ¿Qué
ocu rrirá si am bos factore s son negativos? Veamos pr oductos e n tablas:
a) 0 0 = 2, 0, -1, - 0.5, [2, 34 , ... etc.
b) 4 = No existe resultado.
0
2. En el primer caso hay infinitas soluciones (pues todo número multiplicado por
0 da 0) y en el segundo ninguna. Toda
operación debe producir un único resultado.
Verifica tu avance
El producto de un número y su recíproco
debe dar 1. ¿Por qué 0 no posee recíproco?
La multiplicación posee propiedades análogas a la adición. Enúncialas (son cinco)
e ilustra cada una con tres ejemplos.
3(-4) =-12
3(-3) = -9
2(-4) = -8 Se suma 4
al an terior
1(-4) _ -4
2(-3) = -6 Se suma 3
0(-4) = 0
0(-3) = 0
(-1)(-4) = 4
Seguiría :
al anterior
1(-3) _ -3
Seguiría:
(-1)(-3) = 3
(-2)(-3) = 6
(-2)(-4) = 8
Multiplicación de números con signo
1. Si los números poseen signos iguales el producto es positivo.
2. Si poseen signos distintos el producto es negativo.
Al dividir dos números en realidad multiplicas : 3 - 2 = 3 x 2 . El divisor 2 lo cam1
2
bias por su recíproco 2 ("invierte" el número 1 y tienes su recíproco 1 ).
El producto de recíprocos es 1. Todo número real tiene recíproco , excepto el O.
División
J9 Fíjate en
llOW
Para dividir a entre b, multiplica por el recíproco de b
a 1
b =axfi
lo siguiente. ..
Cóm o multiplicar si un factor es una suma?
1
1111 La siguiente propiedad dice cómo hacerlo:
Distribución del producto
En la división aplicas las reglas de los signos de la multiplicación.
a(b + c) = ab + ac
Ejemplo 1. Productos con dos factores
Ejemplo: 6(10 + 5) = 6(10) + 6(5)
6(10 - 5) = 6(10) - 6(5)
Ejemplo 1
Efectuar las siguientes multiplicaciones.
c) (-x)(6) d
a) (-2)(8) b) (-4)x
)-5)( 3)
Solución
Recuerda
a) (-2)(8) = -(2 X 8) = -16
Producto de fracciones
a n an
-x-=b s hs
Si un factor es entero: 3x 1
4
22
3 1
-x1 4 4
b) (-4)x = -(4x) = -4x
(6)_ -6x 6x
e) (-x) 7 7 7
2-2
d) ( 5)( 3) 5 x 3
15
Ejemplo 2. Productos con varios factores
Ejemplo
------ - - --------2
Observaciones
importantes
Efectuar las siguientes multiplicaciones.
1. Determina el signo del producto antes de
multiplicar.
a) (-4)(2)(-3) b) ( 1)(_ 5)(7)
Solución
El producto tendrá signo
a) (-4)(2)(-3 ) = 4(2)(3) = 24
b) ()(_
)(7)
+ si hay un número par de factores con
signo -.
- si hay un número impar de factores
con signo -.
14
- 131 ( 5 )(7)
15
2. Exponente par > Número par de
factores
d) (-x)3 = (-x)(-X)(-X) = -x3
e) (-x)4 = (-x)(-x)(-x)(-x) = X4
Verifica tu avance
¿Por qué cualquier número elevado a un
exponente par da una potencia positiva?
Ejemplo 3. Distribuyendo factores
¿Expresan lo mismo -x2 y (-x)2?
Utilizar la propiedad distributiva y simplificar
a) 5(6 + 2 )
b) 8(12 - 27 ) c) -3(4 + x)
d) -x(-5 - 7)
Ejemplo 3
Solución
Fíjate en
lo siguiente...
Distribución del producto
a) 5(6 + 2 ) = 5(6) + 5(2 )
30 + 10 = 40
b) 8(12 - 27 ) = 8(12) - 8(27 )
96 - 216 = - 120
1. Aunque -3(4 + x) -3(4) + (-- 3)x
=-12-3x
c) -3(4 + x) _ -3(4) + (-3)x -12 - 3x
d) -x(-5 - 7) = (-x )(-5) - (-x)(7) 5x + 7x
por lo regular el primer paso se hace
mentalmente, y sólo se escribe el último.
2. La distribución a(b + (-) = ab + ac,
Ejemplo 4. Cambiando divisiones a multiplicaciones
Expresar cada división como una multiplicación
leída de derecha a izquierda , nos permite simplificar:
5x+7x=x(5+7)=12z.
Ejemplo 4
/ Observaciones
importantes
Números recíprocos
Tienen igual signo. Uno es el inverso
del otro.
- 15 = - (15 = 7). Por las reglas para dividir
7 15 -15 15
números con signo_ - = 7 , es
decir:
-(15-7)=(-15)=7= 15=(-7).
23
RAZONES , TASAS Y PROPORCIONES
Es posible comparar dos números, o dos cantidades, mediante un cociente.
Números: 8 = 2
8 es el doble de 4.
4
Cantidades:
2 kg
1
10 kg
5
2 kg es la quinta parte de 10 kg.
$60
$20
= 3h
lh
Las cantidades son números acompañados
de una unidad de medida. Cuantifican magnitudes.
Cantidad
Magnitud
3.2 km 60 km/h $100
Distancia Velocidad Precio
Promedio de $20 por hora.
Los dos primeros cocientes son llamados razones, y el último, tasa.
Razón
Si a, b, son números , o cantidades con igual unidad de medida,
Términos de una proporción
1'---> a c f- 3°
b
es la razón de a a b. (a, b 0).
2°- b d 4°
Tasa
Extremos a, d; Medios b, c.
Si a, b, son cantidades con distinta unidad de medida,
a es la tasa promedio de a por b.
b
En esta proporción :
Pero escrita así:
3 _ 6 6 3
4
8
Extremos: 3 y 8
4 y 6.
Medios:
8
Cuando dos razones o dos tasas son iguales, se forma una proporción.
8 _ 2 $60 _ $20
4
1 y 3h
1h
4
Extremos: 4 y 6
Medios:
son proporciones porque 8 X 1 = 4 X 2 y
3y8
(a, b 0)
60 X 1= 3 X 20.
Verifica tu avance
Proporción
¿Cómo se llama al primero y al último
término de una proporción? ¿Y a los
intermedios?
La igualdad á = - es una proporción
b d
¿De qué dependen estos nombres?
ad = bc
(a, b, c, d 0).
Ejemplo 1
Fíjate en
lo siguiente...
Ejemplo 1 . Escribiendo razones
a), b) La razón de a a b compara el tamaño
de a respecto al de b.
6
_ 2
3
1
3
6
2
Hallar e interpretar:
a) La razón de 6 a 3 b) La razón de 3 a 6 c) La razón de 15 cm a 2 m
Solución
6 es el
doble de 3
3 es la
Razón Interpretación
mitad de 6
a) 6 = 2
3
26
6 es dos veces mayor que 3.
3 1
b) 6=2=0.5
I
c)
cpf
200 c)it
e) Usas la misma medida en las cantidades (cm) para compararlas mediante
una razón.
3 es un medio de 6.
=0.011
15 es aproximadamente 11 milésimos de 2 m
Puedes también expresarlas en metros:
cnr=2.236 crn _ 0.02236 0
= 0.01 1
2 ni 2 m 2 pf
Ejemplo 2 . Interpretando tasas
Interpretar cada una de las tasas siguientes:
a) Rendimiento
de tu auto
b) Velocidad de
descenso
22.3 km
5m
1 It
1 S
e) Efectividad de
un antibiótico
_ 50, 000 bacterias
3 horas
Observaciones
importantes
1. Una tasa o razón no siempre es una fracción común, (como muestra el ejemplo
l e).
Razones y fracciones
Solución
b Razón , tasa , si a y b son reales
a) Tu auto recorre en promedio 22.3 km por cada litro de gasolina.
b) El objeto desciende 5 metros cada segundo.
e) El antibiótico destruye 50 mil bacterias cada 3 horas.
Fracción común , si a y b son enteros
(a, b 0)
Ejemplo 3 . Resolviendo una proporción
Verifica tu avance
¿Indica unidad de medida la razón de dos
números o dos cantidades? ¿Y la tasa?
Obtener el término que falta en la proporción 2 = 14
3 x
¿Por qué las razones de números reales
incluyen a los racionales?
Solución
2 14
2. Resolver una proporción significa hallar
el valor desconocido de un término.
Proporción dada
3 x
2x = 42
Productos cruzados 2(x) = 3(14)
Resolución de una proporción
x = 21 Dividiendo ambos lados por 2
Productos cruzados
Ejemplo 4. Turismo y promedios
a c ad=bc
b \d
La tabla muestra cuánto gastan los turistas en vacaciones . Los datos
corresponden a 2,427,000 turistas durante 12 días de un año.
a) ¿Cuánto gastó en promedio cada persona en transporte?
b) ¿Cuál fue la tasa diaria de erogación en alimentos?
e) ¿Cuál fue el gasto promedio diario, por persona, en hospedaje?
Transporte
Alimentos
Hospedaje
$1.840'758.150
$11,027'802,600
$ 9,967'689,000
2 = 14 ya que 2(26) = 3(14) (= 52)
3 26
Solución
e) Transporte
Se comprueba tomando productos cruzados:
$ 1,840'758,150 _ $ 758.45
1 persona
. 2,427'000 personas
bl Alimentos . $11,02T802,600 $918'983,550
12 días 1 día
27
Ejemplo 4
c) Hospedaje.
En el periodo : $ 9,967' 689, Otx) $ 4,107
2.427' 000 personas
1 persona
Cómo leer grandes números
o cantidades
$ 4,107 $342.25
( una persona).
En un día: =
12 días 1 día
1) Separa las cifras de derecha a izquierda
en grupos de tres, alternando comas y
naturile,:
3245 1 , 697 1 500, 000
2) Donde haya una coma lee: mil; donde
haya un 1: millones; un 2: billones,
etc.
Verifica tu avance
¿Cómo se lee el número anterior?
¿Cómo lees cada número de la tabla?
Gasto promedio por persona:
Ejemplo S . Tiendas de autoservicio
¿Qué te conviene más en la promoción de dos artículos en una tienda de autoservicio: comprar los que se ofertan al 2 X 1 ,o los que están al 3X 2?
Solución
Y Estrategia para resolver el problema
' Construye un modelo verbal
Hay que comparar el costo por oferta respecto al costo
normal, para conocer el beneficio que se obtiene en
cada caso. Costo = Cantidad X precio
Fíjate en
lo siguiente...
b) Aquí la tasa expresa el gasto diario en
alimentos efectuado por el total de turistas.
c) Los dos cocientes del gasto promedio
diario, por persona , pueden reducirse a
uno:
Monto
a
Personas
h)
Días
c bc
a
Costo normal
ka,
= 1 =050=_50% 2x=?=0.6=66.66%
1
x
2xr 2 3x7 3
Al 2 X 1, cada artículo te sale al 50°% de su valor (la mitad). Al 3 X 2 pagas el
66.66% (dos tercios) de su valor. Te convienen más las ofertas al 2 X 1.
Monto
Ejercicios 1.6
Personas X Días
Ejemplo 5
En los ejercicios 1 a 4, el primer número es a y el segundo es b.
Recuerda
1. Artículos al 2 X 1 significa que adquieres dos artículos por el precio de uno.
2. También : 1< 2, ya que 1 X 3< 2 X 2.
2 3
3. Los porcentajes son fracciones decimales. Indican cuántas partes tomas, de cien
en que divides al número o cantidad.
50% = 50 = 0.50
100
JIrD# Fíjate en
lo siguiente...
Las variables P, p, representan el precio de
cada clase de artículos. Observa que no interesa su valor, pues se cancelan.
28
Costo con oferta
a) ¿Qué tanto es a de b?
b) ¿Qué tanto por ciento es a de b?
1. 1 de 4 2. 2 de 10 3. 29.25 de 6.5 4. 55 de 25
En los ejercicios 5 a 8, interpreta cada cociente sucesivo.
5. Crecimiento de una planta 6. Costo de camisas
cm 7 _ 3.5 Costo $ 1,000 _ 500 250
día 2 1 Camisas 4 2 1
7. Depreciación de un equipo 8. Pérdida de peso
Valor (miles) $ -45 _ -9 _ -4.5 Kilos 1.8 _ 0.9 _ 0.45
años
l0 2 1 Semanas 4 2 1
En los ejercicios 9 a 12, escribe cada expresión como una razón o una tasa.
9. 12 es el cuádruplo de 3 10. 5 es la sexta parte de 30
11. Un crecimiento semestral de 0.12 cm; 12. Un interés del 0.4% bimestral
VARIACIÓN DIRECTA E INVERSA
Las magnitudes pueden tener valores cambiantes o fijos. Los primeros se expresan
con variables y los otros mediante constantes. Por ejemplo:
1. El tiempo es una magnitud variable; sus valores se denotan con la letra t.
IIII Observaciones
importantes
1. En la variación directa ambas cantidades aumentan o disminuyen por el
mismo factor ("si una aumenta -o disminuye- la otra también").
2. En la variación inversa una cantidad se
multiplica por un factor y la otra se divide entre este factor ("al aumentar una
la otra disminuye -o viceversa-").
3. Estos comportamientos de aumento y
disminución se observan sólo si ambas
cantidades son positivas (o ambas negativas).
4. En las aplicaciones las variables toman
casi siempre valores positivos (con lo
cual k > 0).
2. La aceleración de la gravedad es una magnitud constante; su valor es
9.8 m/s2
Dos magnitudes variables pueden estar relacionadas de modo que, sin importar sus
valores, sus cocientes o productos resultan siempre iguales.
Variación inversa
Variación directa
x
y
2
3
4
10
15
20
Cocientes iguales Productos iguales
101520
5 1 X9=2x4.5=3X3=9
2 3 4
Tales igualdades permiten escribir una proporción entre los valores de dos columnas,
tomándolos directamente en el primer caso, y en cruz en el segundo.
Proporción directa 2 = 3
10 15
Proporción inversa 1 = 2
4.5 9
Modelos de variación proporcional
¡ir D
op Fíjate en
lo siguiente...
Las variables x, y varían
1. Los cocientes o productos por columna
dan la constante de variación k, de toda
Directamente Inversamente
Si -Y= k, o y=kx.
x
la tabla.
2. También puedes formar proporciones con
los términos de los renglones, así:
Directa Inversa:
Sixy=k,o y=
x
k 0 0, es la constante o tasa de variación.
Estas variaciones se llaman proporcionales porque generan proporciones.
1 -- 2 15 .4---- 45
50 f- 100 9 --^ 3
2-100-' 45-y=3
15 3
1 50
Ejemplo 1. Identificando variaciones
Identificar en las siguientes tablas cuál variación es directa y cuál inversa.
3. Para cada proporción, este cociente por
renglones es su razón de proporciona-
17-- 2 3
b) x
15 45 90 180
li(1W/.
50 100 150
4. Constituyen el factor por medio del cual
pasas, por renglones, de una columna a
otra. X2 X1.5
Directa:
9 3 1.5 0.75
x = Horas laboradas
x = Rapidez de tu auto en km/h
y = Pago en pesos
y = Tiempo en horas
Solución
X2 X 1.5
e) Directa. 50 _ 100 _ 150 _ 50 Constante de variación k = 50.
1 2 3
_
45 90 180
Inversa:
3 1.5 0.75
=3
30
y
'2
-2
b) Inversa . 15x9 = 45X3 = 90X 1.5 = 180x0.75 = 135. Constante k = 135.
Ejemplo 2 . Estableciendo proporciones
Ejemplo 2
Fíjate en
resan A partir de la información, hallar los valores que faltan en cada tabla.
gr es
arsus
a) .Y varía directamente con y
x
8
3 _
4
lo siguiente...
b) x varía inversamente con Y
1
x
4
y 10 5 b y 10 20
x = Número de gorras
x = Horas de viaje
y = Costo (cientos de pesos) y = Reserva de gasolina (lts)
Solución
4
a) Escribimos 5
3
=b
1. Al escribir las proporciones puedes
tomar los cocientes por renglón (razón)
o por columna (tasa), en cualquier
orden : de abajo a arriba; derecha a
izquierda, o a la inversa.
2. En la variación directa las proporciones se escriben por renglones o
columnas siguiendo el mismo orden
o sentido.
. De aquí: 4b = 15, b = 3.75. Tres gorras cuestan $375.
12 a
b) De la proporción cruzada 20 = 10 , se tiene 20a = 120; a = 6 hrs.
12 4
Para hallar b escribimos 6 = 10 -; 4b = 120, b = 30 lts.
Ejemplo 3. Construyendo modelos de variación
a) Escribir un modelo algebraico para cada tabla del ejemplo 2.
b) Predecir Y para x = 10. Interpretar y agregar los valores a la tabla.
Renglón : 4 5 3 b
3 b' 4 5
4 3 5 b
Columna: 5 b' 4 3'
Aunque de una proporción a otra los cocientes son distintos. en todas 4b = 15.
3. En la variación inversa las proporciones se escriben con renglones en sentidos opuestos, o columnas cruzadas.
Solución
a) Variación directa. En cualquier columna, y = 1.25. El modelo es y = 1.25x.
x
120
Variación inversa. En las columnas, xy = 120. El modelo es y = - .
x
Modelo y = 1201x.
b) Modelo y = 1.25x
x = 10: y = 120/10 = 12
x = 10: y = 1.25( 10) = 12.5
x
y
10 gorras costarán $1250
Reserva en 10 horas: 12 litros.
Ejemplo 4. Computadoras y rapidez de captura
Deseas salir al cine con una amiga, pero antes debes escribir
un trabajo en la computadora, que te tomará 50 minutos. Tu
amiga te ofrece ayuda con su computadora portátil, mientras
tú trabajas en la tuya. ¿En cuánto tiempo concluirán ambos el
trabajo, si tu amiga lo haría sola en 30 minutos?
Solución
Exlraleglas para rrxalver el problema.
1. Construye modelos verbale s y algebraicos
2. Elabora una tabla
Renglón: 12 = 20
a l0'
12 a
Columna• _ 20 10 '
a 10
12 20
1020
a 12 '
Aunque de una proporción a otra los cocientes son distintos, en todas 20a = 120.
Ejemplo 3
Observaciones
^^ importantes
1. En los modelos de variación directa, la
constante de variación es el cociente
k = -Y (en ese orden).
x
2. El modelo y = kv permite hallar y cuando se conoce el valor de x (basta multiplicar éste por la constante k).
3. En el ejemplo 3a), la constante de variación k = v/x es el precio individual de
cada gorra: k = 1.25 = $125.
4. Los modelos evitan calcular proporciones y permiten efectuar predicciones.
31
Ejemplo 4
Modelos verbales
Fíjate en
lo siguiente...
I
d
1. La fórmula R =yes análoga de v = - .
t
t
P
2. Para hallar el tiempo puedes usar t = .
R
En este caso:
Rapidez de trabajo = Producción
Tiempo
Rapidez conjunta = Rapidez de uno + Rapidez del otro
Identifica variables
Ri = tu rapidez de captura R2 = rapidez de captura de tu amiga
t=
P
l\1
= 75 =18.75min
-(7 5min
(Esto evitaría la tabla y la proporción)
3. Lo anterior muestra que los problemas
de obtención del tiempo de operación conjunta ( variación directa), se
resuelven en dos pasos:
a) Se suman las rapideces
b) Se toma su recíproco (éste es el
tiempo)
Usas la ley distributiva para simplificar
R=
p
50+
10)
=p 3+5 8 _ 4P
I 150 ]=p(150 75min
(150 es el mcm de 30 y 50. Para fracciones consulta el Complemento teórico)
P = producción total (palabras) R = rapidez conjunta
Modelos algebraicos
_
R'
_
4P
50 min R` 30 min R 50 + 30 75 min
P
_
P
P
P
Esta tasa indica que, escribiendo simultáneamente, producirían cuatro de estos trabajos en 75 minutos. ¿Cuánto tiempo requerirá producir un trabajo?
Tabla de datos
Producción P 4 1
1 Tiempo minutos 75 ; T
Proporción directa
4_1
- • 4T = 75; T = 18.75 minutos
75 T '
Les tomará cerca de 19 minutos concluir el trabajo, antes de poder ir al cine.
Ejemplo 5. Consumo de alimentos
Un hotel estima una provisión de alimentos suficiente para un total de 300 huéspedes
durante una semana. Sin embargo, la demanda del servicio aumenta 12% sobre lo
previsto.
a) ¿Cuántos días antes de que termine esta semana deberá
el hotel reabastecer su despensa?
Ejemplo 5
Recuerda
Usas la ley distributiva para simplificar:
b) Encuentra un modelo para determinar, bajo el mismo
estándar de consumo, el número de días que durará la
despensa del hotel para cualquier cantidad x de comensales. ¿Cuánto durará con 250 huéspedes?
300 + 0.12(300) = 1(300) + 0.12(300)
= 300(1 + 0.12)
Observaciones
importantes
1. d es una variable con un solo valor (desconocido, pero fijo). En tal caso se dice
que representa una constante. (Al contrario de x, y, que son variables con diversos
valores)
2. Con los datos de una columna y el
tipo de variación puedes hallar
el modelo general. Esto evita escribir
proporciones.
Solución
Estrategia para resolver el problema:
Organiza los datos en una tabla
a) La cantidad real de huéspedes será 300 + 0 .12(300) = 300(1.12) = 336.
Huéspedes x 300 i 336
Tiempo que dura la reserva de alimentos y (días) 7 d
Proporción inversa: 300 _ 336 ; 336d = 2100; d = 6.25 días.
d 7
El hotel deberá reabastecer su despensa un día antes , el sexto día.
b) Modelo de variación inversa: xy = 300(7) = 2100, o bien, y =
Ejemplo : Con 300 y 7 escribes xv = 300(7)
250 = 8.4 días.
Para 250 comensales la reserva duraría: y=2100
= 2100. Si x = 336, y= 2100 = 2100 = 6.25 días.
,a- 336
32
2100
x