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Arthur Cayley (1821-1895) creó
la teoría de los invariantes en forma algebraica, que fue desarrollada con la introducción
de los determinantes y generalizada con las matrices y formas multilineales. Asimismo
investigó sobre la teoría de grupos y dio una formulación algebraica completa de la
geometría proyectiva.
CONCEPTO DE DETERMINANTE: El concepto de determinante nació en el siglo
XIX, cuando se pretendió conseguir una fórmula general que permitiera calcular
directamente la solución de un sistema lineal de ecuaciones con “n incógnitas”. En
pocas palabras, el determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a
partir de los elementos de la matriz.
DETERMINANTE DE ORDEN 2
a11 a12
= a11 xa 22 − a 21 xa12
a 21 a 22
DETERMINANTE DE ORDEN 3
a11
a12
METODO 1: Regla de Cramer. a 21
a31
a 22
a32
a11
a12
a13
METODO 2: DE SARRUS: a 21
a31
a 22
a32
a 23
a33
a13
a 23 = ∑ (−1) i+ j aij x Menor
a33
a11
a 21
= a 31
a11
a 21
a12
a 22
a32
a12
a 22
a13
a 23
a 33 =
a13
a 23
(a a11 xa 22 xa33 + a 21 xa32 xa13 + a 31 xa12 xa 23 ) − (a13 xa 22 xa31 + a 23 xa32 xa11 + a 33 xa12 xa 21 )
ALGUNAS PROPIEDADES ÚTILES DE LOS DETERMINANTES:
1.- El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su transpuesta.
T
A= A
2.- Si se intercambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de
signo.
3.-Un determinante con dos filas o columnas iguales es cero
4.- Si los elementos de una fila o columna se multiplica por un escalar, el
determinante queda multiplicado por el escalar.
5.- Si dos filas o columnas son proporcionales, el determinante es cero.
6.- Si una fila o una columna de un determinante la forman terminaos que son
suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes
obtenidos sustituyendo dicha fila o columna por los primeros y segundos sumandos
respectivamente.
7.- Si una fila o columna es combinación lineal de otras filas o columnas, el
determinante es cero.
8.- Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de otras filas o
columnas a ella, el determinante no cambia.
9.- El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de
los determinantes de dichas matrices.
Inversa de una matriz
1.- Para una matriz de 2x2 es problema se resuelve bastante fácil, ya que.
 a11
 a 21
A= 
1º)
a11
a 21
a12 
 se debe verificar
a 22 
a12
= a11 xa 22 − a 21 xa12 , Entonces:
a 22
1  a 22 − a12 


A  − a 21 a11 
2.- Para una matriz cuadrada de cualquier orden:
1º) el determinante de la matriz debe será distinta de cero
2º) Veamos ahora como calcular A −1 conociendo A. se recurre para ello al metodo de
Gauss, siguiendo el esquema:
A −1 =
A sometida a ciertos cambios da I
I sometida a ciertos cambios da A −1
1 − 3 5


Ejemplo se quiere calcular la inversa de A=  2 − 1 4  . Se procede como se indica:
1 1 0


 1 − 3 5 1 0 0


(A/I)=  2 − 1 4 0 1 0 
1 1 0 0 0 1


Ahora se somete a la matriz A a los cambios de equivalencia que convenga para
transformarla en I, y vamos sometiendo, simultáneamente a I a los mismos cambios
.Cuando A se haya transformado en I, I se habrá transformado en A −1 .
1 0 0
 1 − 3 5 1 0 0  1 − 3 5

 

 2 − 1 4 0 1 0  =  0 5 − 6 − 2 1 0  = etc.
1 1 0 0 0 1 0 4 − 5 −1 0 1

 

 4 −5 7 


A −1 =  − 4 5 − 6  .
 − 3 4 − 5


Problemas propuestos:
1.- CALCULAR:
2 3 7
4 −5
1.1.−1 − 2
1.5.-
2
−4
1 −1
1.2.- 5
6 7
8 9 1
3 −2
4 5
1.6.-
a b c
1.3.- 0
a−b
a
a
a+b
0 −2
−2 3 3
1.8.- c
a b
b c a
1.9.- 1
2 −4
1.4.- 1
−1
1/ 2
k k
=0
4 2k
− 1/ 3
−1
1
1.10.- 3 / 4 1 / 2
−1
−4
2.-Calcule el valor de la variable indicada:
t−2
t−2
7
2.1.- Calcule t en:
=0
−4 t +3
t −1
3
2.3.- Calcule t en: − 3
x
−3
t +3
y
2.4 t? en:
z
7
6
−1
1
t +5
1
−6 t +2
5x 5 y
0 3 = 1 , calcule el valor de: 3.1.- 1
1 1 1
1
3.- Sabiendo que: 5
x
3.2.- 2 x + 5
x +1
y
3
t + 1 − 2 =0
0 t−4
0
t +5 −3
6
t−4
−6
4
2.2.- Calcule t en: 1
0
1
5z
3/5
1
z
2 y 2z + 3
y +1 z +1
4.- Calcule el valor de los determinantes:
a −1 a + 5 a + 2
4.1.-
4.4.-
0
−1
3
5
4
2
1
1
1
x
y+z
y
x+z
z
x+ y
1+ a
a a a
4.2.- a
b b
a b c
4.3.-
1
1
1
−2 3
5 1 −1
2
5
1.7.- determine k en
2 −4
3
−4
3
1
1
1+ b 1
1 1
5.- Resuelva las ecuaciones:
x − 1 2x − 3
5.1.=2
2
x
2 0 1
5.2.- 1
x 2
4 x 0
6.- A es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 2 .Calcule razonablemente el
valor de los siguientes determinantes.
6.2.- 10 5 A −1
6.1.- 3 A + 4 A
6.3.- B t xAxB −1 (B es una matriz de
orden 3)
 3 − 2 − 1


7.- Dada la matriz:  − 4 1 − 1 , calcule la inversa.
 2
0
1 

 3 5

8.- Hallar la inversa de: 
 2 3
1 0 2


9.- Calcular la inversa de:  2 − 1 3 
4 1 8


 2 − 3

1 3 
 − 1 2 − 3


11.- Hallar la inversa de: 11.1.-  2
1
0 
 4 −2 5 


10.- Hallar la inversa de: 
 2 1 − 1


11.2.-  0 2
1 
 5 − 2 − 3


0 7 5


12.- Para que valores de x existe la inversa de:  3 4 x 
7 0 5


2 log 2 8 sen 2 45º
13.- Dadas los determinantes: A= 3
log 3 2
a
log a 2
4 log 2 2
B=
(2 2 − 3 3 ) + 12 6
2
2
2 2
−1
1
cos 30º log 2 − 0.00103
1/ 2
2
−2
2
1
0
7
C= sen 70º + cos
π
18
−1
2
2
2
ln 2
ln 1 + log 10
−1
1
2
Calcule:
13.1.- A + B + C
13.2.- 2 A + 3 A − 13 A + 2 B
13.3.- A B + B A
14.- Calcule el valor de:
−1
2
1
−3
−1 1 + 6
1 2 9
14.1.- 2
3
14.2.- si el valor de
x 2a
+
x 2b
a
b
1
1 − 2 −1
−1 1 + 2
1 2 3
−1
1
−1 2 1
1 + 1
2
3
5
0
3 −1
1 2 + 2 −1 1 - 2
1 2 3 1 2 0
2
1
−1 1
3 3
x
=k, calcule el valor de las expresiones:
y
14.2.1.-
b
a
14.2.2..-
2a 2 x
a
+3
b
y
b
 log 525

15.- si A=  1
 log 0, 25
 0,5
2
x
a
+4
y
b
x a+b
-2
y
b
x+ y
x a
+2
y
y b
x
2a + y 2 x + y
−a
+4
+3
y
b
y
−b
x 4a 2 x
6a 3 x
+
+2
y 2b y
8b 4 y
 1
4 sen30º − 2 sen150º 


− e0
− 22
 , B=  − senπ


4
1
 −1


Determine la matriz X , que satisface la ecuación:
(A + B)(A – B)X + AB = I , donde I es la matriz unitaria.
e log 1
cos
π
2
( 2 + 3) 2 − 2 6
− 14 
1 

1 