SISTEMA DE NUMEROS REALES 1.1 Conjuntos Es una

SISTEMA DE NUMEROS REALES
1.1 Conjuntos
Es una agrupación de objetos distintos (pero con algunas características en común), los que
reciben el nombre de elementos. Generalmente se nombra a un conjunto con una letra
mayúscula y a un elemento de ese conjunto con una letra minúscula. Se pueden especificar de
dos maneras:
a) Haciendo una lista de los elementos del conjunto (enumeración)
EJEMPLO: Para indicar el conjunto M, formado por los números 4, 6 y 8, escribimos.
M = , , b) Estableciendo una propiedad que caracterice a los elementos del conjunto
(comprensión)
EJEMPLO: Para indicar el mismo conjunto M. Escribimos:
M = / ú
M = {X / X
N y 3 < X < 9}
Muy a menudo se puede utilizar el “Diagrama de Venn”, consiste en representarlo mediante
un recinto plano limitado por una línea cerrada. Se emplea el símbolo para indicar que un
elemento específico pertenece a un conjunto; y el símbolo
específico no es elemento de un conjunto.
EJEMPLO:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {X / X es un número natural menor que 6}
A = {X / X
N y X<6}
para indicar que un elemento
Dados dos conjuntos A y B, si todo elemento de A es elemento de B, se indica A
B (A esta
incluido en B ó A es parte de B). Mientras que si A no es parte de B, es decir que hay algún
elemento de A que no es elemento de B, se escribe A
B.
EJEMPLO:
A = {1, 2}
B = {1, 2, 3, 4}
A
B
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales (y se escribe A = B), si A y B poseen elementos
idénticos, es decir A
B y B
A. Mientras que si hay algún elemento de A que no es
elemento de B, o si hay algún elemento de B que no este en A, se dice que A ≠ B. El conjunto
que no tiene elementos se denomina Conjunto Vacio y se representa con el símbolo ø.
EJEMPLO:
A = {X / X
N y 2X + 4 = 0} ò A = ø
B = {X: X2 < 0} ò B = ø
Se llama Conjunto universal (o referencial) y se denomina con U al conjunto que contiene
todos los elementos de todos los conjuntos.
EJEMPLO:
U = {X / X
N} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…}
A = {X / X
N y X es par} = {2, 4, 6, 8, 10…}
B = {X / X
N y X es impar} = {1, 3, 5, 7, 9…}
Complemento de A (respecto de U al conjunto de elementos de U que no están en A). Para
indicar el complemento del conjunto A, usaremos el símbolo A’.
EJEMPLO:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…}
A = {2, 4, 6, 8}
Complemento de A ó A’ = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {1, 2, 3,4, 5}
Complemento de B ó B’ = {6, 7, 8, 9}
1.2 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Recuerde que:
A) UNION: Es el elemento que se encuentran en A ò en B, ò en ambos
En símbolos: A
B {X / X
AòX
B}
B) INTERSECCION: Se representa A
B, es el conjunto de elementos que se encuentran
tanto en A como en B (o sea, los elementos comunes en A y B).
En símbolos: A
B {X / X
AyX
B}
C) DIFERENCIA: se representa A – B, es el conjunto formado por los elementos de A que
no son elementos de B.
En símbolos: A – B {X / X
AyX
B}
LOS NUMEROS REALES
2.1 CONJUNTO NÚMEROS REALES
Recordemos que el conjunto de los números naturales o enteros positivos, se compone de:
N = {1, 2, 3, 4 5,…}; y que N es un subconjunto del conjunto de los enteros: Z= {…-3, -2, -1, 0,
1, 2, 3…}. El conjunto Z incluye tanto enteros positivos como los negativos y el número cero, el
cual no es ni negativo ni positivo.
A su vez el conjunto de enteros es un subconjunto del conjunto de los números racionales (Q):
Q = { / p y q son enteros, q ≠ 0}. El conjunto Q esta compuesto de todos los cocientes de dos
enteros, siempre que el denominador no sea cero.
El conjunto de los números racionales no es suficiente para solucionar ciertos problemas
elementales algebraicos y geométricos. Por ejemplo no hay un número racional p / q para que
(p/q)2 = 2, o sea que el número √2 no es un número racional, pertenece al conjunto de los
números irracionales, es decir al conjunto de números reales que no puede expresarse como
cociente de dos enteros.
Otros ejemplos de números irracionales: ∏, ℮, √3, - √7.
Luego podemos afirmar que: N
Z
Q
R.
2.2 SISTEMA DE NÚMEROS REALES Y REPRESENTACIÓN EN LA RECTA.
El sistema de números reales se puede describir completamente por un conjunto de axiomas
(enunciado formal que se da por cierto sin necesidad de demostrarlo). Con estos axiomas
podemos deducir las propiedades de los números reales.
Dentro de la recta real (también recibe el nombre de recta de números reales o recta
numérica) podemos definir una serie de subconjuntos, entre los que se encuentran los
intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen gran importancia en el estudio de las
unciones. Su definición esta basada en la relación de orden de los números reales.
Se elige un punto en el eje para que represente el punto 0 ó punto de origen. Se seleccionan
luego una unidad de distancia. Entonces cada numero positivo X quedara representado por un
punto situado a X unidades de distancia del origen, y así mismo con los numero negativos.
Existe una correspondencia biunívoca entre R y los puntos del eje, es decir, a cada numero
real le corresponde un único punto en el eje y a cada punto en el eje se le asocia un único
número real.
Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la recta real a está a la
izquierda de b o superpuesto en él. Simbólica y gráficamente:
a≤b↔
ó
2.2.1 Intervalos
Para indicar que un número X se encuentra entre a y b, o sea si a < X y X < b. Esto puede
escribirse de la siguiente manera: a < X < b.
También son utilizadas las expresiones: a ≤ X ≤ b, a ≤ X < b, a < X ≤ b.
Al conjunto formado por todos los valores reales de X que cumplen con alguna de las
condiciones anteriores se lo denomina intervalo, tiene una notación determinada y se lo
puede representar en la recta numérica.
2.3 POTENCIACION
Así como una suma repetida X + X + X + X se podía escribir 4X, el producto repetido se puede
escribir X . X . X . X = X4.
En general, para cualquier entero positivo n, el símbolo Xn representa el producto de n
factores de X.
Donde n es el exponente y X es la base
También para cualquier entero positivo n definidos X-n = 1/X n
2.3.1 Propiedades de potenciación
a) Xm . Xn = Xm+n
b) (Xm)n = Xm.n
c) (X. y)n = Xn . yn
d) (X/y)n = Xn / yn
e) Xm / Xn = Xm-n
EJEMPLO:
A) (2a3b2)(3a b4) 3 = (2a3b2)[33 a3 (b4)3]
= (2a3b2) (27 a3b12)
= (2)(27) a3 a3b2 b12
= 54 a6b14
B)
3
! 4
"
# $ &% ' ( ) * )
= %$
+)
# $ %,#)
= %$
-)
%, .
= X4X3 % $ - ) =
# /%0
-)
2.4 RADICACION
Raíz enésima de un número X, se escribe √1, es otro número r que cumple X = rn.
2
√1 = r ↔ X = rn
2
Donde X y r, son números reales no negativos, y n es un entero positivo, ó X y r son reales
negativos y n es un número entero impar.
El símbolo √1 se llama radical:
2
•
X es el radicando
•
n es el índice.
Observa que un mismo radical puede ser escrito de diferentes formas:
2 = √4 = √8 = √16 = √32
$
)
0
A todos estos radicales que dan lugar a la misma raíz se les llama radicales equivalentes (Son
los que tienen las mismas raíces).
2.4.1 PROPIEDADES DE LA RADICACION
a) ( √ )n = X
b) √ . 8 = 8 . c) √ / 8 = 8 / d) 8 √
= .√
EJEMPLO:
a) √9 . !: = √9 . √!: = (-2) (3) = -6.
b) ;
<
√<
=
< √<
= 2/3
c) 8 √:! = √:! = 3
d) 8>9?@ = 9?, √!? = !
?
2.5 EXPONENTES RACIONALES
Para definir un exponente racional o su equivalente, un exponente fraccionario como a1/3, es
necesario utilizar radicales. A fin de darle significado al símbolo a1/m en una forma consistente
con las leyes de los exponentes, tenemos que:
(a1/m)m = a(1/m)m = a1 = a
Por esto, a partir de la definición de la raíz n-ésima
a1/n = √
2.5.1 PROPIEDADES
A) . = A
B) (Xr)p = X r.p
C) > . B@ = . B
D) / = C
E) > / B@ = / B
EJEMPLO:
a) 641/3 = √64 = 4
b) a1/3. a7/3 = a8/3
$
c)
d)
<
8
=
!/ :/?
/?
<
/
= C/
! : = ?A?C? = /?
2.6 VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número X se designa mediante |X|, y se define como:
|X| =
X si X≥0
-X si X≤ 0
Geométricamente el valor absoluto es un numero X es la distancia entre ese numero X y el
origen. La expresión |X|= d, representa aquellos valores de X cuya distancia al origen es d.
Gráficamente:
Analogamente, se define la distancia (no dirigida) entre dos números X y a como: |X – a|. En
particular si a = 0, |X – 0|= |X| tendríamos la distancia al origen como se definió antes.
2.6.1 PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO
a) |X|≥ 0 (|X|> 0 Si X ≠ 0 y |X|= 0, si X = 0)
b) |X . Y|= |X|. |Y|
c) |X + Y|= |X| + |Y| (desigualdad triangular)
d) |X - Y|≥ ||X|- |Y||
e) |X|2 = X2
f) |X|< |Y| ↔ X2 < Y2
g) |X/Y| = |X|/ |Y|
Observacion: √! = |X|