matematicas septimo4 - biblioteca virtual de matematicas unicaes

MATEMÁTICA
Unidad 4
Medidas de peso,
la proporcionalidad
e introducción
al álgebra
Objetivos de la unidad:
Aplicarás las medidas y estimaciones de peso, al proponer
soluciones a situaciones problemáticas de tu vida cotidiana.
Resolverás problemas de la vida cotidiana aplicando con seguridad
proporciones, regla de tres y tanto por ciento, valorando la opinión
de los demás.
Interpretarás y convertirás informaciones del entorno al lenguaje
algebraico –del valor numérico– a fin de proponer con seguridad
soluciones a situaciones cotidianas.
Propondrás soluciones a situaciones problemáticas del aula y del
entorno, utilizando la potenciación, respetando la opinión de los
demás.
55
La unidad de peso
del SI
es
El kilogramo
y se estudiaron
Introducción al
Álgebra
Los submultiplos
Los multiplos
y se estudiaron
Las expresiones algebraicas
esta formada por
Términos
pueden ser
Monomios
La proporcionalidad
se basa en
Razones
se utiliza en
Regla de tres
Proporciones
Tanto por ciento
pueden ser
Directa
Inversa
Descripción del proyecto
En una fábrica artesanal de queso se necesita averiguar si un grupo de personas puede
cumplir con determinada producción, en kg, en un plazo específico.
56 Matemática - Séptimo Grado
Polinomios
Lección 1
Cuarta Unidad
Medidas de peso
Motivación
C
uando vas al mercado o al supermercado a
comprar productos comestibles como leche en
polvo o carne, ¿cuáles son las unidades de peso más
comunes que se utilizan?
Indicadores de logro:
Convertirás con destreza unidades de peso.
Relacionarás con disposición y análisis las unidades de
capacidad, volumen y peso.
Resolverás con certeza problemas donde se apliquen
conversiones.
Peso de un cuerpo
Observa la ilustración. ¿Quién pesa más: Liliana
o Carlos?
Todos los cuerpos tienen peso porque la Tierra los atrae.
Peso de un cuerpo es la
medida de la fuerza con que la
Tierra atrae a ese cuerpo.
Unidades de peso en el SI
En el Sistema Internacional de unidades (SI), la unidad
fundamental de peso es el gramo.
Recibe el nombre de gramo el peso de 1 cm3 de agua
destilada, a 4º C y a nivel del mar.
1 cm
1 cm
Séptimo Grado - Matemática 57
UNIDAD 4
Acá te presentamos algunos
cuerpos cuyo peso está
dado en gramos.
Hay cuerpos cuyo peso es muy grande para expresarlo
en gramos.
Hay otros cuyo peso es muy pequeño. Por ello existen
los múltiplos y sub múltiplos del gramo.
Múltiplos del gramo
Las unidades que son múltiplos del gramo son:
Múltiplo
decagramo
hectogramo
kilogramo
Abreviatura
dag
hg
kg
Equivalencia
10 g
100 g
1,000 g
Observa que los múltiplos del gramo forman un sistema posicional, donde cada
múltiplo equivale a diez unidades del múltiplo inmediato inferior.
Ejemplo 1
Expresa en gramos: 3 kg, 15 hg, 7 dag, 2 kg, 5.2 dag.
Solución:
a)
b)
 1000 g 
3 kg 
= 3000 g  1 kg 
3 kg = 3000 g
 100 g 
15 hg 
= 1500 g  1 hg 
15 hg = 1500 g
c)
d)
 10 g 
7 dag 
= 70 g
 1 dag 
7 dag = 70 g
 10 g 
5.2 dag 
= 52 g
 1 dag 
5.2 dag = 52 g
Ejemplo 2
Si una bolsa de frijoles pesa 5 kg, expresa su peso en dag, hg y g.
Solución:
Observa el siguiente cuadro:
5 kg =
5 kg =
5 kg =
kg
5
5
5
Tienes que: 5 kg = 50 hg = 500 dg = 5,000
58 Matemática - Séptimo Grado
hg
0
0
0
dag
0
0
g
0
= 50 hg
= 500 dag
= 5,000 g
UNIDAD 4
La tonelada métrica
Cuando se afirma que un camión es de cuatro
toneladas, significa que ésta es la máxima carga que debe
trasportar.
La tonelada métrica o tonelada, representada por t,
es la unidad de peso del SI que equivale a mil
kilogramos.
1 t = 1,000 kg
Ejemplo 3
Un camión de 4 t debe transportar 15,000 kg de piedra. ¿Cuántos viajes debe realizar?
Solución:
Comienzas convirtiendo los kg a t:
 1t 
15 ,000 kg 
= 15 t
 1 ,000 kg 
= 15 ,000 kg = 15 t
Luego, como el camión debe transportar un máximo de 4 t en cada viaje, el número de
viajes es:
15 ÷ 4 = 3
Con residuo 3.
R: Entonces el camión necesitaria 4 viajes.
Puedes ver entonces que el camión realiza 3 viajes de 4 t cada uno y 1 viaje de 3 t.
Ejemplo 4
En un bus se transportan 50 personas con un peso
promedio de 75 kg cada una.
¿Cuántas toneladas de carga lleva el bus?
Solución:
Como cada persona pesa un promedio de 75 kg, el peso
de 50 personas es:
75 × 50 = 3,750 kg
 1t 
3 , 750 kg = 3 , 750 kg 
 = 3.75 t
 1 ,000 kg 
R: El peso de las 50 personas que se transportan en el bus es de 3.75 toneladas.
Séptimo Grado - Matemática 59
UNIDAD 4
1
Actividad
1. Un vagón de ferrocarril transporta 8 t con 385 kg de café. ¿Cuántos hectogramos transporta?
2. Una balanza señala que un cuerpo pesa 38 g. ¿Cuántos kilogramos pesa?
3. Copia en tu cuaderno y completa las siguientes igualdades:
a) 52 g = hg
c) 0.8 t = kg
b) 365 dag = kg
d) 3.6 kg = dag
4. Un camión lleva una carga de 3 t y 786 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la carga?
5. Expresar 3,824 kg en una sola expresión que contenga kg, hg, dag y g.
Submúltiplos del gramo
El siguiente cuadro te muestra los sub múltiplos del gramo, su abreviatura y
equivalencia.
Submúltiplo
decigramo
centigramo
miligramo
Abreviatura
dg
cg
mg
Ejemplo 5
Expresa 46 cg en dg, mg, y g.
g
46 cg =
Equivalencia
0.1 g
0.01 g
0.001 g
dg
4
cg
6
Solución:
 10 mg 
Como en 1 cg existen 10 mg, 46 cg = 46 cg 
= 460 mg
 1 cg 
60 Matemática - Séptimo Grado
mg
0
= 460 mg
UNIDAD 4
Solución:
46 cg =
4
6
= 4.6 dg
 1 dg 
= 4.6 dg
O sea: 46 cg 
 10 cg 
46 cg =
g
0
dg
4
cg
6
La cubeta llena de agua pesa: 9 kg = 9 kg
6 hg = 6 ÷ 10 kg = 0.6 kg
9.6 kg
Como vacía pesa 1.2 kg, la diferencia:
9.6 kg − 1.2 kg = 8.4 kg es lo que pesa el agua.
mg
= 0.46 g
 1g 
O sea: 46 cg 
= 0.46 g
 100 cg 
Luego, como 1  de agua pesa 1 kg, el cubo contiene
8.4  de agua.
Ejemplo 8
¿Cuánto pesa 1 dm3 de agua?
Punto de apoyo
Recuerda que:
Para pasar a una unidad inmediata inferior
multiplicas por 10. Y para pasar a una inmediata
superior divides por 10.
Ejemplo 6
Una caja de leche tiene un peso de 464 g. Expresa el peso
en kg y dg.
10 cm
Solución
10 cm
10
cm
1 dm3 = 1,000 cm3.
Además, 1 cm3 de agua pesa 1g Luego, 1,000 cm3 de
agua pesan:
1,000 g = 1 kg.
Ejemplo 9
¿Cuál es el peso de 1 m3 de agua?
Solución:
Como 1 m3 = 1,000 dm3 y el peso de 1 dm3 de agua
es 1 kg
Solución:
Entonces el peso de 1 m3 = 1, 000 dm3 de agua es de
1,000 kg, o sea, una tonelada.
Como 1 kg = 1,000 g
Como 1 g = 10 dg, entonces:
464 g = 464 × 10 dg = 4,640 dg.
Ejemplo 7
Una cubeta llena de agua pesa 9 kg y 6 hg, y vacío 1.2 kg.
¿Cuántos litros de agua contiene la cubeta?
Séptimo Grado - Matemática 61
UNIDAD 4
Ejemplo 10
¿Cuál es el peso en gramos de 2,300 milímetros cúbicos de agua?
Solución:
 1 cm 3 
2,300 mm3 
= 2.3 cm 3
3
 1 ,000 mm 
Luego, 2,300 mm3 = 2.3 cm3
Por tanto: 2, 300 mm3 de agua son 2.3 cm3 , y su peso es 2.3 g.
Ejemplo 11
¿Cuánto pesa un litro de agua?
Solución:
Como 1  = 1 dm3 = 1,000 cm3, entonces un litro de agua pesa 1,000 g, o sea, 1 kg.
Ejemplo 12
El volumen de un recipiente es de 3.14 cm3. ¿A cuántos mililitros equivale? ¿Cuántos
gramos de agua contiene?
Solución:
1  = 1 dm3 = 1,000 cm3
Además, 1  = 1, 000 m 
Luego
1 cm3 = 1 m 
Entonces, un volumen de 3.14 cm3 = 3.14 m  , contiene 3.14 g de agua.
1  = 1 dm3
pero 1 dm3 = 1 × 1,000 cm3 = 1,000 cm3
Luego, 1  = 1,000 cm3
Como la sustancia contenida es agua y 1 cm3 de agua pesa 1 gr, entonces 1,000cm3 de agua
pesan 1,000 gr. Como 1,000 gr = 1 kg, el peso de 1,000 cm3 de agua es 1,000 gr ó 1 kg.
62 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 4
Actividad
2
1. El peso de una caja para galletas es 25 g.
Cuando se le agregan las galletas,
el peso sube a 2.58 kg.
¿Cuánto pesan las galletas?
2. El peso de la leche en polvo contenida en una caja de cartón es de 0.008 kg. Si la caja sola pesa 25 g,
¿Cuál es el peso total de la caja?
3. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala.
3 kg =
5 hg =
13 dag =
14 hg =
5 dg =
kg
3
hg
0
dag
0
g
0
dg
cg
mg
= 3 000 g
= ______ dag
= ______ cg
= ______ mg
= ______ dag
4. Explica cómo harías para convertir 184 mg a dg.
5. El volumen de un tanque para almacenar agua es de 3 m3.
a) ¿Cuántos litros contiene el tanque?
b) ¿Cuántos gramos pesa el agua que contiene? ¿Y cuántos kilogramos?
6. Si un líquido pesa 3 veces más que el agua y ocupa un volumen de 150 cm3, ¿cuánto pesa el líquido?
Resumen
El gramo es la unidad de peso fundamental en el SI. Es el peso de 1 cm3 de agua destilada a
4 ºC y a nivel del mar. Sus múltiplos son el decagramo (dag), el hectogramo (hg) y el
kilogramo (kg). Los submúltiplos del gramo son el decigramo (dg), el centigramo (cg) y el
miligramo (mg).
El peso de un volumen determinado de agua puede determinarse, ya que 1 cm3 de ese
líquido pesa 1 g. Por tanto, como el litro contiene 1,000 cm3, el peso de un litro de agua es de
1,000 g, o sea, 1 kg.
De igual forma, como en 1 m3 hay 1,000 litros, entonces el peso de 1 m3 de agua es de
1,000 kg. Si un líquido es ”n“ veces más pesado que el agua, entonces 1 cm3 de ese líquido
pesará “n “gramos.
Séptimo Grado - Matemática 63
UNIDAD 4
Autocomprobación
1,000 g
b) 1 l
c) 1 kg
d) a y c son correctas
a)
Una carga pesa 9.5 t, y será transportada en un
camión cuya carga máxima es 1,900 kg. El número de
viajes que tiene que realizar el pick-up es:
4
b) 6
c) 5
d) 3
a)
Si una sustancia es 5 veces más pesada que el agua,
entonces el peso de 2 cm3 de esa sustancia es:
El mayor de los siguientes pesos es:
0.004 kg
b) 4 g
c) 40 dg
d) Todos los pesos son iguales
a)
2. b.
10 kg
b) 10 g
c) 0.01 kg
d) 20 g
a)
4
1. d .
2
3
El peso de 1 dm3 de agua es:
Soluciones
1
3. c.
4. d.
PESO DE LA TIERRA
TM7P156
Vista satelital de la Tierra
El peso mejor dicho, la masa de la Tierra fue
calculada por primera vez en 1798 por el físico
inglés Henry Cavendish. Naturalmente, no logró
colocar el globo terráqueo sobre un balanza.
Aún así, Cavendish resolvió el problema mediante
un experimento mucho más sutil, cuyo resultado:
La Tierra pesaba 6,600 trillones de toneladas.
Ahora se sabe que la Tierra tiene un área de
510 101 000 km2; un volumen de
1 083 320 000 000 km3 y un peso de
5,975 trillones de toneladas, o sea:
¡ 5,975,000,000,000,000,000,000 t!
64 Matemática - Séptimo Grado
Lección 2
Cuarta Unidad
Razones y proporciones
Motivación
E
n los hospitales se establece la relación que hay entre
el número de enfermeras y el número de pacientes. Por
ejemplo, si en un hospital hay 2 enfermeras por cada 24
pacientes, ¿cuál es la relación matemática que existe
entre ambos?
Indicadores de logro:
Utilizarás con orden las proporciones en ejercicios y
problemas de aplicación.
Determinarás y ejemplificarás razones con seguridad.
Aplicarás las razones en ejercicios y problemas.
Utilizarás la propiedad fundamental de las proporciones.
Razones
En la situación anterior, como hay 2 enfermeras por cada
24 enfermos, la relación entre el número de enfermeras
y el de pacientes es de 2 a 24. O sea, el número de
2
del total de pacientes.
enfermeras es
Elementos de la razón.
En la razón anterior, 2 se llama antecedente y 3 se
denomina consecuente. Se lee: “2 es a 3”.
24
A esta forma de expresar la relación entre dos cantidades,
se le llama razón.
O sea: razón es el cociente entre dos números.
Así, las siguientes expresiones son ejemplos de razones.
2
3
,
3
5
,
5
4
,
4
5
,
7
8
,
2:3
Antecedente
1
2
Una razón puede representarse en forma fraccionaria,
en forma horizontal o en forma decimal. La razón entre
2 y 5 es:
2
que también se escribe así 2:5.
2
3
Consecuente
Antecedente
Consecuente
5
Séptimo Grado - Matemática 65
UNIDAD 4
Ejemplo 1
Ejemplo 3
La señora. Gómez gasta $40 en alimentos de los $100
que lleva.
¿Representa
Solución:
Solución:
2
5
la razón de 2 m a 5 cm?
antecedente y 100 el consecuente.
Para comparar la medida de un segmento de 2 m con
otro de 5 cm, debes convertir los metros a centímetros
para encontrar la razón.
 100 cm 
= 200 cm
Como 2 m = 2 m 
 1 m 
Ejemplo 2
La razón es:
a)
La razón entre lo que gasta en alimentos y lo que lleva es
40
100
; lo cual se lee “40 es a 100”. En esta razón, 40 es el
El carro de Manuel recorre 40 km por cada galón de
gasolina.
b) Con 3 galones de pintura María pinta una pared de
50 m2 .
b) La razón es:
5
Ejemplo 4
En un centro escolar, la razón del número de niñas
al número de niños es 4:3. ¿Cuántas niñas hay en la
escuela?
Solución:
a) La razón es:
200
1
Probablemente decidiste que hay 40 niños y 30 niñas,
40
4
es igual a , pero puede haber 100 niños
porque
30
3
100
4
y 75 niñas, ya que =
= .
75
3
40
3
50
¿Puedes escribir otras soluciones a la situación?
¿Cuántas soluciones presenta esta situación?
1
Actividad
1. Determina la razón entre las cantidades que intervienen en cada caso.
a) En una escuela hay 2 maestras por cada 65 estudiantes.
b) De cada 10 conductores de transporte colectivo, sólo cuatro respetan las normas de tránsito.
c) Un terreno de 150 manzanas, 95 son cultivadas.
2.En una cooperativa de ahorro y préstamo, por cada $ 1,000 ahorrados recibes $ 150 de utilidades al
año. En otra, por cada $ 1,500 ahorrados recibes $ 200. ¿En cuál de las dos te conviene más ahorrar?
66 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 4
Proporciones
4
75
3
Cuando tienes la igualdad de dos razones obtienes una
proporción.
40 4
= se lee "40 es a 30 como 3 es a 4".
La proporción
30 3
Otra forma de representarla es 40 : 30 : : 3 : 4
En el ejemplo anterior comprobastes que:
100
=
Elementos de la proporción
Observa qué nombre reciben los elementos de una
proporción.
Los elementos 40 y 4 se llaman extremos.
Los elementos 30 y 3 se llaman medios.
Observa: (40) (4) = (30) (3)
Extremos
40 : 30 : : 3 : 4
Medios
Observa
Dos razones son equivalentes si el producto de los medios es igual al producto
de los extremos.
En a : b : : c : d
ad = bc
2
Actividad
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
Proporción
2
6
=
8
24
Lectura
2 es a 6 como
8 es a 24
Extremos
2 y 24
Medios
6y8
5y6
3y8
3 y 10
2 y 12
4 : 7 : : 12 : 21
3
2
=
12
8
Séptimo Grado - Matemática 67
UNIDAD 4
Propiedades de las proporciones
2
Trabaja con la proporción
6
=
3
9
. Encuentra el
producto de sus extremos y el producto de sus medios.
¿Cómo son esos productos? Haz lo mismo con las
proporciones siguientes.
a)
c)
d)
9
=
24
8
5
5
16
24
=
3
8
16
Dada la proporción:
2
5
b
=
c
d
15
30 = 30
10
=
Observa
10
32
Has comprobado que en toda proporción, el producto
de los extremos es igual al producto de los medios. Es
decir:
a
6
Comprueba las siguientes igualdades:
2 × 15 = 5 × 6
Si
¿Llegaste a la misma conclusión?
Si
=
{
b)
8
21
=
Cálculo de medios y extremos.
{
7
Esta propiedad recibe el nombre de propiedad
fundamental de las proporciones.
, entonces a × d = b × c
a
=
b
c
d
, entonces a × d = b × c
¿A qué es igual el valor de un extremo en una
proporción? ¿Y a qué es igual el valor de un medio en
una proporción? Comprueba tus respuestas con las
siguientes:
Un extremo es igual al producto de los medios entre el
otro extremo.
e1
m1
=
m2
e2
e1 =
m 1´ m 2
e2
Un medio es igual al producto de los extremos entre el
otro medio:
e1
m1
=
m2
e2
m1 =
e1 x e 2
m2
Esta es otra propiedad de las proporciones. Te diré cómo
calcular el valor de un extremo o de un medio dados los
otros tres términos.
68 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 4
Ahora en tu cuaderno encuentra el término
desconocido en las siguientes proporciones:
8
4
9
a
y
= =
12
a
4
Compara tu solución con la siguiente:
8
12
=
4
a
12
significa que: 8 × a = 4 × 12
4 × 12
=6
8
Un extremo es igual al producto de los medios entre el
otro extremo.
9
a
significa que: 4 × a = 9 × 12
=
Luego: a =
4
12
a=
9 x 12
4
= 27
Un medio es igual al producto de los extremos entre el
otro medio.
Ejemplo 5
El Centro Escolar Calle Real tiene matriculados 180
niños. ¿Cúantas niñas se encuentran matriculadas si
existen 4 niños por cada 3 niñas?
Solución:
Sea n: el número de niñas.
La razón del número de niños al de niñas es de 4 : 3
entonces:
4 180 .
=
3 n
Fórmula:
a c
=
b d
a×d=b×c
d=
b ×c
a
n=
3 × 180
= 135
4
Sustituyendo:
4 × n = 3 × 180 R: El Centro Escolar tiene 135 niñas matriculadas.
Séptimo Grado - Matemática 69
UNIDAD 4
Ejemplo 6
1
Un tren de carga recorre 210 km en 3 horas. Suponiendo que la velocidad es
2
constante, ¿cuántos kilómetros viaja en 5 h?
Solución:
Sea d los kilómetros que recorre en 5 h.
1 7
210
.
3 = (convirtiendo de número mixto a fracción) formas la razón
7
2 2
Como recorre “d” kilómetros en 5 h, formas la razón
d
5
2
.
Como la velocidad es la misma en ambos recorridos tienes:
d 210
=
5 7
2
Fórmula
a c
=
b d
a × d = b × c
a=
b ×c
d
Sustituyendo:
5 × 210 1050
d=
=
7
2
2
2
1050 7
d=
÷
1
2
1050 2
=
× = 300
1
7
R: El tren recorre 300 km en 5h
70 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 4
Observa
Conversión de número mixto a fracción. (ver pág. 74)
1
3 se convierte así:
2
1 7
(2) (3) + 1 = 7 es el numerador y se deja el mismo denominador, asi: 3 =
2 2
3
Actividad
1. En las siguientes proporciones, encontrar el valor del término desconocido.
a)
y
3
=
8
12
b)
3
4
=
t
20
c)
12
9
=
w
3
2. Un vehículo recorre 162 km en 3 h. ¿En cuántas horas recorre 297 km si su velocidad es constante?
3. Calcula la velocidad media de un avión que recorre 1,925 km en 3.5 h.
4. Cinco galones de cierto líquido pesan 36 lb. ¿Cuánto pesa un galón del líquido?
Resumen
Se le llama razón al cociente entre dos números. Ésta puede expresarse en forma de fracción,
a
en forma decimal o en forma horizontal se escribe también a : b; se lee “a es a b”.
b
Proporción y la igualdad de dos razones. El principio fundamental de las proporciones
establece que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Otro principio de
las proporciones establece que el valor de un extremo es igual al producto de los medios entre
el otro extremo. El valor de un medio es igual al producto de los extremos entre el otro medio.
Séptimo Grado - Matemática 71
UNIDAD 4
Autocomprobación
b)
5
2
3
=
=
6
10
14
21
c) d) 4
5
9
1
=
=
12
9
El valor del término desconocido de la
proporción y = 5 es:
1
b) 5
c) 10
d) 20
a)
4
20
5
7
b) 12
c) 4
d) No puede determinarse, hay múltiples soluciones.
a)
10
18
3. d.
2
3
Si la razón entre el número de maestros y maestras de un centro
4
educativo es , el número de maestras que allí laboran es:
4
Si en el problema anterior hay 20 maestros entonces el
número de maestras es:
20
b) 16
c) 12
d) 25
a)
2. a.
a)
3
1. c.
De las siguientes expresiones, la que no
cumple con la igualdad es:
Soluciones
1
4. d.
RELACIÓN ENTRE NÚMERO DE AUTOS Y BICICLETAS
En muchos países se utiliza la bicicleta como medio
de transporte. Así Holanda, Bélgica, Luxemburgo y
Francia son países donde se utiliza mucho.
En China Continental, a fines de los años ochenta la
relación entre el número de autos y el número de
bicicletas que circulaban era de 1 a 500. En forma
de una razón ésto se representa así:
1
500
Circular en bicicleta debería ser visto como un placer
y orgullo culto. Mientras no consigamos transmitir
nuestros valores no aumentarán los
ciclistas urbanos.
72 Matemática - Séptimo Grado
Lección 3
Cuarta Unidad
Relaciones de proporcionalidad y regla de tres
Motivación
Muchas veces usamos los términos derivados de la palabra
“proporcional” en nuestro diario vivir. Y así decimos que “de forma
proporcional un escarabajo es más fuerte que el hombre, ya que puede
levantar 850 veces el peso de su cuerpo. Esto proporcionalmente equivale a
que un hombre levantara una roca que pesa ¡50 toneladas!
En matemática, las relaciones de proporcionalidad tienen un significado
más preciso, el cual estudiarás en esta lección.
Indicadores de logro:
Explicarás con seguridad el plano cartesiano y sus elementos
y lo trazarás con aseo, a partir de la recta numérica.
Localizarás con exactitud la posición de pares ordenados
sobre el plano cartesiano.
Utilizarás y explicarás con seguridad la proporcionalidad
directa en ejercicios y problemas
Elaborarás con orden y aseo el gráfico y = a x, y = – a x
sobre el plano cartesiano.
Utilizarás y explicarás con seguridad la proporcionalidad
directa en ejercicios y problemas.
Graficarás con orden y aseo y = a / x, y = – a / x sobre el
plano cartesiano.
Resolverás y explicarás con interés ejercicios y problemas
usando la regla de tres directa e inversa.
Resolverás y explicarás problemas de porcentaje, valorando
su utilidad.
Resolverás y explicarás problemas utilizando la regla de tres
compuesta, con seguridad y confianza.
El plano cartesiano
Éste sirve básicamente para ubicar puntos. ¿Cuántos
ejes lo determinan? ¿Qué ángulo forman al cortarse?
¿Qué representa cada eje? Observa que tanto el eje “x”
o de las ordenadas representan la línea recta. Ambos se
cortan en el punto “O” perpendicularmente. Observa
que los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes que se
numeran del 1 al 4.
Se dice que las coordenadas del punto A son 4 en “x” y 3
en “y”, lo cual representas así: A (4, 3). Las coordenadas
de B son – 5 en x y 4 en y, lo cual se escribe: B (− 5, 4).
¿Cómo representas los puntos (x, y)? ¿Dónde ubicas al
punto E (1.5, − 4)? ¿Y dónde ubicas al punto F (− 4, 1.5)?
¿Son iguales los puntos E y F, o sea: (1.5, − 4) = (− 4, 1.5)?
2
y
B
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1
3
1
A
1 2 3 4 5
x
4
Como puedes ver, en un punto interesa el orden de sus
elementos. Por ello, se le llama también par ordenado.
Observa que el origen O tiene de coordenadas
x = O, y = O. Esto significa que las coordenadas del
origen O son: O(0,0)
Séptimo Grado - Matemática 73
UNIDAD 4
1
Actividad
Dibuja el plano cartesiano y ubica los puntos:
P (5, 4), Q (− 6, 4), R (− 8, − 3) y S (3, − 3). ¿Qué representa la figura PQRS?
Proporcionalidad directa
Considere los casos siguientes:
Caso 1
En la tabla siguiente se relacionan los metros cuadrados (m 2) que se pintan de una
pared y la cantidad de pintura necesaria en litros (l).
m2 de pared
l de pintura
1.5
0.33
2
0.44
3
0.66
5
1.1
Caso 2
Un conductor observa un obstáculo en una carretera. Frena de inmediato, pero antes
de detenerse el vehículo recorre cierta distancia, la cual aparece en la siguiente tabla.
Tiempo (seg)
Distancia recorrida (m)
4
1
6
1.5
8
2
12
3
16
4
Caso 3
El precio por estacionarse en un parqueo es:
Tiempo “t” (h)
Precio ($)
Hasta 1 h
0.60
Hasta 2 h
1.20
Hasta 3 h
1.80
Hasta 4 h
2.40
En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes: cuando una varía, la
otra también lo hace.
Ahora vas a graficar los datos del caso 1.
1.1
y
L de pintura
0.88
Luego, puedes afirmar que:
0.66
“El área de la pared a pintar es
directamente proporcional a la
cantidad de litros de pintura”.
0.44
0.22
0
74 Matemática - Séptimo Grado
m2 de pared
1
2
3
4
5
x
UNIDAD 4
2. Si la magnitud A toma valores x1, x2, x3,...... y la
magnitud B toma valores y1, y2, y3, ... decimos que A es
directamente proporcional a B si cumple:
y1 y 2 y 3
= = = ........ constante, es decir:
x1 x 2 x 3
Ahora observa el cuadro siguiente y su gráfico
respectivo.
Tiempo (t) Distancia recorrida
(seg)
(d)(m)
4 seg
1m
6
1.5
8
2
12
3
16
4
y
=k
y=kx
x
donde k es una constante denominada constante de
proporcionalidad.
3. El gráfico en el plano cartesiano de una relación
directamente proporcional es una recta.
y Distancia (m)
4
3
2
1
0
“El tiempo transcurrido es directamente proporcional a
la distancia recorrida”. ¿Cómo haces para comprobarlo?
Tiempo (s)
2 4
Debido a que al multiplicar un valor de “t” por un
número el valor de “d” se multiplica por dicho número,
entonces:
6 8 10 12 14 16 x
1
Propiedades
4
=
1.5
6
=
2
8
=
3
12
=
4
16
ó 0.25
Esta constante recibe el nombre de razón o constante
de proporcionalidad. La fórmula que relaciona ambas
magnitudes en este caso es: d = 0.25 × t.
1. Dos magnitudes son directamente proporcionales
si están relacionadas de tal forma que al multiplicar
una de ella por un número se encuentra que la otra
magnitud también está multiplicada por el mismo
número.
2
Actividad
1. En las siguientes tablas averigua cuáles corresponden a una proporcionalidad directa. Calcula en cada caso la constante de
proporcionalidad.
a)
x
y
2
3
0.57
10.5
3
2
c)
x
y
4
3
12
9
10
7.5
e)
x
y
−3
15
4
− 20
−7
35
b)
x
y
−3
6
4
−8
−7
14
d)
x
y
3
7
4
12
−7
8
f)
x
y
−3
− 5.5
4
1.5
−7
− 9.5
2. Construye el gráfico correspondiente a las tablas del numeral anterior donde las magnitudes sean directamente proporcionales. Escribe
en cada caso la fórmula que relaciona ambas magnitudes.
Séptimo Grado - Matemática 75
UNIDAD 4
Proporcionalidad inversa
Tres puntos que son claves para la proporcionalidad
inversa.
1. Dos magnitudes son inversamente proporcionales
si estan relacionadas de tal forma que al multiplicar
el valor de una de ella, por un número de valor
correspondiente de la otra viene dividido entre
dicho número.
2. Si la magnitud A toma valores x1, x2, x3,...... y la
magnitud B de los valores y1, y2, y3,......... decimos
que A es inversamente proporcional si cumple:
Diez personas tardan 6 días en sembrar un maizal.
¿Cuánto tiempo tardarán 5 personas?
x1 . y1 = x2 . y2,
Observa que en este caso.
entonces: y =
Copia y completa la tabla respectiva.
Número de personas (x)
Número de días (y)
5
12
10
6
20
30
En este ejemplo, ¿Qué valor obtienes al multiplicar cada
valor de “y” por el correspondiente valor de x?
Ensaya una fórmula que te permita obtener
directamente el número de días (y) dado el número de
personas, (x).
Observa que cada producto es igual a 60; luego:
xy = 60; o sea: y =
60
x
El producto xy = 60 se llama constante de
proporcionalidad inversa.
En tu cuaderno copia y completa el gráfico respectivo.
¿Te resulta una línea recta o una curva?
20
N0 de días
15
10
k
x
Donde k es un número constante que puede ser entero o
racional y se llama constante de proporcionalidad.
3. Cuando se representa la proporcionalidad inversa
en el plano cartesiano, se obtiene una curva
descendente.
3
Actividad
1. Determina en cada tabla si las magnitudes son directamente
proporcionales o inversamente proporcionales.
a)
x
y
5
1
10
2
15
3
20
4
b)
x
y
1
20
4
5
5
4
10
2
5
10
15
20
25
30
N0 de personas
76 Matemática - Séptimo Grado
20
1
2. En el cantón El Tamarindo los y las estudiantes se organizan
para limpiar la playa. Calculan que 18 estudiantes tardarían 24
días en limpiarla.
En base a esa información, completa la siguiente tabla.
Nº de
estudiantes
Nº de días
5
0
constante, es decir x x.y = k
18
24
36
3
1
1
2
UNIDAD 4
Regla de tres
Cuando en un problema solo intervienen dos
magnitudes, se dice que es un problema de regla de tres.
Ejemplo 1
Si 5 lb de papas cuestan $ 2.10, ¿cuánto cuestan 8 libras?
Solución:
lb papas
5
8
valor en $
2.10
x
Luego: 5x = 8 (2.10)
“Producto de extremos es igual a producto de medios”
Entonces:
x=
8 ( 2.10 )
5
= 3.36
R: Las 8 libras de papa cuestan $ 3.36
Ejemplo 2
Una empresa importadora de ganado compra 1,140
reses, con la bonificación de recibir 13 reses por cada 12
que compre.
¿Cuántas reses debe recibir?
Ejemplo 3
Si dos personas hacen un trabajo en 7 días, ¿cuánto
tardan en hacerlo 4?
Solución:
Como al doble de personas el tiempo se reduce a la
mitad, entonces las magnitudes son inversamente
proporcionales.
2
4
2(7) = 4(x) → x =
Solución:
Como a mayor número de reses que compre, mayor
reses de bonificación recibe, las magnitudes son
directamente proporcionales. Luego:
No. de reses
que compran
12
1,140
Regla de tres inversa
No. de reses
que recibe
13
x
Luego:
12 (x) = 13 (1,140)
13 x 1 ,140
x=
12
x = 1,235
7
x
2 (7)
4
= 3.5 días
Observa al haber más empleados el número de días
se reduce. En este caso al duplicarse el número de
empleados el tiempo se reduce a la mitad.
R: Las 4 personas tardarian en hacer el trabajo 3.5 días.
Un esquema para resolver una regla de tres inversa es:
Magnitud a
a
c
Magnitud b
b
x
a(b) = cx → x =
a ⋅b
c
R: La empresa compra 1,140 reses y recibe 1,235.
Séptimo Grado - Matemática 77
UNIDAD 4
Ejemplo 4
Ejemplo 6
Una cuadrilla de trabajadores del Ministerio de Obras
Públicas (MOP) ha reparado una calle en 20 días,
trabajando 6 horas. ¿En cuántos días habrían hecho la
obra si hubieran trabajado 8 horas al día?
En un centro educativo, el 40% de los estudiantes
son varones, y el resto señoritas. Si en total hay 320
estudiantes, ¿cuántos son varones y cuántas son
señoritas?
Solución:
Solución:
Como trabajando más horas al día se reduce el
número de días, las magnitudes son inversamente
proporcionales.
¿Qué cantidad de estudiantes representa la totalidad, o
sea, el 100%? ¿Qué porcentaje son varones? ¿Cuál es tu
primera incógnita o dato desconocido? Trata de calcular
el número de varones planteando la regla de tres en base
a las preguntas que te hemos formulado. Al conocer
el número de varones, ¿cómo haces para encontrar el
número de señoritas? ¿Estarías de acuerdo en plantear
así el problema?
No. de horas
No. de días
diarias de trabajo de trabajo
6
x
20
8
Luego:
6 (20) = 8x
6(20)
= 15 días
x=
8
R: La cuadrilla se tarda 15 días si trabaja 8 horas diarias.
Tanto por ciento
Otra forma de aplicación de las reglas de tres es la
resolución de problemas de porcentajes o tanto
por ciento.
Ejemplo 5
El almacén “El trébol” anuncia una rebaja del 15 por
ciento (15%) en algunos de sus productos. Si una camisa
vale $ 9, ¿cuál es la rebaja que experimenta?
Solución:
Como $ 9 representa el cien por ciento o 100%, entonces:
Precio
9
x
%
100
15
Como a doble precio doble
descuento las magnitudes
son directamente
proporcionales.
Luego: 100 x = 9 (15)
x =
9 (15 )
100
= 1.35
R: La camisa experimenta una rebaja de $ 1.35
78 Matemática - Séptimo Grado
Número de
estudiantes
320
x
x =
Porcentaje
(%)
100
40
( 320 )( 40 )
100
= 128
Son 128 varones.
Total → 320
Varones = − 128
192
R: Son 192 señoritas
UNIDAD 4
Regla de tres compuesta
Ejemplo 7
Si 18 máquinas mueven 1,200 m3 de tierra en 12 días,
¿cuántos días se necesitan para que 24 máquinas
muevan 1,600 m3 de tierra?
Como doble o triple número de máquinas tardarán
la mitad o la tercera parte de tiempo, esta relación de
proporcionalidad es inversa. Luego:
x=
Solución:
m3
1,200
1,600
18 (12 )
24
Comienzas planteando el problema, así:
Máquina
18
24
m3
1,200
1,600
Días
12
x
Ahora relacionas la magnitud donde aparece la
incógnita (número de días), con cada una de las otras
magnitudes.
Máquina
18
24
Días
12
x
Como a doble o triple número de m3 tardarán doble o
triple número de días, esta relación de proporcionalidad
es directa. Luego:
x =
18 (12 ) (1 ,600 )
24 (1 , 200 )
para recorrer 351 km si mantiene la misma velocidad?
b) En una realización, un artículo de $45 tiene una rebaja del 20%.
Si después de 15 días a lo rebajado se le agrega otro descuento
del 10%, ¿cuál es el nuevo precio del artículo?
= 12
R: Las 24 máquinas mueven 1,600 m3 de tierra en 12 días.
Actividad
a) Un vehículo recorre 162 km en 3 horas. ¿Cuántas horas necesita
Días
12
x
4
c) En una excursión para acompañar a la selección nacional de fútbol,
se calcula que los gastos de alojamiento y alimentación para 200
personas durante 15 días equivalen a $ 5,400. ¿A cuánto ascienden
los gastos para 250 personas por 10 días?
Resumen
El plano cartesiano está determinado por los ejes que se cortan en ángulo recto. Se divide
en 4 cuadrantes los cuales se nombran del 1 al 4.
Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, su cociente es una constante
llamada razón o constante de proporcionalidad.
Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, su producto es una constante
llamada constante de proporcionalidad inversa.
Séptimo Grado - Matemática 79
UNIDAD 4
Autocomprobación
El punto (−3, −2) se ubica en el plano cartesiano en el
cuadrante número:
3
a)
Es una línea recta
b) Es una línea curva
c) Pasa por el origen
d) a y c son correctas
b) Dos
Tres
d) Cuatro
c)
2
Considerando la tabla siguiente:
x
y
3
6
5
10
7
10
20
4
El dato que falta en la casilla es:
7
b) 21
14
d) 28
c)
1
b) 2
c) 2.5
d) 5
a)
2. c.
3. d.
a)
El 20% de 5 es igual a:
1. c.
a) Uno
Si dos magnitudes son directamente
proporcionales, entonces su gráfico:
Soluciones
1
4. a.
PESO Y ALARGAMIENTO DE UN RESORTE
En situaciones reales los gráficos de las
relaciones de proporcionalidad directa
pueden no seguir del todo una línea recta por
inexactitudes en la medida. Esto lo puedes
comprobar graficando el peso “p” en gramos y
el alargamiento “l” de un resorte en mm.
p
I
50
80
100
80
150
250
200
350
250
435
Grafica en tu cuaderno todos los puntos
anteriores. ¿Todos los puntos están en una
misma recta?
80 Matemática - Séptimo Grado
Lección 4
Cuarta Unidad
Introducción al álgebra
Motivación
S
e tiene $250 en billetes de $5 y $10.
¿De qué forma representas esa cantidad de dinero?
Indicadores de logro:
Determinarás y explicarás valorando la importancia de
utilizar letras como elementos generalizadores.
Interpretarás, aplicarás y explicarás con interés el uso de la
parte literal como parte de la nomenclatura algebraica.
Interpretarás y utilizarás letras para generalizar propiedades
observadas o fórmulas matemáticas.
Establecerás y explicarás con interés, el “valor numérico”
que puede tomar la parte literal.
Identificarás con interés signos algebraicos.
Resolverás problemas utilizando nomenclatura algebraica.
Reconocerás y explicarás con seguridad “término” y sus
elementos a partir de cualquier expresión algebraica.
Diferenciarás con seguridad un monomio de un polinomio.
Determinarás con seguridad el grado absoluto y relativo de
los monomios.
Utilizarás con confianza el grado relativo y absoluto en
ejercicios de aplicación.
Notación algebraica
Como no sabes cuántos billetes de $5 ni cuántos de
$10 posees, le asignas a esos números las letras a y b
respectivamente.
Entonces puedes escribir:
5a + 10b = 250
En álgebra se trabaja mucho con letras, números y
símbolos aritméticos, por lo tanto el álgebra es la rama
de la matemática que considera las cantidades en la
forma más general posible.
Se utiliza el álgebra en fórmulas geométricas
por ejemplo:
Longitud de la
circunferencia se
representa así:  = πd
Área del trapecio:
A = (B + b ) × h
2
d
b
h
B
En cualquiera de los dos casos anteriores, cada letra
puede sustituirse por un número.
Séptimo Grado - Matemática 81
UNIDAD 4
Lenguaje algebraico
Si observas, las formas en como se representan las cantidades en los billetes de $ 5 y $
10, puedes notar que el planteamiento de problemas y su solución requiere un lenguaje
simbólico, que de manera general, muestra la idea del problema y permite una solución
eficaz y razonada.
Para llegar a ella es necesario usar un lenguaje matemático mediante el cual se expresen
tanto los datos conocidos como aquellos que se desea encontrar. Esas expresiones
matemáticas forman el lenguaje algebraico y están formadas por números, letras y
signos de operación.
El lenguaje algebraico permite usar expresiones con elementos indeterminados, por
ejemplo, cuando una persona dice, "x horas del día", se observa que hace uso una letra
del abecedario, pero en matemática también se acostumbra sustituir las letras y signos
para representar operaciones, es decir, que a través de estos símbolos se generalizan un
proceso.
Por ejemplo, para encontrar el perímetro de un polígono regular se aplica la fórmula:
P − n  , donde los símbolos indican que el perímetro del polígono se obtiene
multiplicando el número de lados de dicha figura por la medida de uno de ellos.
Esta interpretación se conoce como traducción del
lenguaje común a lenguaje algebraico.
Ejemplo de traducción de lenguaje común a lenguaje
algebraico.
a) Un número cualquiera
x
b) La suma de dos números
x+y
c) La diferencia de dos números
x−y
d) El producto de dos números
f) El doble de un número
ab
a
b
2d
g) Un número aumentado en 3
x+3
h) El cuadrado de un número
x2
e) El cociente de dos números
Es de gran importancia que aprendas a traducir el
lenguaje común al lenguaje matemático, ya que de esta
forma te va a permitir entender los plateamientos de
muchos problemas.
82 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 4
Expresión algebraica
Las expresiones algebraicas tienen una gran aplicación. Con ella es posible resolver
problemas en las que intervienen variables que representan números, los que permite
garantizar, tanto a lo que se refiere a las cantidades y a las operaciones que se realizan
en ellas.
Una expresión algebraica es aquella que está formada tanto por números
como por literales (letras) con sus exponentes y signos de operación.
Ejemplo 1
a)
y
2
y
y
2
2
c)
3y2
a
c
a+b+c
b
b)
a
a a²
b
ab
b ab
b²
d)
a2 + 2ab + b2
a−b
b
a−b
a
Ejemplo 2
Indica el coeficiente de los términos 7x,
Solución:
Término
7x
− 8a3
4(3x – 5)
3
− 8a3, 4 (3x – 5),
3
Coeficiente
7
−8
4
3
Término
Una expresión algebraica está constituida por uno o más términos, un término es la
forma más simple de una expresión algebraica, por lo general se puede identificar como
un solo símbolo o varios símbolos que están separados por + ó −
Expresión algebraica
x5 − 3y2 + 2z3
Coeficiente
2z3
Exponente
Variable
Cuando un símbolo (en general es un literal) representa a un valor que no está definido
es una variable.
Séptimo Grado - Matemática 83
UNIDAD 4
Ejemplo 3
1
¿Cuál es el coeficiente de los términos?
2x
5
Solución:
,
x −7
4
,x
Término
2x
5
x −7
4
5
1
, ya que
2x
=
2
x
5
5
x −7 1
, ya que
= (x – 7)
4
4
4
x
1. Escribe tres ejemplos de expresiones algebraicas que sean
fórmulas geométricas que tú conoces.
Coeficiente
2
1 , ya que x = 1x
¿Cuál es el coeficiente de un término al cual no le
aparece escrito?
Ejemplo 4
A continuación se te presentan varios términos y su
respectivo coeficiente:
Término
a
−y
ab
(x + 7)
− b2
− ab
− ( x − 7)
Coeficiente
1
−1
1
Actividad
Debido a que
a = 1a
−y = − 1y
ab = 1ab
−1
− ab = − 1ab
−1
Solución:
¿Puedes completar de forma mental los datos que faltan?
¿Qué observas en el segundo término de la expresión
3x + 4? Si una expresión tiene un término que es sólo un
número, éste se llama término constante o constante. En
la expresión 3x + 4, ¿cuál es la constante?
84 Matemática - Séptimo Grado
2. Escribe cinco expresiones algebraicas que sean de tu invención.
3. Determina cuáles son los términos en las siguientes expresiones:
a) 3x2 – 5x + 4
b) 2x3
−
23
20
c) 5 (x – 3) – 7
x − 8
d) 5 (x – 3)
e) – 9
4. Encuentra las constantes de las expresiones anteriores.
5. Determina el coeficiente de los términos siguientes:
3x − 5
a) 5 x3y
d)
b) – x7
e) −
c)
2x
7
4
3x − 5
4
UNIDAD 4
Monomios
Las fórmulas del volumen V de los siguientes cuerpos geométricos son expresiones
como abc, a3, y
bh
y se llaman monomios. Monomio es una expresión algebraica que
x2 y
consta de un solo término, como por ejemplo: 2a , − 3b ,
.
4a
¿Cuáles de las siguientes expresiones son monomios?
2
c
b
a
V = abc
1
5x7
− 5y−2
x2
Los monomios son: 5x3y
− 8
5x7, − 8, 5x3y,
−2
¿Por qué las expresiones 5 y ,
1
x2
a
a
V = a³
3
4
3
4
a
h
b
A = bh
2
x7
x7
no son monomios?
Grado de un monomio
El grado absoluto o grado del monomio 7 x2y3z 4 es igual
a 2 + 3 + 4 = 9. Intenta encontrar el grado del monomio
– 8x5y2 .
Grado de un monomio es la suma de los exponentes
de las variables. Así el grado del monomio:
5 + 2 = 7. El grado del monomio es 7.
– 8x5y2
Ejemplo 5
El grado relativo de un monomio con respecto a una
variable, es el exponente de dicha variable. El grado
relativo del monomio – 8x5y2 con respecto a x es 5 y
con respecto a y es 2.
Cuando una variable no presenta exponente, éste es
igual a la unidad. El grado de una constante es igual a
cero. Así, el grado del monomio 3x es 1. El grado del
monomio 6 es cero.
Determina el grado absoluto y relativo de los monomios: 2xy2, − 5x7y2, xy, 4x3y, 7
Solución:
Monomio
2 xy2
− 5 x7y2
xy
4 x 3y
7
Equivalente
2 x1y2
− 5 x7y2
x1y1
4 x3y1
7
Absoluto
1+2=3
7+2=9
1+1=2
3+1=4
0
Grado
Con respecto a x
1
7
1
3
0
Con respecto a y
2
2
1
1
0
Séptimo Grado - Matemática 85
UNIDAD 4
Clasificación de expresiones algebraicas
Polinomios
¿A qué es igual el perímetro de las figuras?
Expresión
algebraica
¿Cómo haces para calcularlo?
Nombre
Ejemplo
a)
x
Un término
2z
Más de un
término
Polinomio de
dos términos
Polinomios de
tres términos
2x
b)
y
2x
y
y 2z
3z
3x
Como el perímetro P de una figura es la medida del
contorno, en la figura a) se tiene:
P = 2x + x + 2x + x = 6x
P = 2x + 3x + 3z + 2z + 2z + y + y + y
P = 5x + 7z + 3y
La expresión anterior es la suma de varios monomios,
es decir, es un polinomio. ¿Puedes decir cuáles de las
siguientes expresiones son polinomios?
a) 3x
b) 5x
– 2x + 8x – 7xy
−3
4
2
+ 6y
− 5x3;
1 2
y
2
Polinomio x − 4; x2 + 2xy + y2
Binomio
a2 − b2; x3 − 3y
Trinomio
3x2 + 2x + 2; a + b + 1
Ejemplo 6
Encuentra el grado del polinomio 5a3b4 + 6ab7 – 8b5 + 7.
Solución:
En la figura b) se tiene:
5
Monomio
2
3
c) 4 x
d) 3x
2
−5
–2
Habrás analizado que la expresión c) no corresponde a
un polinomio. ¿Por qué?,¿ y la expresión b)?
86 Matemática - Séptimo Grado
El grado de:
5a3b4
6ab7
– 8b5 7
es 3 + 4 = 7
es 1 + 7 = 8
es
5
es
0
Luego, el grado del polinomio es 8.
Ejemplo 7
¿Cuál es el grado del trinomio 5x5 – 8b6 – 4?
Solución:
El grado del trinomio es 6, ya que el monomio – 8b6
tiene grado 6 y es el mayor grado de los monomios que
lo componen.
UNIDAD 4
2
Actividad
1. Escribe en tu cuaderno cinco ejemplos de monomio. También escribe tres ejemplos de expresiones
que no son monomios, indicando en cada una el porqué de ello.
2. Determina el grado de los siguientes monomios:
a) 3x5
b)
2
3
a3b2c
c) 8x
d) – 7
e) 8x7y4z
3. ¿Cuál es el grado relativo del monomio 8x7y4z con respecto a z?
4. Escribe con tus propias palabras qué es un polinomio y encuentra el grado de:
a) 3x5 – 2x4b2 + 5z
b) 2ab4 – 3b5 – 4x
c) 5x2y3+2x4y − x3y4
Resumen
En álgebra se usan letras para representar números. Como una letra puede representar varios
valores, se llama variable.
Se llama expresión algebraica aquella formada por números y variables relacionados con
signos de operación o de agrupación. Las partes que se suman o restan en una expresión
algebraica se llaman términos. La parte numérica de un término se llama coeficiente. El
coeficiente de un término como “x” es 1. Los términos que sólo están formados por un
número se llaman constantes.
Toda expresión que es un número o un producto de números y variables con exponentes
enteros no negativos se llama monomio. Polinomio es la suma de uno o más monomios.
Séptimo Grado - Matemática 87
UNIDAD 4
Autocomprobación
b)
d)
El coeficiente del término – 4 (5x – 8) es:
a)
4
b) – 4
c) 5
d) − 8
a)
b)
 1  1 
 a   b 
3
3
3. c.
2
3ab
3
c)
ab
Un ejemplo de binomio es:
4
3
2
5x + 3
–2
c)
5x – 4
2
3
d) 7 x
El grado del polinomio 3x5 – 3x5y – 4 es:
5
b) – 4
c) 6
d) – 3
a)
2. b.
ab
a)
3
3
1. a.
¿Cuál es la expresión algebraica de "la tercera
parte del producto de dos números"?
Soluciones
1
4. c.
CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS
TM07P180
Fotografía o dibujo de la
torre de Pisa.
88 Matemática - Séptimo Grado
Los polinomios se presentan en muchos
contextos de la vida real. Un ejemplo es la
caída libre de los cuerpos. Uno de los primeros
científicos en estudiar el movimiento de los
cuerpos en caída libre fue el italiano Galileo Galilei
(1564-1642). Galileo Galilei arrojó desde lo alto
de la torre de Pisa varias esferas de distintos
pesos: bolas de mármol, de plomo y de madera,
y comprobó que llegaban al mismo tiempo al
suelo. La fórmula:
1 2
h = gt con t, indica el tiempo transcurrido
2
desde que comenzó a caer el cuerpo; g es la
aceleración de la gravedad en la Tierra (9.8 m/s2)
y h el espacio recorrido en el tiempo t.
Lección 5
Cuarta Unidad
TÉRMINOS SEMEJANTES
Motivación
En la figura de la derecha
sus medidas están dadas
en metros. ¿Cuál es su
perímetro?
Si tu respuesta es 24 m,
tu procedimiento fue
correcto.
2
2
2
6
6
Ahora fíjate en la
siguiente figura. ¿Cómo
haces para calcular su
perímetro?
9x
3x
8y
6y
2y
6x
6
Indicadores de logro:
Interpretarás con confianza los términos semejantes.
Describirás con confianza los términos semejantes a partir de
varios monomios.
Simplificarás con seguridad términos semejantes.
Resolverás con confianza ejercicios de reducción de términos
semejantes.
Resolverás problemas utilizando la reducción de términos
semejantes.
Interpretarás y explicarás con interés el valor numérico de
un monomio.
Utilizarás el valor numérico en el desarrollo de ejercicios
Resolverás con precisión y orden problemas de valor
numérico.
¿Qué son términos semejantes?
Para encontrar el perímetro de la figura anterior sumas
los términos:
Ejemplo 1
Observa los términos que se han sumado.
Solución:
A continuación se presentan algunos términos que son
semejantes y otros que no lo son.
9x + 3x + 6x + 8y + 2y + 6y = 18x + 16y
¿Por qué crees que se sumaron los términos?
Se sumaron los términos semejantes.
Términos semejantes son aquellos que tienen las
mismas variables con los mismos exponentes. Así, los
términos 4a y a son semejantes, igual que 2b y b.
Dos términos son semejantes cuando tienen la misma
parte literal y el mismo exponente.
Términos
semejantes
3a; − 2a
4x; 16x
7; − 8
5(x – 1); − 3(x – 1)
5y2; − 2y2
Términos
no semejantes
3a; 5: las variables difieren
3a; − 5b:las variables difieren
x; 7 : las variables difieren
5a; − 5ab las variables difieren
4y2; − 7y3: las variables difieren
Séptimo Grado - Matemática 89
UNIDAD 4
Ejemplo 2
Ejemplo 4
Identifica los términos semejantes en cada una de las
siguientes expresiones:
Reduce términos semejantes:
a) 5x + y – 3x – 4
a)
2
3
x–
4
x
Solución:
b) 2x + 5y – 6
2
c) x + 5 – 2x2 + 4
3
x–
2 1
x=  − x
 3 4
4
1
Solución:
a) 5x y,– 3x son términos semejantes
b) No existen términos semejantes
a
a
a
2
1
3
4
5
12
x=
x
5
12
x
b) 3x – 10x + 7y – 2y
Reducción de términos semejantes
a
a
=
R: x –
c) 5 y 4 son téminos semejantes
2b
1
Solución:
b
4a
El perímetro de esta figura lo calculas así:
2b + 4a + b + a + a + a + a + a
3x – 10x + 7y – 2y = (3 − 10)x + (7 −2)y
= − 7x + 5y
Luego: 3x – 10x + 7y – 2y = − 7x + 5y
Ejemplo 5
Simplifica la expresión: 5 + (7 – a)
= 3b +
5 + (7 – a) = 5 + 7 – a
Solución:
= 2b + b + 4a + a + a + a + a + a + a
10a
Ejemplo 3
Reduce términos semejantes:
El paréntesis va precedido por el signo+
= 12 – a
a) 13a − 6a = 7a
Ejemplo 6
b) 2x + 7x – 8x = 9x − 8x = x
Simplifica:
De los ejemplos anteriores concluyes que para reducir o
simplificar términos semejantes:
a) Identificas los términos semejantes.
b)Sumas o restas los coeficientes de los términos
semejantes.
c)Multiplicas el resultado del paso anterior por la
respectiva variable.
90 Matemática - Séptimo Grado
5 – (7 – a)
Solución:
5 – (7 – a) = 5 – 7 + a
= − 2 + a
El paréntesis va precedido por
el signo −
5–7=−2
UNIDAD 4
1
Actividad
1. Determina el perímetro de: a)
b)
x
2x
y
y 2z
y
3z
2z
3x
2x
2. Simplifica las siguientes expresiones
a) 5x – 3y + 4x – 10y
c) 5y – 10y – 8y – 3x e) x – 3y + 2x + 4
b) 2a – 7a – 6b – 8b
d) 2− 4x + 6y – 10y – 2x
f)
3
5
x–3–
7
4
x–2
Valor numérico
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir
las variables por determinados números y efectuar las respectivas operaciones.
Ejemplo 7
La distancia recorrida por un vehículo que se mueve con una velocidad constante de
veinte metros por segundo (20 m/s), está dada por la expresión d = 20 t, donde d es la
distancia en metros y t el tiempo en segundos.
Determina la distancia recorrida luego de:
a) 20 s
b) 40 s
c) 1 minuto
d) 1 hora
Solución:
a) d = 20 t = 20(20) = 400 m : sustituyendo t = 20
b) d = 20 t = 20(40) = 800 m: sustituyendo t = 40
c) d = 20 t = 20(60) = 1,200 m = 1.2 km: sustituyendo t = 1 min = 60 s
d) d = 20 t = 20(3,600) = 72,000 m = 72 km: sustituyendo t = 1 h = 3,600 s
Séptimo Grado - Matemática 91
UNIDAD 4
Ejemplo 8
El área de un trapecio está dada por la expresión A =
a) B = 5 m, b = 3 m, h = 2 m
b) B = 7 cm, b = 5 cm, h = 3 cm
(B + b) h
, calcula el área si:
2
b
h
Solución:
B
Sustituyes los respectivos valores, obtienes:
a) A =
2
( 5 + 3) × 2
2
= 8x 2 = 8 m2
b) A =
2
( 7 + 5) × 3
2
= 18 cm2
Actividad
Determina el valor numérico de las siguientes expresiones:
a)
5 mnp
2
, si m = 4, n = 3, p = 6
b) 3.14 r2, si r = 7
c) 2(b + h),
d)
bh
2
si b = 4 , h = 3
si b = 5 , h = 3
Exponente entero positivo
Éste es un cubo que tiene 5 cm de arista.
5 cm
5 cm
5 cm
Recuerda que para calcular su volumen V, elevas el valor de su arista “  ” al cubo. O sea, V =  3 = 53 = 5. 5. 5
53
Exponente
Base
En esa expresión, 5 se llama base y 3 exponente. El número 53 se lee “5 al cubo” , 5 a la
tercera potencia o “tercera potencia de 5”.
En general, el número “b a la n-ésima potencia” se denota por bn, y significa:
bn = b.b.b….. b = bn
n factores de b
Así, b5 = b. b. b. b. b = b b b b b
Observa que en álgebra el producto se representa por un punto, debido a que la x de la
multiplicación puede confundirse con la variable x.
92 Matemática - Séptimo Grado
UNIDAD 4
Ejemplo 9
Ejemplo 11
Evalúa las siguientes expresiones:
Evalúa:
a) 52
d) 23
a) – 54
c) – 23
b) 25
e) (− 3)2
b) (− 5)4
d) (− 2)3
c) 14
f) (− 3)3
Solución:
Solución:
a) – 54 = (−1)54 = (−1) (5) (5) (5) (5) = − 625
a) 52 = 5.5 = 25
b) (− 5)4 = (− 5 (− 5) (− 5) (− 5) = 625
b) 25 = 2. 2. 2. 2. 2 = 32
c) – 23 = (− 1) (2) (2) (2) = − 8
c) 14 = 1. 1. 1. 1 = 1
d) (− 2)3 = (− 2) (− 2) (− 2) = − 8
d) 23 = 2. 2. 2 = 8
Observa (−5)4 =−54
e) (− 3)2 = (− 3) (− 3) = 9
Te habrás dado cuenta que si un número negativo se
eleva a un exponente par el resultado es positivo: por las
leyes de los signos del producto (−) (−) (−) (−) = +.
f) (− 3)3 = (− 3) (− 3) (− 3) = − 27
Al elevar (− 2)11, ¿el resultado es positivo o negativo?
Ejemplo 10
Si un número negativo se eleva a un exponente impar, el
resultado es negativo: (−) (−) (−) = −
Observa más ejemplos de notación exponencial.
a) b. b. b. b. b = b5
e) x. y. x. x = x3y
b) x. x, y. y. y = x2y3
f) a. b. x. x. b = ab2 x2
c) a. a. b = a2b
g) 5.a. a. b = 5a2b
d) x. x. x. y. y = x
h) 5. 5. 5. x x z = 5
y
3 2
Actividad
xz
3
3 2
Punto de apoyo
En 24 , la base es + y en (− 2)4 , la base es negativa.
1. Evalúa:
a) 34
c) (− 3)5
b) (− 3)2
d) – 32
2. Evalúa:
a) x2 para x = 4
Observa
− a = (−1) a
n
n
b) (− x)2 para x = 4
3. Escribe como un producto de factores:
a) x3y2
c) 3x4yz3
b) x2y3z
d) 24 x3zy2
Séptimo Grado - Matemática 93
UNIDAD 4
Exponente cero
5
Ejemplo 13
3
7
2
¿Cómo efectúas las divisiones a) 3 , b) 7 y c) 3 ?
2
2
3
7
¡Intenta efectuarlas!
Simplifica las siguientes expresiones, utilizando las
propiedades de exponentes:
Una manera de efectuarlas es:
a) x7bo = x7. 1 = x7
d) – (xº) = − 1
b) 3x4yo = 3x4(1) = 3x4
e) yo 72 = 1.72 = 72 = 49
a)
3
5
3
2
3. 3. 3. 3. 3
= 33
3. 3
=
c) 34yo = 34.1 = 34 = 81
73
7. 7. 7
b)
=
= 72
7
7
c)
2
7
3
=
Exponente negativo
2. 2. 2. 2. 2. 2. 2
= 24
2. 2. 2
2
¿Qué otra forma te sugieren los resultados anteriores?
Observa que para dividir potencias de bases iguales,
para hallar el exponente del cociente solo restas los
exponentes.
¿Cómo efectúas las divisiones a)
y7
c) 4 = y7 – 4 = y3
y
54
a)
= 54 – 1 = 53
5
86
b) 2 = 86− 2 = 84
8
5
d)
Solución:
7
m .n
= m5 – 2 n 7 – 5 = m 3 n 2
2 5
m .n
32
a)
3
73
Luego:
73
59
5
9
= 1. Además,
= 1. Además,
73
73
59
5
9
= 73 − 3 = 7o
= 59 − 9 = 5o
¿Cómo son las expresiones 1 y 7o ? ¿Y cómo son 1 y 5o?
Como 1 y 7o equivalen a
Como 1 y 5o equivalen a
Luego, si a ≠ 0,
am
am
=1y
73
3
7
59
59
am
am
5
1
72
b)
23
c)
27
7
73
y c)
23
27
?
3.3
1
= 3
3. 3. 3. 3. 3 3
7
1
=
= 2
7. 7. 7 7
1
2. 2. 2
=
= 4
2. 2. 2 . 2. 2. 2. 2 2
=
Como las bases son iguales, puedes efectuar las
divisiones restando los exponentes:
32
3
Sabes que si divides un número diferente de cero
entre él mismo, el resultado es 1. a = 1 , a ≠ 0
a
35
, b)
¡Intenta efectuarlos! ¿Lo haces así?
Ejemplo 12
Simplifica las siguientes expresiones, utilizando las
propiedades de exponentes:
32
5
= 32 − 5 = 3− 3
7
7
3
= 71 – 3 = 7− 2 23
2
7
= 2 3 – 7 = 2− 4
De los resultados anteriores obtienes las siguientes
igualdades:
1
1
1
7− 2 = 2 2− 4 = 4
3− 3 = 3 3
7
2
Luego, para todo entero a diferente de cero tendremos:
1
si a ≠ 0
a−n = n a
, entonces 7o = 1
Observa
, 5º = 1
= a , luego, a = 1
o
94 Matemática - Séptimo Grado
o
Todo número diferente de cero, elevado al exponente
cero es igual a 1
ao = 1
UNIDAD 4
Ejemplo 14
Ejemplo 15
Expresa con exponente positivo:
Efectúa:32 + 3−2
a) 3− 5
b) 7− 1
c) 2− 3
d) 5− 4
Solución:
a) 3− 5 =
c) 2− 3 =
1
e) -2
x
1
35
1
2
=
3
b) 7− 1 =
d) 5− 4 =
1
1
1
x2
=
1
÷
1
x -2
e)
1
x
1
32
1 81 1 82
= 9+ = + =
9 9 9 9
82 1
=9
9
9
1 1
Luego:
9+ = 9
9 9
Solución:
-2
32 + 3−2 = 9 +
1
7
1
54
2
1 x
=
= x2
1 1
Observa
Para a ≠ 0, a−n =
1
an
4
Actividad
1. Simplifica las siguientes expresiones:
a) 3x7x− 7
b) 5x6yº
c) 4x4 x− 4
d) − 3xº
2. Expresa con exponente positivo y simplifica cuando sea necesario.
1
c) 6− 3 e) - 3 g) x− 7
a) y− 5
3
1
1
d)
f) y− 8
h) - 3 b) 5− 1
-4
3
2
i) 2− 3.2
j) 26.2− 2
Resumen
Términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables y los mismos
exponentes de las variables. Para reducir términos semejantes se suman o restan los
coeficientes y se multiplica el resultado por la respectiva variable.
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado de sustituir las variables por
determinados números y efectuar las respectivas operaciones.
Si un número negativo se eleva a un exponente par, el resultado es positivo. Si se eleva a un
exponente impar, el resultado es negativo. Si un número es distinto de cero, al elevarlo al
exponente cero es igual a uno. Si a ≠ 0, a−n =
1
an
.
Séptimo Grado - Matemática 95
UNIDAD 4
Autocomprobación
3
5x2(3y)0 es igual a:
4
5x−2 es igual a:
a)
8a
b) 15a2
c) 16a
d) Ninguna de las anteriores
Al simplificar la expresión 3x2y + 5xy2 resulta:
8x2y
b) 8xy2
c) 15x2y
d) No se puede simplificar.
a)
1
b) 0
c) 5x2
d) 15x2y
a)
5x2
b)
x2
5
2. d.
3. c.
2
a)
1
5x 2
5
d) 2
x
c) 1. c.
Si la base de un rectángulo es 5a y su altura 3a,
su perímetro es:
Soluciones
1
4. d.
EL TANGRAM
x
1
x2
3
4
El tangram es un juego chino de formas: Una
especie de rompecabezas. Consta de siete
piezas, con las que se puede hacer figuras,
como una bailarina, una casa, un bote, etc.
5
7
6
2x
96 Matemática - Séptimo Grado
En la figura están las siete partes formando un
cuadrado. Con los datos se obtiene el área de
cada pieza, y la suma coincide con el área de
todo el cuadrado.
El área total es: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
Por otra parte:
(x + x) (2x) = 4x2
Resolviendo 4x2 = 28 obtienes x = 7
Solucionario
Lección 1
Actividad 3
Actividad 1
1. a) y = (3 × 8) ÷ 12 = 2 b) t = ( 3 × 20) ÷ 4 = 15
c) w = (12 × 3) ÷ 9 = 4
1. 8 t = 8 × 1,000 = 8,000 kg
2. 38 g = 38 ÷ 1,000 kg = 0.038 kg
2. x = (3 × 297) ÷ 62 = 5.5 h
3. a) 52 g = 52 ÷ 100 hg = 0.52 hg
3. 550 km/h
b) 365 dag = 365 ÷ 100 kg = 3.65 kg
4. x = 7.2 lb
c) 0.8 t = 0.8 × 1,000 kg = 800 kg
Lección 3
d) 3.6 kg = 3.6 × 100 dag = 360 dag
Actividad 2
4. 3 t = 3 × 1,000 kg = 3,000 kg + 786 kg = 3,786 kg
5. 3,824 kg = 3 kg, 8 hg, 2 dag, 4 g
1
1. b) k = − 2
Actividad 3
c)
4
k= 3
d)
k =−
1
5
1. a) Como su razón es 5, son d.p.
Actividad 2
1. 25 ÷ 1,000 kg = 0.025 kg, luego
2.58 − 0.025 = 2.555 kg es el peso de las galletas
b) Como su producto es 20, son i.p.
3. 50 dag; 13,000 cg; 1,400,000 mg; 0.05 dag
2. 150 viajes, si dispusiera de 3 camiones haría 50
viajes.
4. Se divide entre 100 ó usando un cuadro.
Actividad 4
5. a) 3,000 litros
a) 162 – 3 b) 3,000 kg = 3,000,000 g
x = (351 × 3) ÷ 162 = 6.5 horas
351 – x
6. 150 × 3 = 450 g
Lección 2
b) 45 – 100 %
Actividad 1
x – 20 %
2
150
10
b)
c)
65
95
4
150
200
2. Como
es mayor que
, conviene más
1 , 000
1 , 500
ahorrar en la primera.
Luego, el precio es $45 – $9 = $36 como el 10 %
de 36 es 3.60, el nuevo precio es
1. a)
x = (45 × 20) ÷ 100 = $9
36 – 3.60 = $32.40.
c)
Persona
Días
200
250
15
10
Precio
$ 5,400 x =
x
250 × 5 , 400 × 10
= $4 ,500
200 × 15
Séptimo Grado - Matemática 97
Solucionario
Lección 4
Actividad 1
4. a) 4
23
x −8
20
b) − 8
5. a) 5
b) − 1
c)
b) 6
c) 1
b) 5
c) 7
3. a) 3x2, − 5x, 4
b) 2x3,
−
c) 5(x – 3); − 7
d) 5(x − 3)
e) − 9
c) − 7
d) 0
e) − 9
Actividad 2
2. a) 5
2
7
d)
1
4
e)
d) 0
−
1
4
e) 12
3. 1
4. a) 6
Lección 5
Actividad 1
1. a) 2x + 4x = 6x
b) 5x + 3y + 7z
2. a) 9x – 13y
b) –5a – 14b
c) – 13y – 3x
f)
b) 3.14 (7)2 = 153.86
c) 2 (4 + 3) = 14
d) 7.5
1. a) 34 = 81
b) (− 3)2 = 9
c) (− 3)5 = − 243
d) − 32 = − 9
2. a) 16
b) (− 4)2 = 16
b) 5x6 c) 4xº = 4
d) − 3xº
d) 24 g)
e) 33 h) y7
Actividad 2
a) 180
−
23
x −5
20
Actividad 3
Actividad 4
1. a) 3xº = 3 1
y5
1
b) 5
1
c) 3 6
2. a)
f)
1
y8
98 Matemática - Séptimo Grado
i)
1
x7
2−3+1 = 2−2
1
22
= − 3(1) = − 3
j) 26 ÷ 22 = 24
Proyecto
En una fábrica artesanal de queso trabajan seis personas. Éstas producen 4,500 kg
en treinta días.
Reciben una orden de 6,000 kg de queso para importar, la que deberán entregar en
un máximo de 30 días, para lo cual contratan dos personas más. Desean saber si
saldrán con el plazo establecido.
Determina si el personal de la fábrica saldrá con el pedido de queso en el plazo
que les dan.
Para cumplir con la demanda de queso dentro del país, ¿cuántas personas deben
laborar en total?
Séptimo Grado - Matemática 99
Recursos
ALCALDE, Fuente y otros, Matemáticas. Editorial Magisterio español, S.A,
Primera edición, 1980, España
DOLCCIANI, Wooton y otros, Editorial Publicaciones Cultural,
Matemáticas modernas para escuelas secundarias, Tomos 1 y 2. Séptima
reimpresión, 1980, México
FLEMING, Walter. Algebra y trigonometría con geometría analítica.
Editorial Prentice Hall, Primera edición, 1991, México
SESTIER, Andrés. Historia de las Matemáticas. Editorial Limusa, Noriega
editores, 2ª edición, México
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/
proporcionalidad/proporc_p.html
100 Matemática - Séptimo Grado