resolver problema de programación lineal por metodo simplex

SOLUCIÓN DE UN PPL POR EL METODO SIMPLEX
MSC. JULIO RITO VARGAS
RESOLVER PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL POR
METODO SIMPLEX
Prof. MSc. Julio Rito Vargas
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Resolver por el método Simplex, el problema de programación lineal que se indica:
Max Z= 40X1 + 60 X2
s. a:
2X1 + X2 ≤ 70
X1 + X2 ≤ 40
X1 + 3X2 ≤ 90
X1≥ 0
X2 ≥0
Función Objetivo
Restricciones del problema
Solución paso a paso:
1. Convertimos las restricciones que son inecuaciones en ecuaciones, para lo cual en cada
inecuación introducimos una variable nueva en el lado izquierdo, dado que partimos que si
los lados izquierdos son menores o iguales que los lados derechos, al introducir un valor
adecuado logramos igualdad total, pero como ese valor no lo conocemos lo hacemos a
través de variables.
Las variables que vamos a introducir son llamadas variables de holgura.
Una vez que incorporamos las variables en las restricciones, también deben ser añadidas
en la función objetivo con coeficiente cero, esto para que no afecten o alteren el valor de
optimización real del modelo matemático original.
Por lo que la ecuación quedará como se muestra a continuación.
Max Z= 40X1 + 60 X2 + 0X3 + 0X4+ 0X5
Función Objetivo modificada
s. a:
2X1 + X2 + X3
= 70
Las restricciones del problema al introducir las
X1 + X 2
+X4
= 40
variables de holgura, se convierten en ecuaciones.
X1 + 3X2
+X5 = 90
X1≥ 0
X2 ≥0
X3≥0
X4≥0
Las variables de holgura deben ser mayores o iguales a cero.
X5≥0
2. La función objetivo se modifica expresándola de manera que todas las variables queden al
lado izquierda junto con z, lo cual se verá como sigue.
1
SOLUCIÓN DE UN PPL POR EL METODO SIMPLEX
MSC. JULIO RITO VARGAS
Max Z - 40X1 - 60 X2 + 0X3 + 0X4+ 0X5 = 0
s. a:
2X1 + X2 + X3
= 70
X1 + X 2
+X4
= 40
X1 + 3X2
+X5 = 90
X1≥ 0, X2 ≥0, X3≥0, X4≥0, X5≥0
3. Una vez que el modelo matemático a resolver lo hemos expresado como se ve en el paso
2. Procedemos a trasladar los coeficientes en un Tabloide llamada Tabloide del Simplex o
tabla del Simplex.
Variables Básicas (VB)
Lado Derecho (LD)
Variables del modelo
VB
x1
x2
x3
x4
x5
LD
Z
-40
-60
0
0
0
0
X3
2
1
1
0
0
70
X4
1
1
0
1
0
40
X5
1
3
0
0
1
90
Tabla Simplex inicial

En la primer fila se ubica el encabezado de la tabla del Simplex que está formado por la
columna de las Variables Básicas (VB), luego todas las variables del modelo (variables
originales del modelo más las variables de holgura incorporadas) y por último la columna
de los valores del lado derecho de las ecuaciones del modelo.

Columna 1: Debajo del encabezado de VB se pone la variable Z (variable de optimización) y
las casillas debajo de esa columna lo conformaran las variables de holguras que
introdujimos al modelo en el orden en que las incorporamos, ellas serán las Variables
Básicas con que inicia el Simplex.

Columna 2: Correspondiente a la variable X1 se escriben los coeficientes de todos los X1 de
las ecuaciones del modelo y se escriben en el orden en que están las ecuaciones.

Columna 3: Correspondiente a la variable X2 se escriben los coeficientes de todos los X2 de
las ecuaciones del modelo y se escriben en el orden en que están las ecuaciones.

Columna 4: Correspondiente a la variable X3 se escriben los coeficientes de todos los X3 de
las ecuaciones del modelo y se escriben en el orden en que están las ecuaciones.

Columna 5: Correspondiente a la variable X4 se escriben los coeficientes de todos los X4 de
las ecuaciones del modelo y se escriben en el orden en que están las ecuaciones.

Columna 6: Correspondiente a la variable X5 se escriben los coeficientes de todos los X5 de
las ecuaciones del modelo y se escriben en el orden en que están las ecuaciones.
2
SOLUCIÓN DE UN PPL POR EL METODO SIMPLEX

MSC. JULIO RITO VARGAS
Columna 7: Correspondiente al Lado Derecho (LD), se escriben los valores de los lados
derechos de todas las ecuaciones del modelo y se escriben en el orden en que están las
ecuaciones.
En las ecuaciones de restricción que no tengan una variable o más de una, para efectos de llenar
los coeficientes en la tabla del Simplex, se escribe(n) cero(s).
De esa manera se llena la tabla que hemos llamada la Tabla Simplex Inicial.
Ahora comenzaremos con las iteraciones o transformaciones que nos conducirán a la solución del
problema por el método simplex.
4. Proceso de Iteraciones
Iteración 1:
Entrará a las Variables Básicas
VB
x1
x2
x3
x4
x5
LD
Fila 1
Z
-40
-60
0
0
0
0
Fila 2
X3
2
1
1
0
0
70
Fila 3
X4
X5
1
1
0
1
0
40
1
3
0
0
1
90
Fila 4
Saldrá de las variables básicas.





Para iniciar la primera iteración nos ubicamos en la fila 1 que inicia con Z y
observamos los coeficientes debajo de las variables X1,X2,…,X5, poniendo nuestro
interés en los valores negativos y podremos observar que hay dos: -40 y -60
elegimos siempre el valor más pequeño o más negativo siendo -60.
Marcamos la columna donde encontramos el valor más negativo de la fila 1. Esto
nos indica que la variable X2 entrará a ser variable básica.
Los valores 1, 1, 3 son los coeficientes debajo de la variable X2 estos valores serán
divisores de los lados derechos en cada fila correspondiente es decir 70/1; 40/1;
90/3; luego elegimos el mínimo de los cocientes: mínimo {70,40, 30} = 30. Esto
significa que el mínimo se encontró en la fila 4. Significa que la variable básica X5
saldará y será reemplazada por X2.
Marcamos la fila donde encontramos el mínimo de los cocientes de {70,40, 30}
que como vimos es 30. Ahora que hemos marcado la fila y la columna resulta que
la casilla de intersección es 3. A ese valor le llamaremos número pivote.
El número pivote lo convertimos en 1. Como es 3, tendremos que dividir toda la
fila 4 por 3. Los resultados los vemos en la fila 4 de la tabla del simplex siguiente.
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SOLUCIÓN DE UN PPL POR EL METODO SIMPLEX
MSC. JULIO RITO VARGAS
VB
X1
X2
x3
x4
x5
LD
Z
-40
-60
0
0
0
0
X3
2
1
1
0
0
70
X4
1
1
0
1
0
40
X2
1/3
1
0
0
1/3
30

Los valores restantes de la columna pivote (X2) deben convertirse en cero. Para lo
cual haremos los siguientes cálculos:



f3 - f4  f3
(de f3 restar f4 y dejar el resultado en f3)
f2 - f4 f2
(de f2 restar f4 y dejar el resultado en f2)
f1 + 60*f4f1 ( f1 sumarlo de 60 por f4 y dejar el resultado
en f1)
Los resultados de estos cálculos los vemos en la tabla Simplex que se muestra a
continuación.

VB
X1
X2
x3
x4
x5
LD
Z
-20
0
0
0
20
1800
X3
5/3
0
1
0
X4
2/3
0
0
1
-1/3
10
X2
1/3
1
0
0
1/3
30


-1/3
40
Iteración 2:
Ahora que hemos terminado la primera iteración, observamos la tabla del
Simplex que ha resultado. Poniendo nuestra atención en la fila1.
Observamos que uno de los coeficientes debajo de las variables X1, X2, …
,X5. Es negativo por lo que debemos volver hacer una nueva Iteración (es
decir demos iterar mientras en la fila 1 hayan valores negativos).
Entrará como Variable Básica
VB
X1
X2
x3
x4
x5
LD
Z
-20
0
0
0
20
1800
X3
5/3
0
1
0
X4
2/3
0
0
1
-1/3
10
X2
1/3
1
0
0
1/3
30
-1/3
40
Saldrá de las variables básicas para ser reemplazada por X1
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SOLUCIÓN DE UN PPL POR EL METODO SIMPLEX

MSC. JULIO RITO VARGAS
Los valores 5/3, 2/3 y 1/3 son los coeficientes debajo de la variable X1 estos
valores serán divisores de los lados derechos en cada fila correspondiente es decir
40/5/3; 10/2/3; 30/1/3; luego elegimos el mínimo de los cocientes: mínimo
{24,15, 90} = 15. Esto significa que el mínimo se encontró en la fila f3. . Significa
que la variable básica X4 saldará y será reemplazada por X1.
 Marcamos la fila donde encontramos el mínimo de los cocientes de {24,15, 90}
que como vimos es 15. Ahora que hemos marcado la fila y la columna resulta que
la casilla de intersección es 2/3. Ese valor le llamaremos número pivote.
 El número pivote lo convertimos en 1. Como es 2/3, tendremos que multiplicar
toda la fila 3 por 3/2. Los resultados los vemos en la fila 3 de la tabla del simplex
siguiente.

VB
X1
X2
x3
x4
x5
Z
-20
0
0
0
20
1800
X3
5/3
0
1
0
-1/3
40
X1
1
0
0
3/2
-1/2
15
X2
1/3
1
0
0
1/3
30
LD
Los valores restantes de la columna pivote (X1) deben convertirse en cero. Para
lo cual haremos los siguientes cálculos:
o
o
o

f4- (1/3)*f3  f4 (de f4 restar 1/3 por f3 y el resultado dejarlo en f4)
f2- (5/3)*f3  f2 (de f2 restar 5/3 por f3 y el resultado dejarlo en f2)
f1+ 20*f3f1 ( f1 sumarlo con 20 por f3 y el resultado dejarlo en f1)
Los resultados de estos cálculos los vemos en la tabla Simplex que se
muestra a continuación.
VB
X1
X2
X3
X4
X5
LD
Z
0
0
0
30
0
2100
X3
0
0
1
-2.5
0.5
15
X1
1
0
0
1.5
-1
15
X2
0
1
0
-0.5
2/3
25
5
SOLUCIÓN DE UN PPL POR EL METODO SIMPLEX
MSC. JULIO RITO VARGAS
 Como en la fila 1, o fila de Z ya no hay coeficientes con valores negativos
entonces hemos llegado a la solución óptima. La cual se obtiene de la
siguiente manera: el valor Z= 2100 (lado derecho de la primer fila); la
variable X1 = 15 (lado derecho en la fila 3); la variable X2=25 (lado derecho
de la fila 4).
Si retomamos la Función Objetivo original
Max Z= 40X1 + 60 X2
Sustituimos los valores X1=15; X2=25
Max Z= 40*15 + 60*25
Max Z= 600 + 1500
Max Z=2100
Por lo tanto la solución óptima es la Indicada.
Hay un valor máximo para un X1=15 y un X2=25
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