Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo

Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
Fecha de recepción:
16/03/2013
Fecha de aceptación:
08/07/2013
Palabras clave:
aprendizaje
escolar, sistema
de numeración,
conceptualizaciones infantiles,
enfoques didácticos, escolaridad
primaria urbana
Keywords:
school learning,
number system,
children’s conceptions, didactical
approaches to
teaching, urban
primary schooling
Los aprendizajes sobre el sistema
de numeración en el primer ciclo
en escuelas primarias urbanas.
Estudio exploratorio en distintos
contextos didácticos
The learning about numerical system on the firs cycle
on urban primary school. Exploratory study in diferent
didactic context
Terigi, Flavia
Universidad de Buenos Aires, Argentina
flaviaterigi@gmail.com
Buitron, Valeria
Universidad de Buenos Aires, Argentina
valeriabuitron@yahoo.com.ar
Resumen
La calidad de los aprendizajes sobre el sistema de numeración
que los niños/as puedan lograr en los inicios de la escolaridad
primaria es decisiva para su trayectoria escolar posterior. Si
bien tempranamente, elaboran conceptualizaciones originales
acerca de las escrituras numéricas, el ingreso a la escolaridad
primaria introduce nuevos elementos en la relación de ellos con
el sistema de numeración. Las elaboraciones que serán posibles para los alumnos/as en el contexto de la enseñanza formal
dependen, al menos en parte, del enfoque didáctico con el que
se desarrolla la enseñanza de la matemática.
Este artículo analiza qué sucede con la construcción de conocimientos sobre el sistema de numeración a lo largo del primer
ciclo de la escuela primaria, examinando los aprendizajes de
niños/as que se escolarizan en escuelas de la Ciudad de Buenos Aires en diferentes contextos didácticos de enseñanza de
la numeración: enfoque de enseñanza usual –enfoque centrado
en la comprensión de los aspectos conceptuales del sistema
de numeración. Se identifican los avances y obstáculos de los
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Terigi, Flavia y Buitron, Valeria
niños/as en la apropiación de los conocimientos numéricos, se
establecen progresiones entre grados del primer ciclo en cuanto
a las conceptualizaciones sobre el sistema de numeración que
desarrollan en escuelas urbanas, y se realiza una comparación
entre enfoques de enseñanza.
The quality of children’s learning about the number system in
early primary schooling is critical for later school career. Though
in their early years they were to produce original conceptualizations about numerical scriptures, the entrance on primary
school introduces new elements in their relationship to number
system. The developments will be possible for students in the
context of formal education depend, at least in part, of mathematic teaching proposals.
This paper analyzes what happens with the construction of
number system knowledge along the first cycle of primary
school, examining children’s learning in Buenos Aires City
schools, in two different mathematic teaching proposals: ordinary number system teaching, teaching that focus on conceptual understanding of number system. We identify successes
and challenges in children’s appropriation of numerical knowledge, we set up progressions of their’s number system conceptualizations along first cycle degrees in urban schools, and we
compare them between teaching proposals.
L
a enseñanza de la matemática ocupa un lugar estratégico en la trayectoria escolar diseñada por los currículos de todos los países. En
el inicio de la formación matemática escolar, el sistema de numeración
[en adelante, SN] es el elemento clave. Este artículo analiza qué sucede
con la construcción de conocimientos sobre el SN a lo largo del primer
ciclo de la escuela primaria, examinando los aprendizajes que realizan
niños y niñas1 que se escolarizan en escuelas de la Ciudad de Buenos
Aires. El estudio en que se basa forma parte de una investigación más
amplia dirigida a establecer algunos elementos de comparación entre
las progresiones en cuanto a las conceptualizaciones sobre el SN que
desarrollan los niños/as en escuelas urbanas con las elaboraciones producidas por sus pares en escuelas rurales2.
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Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
La elección del SN como contenido escolar, a propósito de cuyo
aprendizaje realizamos la investigación, no es casual. Es el primer sistema matemático convencional con que se enfrentan los niños/as que
se incorporan a la educación primaria, y constituye el instrumento de
mediación de otros aprendizajes matemáticos, el aspecto de la notación matemática más fundamental (Martí, 2003). En consecuencia, la
calidad de los aprendizajes que los niños/as puedan lograr con relación
a este instrumento cultural es decisiva para su trayectoria escolar posterior. En la perspectiva que anima este trabajo, establecer los avances
y obstáculos de los niños/as en la apropiación de los conocimientos
numéricos constituye un aporte al conocimiento de un aspecto central
de los aprendizajes matemáticos en el inicio de sus trayectorias escolares.
Planteamiento del problema
Los estudios psicológicos ponen de manifiesto la elaboración temprana
por parte de los niños/as de conceptualizaciones originales acerca de las
escrituras numéricas. A partir de los trabajos pioneros sobre la representación gráfica de cantidades menores que diez (Hughes, 1986; Sinclair, Siegrist y Sinclair, 1983), diversos estudios se han centrado en la
reconstrucción de las reglas del sistema posicional en situaciones de
producción, interpretación o comparación de notaciones de números
de varios dígitos (Higino da Silva, 1990; Nunes Carraher, 1989; Seron,
Deloche y Nöel, 1991; Seron, Van Lit y Nöel, 1995; Sinclair, TiecheChristinat y Garín, 1994). Mientras que muchos de estos estudios se
centraron sólo en uno de los aspectos mencionados –o bien abordan
varios, pero tratándolos por separado–, otros los han interrelacionado,
poniendo así en evidencia que los niños/as avanzan en su conocimiento
del SN al enfrentar conflictos entre las diferentes ideas que construyen
(Lerner, Sadovsky y Wolman, 1994; Terigi, 1992). Desde entonces, la
investigación ha avanzado enormemente, aportando mucha información
sobre los progresos conceptuales de los niños/as en relación con el SN,
abarcando asuntos tan diversos como la comparación de numerales
(Scheuer, Bressan, Bottazzi y Canelo, 1996); el análisis de los nombres
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Terigi, Flavia y Buitron, Valeria
de los bidígitos (Alvarado y Ferreiro, 2000); los procedimientos infantiles de notación de cantidades discretas con presencia de los objetos
para habilitar su conteo (García-Milá, Teberosky y Martí, 2000); los
procedimientos para la resolución de problemas aditivos apoyándose en
la información numérica (Wolman, 2002); los conocimientos acerca de
los aspectos multiplicativos del SN (Lerner, 2005); o los modos en que
los niños/as interpretan y producen números de distinto rango en cuanto
a los niveles de agrupamiento en base diez (Terigi y Wolman, 2008).
Ahora bien, la escuela introduce nuevos elementos en la relación de
los niños/as con el SN. En los comienzos de la escuela primaria, los conocimientos previos construidos por los niños/as en situaciones sociales
de uso de la numeración se ven convocados por la enseñanza de contenidos curriculares vinculados con el SN. A partir de ello, las elaboraciones que los alumnos/as podrán realizar en el contexto de la enseñanza
formal dependen, al menos en parte, del enfoque didáctico con el que
se desarrolla la enseñanza de la matemática.
En la enseñanza usual, el SN es objeto de un tratamiento didáctico
que fue analizado por diversos autores (entre ellos, Quaranta, Tarasow
y Wolman, 2003; Lerner, Sadovsky y Wolman, 1994; Scheuer, Sinclair,
Merlo de Rivas y Tieche-Christinat, 2000; Terigi y Wolman, 2007;
Wolman, 2000). En la enseñanza usual del SN, se considera ineludible
enseñar los números de a uno por vez, comenzando por los dígitos y
respetando el orden de la serie. Se establecen cortes para secuenciar la
enseñanza de los números según los años de la escolaridad: de 1 a 100
en primer grado, hasta 1000 en segundo, y así sucesivamente. Desde
el inicio y junto con la presentación del número 10, se incorporan las
nociones de unidades y decenas y las materializaciones de estas últimas. Este modo de presentar los números, que busca facilitar su aprendizaje, dosifica y segmenta de tal modo al objeto de conocimiento que,
en verdad, dificulta su comprensión: bajo estas condiciones, para los
alumnos/as no es posible detectar regularidades y descubrir la recursividad del agrupamiento, precisamente porque lo que no se permite es la
interacción con el sistema en cuanto tal.
A lo largo del desarrollo de distintas investigaciones psicológicas
y didácticas, se han definido y puesto a prueba un conjunto de caracte-
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rísticas que asume la enseñanza cuando se dirige a promover la construcción por parte de los alumnos/as de las razones que hacen al funcionamiento de los números en el SN, y cuando les permite así llegar a
comprender los principios que rigen el sistema y las operaciones subyacentes a la notación numérica (Terigi y Wolman, 2007). Este enfoque,
que denominaremos centrado en la comprensión de los aspectos conceptuales del SN, confronta con la enseñanza usual y procura resolver
sus principales limitaciones (Quaranta, Tarasow y Wolman, 2003; Lerner y otros, 1994; Lerner, 2005).
El estudio que se informa se ha dirigido a documentar las transformaciones en los conocimientos numéricos de los alumnos/as de primer
ciclo, y contrasta lo que sucede en escuelas donde prevalece la enseñanza usual del SN, con lo que sucede en escuelas donde se sostiene un
enfoque centrado en la comprensión de los aspectos conceptuales del
sistema, en el mismo sentido en que Cobb y sus colaboradores diferencian entre school mathematics and inquiry mathematics (Cobb, Wood,
Yackel y McNeal, 1992).
Metodología
El punto de inicio de nuestro trabajo empírico ha sido la construcción
de un instrumento que nos permitiera acceder a los conocimientos sobre
el SN de los alumnos/as del primer ciclo de la escuela primaria y evaluar sus avances a lo largo del ciclo. La revisión de la literatura y, en
particular, de investigaciones empíricas que trabajen con el grupo de
edad considerado, tanto dentro como fuera de la escuela, ha sido el procedimiento privilegiado para la elaboración del instrumento.
Investigaciones previas apoyan el interés de indagar los conocimientos de los niños/as acerca de los usos sociales de los números (Sinclair, Siegrist y Sinclair, 1983), los procedimientos de notación de cantidades discretas con presencia de los objetos para habilitar su conteo
(García-Milá, Martí y Teberosky 2000), cómo los niños/as interpretan y
producen números de distinto rango en cuanto a los niveles de agrupamiento en base diez (Terigi y Wolman, 2008), las estrategias para comparar números (Sinclair, 1988; Terigi, 1992), los procedimientos para la
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resolución de problemas aditivos (Wolman, 2002), y los conocimientos
acerca de los aspectos multiplicativos del SN (base 10 y valor posicional) (Lerner, 2005). Por otra parte, Baker (2006) señala el contraste
entre los aprendizajes que son posibles en prácticas numéricas cotidianas y escolares, por lo cual se consideró de interés proponer situaciones
que permitieran tal contraste.
Una vez construido el instrumento de evaluación de los conocimientos numéricos a lo largo del primer ciclo de la escolaridad primaria
(en adelante, EvSN1), hemos comprobado su idoneidad a partir de los
resultados de su aplicación a una muestra no probabilística de niños/as
escolarizados en secciones simples de escuelas urbanas de la Ciudad de
Buenos Aires. La aplicación del instrumento permitió, por un lado, su
evaluación como herramienta para determinar los aprendizajes numéricos a lo largo del ciclo y, por otro lado, explorar los avances en los
conocimientos numéricos de niños/as que se escolarizan en escuelas
urbanas.
Objetivo general:
Construir un instrumento de evaluación de los conocimientos numéricos en el primer ciclo de la escolaridad primaria, que permita identificar
los avances de alumnos/as de secciones simples de escuelas urbanas en
sus procesos de conceptualización sobre distintos aspectos del SN.
Participantes:
Alumnos/as que se encuentran en distintos momentos del cursado del
primer ciclo de la escuela primaria (1°, 2° y 3º grados) y en el grado
inmediatamente posterior, en secciones simples de escuelas urbanas
de la ciudad de Buenos Aires (Argentina), en dos contextos didácticos
diferenciados según el enfoque para la enseñanza del SN (enseñanza
usual, enseñanza centrada en la comprensión de los aspectos conceptuales del SN).
Se trata de una muestra no probabilística de 45 alumnos/as según la
distribución que se expone en la Tabla 1.
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Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
Tabla 1. Distribución de los participantes en los grupos de la muestra
Momento de la escolaridad en que habrán de
encontrarse los sujetos
Inicio de Mitad de
1er grado 2° grado
Enfoque
didáctico de
la enseñanza
del SN
Inicio de Mitad de
3er grado 4° grado
Enseñanza usual
5
5
5
5
Enseñanza enfocada a la
comprensión de los aspectos
conceptuales del SN
5
5
10
5
La edad promedio de los participantes de la muestra es de 8 años
exactos; el promedio por grado es el que sigue:
Tabla 2. Promedio de edad de los participantes del estudio por grado
Grado
Edad promedio (en años y meses)
1º
6;1
2º
7;8
3º
8;4
4º
9;10
Diseño:
De acuerdo con los objetivos planteados, se trata de un diseño factorial 4x2, que previó dos variables independientes: el grado escolar y el
enfoque para la enseñanza del SN.
En cuanto a la primera VI, el diseño considera cuatro grados escolares (1º a 4º). Los alumnos/as de primer grado representan el límite
inferior de la indagación y se los entrevista para establecer los conocimientos infantiles al inicio de la escolaridad primaria. Los alumnos/
as de mitad de cuarto grado representan el límite superior de la indagación y se los entrevista para corroborar que quienes aprueban primer
ciclo pueden resolver satisfactoriamente las situaciones propuestas; si
estos alumnos/as que ya aprobaron el primer ciclo no pudieran resolver
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alguna de las situaciones de manera completa, el instrumento debería
reajustarse. Entre esos dos límites, se han determinado dos cortes intermedios: la mitad del segundo grado y el inicio del tercero3.
En cuanto a la segunda VI, las entrevistas se realizaron con niños/
as escolarizados en el marco de la enseñanza usual y con niños/as escolarizados en clases donde se promueve la comprensión de los aspectos
conceptuales del SN.
El estudio se propone explorar el efecto de las dos variables antes
citadas sobre los aprendizajes que realizan los niños/as sobre el sistema
de numeración. Las VD que hemos tenido en cuenta para determinar los
conocimientos numéricos4 de los alumnos/as son las siguientes seis:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
conocimientos básicos sobre la numeración escrita;
conocimientos sobre ordenamiento y comparación de números;
problema aditivo;
aspectos multiplicativos del SN;
dictado de números, y
números en actividades escolares.
Para el análisis de los datos, se previó un ANOVA con dos VI, una
de ellas con dos niveles (enfoque didáctico: usual y comprensión) y la
otra con 4 niveles (grados 1º a 4º), y con las VD que operacionalizan los
conocimientos infantiles sobre el SN, consignadas en este apartado.
Materiales:
Se ha construido el instrumento EvSN1 para conocer las conceptualizaciones infantiles sobre el SN en el primer ciclo de la escuela primaria, y
para determinar a partir de ello las variables dependientes.
Para la construcción del EvSN1, se ha considerado en primer término el estándar de lo que se espera que los alumnos/as conozcan y
comprendan sobre el SN al finalizar el primer ciclo de la escuela primaria en Argentina; para ello han sido revisados los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios5 y los libros de enseñanza de matemática en el primer
ciclo, y se ha consultado a una especialista en Didáctica de Matemáticas
del nivel primario6.
En segundo término, ese estándar ha sido examinado con base en el
profuso conocimiento producido por la investigación sobre los avances
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conceptuales de los niños/as en relación con el SN. Esta revisión ha dado
lugar a la incorporación al EvSN1 de situaciones que permiten explorar ciertos conocimientos que subyacen a los que establece el estándar.
Por caso, mientras que el estándar examinado no establece graduaciones
en las regularidades en el SN excepto por la cantidad de cifras de los
números que los alumnos/as deben utilizar en cada año/grado escolar,
las investigaciones señalan que, independientemente de la cantidad de
cifras, los niños/as pueden establecer ciertas regularidades mediante procesos de interpretación y comparación de números (lo que en esta tesis
consideraremos una variable dependiente que denominaremos “Ordenar
y comparar”), en tanto que otras requieren la participación de los niños/
as en actividades que les permitan explorar la composición multiplicativa de la numeración en un sistema en base 10 y posicional como es
el nuestro (lo que consideraremos otra variable dependiente, “Aspectos
multiplicativos”). El EvSN1 ha quedado conformado por once situaciones que exploran los conocimientos numéricos infantiles en contextos de
uso social de la numeración escrita y siete situaciones que exploran tales
conocimientos en actividades típicamente escolares.
Se ha construido además una clave de evaluación de los conocimientos puestos de manifiesto por los niños/as como respuesta a las
situaciones del EvSN1, para hacer posible la codificación de los datos.
Para ello, los registros de las entrevistas han sido leídos por el equipo de
entrevistadores, y con sus análisis se construyó una clave de evaluación
de los conocimientos puestos de manifiesto por los niños/as que permitió la codificación de los datos, llevada a cabo de manera independiente
por dos jueces para cada entrevista. El proceso de construcción de esta
clave de evaluación supuso un nuevo examen de las investigaciones
tomadas como antecedentes, a fin de determinar si el sistema de categorías propuesto en ellas requería adecuaciones para incorporar los datos
de nuestra muestra.
Procedimiento
Como herramienta para el trabajo de campo, el instrumento, que ha sido
presentado en distintas oportunidades (Buitron y Terigi 2010; Terigi,
2009), está estructurado en tres partes:
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Terigi, Flavia y Buitron, Valeria
• Primera parte, “Encuadre del protocolo”: tiene por objetivo que los
investigadores se presenten a los niños/as, explicarles el propósito
general de la actividad de la que van a tomar parte y lo que se espera
de ellos, y recabar datos de edad y escolaridad a corroborar luego
con la documentación escolar.
• Segunda parte, “El SN en contextos sociales de uso”: tiene por objetivo indagar los conocimientos infantiles sobre distintos aspectos
del funcionamiento del SN, en situaciones que presentan los números en contextos sociales de uso.
• Tercera parte, “El SN en contexto escolar”: presenta situaciones
equivalentes a algunas de las presentadas en la parte 2 desde el punto
de vista de los conocimientos numéricos que se requieren para resolverlas, pero formuladas a la manera de una tarea escolar clásica.
Las situaciones de interacción con los niños/as para la aplicación
del instrumento EvSN1 han tomado la forma de una entrevista clínicacrítica (Delval, 2001); se considera a la entrevista clínica más versátil
que una encuesta cerrada, pues toma en cuenta respuestas, producciones, argumentaciones y contradicciones para la evaluación de los conocimientos de los sujetos, a la vez que posibilita cierta formulación y
puesta a prueba de hipótesis por parte de los investigadores (Castorina,
Fernández y Lenzi, 1986).
Las entrevistas se realizaron con la participación de dos entrevistadores, uno llevando la conversación con el niño y otro registrando sus
procedimientos y producciones escritas. La duración de las entrevistas
ha sido variable, ya que el instrumento contiene situaciones ordenadas
en secciones según niveles de complejidad, suficientemente independientes como para poder dar por finalizada la entrevista (sin avanzar a
la situación siguiente) en el punto en que ésta se encuentre cuando el
investigador considera que los asuntos desbordan las posibilidades de
respuesta de los sujetos. De tal forma, el punto de interrupción de la
toma (y no sólo las respuestas de los sujetos) se convierte en un indicador de los avances en los procesos de conceptualización.
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Resultados
La aplicación del EvSN1 y el análisis de los datos han permitido explorar
los aprendizajes sobre el SN que realizan los niños/as en el primer ciclo
de las escuelas urbanas. Esta aseveración se funda en el análisis de los
resultados, que se presentan organizados según los objetivos del estudio.
Evaluación del instrumento:
Una vez codificados los resultados de las entrevistas, se realizó una evaluación de la calidad del EvSN1, mediante análisis de fiabilidad de las medidas que se agrupan en cada una de las situaciones; el alfa de Cronbach se
colocó en torno a 0,8 (el valor menor fue de 0,728 y el mayor de 0,993), y
no hubo ningún ítem que eliminado subiera sustancialmente el estadístico.
Seguidamente buscamos estructurar las situaciones en conjuntos que,
según criterios teóricos, correspondiesen a conocimientos numéricos relacionados; así, hemos estructurado las distintas situaciones del instrumento
(dieciocho situaciones en total, siete de ellas escolares) en seis conjuntos:
Tabla 3. Agrupamiento de situaciones del EvSN1
Conjuntos de
situaciones
Conocimientos
básicos sobre la
numeración escrita
Resultados agrupados y situaciones del EvSN1 a las que corres­
ponden
Conocimientos acerca de las funciones de los números en contextos sociales
de uso (situación 1), repertorio numérico del 1 al 20 (situación 2), proce­
dimientos para reunir colecciones con presencia de los objetos para habilitar
su conteo y para la notación de las cantidades resultantes (situación 3)
Conocimientos
Estrategias para comparar números en el contexto de los precios (situa­
sobre ordenamiento ción 4), identificación de nudos bidígitos y del 100 (situación 5), en­
y comparación de cua­dramiento de números en intervalos definidos con otros números
números
(situación 6) y con información numérica relativa al intervalo en lenguaje
natural (situación 7), en los dos casos dentro de la primera centena
Problema aditivo Identificación de problemas de adición y procedimientos de resolución
(situación 9)
Aspectos
Procedimientos para adicionar decenas (situación 8), composición de
multiplicativos
números como procedimiento para resolver una suma (situación 10), y
del SN
anticipación del rango del resultado de una suma según los valores de los
coeficientes de decenas y unidades (situación 11)
Dictado de
Escritura de diferentes magnitudes al dictado, incluyendo números
números
mayores que los que se trabajan en las actividades escolares de primer
ciclo (situación Escolar C)
Números en
Comparación de números (situación Escolar A), encuadramiento de
actividades
números (situación Escolar B), series de números (situación Escolar D),
escolares
Escalas de diferentes magnitudes (situación Escolar E y situación F),
números anteriores y posteriores (situación Escolar G)
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Las situaciones “Problema aditivo” y “Dictado de números” son
conceptualmente diferentes a las otras, por lo que no se agrupan. Para
los conjuntos de situaciones que hemos agrupado, se ha determinado
el puntaje total de cada sujeto, correspondiente al puntaje obtenido en
todas las situaciones que lo componen dividido por el máximo posible, comprobándose mediante pruebas de correlación (Spearman) la
consistencia interna del puntaje resumen con los puntajes parciales en
todos los casos (la correlación mínima ha sido de 0,466 y la máxima
de 0,993).
Finalmente, el análisis factorial ha revelado la unicidad del instrumento: ha arrojado un solo componente en el que se incluyen todas las
VD y que explica el 84,83% de la varianza total encontrada.
Tabla 4. Resultados del análisis factorial del EvSN1
Matriz de componentesa
Componente
1
Conocimientos básicos
,905
Ordenar y comparar
,883
Problema aditivo
,929
Aspectos multiplicativos
,901
Dictado
,930
Escolar resumen
,976
Método de extracción: Análisis de componentes principales.
a.1 componentes extraídos
Consideramos que la consistencia que ha mostrado el EvSN1 para
aproximarnos a los aprendizajes que realizan los niños/as sobre el SN se
explica por el fuerte apoyo teórico que tienen las situaciones incluidas
en el instrumento en investigaciones previas sobre los conocimientos
numéricos infantiles, así como por los acuerdos metodológicos alcanzados por el equipo de entrevistadores y codificadores mediante un
sostenido trabajo de análisis de discrepancias y discusión de los datos.
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Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
Debido a la consistencia del instrumento, hemos mantenido todas las
situaciones presentadas a los niños/as para la construcción de las variables dependientes que hemos anticipado:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
conocimientos básicos sobre la numeración escrita;
conocimientos sobre ordenamiento y comparación de números;
problema aditivo;
aspectos multiplicativos del SN;
dictado de números, y
números en actividades escolares.
Basándonos en estos análisis sostenemos que la consistencia interna
y la validez de la prueba construida son suficientes y que el instrumento
resulta adecuado para la exploración de conocimientos numéricos en el
primer ciclo.
Estadísticos descriptivos:
Con los datos obtenidos y agrupados por el procedimiento descripto se
ha realizado un ANOVA con dos VI, una de ellas con 4 niveles (grados:
1º a 4º) y la otra con dos niveles (enfoque: usual y comprensión), y seis
VD que operacionalizan los conocimientos infantiles sobre el SN, y un
ANOVA separado para la VD “Dictado de números”7, con las mismas
VI, obteniéndose los siguientes estadísticos descriptivos para el estudio:
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Tabla 5. Estadísticos descriptivos del estudio
1
2
Grado
3
4
Total
Usual
comEnfoque
prendidáctico
sión
Total
Conoci- Ordenar
Aspectos Dictado
Problema
Escolar
mientos y commultiplide
aditivo
resumen
básicos
parar
cativos números
Media
0,784
0,728
0,175
0,162
0,073
0,618
N
Desv.
típ.
Media
N
Desv.
típ.
Media
N
Desv.
típ.
Media
N
Desv.
típ.
Media
N
Desv.
típ.
Media
N
Desv.
típ.
Media
N
Desv.
típ.
Media
N
Desv.
típ.
10
10
10
10
5
10
0,162
0,289
0,290
0,232
0,118
0,159
0,918
0,939
0,975
0,645
0,664
0,900
10
10
10
10
8
10
0,073
0,047
0,053
0,296
0,231
0,089
0,954
0,958
0,983
0,822
0,924
0,977
15
15
15
15
15
15
0,049
0,054
0,044
0,191
0,102
0,015
0,983
0,987
1,000
0,935
0,995
0,989
10
10
10
10
10
10
0,017
0,019
0,000
0,076
0,016
0,011
0,915
0,909
0,806
0,661
0,776
0,883
45
45
45
45
38
45
0,113
0,168
0,367
0,353
0,327
0,169
0,890
0,867
0,775
0,587
0,685
0,866
20
20
20
20
18
20
0,149
0,226
0,369
0,361
0,404
0,189
0,935
0,943
0,830
0,721
0,858
0,896
25
25
25
25
20
25
0,070
0,095
0,371
0,341
0,217
0,153
0,915
0,909
0,806
0,661
0,776
0,883
45
45
45
45
38
45
0,113
0,168
0,367
0,353
0,327
0,169
Los datos resultantes del análisis serán considerados a continuación
en relación con los restantes objetivos de nuestro estudio.
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Educación, Lenguaje y Sociedad ISSN 1668-4753 Vol. X N°10 (Diciembre 2013) pp. 15-41
Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
Los conocimientos numéricos de los niños/as urbanos en el
inicio de la escolarización:
En primer término, se exploran las conceptualizaciones infantiles sobre
el SN que presentan los niños/as en el inicio de la escolaridad primaria,
lo que ofrecerá elementos para valorar las progresiones que presentan a
lo largo del primer ciclo y para explorar qué efectos puede producir la
enseñanza en los enfoques didácticos bajo análisis. Todo lo que se produzca como diferencia entre estos niveles iniciales y las adquisiciones
posteriores permite examinar los efectos de la escolarización en general
y del enfoque didáctico en particular.
Entrevistados en el inicio de su escolaridad, los alumnos/as de primer grado presentan, como cabe esperar, los puntajes más bajos de la
muestra en todas las VD. Sin embargo, en las variables que miden los
conocimientos de menor complejidad, obtienen valores altos: conocimientos básicos ( = 0,784), ordenar y comparar ( = 0,728).
Puede llamar la atención el rendimiento en la variable “Escolar
resumen” ( =0,618), aunque un examen detenido de los datos revela
que los puntajes más altos corresponden a aquellas situaciones de la
parte escolar del EvSN1 que son isomórficas con las situaciones que
corresponden a las variables “Conocimientos básicos” y “Ordenar y
comparar”8. Veamos las respuestas de Federico (6;69, primer grado) en
dos situaciones que ponen en juego las mismas capacidades para los
mismos números:
En Situación 4, “Juguetería” (VD “Ordenar y comparar”):
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Terigi, Flavia y Buitron, Valeria
Entrevistador
- A ver, ¿en cuál juguetería sale más (se
señala un mismo juguete con dos precios,
45-54)?
- En ésa… ¿cómo te das cuenta?
- ¿Y entonces?
Federico (6;6, primer grado)
- En ésta (54).
- Porque, porque tiene 54 y este tiene 45…
- La dife… éste es una diferencia porque éste
(54) no está igual a éste (45) porque éste (5)
está de este lado (señala el primer lugar del
bidígito) y éste (4) está de este lado (señala el
segundo lugar), y esto está mal porque esto
está de este lado (5 a la derecha) y éste está
de este lado (4 a la izquierda).
- Porque, porque tiene el 5 y éste (45) tiene
un 4, éste (45) tiene más poquito.
- ¿Entonces? Porque mirá, éste (54) tiene el
5 y el 4 y acá (45) también está el 5 y el 4
¿Cómo sabés que éste es más?
- Entonces, ¿qué número hay que mirar para - Éste (no se ve lo que señala).
saber cuál es más grande?
- ¿El de adelante o el de atrás?
- El de adelante.
En Situación Escolar A, “Encerrar los números mayores” (VD
“Escolar resumen”):
Entrevistador
- Mirá, te voy leyendo las consignas y vos
lo vas haciendo. Dice “encerrar el mayor”
de estos dos números, de estos dos, de estos
dos… (Va señalando los pares de números,
uno de ellos es 45 y 54).
Federico (6;6, primer grado)
- Éste (señala el menor del primer par) ya lo
encierro. (Encierra el mayor de cada par de
números sin dudar, rápidamente.)
En lo que se refiere a la VD “Aspectos multiplicativos”, por tratarse
de los conocimientos más complejos que requiere el dominio del SN en
el primer ciclo, los conocimientos iniciales son escasos: la media de los
puntajes de los alumnos/as de primer grado es de =0,162.
Los conocimientos infantiles sobre el SN según los grados escolares
El diseño del estudio pretendía explorar si existen diferencias en el
aprendizaje de los contenidos ligados al SN según los grados escolares.
Analizados los datos, encontramos diferencias significativas en la comparación por grados para todas las VD consideradas.
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Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
Tabla 6. Resultados del análisis de las VD según la VI grado escolar
Conocimientos
evaluados
Resultados de la prueba de los efectos
inter-sujetos para grado escolar
Conocimientos básicos
F (3,37)=11,704; p=.000
Ordenar y comparar
F (3,37)=7,457; p=.001
Problema aditivo
F (3,37)= 77,395; p=.000
Aspectos multiplicativos
F (3,37)= 30,383; p=.000
Dictado de números
F (3,31)= 7,310; p=.000
Escolar Resumen
F (3,37)= 39,776; p=.000
Un análisis detenido de esas diferencias permite apreciar ciertas
cuestiones de interés. En primer lugar, como cabe esperar, los puntajes medios de los alumnos/as de primer grado son significativamente
menores que los de los otros tres cursos escolares en todas las VD.
En segundo término, parece producirse un avance importante entre
primero y segundo grados. Cuatro VD alcanzan o superan el 90% de
aciertos en este grado: “Conocimientos básicos” ( =0,918) “Ordenar
y comparar” ( =0,939), “Problema aditivo” ( =,975) y “Escolar resumen” ( =0,900).
En tercer lugar, se encuentra un salto significativo entre segundo
y cuarto grados en “Aspectos multiplicativos” ( =0,645 para 2º y
=0,935 para 4º), una diferencia importante dada la complejidad de los
conocimientos numéricos expresados por estas medidas.
La VD “Dictado de números” también presenta un salto significativo entre segundo grado ( = 0,664)y los dos grados subsiguientes ( =
0,923 para 3º y = 0,994 para 4º).
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Terigi, Flavia y Buitron, Valeria
Gráfico 1. Medias marginales estimadas de las VD según grado escolar
en escuelas urbanas
Por cierto, no se encuentran diferencias significativas entre tercero y
cuarto grados para ninguna de las VD; y en todas ellas –excepto “Aspectos multiplicativos”– las medias son próximas; es decir que la prueba es
relativamente accesible para los alumnos/as urbanos, que la resuelven
satisfactoriamente en buena medida a mediados de tercer grado.
En definitiva, a lo largo del primer ciclo, se producen avances en
los conocimientos numéricos de los alumnos/as según los grados; éstos
no muestran una progresión estricta grado por grado pero las diferencias entre grados son significativas en todas las variables consideradas;
hacia mediados de segundo grado, los alumnos/as han realizado importantes avances en las variables que miden conocimientos más sencillos,
en tanto los avances en los más complejos siguen produciéndose a lo
largo del ciclo.
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Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
Los conocimientos sobre el SN según el enfoque didáctico sobre
la enseñanza del SN
Iniciamos el estudio suponiendo que el enfoque asumido para la enseñanza de los contenidos ligados al SN podría producir diferencias en
los aprendizajes de los alumnos/as. Para explorar esta hipótesis, hemos
comparado los puntajes obtenidos por los niños/as en las distintas variables del EvSN1 según el enfoque didáctico que se sostiene en las escuelas a las que asisten. Si bien hay diferencias en las medias y éstas son
a favor del enfoque que denominamos “comprensión”, las pruebas de
los efectos inter-sujetos no muestran diferencias significativas según el
enfoque didáctico para ninguna de las VD.
Estos resultados no eran los que esperábamos: parece razonable
suponer que en escuelas donde la enseñanza de las matemáticas se organiza de modo tal de ofrecer a los alumnos/as oportunidades de reflexionar sobre los aspectos conceptuales del SN, los aprendizajes deberían
mostrar diferencias respecto de la enseñanza usual. Las diferencias de
medias en ciertas variables apoyan el interés de esta comparación: se
trata de “Aspectos multiplicativos” ( =0,587 para “usual” y =0,721
para “comprensión”) y “Dictado de números” ( =0,685 para “usual” y
=0,858 para “comprensión”). En la búsqueda de un sentido para los
datos de las pruebas de los efectos inter- sujetos, hemos considerado
que el “efecto techo” que se alcanza en segundo grado podía estar incidiendo en la atenuación de las diferencias entre enfoques y que, por
consiguiente, un análisis por separado de los cursos superiores (3º y 4º
grado) ofrecería una perspectiva diferente.
Conformamos entonces un grupo especial con los sujetos de 3º y
4º grados y realizamos un ANOVA para este grupo con todas las VD10.
En “Aspectos multiplicativos” (y sólo en esta variable) las diferencias
entre los dos enfoques didácticos resultaron significativas (F (1,23)=
12,307; p=.002), con una media notoriamente superior a favor del enfoque que denominamos “comprensión”.
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Terigi, Flavia y Buitron, Valeria
Tabla 7. Resultados del ANOVA de la VD “Aspectos multiplicativos”
para el grupo de 3º y 4º grados según enfoque didáctico
Estadísticos descriptivos Variable dependiente: Aspectos multiplicativos
Enfoque didáctico
Media
Desviación típica
dimension1
Usual
,751667
,1949121
Comprensión
,944444
,0731021
Total
,867333
,1632625
N
10
15
25
Este resultado tiene sentido, ya que los aspectos multiplicativos
son los conocimientos numéricos más complejos, y el progreso en su
comprensión requiere un marco específico de enseñanza que promueva
la reflexión sobre las regularidades de la numeración escrita y permita
avanzar hacia la conceptualización de las propiedades del sistema. Estudios previos muestran que los niños/as pueden enfrentar una variedad de
problemas que involucran el uso de la numeración escrita, sin todavía
comprender el principio de posición y el principio de agrupamiento, que
son los aspectos multiplicativos del SN: por ejemplo, tal como lo confirman los datos de este estudio, pueden comprender la función social de
los números en distintos contextos (VD “Conocimientos básicos sobre la
numeración escrita”), pueden comparar números mayores y menores o
realizar tareas que involucran memoria de la cantidad (VD “Conocimientos sobre ordenamiento y comparación de números”), inclusive resolver
operaciones sencillas con cálculos mentales o por procedimientos de conteo; pero todo ello no implica que conozcan los aspectos multiplicativos
del SN. Nuestros datos señalan que en el grupo de 3º y 4º grados una
enseñanza estructurada para inducir su análisis no sólo produce resultados superiores a los de la enseñanza usual, sino que acerca a los alumnos/as hasta el rendimiento máximo esperado para el ciclo.
Discusión
Un primer asunto que corresponde examinar se refiere a la validez del
EvSN1 para explorar los conocimientos numéricos de los niños/as a lo
largo del primer ciclo. En el análisis de la progresión de conocimientos
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Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
por grado hemos encontrado diferencias significativas, al tiempo que
ha quedado establecido que la prueba es relativamente accesible para
los alumnos/as urbanos, quienes en su mayoría la resuelven satisfactoriamente a mitad de tercer grado. Recuérdese que la prueba tenía por
propósito evaluar aprendizajes hasta tercer grado y que los alumnos/as
de cuarto grado no fueron entrevistados para evaluar los conocimientos
correspondientes al grado que cursan sino para controlar que, en tanto
alumnos/as que tienen aprobado el primer ciclo, pueden resolver las
situaciones en su totalidad. Es decir, este “efecto techo” que se experimenta con el instrumento entre tercero y cuarto grados confirmaría la
capacidad del EvSN1 para evaluar los aprendizajes que es razonable
esperar en el primer ciclo, aunque no más allá, al mismo tiempo que
el comportamiento de la VD “Aspectos multiplicativos” ofrece mayor
detalle sobre el aprendizaje en los cursos superiores.
El análisis de los conocimientos que presentan los alumnos/as de
primer grado, cuyas entrevistas fueron realizadas en el segundo mes
de clases, permite afirmar que los niños/as urbanos inician su escolaridad primaria con ciertos conocimientos sobre la numeración, en las
VD “Conocimientos básicos” y “Ordenar y comparar”, que los colocan
con buenas perspectivas frente al aprendizaje escolar del SN. Se trata
de conocimientos acerca de la función convencional de los números
en distintas situaciones sociales, de la disposición del repertorio numérico hasta el 20, de los criterios de comparación de números mayores
y menores, entre otros. La extensión de la escolarización inicial en las
áreas urbanas es una explicación probable de estos aprendizajes tempranos. En Argentina, la sala de cinco años del nivel inicial es obligatoria y
en la Ciudad de Buenos Aires, donde residen los niños/as de la muestra
urbana, la tasa de asistencia escolar a esa edad asciende al 99,4% según
datos de 2010 (Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, 2012).
A lo largo del primer ciclo, se producen avances en los conocimientos numéricos de los alumnos/as. Estos no muestran una progresión
estricta grado por grado pero las diferencias entre grados son significativas en todas las variables consideradas. En general a partir del
segundo año, los aspectos básicos medidos en el EvSN1 se empiezan
a alcanzar, lo que no sucede en dos casos: “Aspectos multiplicativos”
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Terigi, Flavia y Buitron, Valeria
y “Dictado de números”, que continúan su progresión en los cursos
subsiguientes.
El análisis realizado permite sostener el interés particular que tiene
la VD “Aspectos multiplicativos” en este estudio. Si bien sigue la orientación general del resto de las variables, es la VD que representa los
conocimientos más complejos, es en ella en la que los resultados superiores se alcanzan más tardíamente y es la más sensible al enfoque que
se sigue en la enseñanza matemática.
En un estudio sobre el conjunto de la muestra urbana, el enfoque
de enseñanza no aparece con claridad como determinante de diferencias significativas en las puntuaciones que obtienen los niños/as en
el EvSN1. Sin embargo, un análisis diferenciado del grupo de 3º y
4º muestra diferencias significativas en el aprendizaje de los “Aspectos multiplicativos” del SN. Esto nos permite afirmar que el enfoque
didáctico que denominamos “comprensión” estaría logrando que los
alumnos/as accedan a los principios de organización del SN en mayor
medida que la enseñanza usual, e inclusive alcanzando el máximo de
los aprendizajes que evalúa el EVSN1.
Puede señalarse cierto contraste entre la riqueza de la información
casuística relevada en cada entrevista, el análisis cualitativo necesario
para la construcción de la clave de evaluación de las entrevistas, y la
reducción de datos a puntajes resumen expresados como variables de
escala. En nuestro estudio, hemos reunido variada información sobre
un número de sujetos que, en ciertos casos, es mayor que el tamaño de
las muestras de las investigaciones tomadas como base; por caso, Lerner (2005) que se basa en 10 casos, o Alvarado (2002) que se basa en
20. Desde este punto de vista, el estudio ha ofrecido datos que podrán
ser objeto de análisis más profundos en el futuro.
Notas
1 Excepto cuando, por razones de estilo,
se considere necesaria una variación,
se utiliza la expresión alumnos/as para
referirse a los niños y niñas que asisten
a la escuela en calidad de tales, y la
expresión niños/as cuando se refiere a
34
estos mismos sujetos en sus otras actividades fuera de la escuela.
2 Proyecto UBACyTX217, acreditado y
financiado en el marco de la Programación Científica 2008- 2011 de la Secre-
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Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
taría de Ciencia y Técnica de la Universidad de Buenos Aires.
3 Por cierto, la distancia en meses lectivos entre la mitad del segundo grado y
el comienzo del tercer grado es la menor
de toda la muestra (5 meses de escolaridad, contra 13 meses entre 1º y 2º y
otro tanto entre 3º y 4º), y ha sido definida para lograr una distribución de las
tareas de campo que las hiciera factible.
4 Por razones de estilo, en este escrito se
reemplaza ocasionalmente la expresión
“conocimientos sobre el SN” por “conocimientos numéricos”. Sin embargo,
debe aclararse que, dependiendo del
enfoque teórico que se utilice para analizar las elaboraciones infantiles sobre la
numeración, las investigaciones sobre
los conocimientos numéricos pueden
no ocuparse del sistema de representación. Piénsese en las clásicas investigaciones piagetianas sobre el desarrollo
del número (Piaget y Szeminska, 1982),
y también en los estudios sobre las predisposiciones numéricas de los bebés,
sobre las cuales Karmiloff- Smith propone que hacen posible que se almacenen representaciones numéricamente
relevantes, susceptibles de posterior
redescripción representacional (Karmiloff-Smith, 1994). También cabe señalar
que el progreso en el dominio numérico
que analizan investigaciones como las
citadas no implica ni desencadena el
conocimiento de la lógica representacional del SN.
5 Los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios constituyen un conjunto de saberes
que deben formar parte de la educación
de todos los niños y las niñas del nivel
primario en la República Argentina.
6 Se agradece a Cecilia Parra su amable
colaboración en el análisis del estándar
curricular.
7 Debe consignarse que, debido a errores en la aplicación del instrumento, se
omitió la situación “Dictado de números” en el grupo de 5 niños de primer
grado en el enfoque que denominamos
“comprensión”. Por consiguiente, en los
análisis se realiza un ANOVA por separado para la VD “Dictado de números”,
manteniendo las mismas variables independientes.
8 Recuérdese que la parte escolar del
EvSN1 presenta situaciones equivalentes a algunas de las presentadas en
la parte en cuanto a los conocimientos
numéricos que se requieren para resolverlas, pero formuladas a la manera de
una tarea escolar clásica.
9 Para mencionar la edad de los educandos se utiliza la convención X;x para
mencionar con el primer número los
años y luego los meses.
10 En este análisis no ha sido necesario
realizar un ANOVA por separado para
la VD “Dictado de números”, ya que los
datos perdidos corresponden al primer
grado.
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Los aprendizajes sobre el sistema de numeración en el primer ciclo…
Anexo 1 – Resumen del protocolo para la entrevista clínica
Datos a consignar:
Nombre del sujeto:
Edad (en años y meses):
Fecha de la entrevista:
Hora de inicio:
Hora de finalización:
Escuela:
Entrevistador:
Observador- es:
Nombre del archivo de audio:
Observaciones (todo asunto que se considere necesario dejar consignado porque contribuye a
interpretar la entrevista):
Secuencia general del protocolo:
Parte 1. Encuadre de la entrevista.
Parte 2. Números en contextos sociales de uso.
SITUACIÓN 1 “TARJETAS”. Situación para indagar los conocimientos de los niños acerca de
las funciones de los números en contextos sociales de uso.
SITUACIÓN 2 “NÚMEROS DEL 1 AL 20”. Situación para indagar cómo los niños interpretan
y producen números del 1 al 20.
SITUACIÓN 3 “TAPITAS”. Situación para indagar procedimientos para reunir colecciones
con presencia de los objetos para habilitar su conteo y para la notación de las cantidades
resultantes.
SITUACIÓN 4 “JUGUETERÍA”. Situación para indagar las estrategias que emplean los niños
para comparar números en el contexto de los precios.
SITUACIÓN 5 “CENTÍMETRO”. Situación para indagar la interpretación de nudos bidígitos
y del 100.
SITUACIÓN 6 “BIBLIOTECA”. Situación para indagar encuadramiento de un número en
intervalos definidos con otros números, dentro de la primera centena.
SITUACIÓN 7 “TALLES”. Situación para indagar encuadramiento de un número con información numérica relativa al intervalo en lenguaje natural, dentro de la primera centena.
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Terigi, Flavia y Buitron, Valeria
SITUACIÓN 8 “PROBLEMA ADITIVO”. Situación para indagar la identificación de problemas de adición y procedimientos de resolución.
SITUACIÓN 9 “MAYORISTA- MINORISTA”. Primera situación para indagar aspectos multiplicativos del sistema de numeración: procedimientos para adicionar decenas.
SITUACIÓN 10 “SUMAS COMPOSITIVAS”. Segunda situación para indagar aspectos multiplicativos del sistema de numeración: composición de números como procedimiento para
resolver una suma.
SITUACIÓN 11 “TREINTI + VEINTI”. Tercera situación para indagar aspectos multiplicativos del sistema de numeración: anticipación del rango del resultado de una suma según los
valores de los coeficientes de decenas y unidades.
Parte 3. Números en actividades escolares.
Aclaraciones:
1. El protocolo completo consta de 36 páginas, por lo que se impone una presentación sintética.
2. El nombre entre comillas en la Parte 2 junto al número de la situación corresponde a la
identificación de la situación en la base de datos que contiene la codificación del estudio.
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Educación, Lenguaje y Sociedad ISSN 1668-4753 Vol. X N°10 (Diciembre 2013) pp. 15-41