OSCILACIONES

OSCILACIONES
Un movimiento que se repite a intervalos regulares de tiempo se llama Movimiento Periódico.
m
l
m
Partícula en movimiento
circular uniforme
Péndulo simple
Si una partícula o cuerpo rígido que tiene movimiento periódico, y se mueve alternativamente
en un sentido y en otro en torno a su posición de equilibrio siguiendo la misma trayectoria
(vaivén) se llama Oscilatorio o Vibratorio.
k
M
l
m
Sistema masa resorte
Péndulo simple
Cuando el desplazamiento de la partícula en un movimiento periódico se puede expresar
siempre mediante un función de senos o cosenos (armónicas), ese movimiento se llama
Movimiento Armónico.
Se llama perturbación a la acción de sacar un sistema del equilibrio y abandonarlo. La
perturbación es instantánea.
Las Oscilaciones Libres ocurren cuando un sistema es perturbado y oscila en torno a la
posición de equilibrio.
Aquellos sistemas oscilatorios cuya posición en el espacio queda definido por una sola
magnitud o coordenada independiente se dice que el sistema tiene un grado de libertad,
cuando son dos las coordenadas tendrá dos grados de libertad, y así sucesivamente.
1
Sistemas con un grado de libertad
k
x
M

l
M, L

m
Sistema masa resorte
Péndulo simple
Péndulo físico
Sistemas con dos grados de libertad:
k1
x1
M1
x2
k2
k3
L1
M2
x1
masas acopladas
m1
x
L2
x2
m2

M, L
Péndulo Ajuste
Péndulos acoplados
En un movimiento armónico el período T es el tiempo que demora en una oscilación. Se mide
en (seg).
La frecuencia lineal f de un movimiento armónico es el número de oscilaciones o ciclos por
unidad de tiempo, es decir, es el inverso del período. Se mide en (1/seg) = (Hz), Hertz.
La posición de equilibrio en un Movimiento Armónico en donde la fuerza neta es cero.
.
Se llama elongación lineal o angular a la distancia lineal o angular de la partícula o cuerpo
oscilante respecto a la posición de equilibrio, en cualquier instante.
La máxima elongación se llama Amplitud.
2
Movimiento Armónico Simple M A S
Introducción
Una partícula que oscila con respecto a la posición de equilibrio bajo una fuerza que es
restauradora, que es proporcional a la elongación, se dice que tiene un movimiento armónico
simple. La fuerza restauradora apunta en todo instante hacia la posición de equilibrio.
Es decir:
F = - k x, para el caso de oscilación lineal
o
 = - k  , para el caso de oscilación angular.
El signo – es porque en todo instante apunta hacia la posición de equilibrio, PE. La constante
de proporcionalidad k depende o es característico del sistema oscilante.
x=0
PE
-A
F = -kx
m
A
Ecuación del M A S
Aplicando la segunda ley de Newton, para el caso de oscilaciones lineales. F = m a
-kx = m(d2x/dt2) = m x‫״‬
(1)
reorganizando la ecuación diferencial (1), queda
x‫ ״‬+ (k/m ) x = 0
(2)
x‫ ״‬+ w2 x = 0
(3)
con
w2 = (k/m )
(4)
Aplicando la segunda ley de Newton, para el caso de oscilaciones angulares.  = I 
-k = I(d2/dt2) = I ‫״‬
(5)
reorganizando la ecuación diferencial (5), queda
‫ ״‬+ (k/I)  = 0
(6)
‫ ״‬+ w2  = 0
(7)
3
con
w2 = (k/I )
(8)
Las ecuaciones diferenciales (3) y (7) se suelen llamarse ecuación del Movimiento Armónico
Simple.
Como se puede observar las ecuaciones diferenciales (3) y (7) son similares, son ecuaciones
diferenciales de segundo orden, grado uno, homogénea. La solución de una ecuación
diferencial, de estas características es del tipo:
x = C1 er1t + C2 er2t
(9)
en la cual r1 y r2 son las raíces de la ecuación característica, y son distintas.
O sea:
x = (C1 + C2 t) ert
(10)
sí, las raíces de la ecuación característica son iguales
La ecuación característica de las ecuaciones diferenciales (3) y (7) es:
r2 + w2 = 0
Por lo tanto, las raíces son diferentes
r1 = iw
r2 = -iw
Luego, la solución de la ecuación (3) será:
x = C1 eiwt + C2 e-iwt
(11)
Esta forma de solución es poco agradable de utilizar, por lo tanto, si se expresa las constantes
C1 y C2 en término de otras constantes como A, .
Considere:
C1 = A ei/2
forma
y
C2 = A e-i/2
x = A(ei(wt+) + e-i(wt+))/2,
Sustituyendo estas constantes la ecuación (11) toma la
usando la identidad trigonométrica de la función coseno,
se tiene:
x = A cos (wt +)
(12)
4
Solución para la elongación de un Movimiento Armónico Simple.
Es fácil darse cuenta del significado físico para A, w, .
El valor máximo de la elongación de (12) es A, por lo tanto es la amplitud.
El término (wt+) será la fase de movimiento
Luego,  es la fase inicial, que se determina con las condiciones iniciales, es decir, usando la
elongación y la velocidad en t = 0.
Si se aumenta el tiempo (t + 2/w) y se sustituye en la ecuación (12) se obtiene la misma
elongación. Por lo tanto, ese aumento de tiempo debe ser el período.
T = (2/w)
w = 2/T es la frecuencia angular.
Para la solución de (7), debe ser similar, tener la forma (12):
.
 = m cos (wt +)
(14)
solución de la elongación angular del Movimiento Armónico Simple
La velocidad de la partícula oscilante en cualquier instante se determina por la derivada de la
ecuación (12).
v = x΄ = - wA sen (wt +)
(15)
vmín = 0 , ocurre en los extremos
vmáx =  wA , ocurre cuando pasa por la posición de equilibrio.
vmim= 0
-A
vmáx = -wA
x=0
vmáx = +wA
PE
vmim= 0
m
+A
5
La aceleración de la partícula oscilante en cualquier instante se determina por la segunda
derivada de la ecuación (12).
a = x`´ = - w2 A cos (wt +) = - w2 x
(16)
amín = 0 , ocurre cuando pasa por la posición de equilibrio.
amáx =  w2 A , ocurre cuando se encuentra en los extremos.
amáx = +w2 A
amím = 0
amáx = -w2 A
m
-A
PE
x=0
+A
Las representación gráfica para la elongación, velocidad y aceleración, ecuaciones
(12), (15) y (16) respectivamente, todas con fase inicial  = 0, se muestra a continuación.
6
Energía en el Movimiento Armónico Simple
Para que una partícula tenga Movimiento Armónico Simple, la fuerza que provoca el
movimiento debe ser restauradora, del tipo F = -kx. Este tipo de fuerza es conservativa, por lo
tanto, la energía mecánica debe conservarse Este tipo de fuerza genera una energía potencial
U, similar a la realizada por la fuerza elástica de un resorte, del tipo.
U = ½ k x 2.
energía potencial
(1)
La energía cinética de la partícula que tiene un movimiento armónico se:
K = ½ m v2. energía cinética.
(2)
Por lo tanto, la energía total E = K + U . Sustituyendo, los valores de la elongación y la
velocidad, se tiene:
E = K + U = ½ k x2 + ½ m v2 = ½ k A2 cos2 (wt+) + ½ m w2 A2 sen2 (wt+)
(3)
Pero, w2 = (k/m). Sustituyendo en la ecuación (3)
E = ½ kA2 cos2 (wt+) + ½ m(k/m) A2 sen2 (wt+) = ½ kA2 cos2 (wt+) + sen2 (wt+)
(4)
E = ½ kA2 = constante.
Otra expresión para la velocidad se puede obtener igualando (3) con (4).
½ kA2 = ½ k x2 + ½ m v2
v2 = (k/m) A2 - x2  = w2 A2 - x2 
v =  w A2 - x2 1/2
(5)
A continuación se muestran las gráficas de E,K,U en función de la elongación x y tiempo t.
7
Aplicaciones de Movimiento Armónico Simple
1.- Sistema masa - resorte
Consideremos una masa unida a un resorte de constante elástica K, que se encuentra sobre una
superficie con roce despreciable.
Sistema masa resorte
K
Kx
x
M
roce despreciable
Aplicando la segunda Ley de Newton
-
Kx = m d2x/dt2
F = ma
= m x
(1)
x + (K/m) x = 0
(2)
Esta es la ecuación característica del Movimiento Armónico Simple, cuya solución para la
elongación debe ser:
x = A cos (wt +)
con
w2 = (K/m) ,
T = 2(m/K)1/2
(3)
Por lo tanto, el período para el sistema masa resorte debe ser:
(4)
8
2.-
Péndulo Simple

l
T
x
m
s
mg
Al aplicar la segunda ley de Newton a la partícula m. En este caso, debería usarse la fuerza
tangencial, de manera que:
Ft = m at
luego,
(1)
mg sen = m d2s/dt2 , pero
- (mg/l) x ¨= m d2s/dt2
sen = x/l ,
s=l
(2)
Si se consideran pequeñas oscilaciones, las aproximaciones a considerar serán:
tan  sen   ,
cos  1 .
Esto implica que d2s/dt2  d2x/dt2 = x
Entonces la ecuación (2) queda,
- (mg/l) x ¨= m x .
x + (g/l) x
Nótese que, k = (mg/l). Reordenando esta ecuación
= 0
(3)
Esta ecuación es la ecuación característica del Movimiento Armónico Simple, donde
w2 = (g/l) ,
lo que indica que el período del péndulo simple
T = 2 (l/g)
(4)
Para la elongación:
x = A cos (wt +)
(5)
9
3.-
Péndulo Físico
Consiste en un cuerpo rígido que es pivoteado en algún punto de él., constituyéndose en un eje
de rotación., en el cuál puede rotar.

d
CM
Mg
Entonces, sobre el cuerpo actúa la fuerza peso ubicada en el centro de masa, que se encuentra
a una distancia “ d “ hasta el eje de rotación, además de las fuerzas de pivote, que no realizan
torque, por encontrase justamente en el eje de rotación.
Aplicando la segunda Ley de Newton, para la rotación del cuerpo rígido respecto del eje de
rotación ubicado en el pivote.
 = I 
(1)
- Mg d sen  = I d2/dt2
= I 
(2)
donde I es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto del eje de rotación.
Si se consideran pequeñas oscilaciones, se usa la aproximación
tan  sen   ,
cos  1 .
Entonces, (2) toma la forma
- Mg d  = I 
Ordenándola:
(3)
 + (Mg d / I )  = 0
(4)
La ecuación (4), es una ecuación de un Movimiento Armónico Simple, cuya solución es
 = m cos (wt +)
(5)
10
con
w2 = (Mg d/ I)
Por lo tanto, el período para el péndulo Físico estará dado por la siguiente expresión:
T = 2 ( I / Mg d)1/2
(6)
11
4.-
Péndulo de Torsión
La torsión ocurre en alambres que sufren deformaciones debido a momentos realizados sobre
él. La deformación en la torsión es angular y se rige por la ley de Hooke, es decir:

= K
Ley de Hooke para la Torsión
(1)
donde, K es la constante de torsión del alambre, característica de ese material.
El péndulo de torsión es un alambre sujeto en un extremo y unido a un cuerpo por el otro,
como se muestra en la siguiente figura.
alambre
Péndulo de Torsión
M, R
Si se aplica la segunda Ley de Newton, cuando el cuerpo es perturbado por torsión, se tiene:
 = I
(2)
- K = I d2/dt2 = I 
(3)
donde, I es el momento de Inercia del cuerpo respecto del eje de rotación.
Reorganizando (3)
 + (K/I)  = 0
(4)
Esta ecuación diferencial es la característica del Movimiento Armónico Simple, cuya solución
para la elongación angular es:
 = m cos (wt +)
Con: w2 = (K/I) .
(5)
Por lo tanto, el período de oscilación para un Péndulo de Torsión será:
T = 2 ( I / K)1/2
(6)
12
Movimiento Armónico Amortiguado
MAA
El caso del Movimiento Armónico Simple, MAS, es un movimiento muy idealizado, ya que se
sabe que una partícula que oscila, su amplitud decrece en el tiempo. Cuando, además, de la
fuerza restauradora la partícula que oscila con respecto a la posición de equilibrio, sufre la
acción de una fuerza amortiguadora que se opone a su movimiento y que sea proporcional a
su velocidad, entonces ese tipo de oscilación se llama Movimiento Armónico Amortiguado.
En consecuencia , una partícula o cuerpo rígido que oscile en MAA, necesita de las siguientes
fuerzas:
F = - k x, Fuerza restauradora
Fa = - b v = -b (dv/dt) = - b x
amortiguamiento
Fuerza amortiguadora. Donde, b se llama constante de
F = - b x
F = -kx
x=0
m
PE
-A
A
Ecuación del M A A
Aplicando la segunda ley de Newton, para el caso de oscilaciones lineales. F = m a
-kx - b (dx/dt) = m(d2x/dt2) = m x‫״‬
-kx - b x = m x‫״‬
(1)
(2)
Sistema masa resorte amortiguado
kx
k
x
M
b
reorganizando la ecuación diferencial (2)
x‫ ״‬+ (b/m) x + (k/m ) x = 0
x‫ ״‬+ 2 x + w20 x = 0
roce despreciable
(3)
del
Movimiento
(4) Ecuación
Armónico Amortiguado
con
 = (b/ 2m) ,
w20 = (k/m )
(5)
13
La ecuación diferenciales
Amortiguado.
(4)
se suelen llamarse ecuación del Movimiento Armónico
La ecuación diferencial (4) , es una ecuación diferencial de segundo orden, grado uno,
homogénea. La solución de una ecuación diferencial, de estas características es del tipo:
x = C1 er1t + C2 er2t
(6)
si r1 y r2 son las raíces de la ecuación característica y son distintas.
x = (C1 + C2 t) ert
(7)
sí, las raíces de la ecuación característica son iguales
La ecuación característica de la ecuación diferencial (4) es:
r2 + 2 r + w20 = 0
Las raíces son:
r1 = -  + (2 – w20)1/2
r2 = -  -(2 – w20)1/2
(8)
Caso 1. Sí  = w0 , entonces las raíces son iguales r1 = r2 = - 
Luego, la solución de la ecuación (4) será:
x = (C1 + C2 t) e- t , se llama amortiguamiento crítico, no es armónico.
Caso 2. Sí   w0 . Las raíces son diferentes y reales, dado por ecuaciones (8).
La solución de (4) queda:
x = C1 er1t + C2 er2t , se llama amortiguamiento hipercrítico, no es armónico
Caso 3. Sí  < w0 . Las raíces son diferentes e imaginarias.
Sea:
w2 = w20 - 2
(9), llamada relación de frecuencia
Por lo tanto las raíces serán: r1 = - + iw ,
r1 = - - iw
La solución para (4), queda como:
x = e- t ( C1 eiwt + C2 e-iwt )
(11)
Esta forma de solución es poco agradable de utilizar, por lo tanto, si se expresa las constantes
C1 y C2 en término de otras constantes como A0, .
14
Considere:
C1 = A0 ei/2
forma
y
C2 = A0 e-i/2
x = A(ei(wt+) + e-i(wt+))/2,
Sustituyendo estas constantes la ecuación (11) toma la
usando la identidad trigonométrica de la función coseno,
se tiene:
x = A0 e- t cos (wt +)
(12)
donde :
A = A0 e- t , se llama Ecuación para la Amplitud
Recuerde que: w2 = w20 - 2
La velocidad es la derivada de (12)
v = x = - A0 we- t sen (wt +) - A0  e- t cos (wt +)
Representación gráfica de (12)
15
Movimiento Armónico Amortiguado y Forzado
MAAF
El Movimiento Armónico Amortiguado y Forzado, MAAF, es el movimiento armónico
amortiguado con una fuerza impulsora o aplicada de tipo armónica.
Es decir:
F = - k x, Fuerza restauradora
Fa = - b v = -b (dv/dt) = - b x
Fuerza amortiguadora.
Faplicada = F0 cos (wapt + )
Faplicada
Fa = - b x
F = -kx
x=0
m
PE
-A
A
Ecuación del M A A F
Aplicando la segunda ley de Newton, para el caso de oscilaciones lineales. F = m a
F0 cos (wapt + ) - kx - b (dx/dt) = m(d2x/dt2) = m x‫״‬
reorganizando la ecuación diferencial
(1)
(1)
x‫ ״‬+ (b/m) x + (k/m ) x = (F0/m) cos (wapt + )
x‫ ״‬+ 2 x + w20 x = (F0/m) cos(wapt +)
( 2)
(3) Ecuación del Movimiento Armónico
Amortiguado y Forzado
con
2 = (b/m) ,
w20 = (k/m )
(4)
La ecuación del MAAF (3), es una ecuación diferencial de segundo orden, grado uno,
no homogénea. Cuya solución debe ser, la solución homogénea más una solución particular.
La solución homogénea, corresponde a la solución del MAA, x = A0 e- t
que desaparece en el tiempo y se llama solución transitoria
cos (wt +) ,
16
La otra parte de la solución es la permanente, llamada solución estacionaria, que tiene la
forma:
x = A cos (wapl t + +  )
Donde,
La Amplitud A es :
A
F0

2
m w02  wapli
tg  

2
2
 4 2 wapli
2wapli
2
w02  wapli
Cuándo w0 = wapli , genera el fenómeno llamado resonancia. En ese caso, la amplitud de la
oscilación crece.
17
Relación entre Movimiento Circular Uniforme y el Movimiento Armónico
Simple
Consideremos una partícula que se mueve con Movimiento Circular Uniforme,
MCU, con radio A y rapidez v.
y
v
a
v
a
A
wt
t=t
t=0

a
a
v
x
v
En la figura, se pueden descomponer el movimiento según los ejes x e y.
x = A cos (wt + )
(1)
y = A sen (wt + )
(2)
La velocidad tiene magnitud v = Aw.
Sus componentes serán:
vx = -v sen(wt+ ) = - Aw sen(wt+ )
(3)
vy = -v cos(wt+ ) = - Aw cos(wt+ )
(4)
La aceleración es centrípeta, en magnitud es a = w2 A. Sus componentes serán:
ax = - a cos(wt+ ) = - Aw2 cos(wt+ )
(5)
ay = - a sen(wt+ ) = - Aw2 sen(wt+ )
(6)
Las relaciones (1), (2) tienen la forma de las elongaciones de movimientos armónico simples.
Las relaciones (3), (4) son expresiones para la velocidad de la partícula en MAS.
Las relaciones (5), (6) son expresiones para la aceleración de una partícula en MAS.
Por lo tanto, se puede decir “ El Movimiento Circular Uniforme es una superposición de
dos Movimientos Armónicos Simples perpendiculares”.
18
Superposición de Movimientos Armónicos Simples
La superposición es la combinación o interferencia de Movimiento Armónicos Simples.
I.-
Superposición de dos MAS de la misma dirección
a) Consideremos que los dos MAS tiene igual frecuencia
x1 = A1 cos (wt + 1)
x2 = A2 cos (wt + 2)
Luego,
x = x1 + x2 = A1 cos (wt + 1) + A2 cos (wt + 2)
Para averiguar que forma tiene esta superposición usemos vectores rotatorios para expresar
cada uno de los MAS. En este caso, ambos rotan con la misma velocidad angular w, pero
tienen fases iniciales diferentes.
y
y
A
A2
(wt + 2) (wt + )
A1
(wt + 1)
x
(wt )
x
Como ambos movimientos armónicos tiene la misma frecuencia, el resultante también
lo tendrá. Es decir, el resultante de los dos MAS tendrá la forma:
x = A cos (wt + )
Con:
A =  A21 + A22 + 2 A1A2 cos (2 -1)
tg  =
A1 sen 1 + A2 sen 2
A1 cos 1 + A2 cos 2
19
Observaciones
1.-
Si 1 = 2 , se logra que A = A1 + A2,
 = 1 = 2
Este Tipo de interferencia, se dice que es constructiva.
2.-
Si 2 = 1+  , se obtiene A = A1 - A2,
 = 1
Este Tipo de interferencia, se dice que es destructiva.
b)
Consideremos que los dos MAS tiene diferente frecuencia
Sea 1 = 2 = 0, quedando cada MAS, de la forma
x1 = A1 cos w1 t
x2 = A2 cos w2 t
Usando vectores rotatorios:
y
A2
w2 t
A1
w1 t
x
El ángulo entre los vectores rotatorios es (w2 t - w1 t) = wt
La amplitud no es constante y tiene un valor
A =  A21 + A22 + 2 A1A2 cos (w1 – w2 ) t
Una aplicación interesante a considerar, para este tipo de superposición es considerar
A1 = A2 = A
x1 = A cos w1 t
x2 = A cos w2 t
x = x1 + x2 = A cos w1 t + A cos w2 t
20
usando identidad trigonométrica cos  + cos  = 2 cos ½(+) cos ½(-)
x = 2 A cos ½(w1- w2)t cos ½(w1+w2)t
Se define Amplitud modulada como : Amod = 2 A cos ½(w1- w2)t
Frecuencia modulada wmod = ½(w1- w2) , donde el período modulado Tmod = 2/ wmod
Frecuencia de pulsación wpul = (w1- w2) , con período de pulsación Tpul = 2/ wpul
Frecuencia promedio wpro = ½(w1 + w2) , con período promedio Tpro = 2/ wpro
II.-
Superposición de dos MAS perpendiculares
a) Consideremos que los dos MAS tiene igual frecuencia
x = Ax cos (wt + 1 )
(1)
y = Ay cos (wt + 2 )
(2)
consideremos
1 = 2 +  , sustituyendo en (1)
x = Ax cos (wt + 2 + )
(3)
De las ecuaciones (2) y (3) se puede eliminar el parámetro del tiempo, para construir la
ecuación de la trayectoria de la superposición.
x2
y2
2xy
------- + ------ - ---------- cos  = sen 2 
A2x
A2 y
A2x A2y
y
Esta es una ecuación de una elipse
Aysen
Axsen
x
21
Observaciones
1.-
Si 1 = 1 + /2, la trayectoria es una elipse centrada
y
2
x
y
------- + -----A2x
A2y
2.-
Ay
2
= sen 2 
Ax
Si 2 = 1 + /2, y además, Ax = Ay = A,
y
x2 + y2
x
trayectoria es una circunferencia
Ay
= A2
Ax
3.-
x
Si 1 = 2 La trayectoria es una recta
y
y = (Ay/Ax) x
x
b)
Consideremos que los dos MAS tiene diferente frecuencia
Esta trayectorias se conocen como figuras de Lissajous
Las amplitudes son Ax y Ay, las frecuencias angulares w1 y w2 , respectivamente, y 1 2
son las fases iniciales de ambos movimientos.
El primer M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio Ax sobre el eje
X. Al girar con velocidad angular w1 , al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular es
w1 t + 1 .
22
El segundo M.A.S. se origina proyectando el extremo del vector rotatorio Ay sobre el
eje Y. Al girar con velocidad angular w2 , al cabo de un cierto tiempo t, su posición angular
es w2 t + 2.
Consideremos el siguiente ejemplo
x = 3 cos (4 t + )
y = 4 cos (2 t + 3/2)
2 = 0
4
con 1 = 
con 2 = /2
w1 = 2w2
3
3
2
5
2,4
5
1
1,5
6
8
6,8
7
7
8
4
y = 4 cos (2 t + 3/2)
1
7
5
3
1 = 0
6
2
x = 3 cos (4 t + )
23
Sistemas Acoplados
Los sistemas acoplados son sistemas con dos grados de libertad, donde se acoplan dos
movimientos armónicos simple de un grado de libertad.
Consideremos para el análisis dos masas unidas a resortes como lo índica la figura
No existe roce entre las masas y la superficie.
En la situación de equilibrio:
k1
k2
M1
En un estado de movimiento: Supongamos que
k1
k2(x1 –x2)
k1x1
m1
k3
M2
x1 > x2
k2(x1 –x2)
k2x2
k3
m2
k2
x1
x2
La ecuación del movimiento para cada masa. Segunda Ley de Newton
Para m1 :
- k2(x1 –x2) - k1x1 = m1 d2x1/dt2 = m1 x1´´
(1)
reordenando (1)
= - (k1+k2)/m1 x1 - (k2/m1) x2
(2)
+ k2(x1 –x2) - k3x2 = m2 d2x2/dt2 = m2 x2´´
(3)
x1´´
Para m2 :
reordenando (1)
x2´´
= - (k3/m2 x1 - ((k1 + k2)/m2) x2
(4)
24
Las ecuaciones (2) y (4) son ecuaciones diferenciales acopladas del tipo:
x1´´
= - a11 x1 - a12 x2
(5)
x2´´
= - a21 x1 - a22 x2
(6)
donde: a11, a12 , a21, a22 son coeficientes.
Para resolver las ecuaciones diferenciales (5) y (6), existen dos métodos de resolución.
Uno es tratar de desacoplar las ecuaciones diferenciales, el otro es usar el método de los
modos normales, que se presenta a continuación.
Un modo normal es una situación especial que tiene de oscilar una sistema acoplado,
donde su movimiento es armónico simple. Por lo tanto, cuando se encuentra en un modo, las
partículas o cuerpos oscilante se encuentra con la misma frecuencia y en fase. Si el sistema
tiene dos grados de libertad, existirán dos modos normales.
La solución de las ecuaciones diferenciales acopladas serán la superposición de cada modo
Entonces,
x1 (t) = A1 cos (w1t +1) + A2 cos (w2t +2)
(7)
x2 (t) = B1 cos (w1t +1) + B2 cos (w2t +2)
(8)
Determinación de las frecuencias de cada modo normal:
Cuando se está en un modo, cada partícula tiene un MAS, o sea:
x`` = - w2 x
en el caso de (1)
x1`` = - w2 x1 sustituyendo en (5)
- w2 x1 = - a11 x1 - a12 x2
(x1 / x2 ) = a12 / (w2 - a11)
, reordenándola
(9)
25
en el caso de (2)
x2`` = - w2 x2 sustituyendo en (6)
- w2 x2 = - a21 x1 - a22 x2
, reordenándola
(x1 / x2 ) = (w2 - a22) / a21
(10)
Igualando (9) con (10), se obtiene la ecuación de frecuencia:
(w2 - a22) (w2 - a11) - a21 a12 = 0
(11)
esta ecuación de frecuencia, se puede expresar mediante el determinante
(w2 - a11)
a12
= 0
a21
2
(w - a22)
Con este determinante se determina las frecuencias de cada modo normal w21, w22.
Cuando el sistema se encuentra en un modo normal, entonces cada masa tiene la
misma frecuencia y tiene un MAS. Por lo tanto, usando las ecuaciones (9) y (10) se puede
obtener la relación entre A1 y B1, conocida su frecuencia angular w1. De igual manera, para
la relación entre A2 y B2.
(x1 / x2 )modo 1 = (A1/B1) = a12 / (w21 - a11) = (w21 - a22) / a21
(12)
(x1 / x2 )modo 2 = (A2/B2) = a12 / (w22 - a11) = (w22 - a22) / a21
(13)
26
Ejemplo
Para facilitar el proceso de cálculo consideremos el sistema acoplado usado al
comienzo del análisis, con k = k1 = k2 = k3. m = m1 = m2
Con estas consideraciones:
a11 = (2k/m),
a12 = (k/m) ,
a21 = (k/m) ,
(w2 - 2k/m)
a22 = (2k/m)
k/m
= 0
(w2 - 2k/m)
k/m
Resolviendo el determinante se obtiene, para la frecuencia de cada modo:
w21 = (k/m) ,
w22 = 3((k/m).
Relación de amplitud
(A1/B1) = a12 / (w21 - a11) = (k/m) /[(k/m) - (2k/m)] = -1

A1 = - B1
(A2/B2) = a12 / (w22 - a11) = (k/m) /[(3k/m) - (2k/m)] = +1

A1 = B1
O sea, el modo 1 y 2 se obtienen de la siguiente forma:
Modo 1:
k
k
M
k
M
A1
Modo 2:
-B1
k
k
k
M
A1
M
B1
27