FORMACIÓN DE IMÁGENES RADAR DE APERTURA SINTÉTICA

FORMACIÓN DE IMÁGENES RADAR DE
APERTURA SINTÉTICA (SAR) DE PRECISIÓN
MEDIANTE TÉCNICAS DE RETROPROYECCIÓN
Ingenieria de Telecomunicaciones
13 de Mayo del 2015
Realizado por:
Director:
Mònica Sensat Nogués
Antoni Broquetas Ibars
Índice general
Resum
xi
Resumen
xiii
Abstract
xv
1. Introducción
1
2. Fundamentos de Radar y SAR
3
2.1. Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1. Señal emitida y recibida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2. Señal de batido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.3. Resolución radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2. Radar de apertura sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2.1. Resolución SAR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3. Ground Based - SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.1. Geometría GB-SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.2. Resolución GB-SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
17
3.1. Algoritmo Back-Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2. Back-Projection con GB-SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
i
Índice general
ii
3.2.1. Compresión en distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2.2. Compresión en acimut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2.3. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3. Implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4. Simulación
35
4.1. Simulador de la forma de antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.2. Generador de valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.3. Generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.4. Procesador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.4.1. Compresión en distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.4.2. Compresión en acimut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.5. Mejoras de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.6. Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.7. Adaptación a datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5. Resultados
5.1. Simulación ideal
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.1.1. Resolución en distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.1.2. Resolución en acimut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.2. Simulación con ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.2.1. Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.3. Capturas con el GB-SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.3.1. Captura de la pared del edificio C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.3.2. Cámara anecoica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.3.3. Pasarela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.4. Captura con el dron S1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Índice general
iii
6. Conclusiones y futuras líneas de trabajo
69
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
6.2. Futuras líneas de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
A. Demostración de Sb(t)
71
B. Demostración de Sb(f )
75
Bibliografia
79
Índice de figuras
2.1. Estructura del GB-SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2. Diagrama de bloques del radar FM-CW del laboratorio, extraído de [1]. . . . . .
4
2.3. Propiedades de la señal “down-chirp”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4. Propiedades de la señal “up-chirp” retardada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5. Mezclador en que se calcula la Sb (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.6. Señal emitida, recibida y su mezcla, la Sb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7. Respuesta frecuencial para un único blanco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8. Respuesta de la señal de batido con un blanco en movimiento. . . . . . . . . . . .
11
2.9. Resoluciones de la señal en el sistema radar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.10. Concepto de SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.11. Geometría del sistema GB-SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.12. Resolución GB-SAR limitada por el haz de antena. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.13. Resolución GB-SAR limitada por la longitud de la trayectoria del radar. . . . . .
16
3.1. Proceso de captura de la información SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2. Diagrama de bloques de los algoritmos RDA, CSA y WKA. . . . . . . . . . . . .
19
3.3. Funcionalidad del procesador SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.4. Forma de la matriz SAR antes de procesar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.5. Elemento que permite obtener la réplica de la señal emitida en el radar FM-CW.
21
3.6. Matriz comprimida en distancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
v
vi
Índice de figuras
3.7. Corte de la matriz comprimida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.8. Matriz comprimida en distancia para múltiples blancos en el centro acimutal. . .
22
3.9. Puntos que influyen en píxeles sin el blanco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.10. Fenómeno de acoplamiento entre distancia e acimut. Figura extraída de [2]. . . .
25
3.11. Corte de la matriz con un blanco a una distancia mayor a la crítica del sistema. .
26
3.12. Corte de la matriz con un blanco a una distancia menor a la crítica del sistema. .
27
3.13. Pasos del algoritmo Back-Projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.14. Vector antes de aplicar una interpolación al vecino más cercano. . . . . . . . . . .
29
3.15. Vector interpolado con el vecino más cercano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.16. Vector interpolado linealmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.17. Representación de la parte real e imaginaria de la señal. . . . . . . . . . . . . . .
30
3.18. Comparación entre la señal original y las interpoladas. . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.19. Error introducido por la interpolación al vecino más cercano. . . . . . . . . . . .
31
3.20. Error introducido por la interpolación lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.21. Comparación de calidad entre interpoladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.22. Comparación de calidad entre interpoladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.23. Comparación de calidad entre interpoladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.1. Diagrama de radiación de la antena simulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.2. Esquema de la escena que se quiere capturar con los parámetros de entrada de la
función representados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3. Simulación para un blanco situado en el punto de referencia (R0 ,0). . . . . . . . .
41
4.4. Compresión de la señal simulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.5. Cálculo de la distancia de transmisión matricialmente. . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.6. Blanco en el punto de referencia procesado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.7. Medidas de mejora de la señal sobre la respuesta impulsional. . . . . . . . . . . .
47
4.8. Filtros usados en el proyecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Índice de figuras
vii
4.9. Blancos individuales con RCS 1 + 0i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.10. Nueve blancos distribuidos detectados con el módulo y fase de origen. . . . . . .
50
4.11. Blanco con RCS 1 + πi en el centro de la escena. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.12. Estructura del archivo binario proporcionado por el radar. . . . . . . . . . . . . .
51
4.13. Nueva configuración del punto de referencia del radar. . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.1. Reconstrucción para blancos distanciados 10 cm entre ellos. . . . . . . . . . . . .
56
5.2. Reconstrucciones para blancos distanciados 15 cm entre ellos. . . . . . . . . . . .
56
5.3. Reconstrucciones para blancos distanciados 20 cm entre ellos. . . . . . . . . . . .
56
5.4. Reconstrucciones para blancos distanciados 1 cm entre ellos. . . . . . . . . . . . .
57
5.5. Reconstrucciones para blancos distanciados 1,2 cm entre ellos. . . . . . . . . . . .
57
5.6. Reconstrucciones para blancos distanciados 1,6 cm entre ellos. . . . . . . . . . . .
58
5.7. Reconstrucciones para un blanco centrado con ruido. . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5.8. Reconstrucciones para blancos distanciados 10 cm entre ellos en distancia. . . . .
59
5.9. Reconstrucciones para blancos distanciados 1 cm entre ellos en acimut. . . . . . .
59
5.10. Reconstrucciones para blancos distanciados 20 cm entre ellos. . . . . . . . . . . .
60
5.11. Reconstrucciones para blancos distanciados 1.6 cm entre ellos en acimut. . . . . .
60
5.12. Pared capturada con el GB-SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.13. Resultado y distancia de la captura realizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.14. Distancia entre la ventana y el límite del muro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.15. Cámara anecoica grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5.16. Medida en la cámara anecoica grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.17. Cámara anecoica pequeña. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
5.18. Captura en la cámara anecoica pequeña. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.19. Escena capturada con el GB-SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
5.20. Medidas de la pasarela.
65
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
Índice de figuras
5.21. Pasarela medida mediante el GB-SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5.22. Zona de Ripollet capturada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.23. Histograma antes y después de su sesgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.24. Captura lineal de Ripollet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.25. Captura logarítmica de Ripollet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.26. Superposición de la imagen real de Ripollet y la procesada. . . . . . . . . . . . .
68
Índice de cuadros
3.1. Comparación computacional entre interpoladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.2. Comparación computacional entre interpoladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.3. Comparación computacional entre interpoladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.1. Especificaciones de la bocina cónica del radar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.2. Parámetros de ejecución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3. Características de los filtros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.4. Resultados de las medidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.1. Parámetros de ejecución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
ix
Resum
El radar d’obertura sintètica (SAR) en plataformes com satèl·lits, avions, drons o rails ofereixen la oportunitat d’estudiar les deformacions i canvis que succeeixen a la Terra a través
del processat de la senyal rebuda pel sistema. El processat de la senyal es realitza mitjançant
algorismes dissenyats per el tipus de informació capturada.
En concret, en aquest Projecte Final de Carrera s’analitza l’algorisme Back-Propagation en
profunditat per poder realitzar una bona implementació i obtenir imatges d’alta resolució de
les captures realitzades, principalment, amb el sistema GB-SAR del laboratori. Per visualitzar
el resultat obtenim imatges de les escenes observades, permetent visualitzar l’amplitud i la fase
dels blancs capturats.
L’alta resolució de les imatges resultants permet utilitzar la informació extreta per aplicacions
com la interferometria en que es necessita una alta resolució ja que consisteix en comparar les
fases entre diferents captures de la mateixa escena, de manera que es poden conèixer lliscaments
o moviments del terreny de petites dimensions i permet predir situacions de risc.
xi
Resumen
El radar de apertura sintética (SAR) en plataformas como satélites, aviones, drones o raíles
ofrecen la oportunidad de estudiar deformaciones y cambios que suceden en la Tierra a través del
procesado de la señal recibida por el sistema. El procesado de señal se realiza mediante algoritmos
diseñados para el tipo de información capturada.
En concreto, este Proyecto Final de Carrera analiza el algoritmo Back-Propagation en profundidad para poder realizar una buena implementación y obtener imágenes de alta resolución a
partir de las capturas realizadas, principalmente, con el sistema GB-SAR del laboratorio. Para
visualizar el resultado se obtienen imágenes de las escenas observadas, permitiendo visualizar la
amplitud y la fase de los blancos.
La alta resolución de las imágenes resultantes permite utilizar la información extraída para
aplicaciones como la interferometría la cual requiere una alta resolución ya que consiste en comparar las fases entre diferentes capturas de la misma escena, de manera que se pueden conocer
deslizamientos o movimientos del terreno de pequeñas dimensiones y permite predecir situaciones
de riesgo.
xiii
Abstract
Satellite, aircraft, drone or rail based on synthetic aperture radars (SAR) offer the opportunity
to study landslides and changes occurred to the Earth through the processing of the signal
received by the system. The signal processing is performed by algorithms designed for the type
of information captured.
In particular, in this thesis, the algorithm Back-Propagation is deeply analyzed to perform
a good implementation and obtain high resolution images from GB-SAR laboratory system. We
generate the images in order to display the results, allowing to visualize the amplitude and phase
of targets.
The high resolution results allows to apply the information extracted for interferometry applications where high resolution is needed to compare the phases between different shots of the
same scene. Therefore someone can know landslides or small ground movements and predict
situations such as a falling building.
xv
Capítulo 1
Introducción
Antecedentes
La Agencia Espacial Europea [3] define teledetección como el conjunto de técnicas de observación de objetos y superficies, basada en la medición de radiación electromagnética de éstos a
distancia, sin necesidad de contacto físico con él. La interacción electromagnética entre el terreno
y el sensor, ya sea un avión o un satélite, genera una serie de datos que son procesados posteriormente para obtener información interpretable de la superficie, como el color o la forma del
objeto.
La información electromagnética puede ser la reflexión de una radiación incidente, si se trata
de sensores activos, o una emisión de la misma superficie de la cual se captura información, si
se trata de sensores pasivos. Así pues, en nuestro campo, la teledetección consiste en extraer las
respuestas de las superficies mediante la señal modulada en recepción y obtener información a
partir de ésta. Además de distinguirse según el tipo de sensor empleado [4], también se puede
clasificar en función de la zona del espectro frecuencial en la que trabaja.
En concreto, este trabajo se ha centrado en los radares, los cuales son sistemas activos que,
como se verá más adelante, iluminan la superficie terrestre con ondas electromagnéticas y miden
la señal reflejada. Para este tipo de tecnologías es muy importante la resolución, ya que permitirá
la distinción entre dos objetos muy cercanos. Como explica Merril Skolnik en [5], la resolución
angular o lateral de radar depende del ancho de haz de la antena. Con antenas de dimensiones
realizables, la resolución transversal o lateral resultante es del orden de unos kilómetros. Para
superar esta limitación se usan radares de apertura sintética [6], conocidos como SAR por sus
siglas en inglés, los cuales permiten la obtención de imágenes de alta resolución, del orden de
metros.
Las técnicas para adquirir imágenes de alta resolución [2,7,8] cada día están más extendidas y
se pueden usar con distintos fines, por ejemplo la cartografía u obtener imágenes interferométricas
con alta precisión, capaces de medir pequeños desplazamientos y deformaciones en la escena,
permitiendo prever algunas catástrofes naturales como por ejemplo el hundimiento de terrenos.
Este trabajo consiste en desarrollar un algoritmo que permita obtener imágenes de alta precisión para el radar desarrollado recientemente en anteriores proyectos finales de carrera [1,9] en el
1
2
1. Introducción
laboratorio de teledetección1 , el cual opera en la modalidad GB-SAR2 . Se desarrollará con detalle
el algoritmo Back-Projection, el cual proporciona mejores resultados en cuanto a resolución que
otros algoritmos, pero requiere más tiempo de computación por su alto coste de operaciones.
El objetivo del proyecto consiste en desarrollar y validar un algoritmo de formación de imágenes SAR de alta precisión adaptados a los requerimientos del GB-SAR de manera que permita
conocer con exactitud el blanco que se captura, es decir, la imagen final debe reproducir blancos
del mismo módulo y fase que los capturados, sin que influyan las ganancias del sistema, las pérdidas de señal ni la reflectividad compleja radar de cada punto de la escena sin influir la ganancia
del sistema emisor o receptor u otros factores externos.
Estructura del documento
En el primer capítulo se explicará la configuración de los GB-SAR del laboratorio, desarrollando el concepto de radar y SAR asociados al sistema y, sobretodo, se explicará la señal emitida
así como la resolución que obtenemos con éstos. En el mismo capítulo, se explicará el concepto
de apertura sintética. Finalmente, conocidos los elementos anteriores, se incidirá en la geometría
y la resolución GB-SAR.
En el capítulo siguiente se explicará brevemente los algoritmos usados típicamente en aplicaciones SAR y, en concreto, se estudiará el algoritmo Back-Projection con el que se trabaja a lo
largo del proyecto.
Una vez explicada y detallada la parte teórica del proyecto, se procede a programar el algoritmo propuesto. En el tercer capítulo se detallan las particularidades de los ficheros de programación creados mediante Matlab 3 remarcando los parámetros de entrada, los cálculos que realiza
y las singularidades que presenten. En el mismo capítulo se detallarán las mejoras que se han
implementado a las imágenes, ya sea mediante filtros o con la compensación de parámetros, así
como se aplicará la calibración del algoritmo. Mediante ejemplos básicos se validarán los pasos
realizados.
Para finalizar el proyecto, se presentarán los resultados obtenidos en simulación, tanto en
casos ideales como en casos afectados por el ruido, además de introducir resultados reales de las
capturas realizadas con el GB-SAR, desarrolladas en un proyecto final de carrera paralelo a la
realización del presente.
Finalmente se presentarán las conclusiones y los posibles trabajos del futuro en este campo.
1
RSLab [10] es un laboratorio formado por tres departamentos. El proyecto se desarrolla en el departamento
de electrónica electromagnética y fotónica, EEF, perteneciente al grupo de teoría de la señal y las comunicaciones,
TSC [11].
2
Ground Based Synthetic Aperture Radar.
3
Matlab: herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un
lenguaje de programación propio.
Capítulo 2
Fundamentos de Radar y SAR
Como se menciona en la introducción, en el laboratorio se dispone de un GB-SAR, siglas de su
nombre en inglés Ground-Based Synthetic Aperture Radar, y este trabajo se centra en desarrollar
un algoritmo de precisión para este dispositivo. El GB-SAR está constituido por tres elementos
visibles en la figura 2.1. El primer elemento es el radar1 , el cual permite la emisión y recepción
de la señal. El segundo elemento es la plataforma sobre la cual se instala el radar anterior y
permite el movimiento lineal rectilíneo, formando así el radar de apertura sintética. Finalmente,
el tercer elemento es el procesador SAR en el cual se trata la información capturada por el radar
desplazado por la plataforma obteniendo de esta forma la imagen de la escena observada.
Figura 2.1: Estructura del GB-SAR.
2.1.
Radar
Dependiendo de la forma de onda transmitida los radares pueden clasificarse en pulsados y de
onda continua [5,12,13]. En este aspecto, el radar del laboratorio opera con la modalidad FM-CW
2 [5,13–15]. Como el nombre indica, es un radar que emite y recibe señal modulada en frecuencia
constantemente, sin interrupciones. La emisión continua de señal permite el conocimiento de
la velocidad de los blancos y la modulación de ésta permite conocer la distancia a la que se
encuentran los blancos en la escena, lo que constituye su gran ventaja [16]. Además, tiene la
1
Radar es un acrónimo del inglés “RAdio Detection And Raging”, es decir, detección y medición de distancia
por radiofrecuencia.
2
Significa Frequency Modulated Continuous Wave, es decir, radar de onda continua modulada en frecuencia.
3
4
2. Fundamentos de Radar y SAR
capacidad de detectar blancos cercanos al radar, lo que constituye su segunda gran ventaja. El
estudio de la señal se realiza en el subapartado 2.1.2.
Figura 2.2: Diagrama de bloques del radar FM-CW del laboratorio, extraído de [1].
En el diagrama de bloques de la figura 2.2 se observa la estructura del radar FM-CW. Su
diseño consiste en cuatro bloques distintos:
Generador de señal: se crea la señal modulada en frecuencia gracias al generador síncrono,
el DDS 3 , el PLL 4 y el mezclador. A la salida de este bloque se obtiene una señal modulada
linealmente en frecuencia o “chirp” con una frecuencia central de 1305 M Hz y un ancho
de banda de 21 M Hz.
Transmisor: acondiciona la señal obtenida del generador para su emisión. Para ello incluye
dos filtros para evitar los espurios y una cadena de dos multiplicadores de frecuencia,
además de sus amplificadores respectivos para compensar la pérdida de amplitud. A la
salida de la cadena, la señal tiene una frecuencia central de 93, 96 GHz, según la IEEE [17],
en la banda W. De la misma manera, el ancho de banda aumenta hasta 1, 512 GHz.
Finalmente, la última etapa antes de la antena de emisión es el acoplador direccional, el
cual divide la señal para poder obtener la réplica de la señal enviada en recepción.
Receptor: amplifica la señal recibida por la antena mediante un amplificador de bajo ruido,
Low Noise Amplifier o LNA. Además amplifica la señal obtenida del acoplador direccional
del transmisor para que ambas tengan la magnitud pertinente en el mezclador. El mezclador
obtiene la señal de batido, operación que se estudia en 2.1.2. Antes del mezclador hay un
aislador para evitar interferencias debidas a las no linealidades de éste hacia la antena.
Banda base: digitaliza y almacena la señal para su posterior procesado mediante el procesador SAR. Anteriormente a la digitalización mediante el conversor analógico digital, A/D,
la señal se filtra y amplifica para reducir el ruido y evitar aliasing.
Para obtener un elevado aislamiento entre las etapas emisora y receptora, el radar utiliza
3
Direct Digital Synthesizer es un sintetizador de frecuencia para la creación de formas de onda diversas con
un reloj de referencia fijo.
4
Phase-Locked Loop es un sistema de control cuya frecuencia y fase de salida son proporcionales a las de
entrada.
2.1. Radar
5
ods antenas separadas en configuración biestática5 , es decir, una antena para transmisión y otra
antena para recepción, siendo el cálculo de la distancia entre antena y blanco distinto para cada
antena. Las antenas del dispositivo están distanciadas entre ellas 10, 2 cm.
R = Rtx + Rrx
(2.1)
A lo largo del proyecto cuando se hable de R, si no se especifica lo contrario, ésta se considerará
la suma de ambos caminos.
2.1.1.
Señal emitida y recibida
La relación señal a ruido del radar, SN R0 , viene dada por la ecuación 2.2. Este ratio define
el cociente entre la potencia de la señal y la potencia del ruido. Cuanto mayor sea la relación
más fácil será detectar los distintos blancos en la escena.
Para el caso biéstatico, [5, 12, 15]:
SN R0 =
Pt Gtx Grx λ2 στ0
(4π)3 Rt2 Rr2 LF KT0
(2.2)
Donde Pt es la potencia de transmisión, Gtx y Grx son las ganancias de las antenas de
transmisión y recepción respectivamente, λ la longitud de onda de la frecuencia del radar, σ la
sección secta radar del objeto, L las pérdidas en el sistema, F el factor de ruido, K la constante de
Boltzmann, T0 la temperatura del sistema (aproximadamente 290 K), τ0 la duración del barrido
y Rt y Rr las distancias recorridas desde las antenas transmisora y receptora.
Mientras que la energía y la relación señal a ruido, SNR, aumentan con la duración del barrido
frecuencial, la resolución en distancia mejora con la disminución de ésta o con el aumento del
ancho de banda. Para resolver el compromiso obteniendo una resolución en distancia más fina sin
disminuir la energía ni la relación señal a ruido se usa la técnica de compresión de pulso la cual
consiste en modular la señal emitida, de manera que resulta un barrido de la misma duración
pero con mayor ancho de banda.
Compresión de pulso
Esta técnica consiste en usar una señal en que la frecuencia varia de manera dependiente con
el tiempo, así permite aumentar el ancho de banda sin modificar la duración del pulso. La señal
más típica es la denominada “chirp” lineal, la cual varía su frecuencia instantánea linealmente
con el tiempo. La dependencia entre ambas variables se determina por el índice de modulación
lineal, Kc. Su signo determina si la pendiente es positiva o negativa, de manera que determina
si el radar trabaja con una “up-chirp” o una “down-chirp”.
f = kc t
(2.3)
5
La estructura de antenas del radar del laboratorio puede considerarse casi monoestática ya que la distancia
entre ellas es tan pequeña que el cálculo de las distancias de cada antena con el blanco es prácticamente igual
numéricamente.
6
2. Fundamentos de Radar y SAR
f(t) = f0 + kc t
kc = ±
ff inal − finicial
Hz
B
= ± = 8, 3057 × 1012
tf inal
τ0
s
(2.4)
(2.5)
La señal “chirp” transmitida por el radar puede expresarse con la moduladora, ecuación 2.6,
o en banda base, ecuación 2.7, resultando en una expresión compleja. Se puede consultar un
análisis detallado de la señal “chirp” en el libro de Ian Cumming [2].
t
jπkc t2 jω0 t
e
e
s(t) = < rect
τ0
t
2
s̃(t) = rect
ejπkc t
τ0
(2.6)
(2.7)
Con Matlab se ha dibujado la “down-chirp” para así poder conocer su forma.
(a) Parte < e = de “down-chirp”.
(b) Módulo y fase de la señal “down-chirp”.
(c) Pendiente de la señal “down-chirp”.
Figura 2.3: Propiedades de la señal “down-chirp”.
La notación de 2.6 y de 2.7 presentan un pulso rectangular aunque el GB-SAR trabaja en
onda continua. El motivo radica en el uso de la modulación triangular de la frecuencia, es decir,
cada τ0 cambia el signo de la pendiente de la “chirp”. Por este motivo, se acota la señal “chirp”
con el pulso rectangular. Destacar que sólo se aprovecha la rampa positiva ya que la negativa
añade información redundante y las tarjetas de memoria tienen un límite de almacenamiento.
Además, el GB-SAR se usa para aplicaciones de interferometría en que el uso de las dos rampas
podría introducir cambios significativos en la fase.
La onda viaja y se refleja sobre distintos obstáculos de manera que en el receptor se puede
captar esta señal atenuada y retrasada. El retraso que va a sufrir la señal, tr , es la distancia
recorrida en global entre la velocidad de la luz.
2.1. Radar
7
tr =
R
2Rab
Rt + Rr
=
=
c
c
c
(2.8)
Añadiendo el retraso dado por la ecuación 2.8 en las ecuaciones 2.6 y 2.7, la señal recibida
se formula:
t − tr
2
ejπkc (t−tr ) ejω0 (t−tr )
τ0
t − tr
2
s˜r (t) = rect
ejπkc (t−tr )
τ0
sr (t) = rect
(2.9)
(2.10)
En consecuencia, se puede calcular el factor de compresión de pulso, ρ, [2, 5, 12, 15].
ρ = τ0 B ≈ 550, 5 103
(2.11)
Ahora se simula una “up-chirp” respuesta de un blanco a 5 metros de la antena monoestática.
Por lo tanto, la distancia recorrida por la señal son 10 m, obteniendo un retraso de 33,3 ns.
(a) Módulo y fase de la señal “up-chirp”.
(b) Pendiente de la señal “up-chirp”.
Figura 2.4: Propiedades de la señal “up-chirp” retardada.
2.1.2.
Señal de batido
Al recibir un eco, el sistema amplifica, mezcla y filtra la señal original en el mezclador del
radar con la recibida, de manera que a la salida de éste se obtiene una señal Sb , la cual representa
una diferencia frecuencial entre ambas frecuencias. Esto se conoce como la técnica de deramping
o, dicho de otra manera, consiste en aplicar el primer paso del filtro adaptado.
Figura 2.5: Mezclador en que se calcula la Sb (t).
8
2. Fundamentos de Radar y SAR
El filtro adaptado es aquel que maximiza la relación señal a ruido, SNR, ya que se adapta
a la señal. En el procesado de información SAR, el filtro adaptado aplicado es la señal emitida
conjugada, de manera que el módulo de ambas señales es igual pero la fase es la contraria a la
de la señal emitida.
Por lo tanto, el filtro adaptado, partiendo de la ecuación 2.6, se puede expresar como:
h(t) =
s∗e (t)
= rect
t
τ0
2
e−jπkc t e−jω0 t
(2.12)
La formulación de la señal Sb parte de las señales 2.12 y 2.9, considerando además una fase
cualquiera φ+ en la señal.
Sb (t) = sr (t) × s∗ (t)
t
t − tr
2
2
rect
ejω0 (t−tr ) ejπKc (t−tr ) ejφ+ e−jω0 t e−jπKc t e−jφ+
= At Ar rect
τ0
τ0
(2.13)
Si se desarrollan y agrupan los términos de las exponenciales:
Sb (t) = sr (t) × s∗ (t)
t − tr
t
2
2
2
= At Ar rect
rect
ejω0 (t−tr −t) ejπKc (t −2ttr +tr −t ) ej(φ+ −φ+ )
τ0
τ0
t − tr
t
2
= At Ar rect
rect
e−jω0 tr ejπKc (tr −2ttr )
τ0
τ0
(2.14)
Finalmente, si se desarrolla la combinación de las ventanas de observación, se obtiene:
Sb (t) = sr (t) × s∗ (t) = At Ar rect
t − t2r
τ0 − tr
!
2
e−jω0 tr e−j2πkc ttr ejπkc tr
(2.15)
Las constantes At y Ar corresponden a las atenuaciones o amplificaciones sufridas por la
señal durante el proceso. El pulso rectangular resultante es de menor amplitud puesto que es la
combinación de dos pulsos rectangulares. Es importante ver que si no se solapan entre ellos, no
se detectará. Los términos de las exponenciales son los de mayor interés de la ecuación.
1. La diferencia frecuencial radica en el término e−j2πkc ttr correspondiente a la frecuencia o
tono de batido fb = Kc × tr .
2. El término e−jω0 tr corresponde a la fase lineal generada por el retraso del eco proporcional
a la distancia recorrida.
e−jω0 tr = e−j2K0 R
(2.16)
2.1. Radar
9
2
3. El término ejπkc tr corresponde a un desajuste de fase conocido como residual video phase.
Típicamente se desprecia este término ya que es muy inferior a la fase del eco.
πkc t2r ω0 tr
πkc tr ω0
(2.17)
Si se desarrollan los valores de ω0 y de kc para el GB-SAR,
ω0 = 2πf0 = 2π93, 96GHz = 590, 4 GHz
(2.18)
Hz
B
= 8, 305 × 1012
τ0
s
(2.19)
590, 4 × 109
ω0
=
= 22, 63 ms
πkc
π8, 305 × 1012
(2.20)
kc =
Sustituyendo los valores,
tr En este punto se puede ver que el retraso tr es mucho mayor que el período de recepción de
señal τ0 . Además, un retraso de estas características supone una distancia de ≈ 3394 km,
muy fuera de rango. En la ecuación 2.24, se demuestra que la distancia máxima que puede
sufrir la señal para cada posición de acimut es de 203, 17 m, es decir, el retraso máximo que
puede sufrir la señal es de 67, 723 µs, efectivamente, mucho menor que el valor obtenido.
Por este motivo se considera que el término de residual video phase se puede despreciar sin
afectar a la calidad de la imagen final.
La forma de la señal Sb (t), [15]:
Figura 2.6: Señal emitida, recibida y su mezcla, la Sb .
Donde Tchirp es el tiempo entre “chirps” con la misma pendiente, τ0 la duración de la rampa
“chirp”, es decir, Tchirp /2, y fb es la frecuencia de batido, la cual permite la extracción de la
distancia del blanco.
fb = fe − fr = kc tr =
B Rt + Rr
B 2R
≈
τ0
c
τ0 c
(2.21)
10
2. Fundamentos de Radar y SAR
La información más importante de la señal reside en su frecuencia de batido. Gracias a
la transformada de Fourier se puede pasar la señal al dominio frecuencial, obteniendo una sinc
centrada en la frecuencia de batido. Así pues, pasar la señal al dominio frecuencial supone extraer
la información más cómodamente. Al aplicar la transformada de Fourier, se obtiene la expresión
siguiente, demostrada en el apéndice B.
2
Sb (f ) = F (Sb (t)) = At Ar ejπkc tr e−jω0 tr (τ0 − 2tr ) sinc ((f − kc tr ) (τ0 − 2tr ))
(2.22)
Figura 2.7: Respuesta frecuencial para un único blanco.
La frecuencia de pico de la sinc obtenida en la figura 2.7 corresponde a la frecuencia de
batido. Con la correcta conversión, se puede obtener la distancia a la que se encuentra el blanco.
R=
cτ0
fb
2B
(2.23)
Dada la ecuación anterior, es posible conocer la distancia máxima a la que se puede detectar
un blanco, es decir, el retraso máximo que puede sufrir la señal. Para la configuración del GBSAR, la duración de la señal τ0 es de 364, 08 µs, la fb máxima corresponde a la mitad de la
frecuencia de muestreo debido a limitaciones del conversor analógico digital y el B son 1, 512GHz.
Rmax =
cτ0 fb
= 203, 17 m
2B
(2.24)
Al inicio del apartado, se ha comentado que este tipo de radares permiten el conocimiento de
la distancia y de la velocidad de los blancos. Se puede conocer la velocidad de los blancos gracias
al efecto Doppler puesto que el movimiento de un blanco genera una variación de la longitud de
onda de la señal, la cual afecta al esquema 2.6 con un desplazamiento vertical de la frecuencia
de batido correspondiente a la frecuencia Doppler.
Para un blanco acercándose al radar, la frecuencia aparente percibida será mayor por lo que
aparecerá un desplazamiento vertical positivo de la señal, como se muestra en la figura 2.8. Para
2.1. Radar
11
el caso contrario, cuando el blanco que genera la respuesta se aleja de la fuente, se percibe una
frecuencia aparente menor, causando un desplazamiento vertical negativo en la Sb(t).
Figura 2.8: Respuesta de la señal de batido con un blanco en movimiento.
Esta variación provoca que la frecuencia de batido conste de dos niveles, f1 y f2 . Para calcular
la distancia se usa la frecuencia de batido media entre los dos niveles, mientras que para calcular
la frecuencia Doppler para el cálculo de la velocidad se usa la diferencia entre ellas.
f2 + f1
2
(2.25)
f2 − f1
2vr
=±
2
λ
(2.26)
fd = ±
fd = ±
Donde vr es la velocidad radial del blanco. La velocidad real del blanco depende de la escena
capturada, siendo el ángulo entre la dirección de la señal reflejada y la dirección del vuelo del
blanco la relación para calcular la velocidad real.
2.1.3.
Resolución radar
La resolución se plantea como la capacidad de distinguir o discriminar entre dos blancos
cercanos, es decir, si los blancos se separan por una distancia menor a la resolución del sistema
no podrán distinguirse en la imagen final.
Típicamente, en radar se puede distinguir entre dos tipos de resolución.
Resolución de la señal Típicamente la resolución es inversamente proporcional al ancho de
banda de la señal B. La resolución se puede medir sobre el rayo directo ∆R o sobre su
proyección sobre el terreno ∆Rg .
12
2. Fundamentos de Radar y SAR
Figura 2.9: Resoluciones de la señal en el sistema radar.
∆R =
∆Rg =
c
2B
(2.27)
∆R
sinΦ
(2.28)
Al emplear la compresión de pulso, la resolución de señal no plantea un problema para el
sistema, ya que al emplear un ancho de banda elevado, la resolución es de aproximadamente
10 cm.
Resolución lateral o tangencial La resolución depende del ancho de haz del diagrama de las
antenas, es decir, depende indirectamente del tamaño de las antenas.
θ≈
λ
l
∆x = R0 θ ' R0
(2.29)
λ
l
(2.30)
Donde λ es la longitud de onda dada por la frecuencia de trabajo, l es la dimensión de la
antena y R0 es la distancia directa entre el sensor y el blanco.
A partir de las ecuaciones anteriores se observa que para obtener una buena resolución se
necesita una antena grande. Las dimensiones varían en función del sistema, pero es fácil
observar que si se tratase de un satélite o de un avión, se requerirían antenas incluso del
orden de quilómetros.
2.2.
Radar de apertura sintética
El radar de apertura sintética permite resolver la limitación en la resolución tangencial del
radar vista en el apartado anterior, ya que se forma una apertura mayor mediante algoritmos
de procesado de los ecos a partir del movimiento de antenas pequeñas, como puede verse en la
imagen 2.10. De esta manera, se consigue obtener resoluciones laterales muy elevadas, puesto que
el sistema tiene una nueva dimensión paralela al terreno capturado, Ls , en lugar de la dimensión
real de la antena l.
2.3. Ground Based - SAR
13
Figura 2.10: Concepto de SAR.
Típicamente los SAR se usan en satélites, aviones o drones. En el laboratorio se monta el
radar sobre un rail, definiendo una trayectoria rectilínea más estable que en los casos anteriores
ya que no introduce errores por variaciones de posición como desviaciones en la orientación o en
la trayectoria.
Así pues, el GB-SAR es un radar de apertura sintética usado en aplicaciones de alcance
cercano, comúnmente para medir deslizamientos de tierra o de edificios. Por ello es un dispositivo ‘portable’ con un tiempo de ejecución relativamente corto que permite la repetición de las
capturas de manera simple6 y con una gran estabilidad.
2.2.1.
Resolución SAR
Si se plantean de nuevo las ecuaciones de resolución cambiando las dimensiones de la antena,
como se indica en [5].
θ=
λ
2Ls
∆x = θR =
(2.31)
λR
2Ls
(2.32)
De manera que, como se puede ver en la ecuación 2.32, al aumentar la dimensión de la
apertura sintética se obtiene una mejora en la resolución tangencial de la imagen obtenida, sin
modificar la dimensión l real de la antena.
2.3.
Ground Based - SAR
Ya se han mencionado muchas de las características del dispositivo GB-SAR. En esta sección
se comentará la geometría del sistema y la resolución obtenida con él.
6
No depende de una órbita, para satélites, ni de un vuelo.
14
2.3.1.
2. Fundamentos de Radar y SAR
Geometría GB-SAR
En este subapartado se especificarán los parámetros que influyen en el sistema GB-SAR para
una mejor comprensión durante el texto de los elementos, así como poder mencionar fácilmente los
términos. La figura 2.11 representa la geometría de observación, con el escenario, el movimiento
de la plataforma radar así como los diferentes conceptos y parámetros involucrados que se definen
a continuación.
Figura 2.11: Geometría del sistema GB-SAR.
Blanco o target: punto que se quiere detectar. Por simplicidad se usa el punto del blanco para
los cálculos, pero en realidad se captura información de todo el entorno.
Acimut o cross-range: es una de las dimensiones principales para el sistema SAR, la cual corresponde a la dirección alineada con el vector velocidad de la plataforma.
Nadir: punto de la superficie de la Tierra situada directamente debajo del sensor SAR. El
recorrido de este punto encima de la Tierra con el movimiento del sensor o plataforma
define la trayectoria del radar.
Distancia: cuando se habla de este concepto existe una pequeña ambigüedad. En la imagen 2.9
se ha introducido la diferencia entre ambos conceptos:
Distancia inclinada o Slant Range, R0: distancia directa entre el sensor y el blanco.
Distancia tierra o Ground Range: distancia sobre el terreno proyectada en la dirección de
observación.
Franja o swath: como indica su traducción directa es la franja que es capaz de ver el SAR en la
dirección perpendicular al vuelo. Es el ancho de la imagen en la dirección de distancias en
tierra, normalmente determinada por las especificaciones del sistema.
Ancho de haz o beamwidth: es el ancho del diagrama de radiación de la antena. En las aplicaciones SAR son consideraros el ancho de haz en elevación y en acimut.
Zona iluminada o beam footprint: es la proyección del diagrama de antena sobre la Tierra para
un pulso electromagnético concreto. La posición y la forma vienen determinadas por el haz
de la antena y la geometría de la Tierra.
Ángulo de visión Ψ: es el ángulo en elevación que se relaciona directamente con el swath,
estableciendo los valores extremos de los ángulos de visión y, por lo tanto, las desviaciones
del máximo de radiación de la antena.
Ángulo de elevación Φ: es aquel localizado entre el slant range y el nadir.
2.3. Ground Based - SAR
2.3.2.
15
Resolución GB-SAR
El GB-SAR presenta dos escenarios diferentes para el cálculo de la resolución lateral, en
función de si el blanco se dispone antes o después de la distancia crítica, Rc , la cual viene dada
por:
Rc × θ = Ls
(2.33)
λ
c
θ∼
= =
l
l f0
(2.34)
Limitación por el haz de antena
En este caso, el blanco se encuentra en un punto más cercano a la distancia crítica, Rc , por
lo que el haz de la antena es el factor limitante de la captura.
Figura 2.12: Resolución GB-SAR limitada por el haz de antena.
Por lo tanto, la distancia LSA marcará la resolución de la captura ∆x.
LSA = R × θ
(2.35)
λ
R
2LSA
(2.36)
∆x ∼
=
Sustituyendo 2.35 en la ecuación anterior, 2.36, se obtiene:
∆x ∼
=
λ
λ
λ
l
R=
R=
R≡
λ
2LSA
2Rθ
2
2R l
(2.37)
Es decir, para un blanco situado entre la antena y la distancia crítica, la resolución lateral
no depende de la distancia a la que se encuentra sino que únicamente depende del tamaño
de la antena radar l.
Limitación por la longitud de apertura sintética
Por contra, cuando el blanco capturado está más lejos que la distancia crítica, la limitación
viene dada por la longitud de la trayectoria lineal del radar.
16
2. Fundamentos de Radar y SAR
Figura 2.13: Resolución GB-SAR limitada por la longitud de la trayectoria del radar.
Ahora LSA = LS = LC . Si se sustituye en la ecuación 2.36:
∆x ∼
=
λ
λ
λ
R=
R=
R
2LSA
2LS
2LC
(2.38)
Es decir, la resolución una vez pasada la distancia crítica aumenta o empeora con la distancia.
Para el caso del laboratorio, la longitud de la antena es l = 1, 4 cm y la longitud de la trayectoria es LS = 0, 7 m. Si se considera el caso límite, ambas resoluciones adquieren el mismo valor,
de manera que se puede calcular el valor de la distancia crítica igualando ambas formulaciones.
l
λ
=
RC
2
2LS
(2.39)
Aislando la distancia crítica del GB-SAR es,
RC =
LS l
0, 7 0, 014
=
= 3, 0625 m
λ
0, 0032
(2.40)
Capítulo 3
Algoritmos de formación de imágenes
SAR
El sistema SAR digitaliza y registra el conjunto de ecos recibidos para cada barrido de
frecuencia emitido. La repetición regular de estos barridos genera una matriz de dos dimensiones
de datos SAR, la cual necesita ser procesada para poder interpretar la información que contiene
ya que, sin tratarla, no es entendible.
La captura de información se puede formular a partir del problema directo, en que un blanco
se considera la unión de diferentes puntos de dispersión o blancos puntuales. El viaje sufrido por
la señal emitida, genera un retraso en recepción, hecho que al procesar el eco proporcionará la
información de posición del blanco puntual.
Un punto dispersor, o blanco puntual, genera una señal ensanchada en la línea de medida
de la formación de imagen, afectada por los factores de atenuación y la fase generada por el
retraso, ambos dependientes de la distancia recorrida. En la imagen 3.1 se observa el proceso de
obtención de información sobre la escena a partir del problema directo.
Figura 3.1: Proceso de captura de la información SAR.
De esta manera, la señal capturada para una señal continua a frecuencia fija, f , se puede
expresar:
17
18
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
√
sr (u; r̄) =
3
2
σλ
(4π) Rt (u; r̄)Rr (u; r̄)
p
p
D (ϕT (u; r̄)) D (ϕR (u; r̄)) e−jK(Rt (u;r̄)+Rr (u;r̄))
(3.1)
Donde se considera σ de valor unitario y, por lo tanto, se puede obviar en la formulación, r̄
es la simplificación del punto de coordenadas en la escena (x, y) y K es la portadora del barrido,
definida como:
K=
2πf
c
(3.2)
Para obtener información entendible de la matriz capturada, se requiere implementar un
procesador SAR a partir de las características de la señal. Existen diferentes maneras de procesar
la imagen y, así, conocer la escena capturada. Brevemente, se hará una descripción de los más
usados históricamente. Se pueden consultar los algoritmos con más detalle en [18] o en [2],
capítulos seis, siete, ocho y once.
1. Algoritmo Range-Doppler o RDA: desarrollado entre 1976 y 1978, [2, 18, 19], es el
primer algoritmo para obtener imágenes SAR. Este algoritmo usa el filtro adaptado, implementado frecuencialmente, para focalizar tanto en distancia como en acimut, aprovechando
el histórico de fase en este segundo eje. El RCM 1 se soluciona con una interpolación en
range-Doppler, paso crítico ya que supone una pérdida en la corrección de la curva de
migración y un coste de recursos computacionales en tiempo y espacio. El diagrama de
bloques del algoritmo básico se observa en la figura 3.2a.
2. Algoritmo Chirp-Scaling o CSA: presentado en 1992, [20, 21]. Se crea para eliminar el
uso de la interpolación para la corrección de RCM. Para ello, ecualiza la curva de migración
en distancia mediante una multiplicación con una determinada fase en range-Doppler. El
detalle del diagrama de bloques se observa en 3.2b.
3. Algoritmo ω-k o ωKA: también conocido como algoritmo del número de onda, ω. Propuesto en 1991, [22], resuelve el problema de focalización mediante técnicas de migración
sísmica, usando operaciones en el dominio frecuencial, es decir con ω en distancia y con
kc en acimut. Al contrario que los dos anteriores es adecuado para procesar la información
tomada con grandes aperturas sintéticas o con elevados ángulos de squint, β. Como en los
casos anteriores, el diagrama de bloques se puede ver en 3.2c.
En las figuras inferiores, 3.2, y en la figura 3.13, se visualizan las operaciones indicadas con
diferentes colores según el dominio en el que se encuentran los ejes de la imagen. Se representa
en color azul aquellas operaciones realizadas con ambos ejes en el dominio temporal, en color
naranja las operaciones con ambos ejes en el dominio frecuencial y, en verde, las operaciones
aplicadas con la matriz en range-Doppler , es decir, aquellas operaciones que se realizan con
la matriz focalizada en distancia y transformada en acimut de manera que la compresión de la
segunda dimensión resulta más sencilla.
1
Range Cell Migration surge debido al cambio del slant-range instantáneo con el cambio del tiempo acimut.
Este describe una curva hiperbólica la cual define la trayectoria del blanco. Esta migración complica el procesado
SAR a la vez que es una de sus características esenciales.
3.1. Algoritmo Back-Projection
(a) Algoritmo Range-Doppler.
19
(b) Algoritmo Chirp Scaling.
(c) Algoritmo ω-k.
Figura 3.2: Diagrama de bloques de los algoritmos RDA, CSA y WKA.
3.1.
Algoritmo Back-Projection
El algoritmo de retroproyección, en inglés Back-Projection, también conocido como BackPropagation, consiste en invertir la relación entre un dispersor puntual y los campos que produciría, es decir, el algoritmo consiste en invertir el problema directo planteado en la figura 3.1, de
manera que se obtenga la reconstrucción de la escena capturada.
Figura 3.3: Funcionalidad del procesador SAR.
Partiendo de la expresión del problema directo, 3.1, el algoritmo lo invierte mediante la suma
coherente de los campos medidos, de manera que se deshacen los cambios de amplitud y fase
introducidos por la propagación, de aquí la denominación de Back-Propagation. Es decir, cada
posición de la escena es compensada por la amplitud y fase perdida en el problema directo, eso
es, por los diagramas de antena y los efectos de la distancia recorrida.
Por lo tanto, la imagen devuelta por el algoritmo Back-Propagation se puede expresar:
Z
3
(4π) 2 Rt (u; r̄)Rr (u; r̄)
p
ejK(Rt (u;r̄)+Rr (u;r̄)) du
ΨI (r̄) = sr (u, r̄) p
λ D (ϕT (u; r̄)) D (ϕR (u; r̄))
u
(3.3)
20
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
3.2.
Back-Projection con GB-SAR
El GB-SAR del laboratorio realiza un barrido frecuencial de la señal, ya que usa la señal
“chirp”. La matriz de información capturada para un blanco puntual en la escena genera la curva
RCM con la duración de la rampa emitida, τ0 .
(a) Módulo de la matriz SAR.
(b) Fase con “up-chirp”.
(c) Fase con “down-chirp”.
Figura 3.4: Forma de la matriz SAR antes de procesar.
El problema directo se expresa ahora:
sr (u, t; r̄) = p (t − tr )
λ
p
p
D (ϕT (u; r̄)) D (ϕR (u; r̄))
3
2
e−jK0 (Rt (u;r̄)+Rr (u;r̄))
(3.4)
(4π) Rt (u; r̄)Rr (u; r̄)
Siendo K0 el número de onda de la frecuencia central de la “chirp” y tr el retraso sufrido por
la señal emitida.
tr =
3.2.1.
Rt (u; r̄) + Rr (u; r̄)
c
(3.5)
Compresión en distancia
El sistema, mediante los componentes de circuitería, aplica el filtro adaptado, el cual es
un paso imprescindible para la obtención de la frecuencia de batido. En concreto, el radar del
laboratorio permite obtener la réplica de la señal emitida gracias al acoplador direccional, anterior
a la antena emisora.
3.2. Back-Projection con GB-SAR
21
Figura 3.5: Elemento que permite obtener la réplica de la señal emitida en el radar FM-CW.
El filtro adaptado se aplica a cada posición de antena capturada, u, así que cada señal almacenada consiste en la diferencia de frecuencias proporcional a la distancia del blanco, la frecuencia
de batido. Para un blanco puntual situado a una cierta distancia del radar, éste proporciona una
frecuencia de batido constante excepto en los cambios de pendiente de la modulación triangular,
conocido como cross-over. Por este motivo, aunque se transmite una señal continua, se procesan
T
únicamente los intervalos de frecuencia de batido estable cuya duración es aproximadante chirp
2 ,
un semiperiodo de la modulación. Es decir, se obtiene la mezcla de la figura 2.6.
La transformada de Fourier sobre la señal obtenida permite la compresión en distancias,
es decir, se focaliza la dimensión de manera que se obtiene una curva RCM más estrecha. La
compresión en distancia permite obtener una resolución de duración ∆τ , la cual es inversa al
ancho de banda de la señal.
∆τ =
1
1
=
= 66, 137 ns
B
1, 512 GHz
(3.6)
La matriz que se obtiene después de la compresión en distancias adquiere la forma:
Figura 3.6: Matriz comprimida en distancia.
El eje de distancia se puede expresar tanto en distancias como en tiempo a partir de la
relación dada en la ecuación 2.23. La compresión es útil para reducir el número de muestras a
procesar, permitiendo tener únicamente en cuenta la distancia entre el punto de la imagen y el
lugar donde se ha realizado la medida.
22
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
La imagen posterior, 3.7, corresponde a un corte de la matriz vista en la figure 3.6. Se observa
que la resolución es de 10, 09 − 9, 913 = 17, 7 cm. Por lo tanto, la resolución cumple la condición
comentada en 3.6, puesto que 66, 137 ns corresponden a 19, 8 cm. Al obtener un valor menor, se
puede afirmar que la señal cumple con la resolución teórica.
Figura 3.7: Corte de la matriz comprimida.
Hasta ahora se ha supuesto un único blanco puntual en la escena. Si se captura una escena
con múltiples blancos, se obtiene una parábola para cada blanco capturado. Las curvas pueden
solaparse entre ellas dependiendo de su situación en la escena. Para tres blancos estáticos alineados con la misma posición de antena y distanciados entre ellos en el eje de distancias, se obtiene
la matriz 3.8. El hecho de que tengan intensidades distintas únicamente se debe a la aplicación
de la atenuación que sufriría la señal durante su recorrido.
Figura 3.8: Matriz comprimida en distancia para múltiples blancos en el centro acimutal.
3.2.2.
Compresión en acimut
La compresión en acimut es el núcleo del algoritmo Back-Propagation. Se parte de la señal
representada en 3.6 o en 3.8, donde cada parábola es la información sobre un blanco puntual.
La información obtenida antes de la compresión en distancia tiene dos dimensiones, u y t, de
3.2. Back-Projection con GB-SAR
23
manera que al comprimir la información se genera una línea hiperbólica de una dimensión l(u, t).
Por lo tanto, se puede integrar la información de amplitud y fase compensada a lo largo de la
línea comprimida computando únicamente la distancia entre el píxel y la posición de la antena en
lugar de la respuesta ensanchada. Este hecho permite reducir el número de muestras a procesar
por el algoritmo.
De manera que ahora se obtiene que la imagen final es el resultado de:
3
Z
(4π) 2 Rt (u; r̄)Rr (u; r̄)
p
ΨI (r̄) = sr (l, r̄) p
e−jK0 (Rt (u;r̄)+Rr (u;r̄)) du
λ
D
(ϕ
(u;
r̄))
D
(ϕ
(u;
r̄))
u
T
R
(3.7)
La expresión obtenida es como la planteada por Mehrdad Soumekh en [23], con diferente
notación y añadiendo la compensación de las pérdidas. Si se entiende la integral como el área de
la curva RCM, se puede extender la notación para el caso discreto como un sumatorio. Así se
realiza en la referencia [24], en que para el punto ΨI (r̄) se obtiene:
ΨI (r̄) =
U
−1
X
u
3
(4π) 2 Rt (u; r̄)Rr (u; r̄)
p
e−jK0 (Rt (u;r̄)+Rr (u;r̄))
sr (l, r̄) p
λ D (ϕT (u; r̄)) D (ϕR (u; r̄))
(3.8)
Donde U es el total de posiciones de antena que recorre el radar. El algoritmo Back-Propagation
sigue la expresión obtenida para procesar la información, de manera que, para cada píxel de la
imagen final se tiene que recorrer todas las posiciones de antena y calcular, para cada una, la
distancia recorrida por la señal respeto al píxel, obtener el valor de la señal para esa distancia
mediante interpolación, aplicar las correcciones y añadirlo a la imagen final.
Por lo tanto, para un único píxel de la imagen final se suman todos los puntos de la curva
RCM que formaría un blanco puntual en él, aplicando las correcciones de atenuación y de fase
correspondientes a la distancia recorrida.
(a) Puntos sumados para un píxel en el blanco.
(b) Puntos sumados para un píxel cualquiera.
24
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
(c) Puntos sumados para otro píxel cualquiera.
Figura 3.9: Puntos que influyen en píxeles sin el blanco.
El cálculo de la distancia es sencillo a partir de la geometría de la captura.
s
Rt (u, r̄) =
2
dantenas
posant (u) +
− y(yi ) + x2 (xi )
2
(3.9)
s
Rr (u, r̄) =
2
dantenas
− y(yi ) + x2 (xi )
posant (u) −
2
(3.10)
Donde posant (u) es la posición de la plataforma y dantenas es la separación entre las antenas
emisora y receptora.
Para compensar los factores de atenuación sufridos durante la recepción, se requiere conocer la
directividad de las antenas para el ángulo de incidencia. El diagrama de antena es bidimensional
aunque se puede aproximar a una dimensión si se supone que la antena está bien apuntada
en elevación, es decir, si la antena apunta de manera directa al blanco a captar. El ángulo de
incidencia se puede calcular a partir de relaciones trigonométricas simples, gracias al conocimiento
de la distancia.
!
ϕtx (u, r̄) = tg −1
posant (u) + dantenas
− y(yi )
2
x(xi )
ϕrx (u, r̄) = tg−1
posant (u) − dantenas
− y(yi )
2
x(xi )
(3.11)
!
(3.12)
A partir del ángulo de incidencia se puede simular la aproximación del diagrama de antena,
D(ϕ), con previo conocimiento de su distribución. Finalmente, se puede calcular la compensación
de los factores de atenuación correspondientes a la distancia recorrida y las atenuaciones de
antena.
3
(4π) 2 Rt (u, r̄) Rr (u, r̄)
p
attenuation_compensation = p
λ DT (ϕtx (u, r̄)) DR (ϕrx (u, r̄))
(3.13)
La fórmula de la SN R vista en la ecuación 2.2, se plantea para la potencia de las señales. A
la práctica se trabaja con la amplitud de la señal, por lo que los factores de compensación de la
3.2. Back-Projection con GB-SAR
25
atenuación serán afectados por la raíz cuadrada, ya que la relación entre ambas magnitudes es
de P = A2 .
La parábola RCM tiene una fase correspondiente a la de una “chirp” debido a la diferencia de
retraso que sufre cada punto de la parábola. Este fenómeno se conoce como acoplamiento entre
distancia e acimut y es el motivo de la corrección de fase aplicada. Para entender claramente el
concepto, se introduce una figura extraída de [2] del capítulo de propiedades de la señal SAR.
Figura 3.10: Fenómeno de acoplamiento entre distancia e acimut. Figura extraída de [2].
Conociendo la distancia recorrida por la señal, R(u, r̄) = Rt (u, r̄)+Rr (u, r̄), se puede calcular
el retraso tr(u, r̄) = R(u,r̄)
y, en consecuencia, la fase de corrección.
c
φ_c(u, r̄) = ejK0 R(u,r̄) = ej
2πf0
R(u,r̄)
c
= ej2πf0
R(u,r̄)
c
= ej2πf0 tr (u,r̄)
(3.14)
Para una correcta corrección de fase, es necesario que el punto de sr (u, r̄) y la fase φ_c(u, r̄)
correspondan a la misma distancia recorrida. Al trabajar con señales digitalizadas, es posible
que la distancia respeto al punto (u, r̄) no exista de manera exacta en la señal de la posición de
antena, u. Para obtener el valor que tendría, Escat , se requiere de una interpolación en el eje de
distancias, la cual puede resultar crítica, puesto que se requiere conocer el módulo y la fase del
campo recibido en el punto de la imagen final de una manera precisa.
Finalmente, se añade a ΨI (r̄) el valor que adquiere la respuesta de la señal emitida para esa
posición de antena, es decir, la línea alineada a la antena para la distancia obtenida, afectada
por la corrección de fase y por la compensación de atenuaciones.
ΨI (r̄) = ΨI (r̄) + Escat × φ_c(u, r̄) × attenuation_compensation(u, r̄)
(3.15)
En resumen, los pasos para procesar la imagen, esquematizados en la imagen 3.13, consisten
en una compresión en distancia mediante filtro adaptado y transformada de Fourier, obteniendo
así la imagen focalizada en distancia. Para focalizar en acimut se aprovechan, con el uso de la
técnica Back-Projection, las características de la señal y las dimensiones de la imagen para sumar
coherentemente los puntos que influyen en un píxel determinado de ésta.
Presentado esquemáticamente, el algoritmo es el siguiente.
26
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
Algoritmo 1 Back-Projection
1: Compresión en distancia: matriz RC
2: for Recorrer distancia i = 1 to Mi do
3:
4:
for Recorrer acimut j = 1 to Mj do
for Recorrer posiciones de antena u = 1 to
Ls
pasoantena
do
Calcular R recorrida en total antena-píxel.
r
2
Rt =
− y(j) + x(i)2
posant (u) + dantenas
2
5:
Rr =
r
posant (u) −
dantenas
2
2
− y(j) + x(i)2
R = Rt + Rr
6:
Calcular la corrección de fase.
tr =
R
c
φ_c = ejω0 tr
7:
Calcular la compensación de atenuación.
3
att_comp = √
λ
(4π) 2 Rt Rr
√
Dt (f (posant (u),y(j),x(i))) Dr (f (posant (u),y(j),x(i)))
Interpolar la fila con y(j) = posant (u) para obtener el campo para R.
8:
Escat = interpolationRC(R, posant (u))
Añadir a la imagen final f .
9:
f (i, j) = f (i, j) + Escat × φ_c × att_comp
10:
11:
end for
end for
12: end for
Se ha visto en 2.3.2 que la resolución en acimut de un sistema GB-SAR presenta dos escenarios
diferentes, según si el blanco se encuentra a una distancia menor o mayor a la distancia crítica.
Para la simulación, la distancia crítica es RC = 4, 375 m. Para un blanco situado a 5 m, es decir,
a una distancia mayor a la distancia crítica del sistema, la resolución del sistema tiene que ser:
∆x = θLS R =
λ
R = 0, 0016 × 5 = 8 mm
2Ls
(3.16)
Figura 3.11: Corte de la matriz con un blanco a una distancia mayor a la crítica del sistema.
En la figura 3.11 se verifica la resolución dada por el blanco puntual a 5 m anterior. La
3.2. Back-Projection con GB-SAR
27
resolución puede expresarse como el ancho de banda a −3 dB. En particular, el ancho medido
es de 8 mm, coincidente con la resolución calculada teóricamente.
Si se simula un blanco a una distancia R de 2 m, menor a la distancia crítica, la resolución
en el eje acimut obtenida tiene que ser:
∆x =
l
= 7 mm
2
(3.17)
Se verifica la resolución para el anterior blanco cercano en la figura 3.12, en que el ancho de
la respuesta impulsional en el eje acimut es de 3,2 mm, es decir, se obtiene una mejor resolución
que la esperada, ya que a menor ancho de banda, mejor resolución.
Figura 3.12: Corte de la matriz con un blanco a una distancia menor a la crítica del sistema.
Recapitulando, los pasos a realizar por el algoritmo en un esquema son:
Figura 3.13: Pasos del algoritmo Back-Projection.
El algoritmo se puede aplicar con cualquier estructura de captura de datos, es decir, no
es necesario que el desplazamiento sea en línea recta ya que al momento de procesar se precisa
conocer la posición del sensor. Además, para aplicar el algoritmo se tiene que conocer la geometría
de la imagen para, así, poder calcular de manera precisa las distancias entre los píxeles y la
posición de antena teórica.
Del algoritmo 3.2.2 es deducible que el coste computacional es elevado. En [25] se calcula que,
suponiendo que se captura una imagen de N ×N píxeles y con N posiciones de antena, el coste
computacional es, aproximadamente, de O N 3 sin tener en cuenta la interpolación. Así pues, se
puede considerar que el Back-Propagation es un algoritmo de elevado coste computacional pero
28
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
usado por su gran flexibilidad en cuanto a la escena de captura y a las dimensiones de la imagen
final.
3.2.3.
Interpolación
Se ha comentado con anterioridad el motivo del uso de la interpolación durante el proyecto.
Es necesario aplicar una interpolación en el octavo paso del algoritmo ya que cada píxel sufre un
retraso en función de la posición de la antena u y la suya propia. Esta distancia, R(u, r̄), se usa
para calcular los factores de atenuación y la fase conjugada del eco.
Estos factores corresponden a los sufridos por la señal con un retraso concreto para la posición
en acimut u. Como la matriz está discretizada, es posible que no exista una muestra justo en el
valor de R(u, r̄) de interés. Por este motivo, se usa la interpolación en el eje de distancias.
Los factores de atenuación afectan a la amplitud de la señal, de manera que una compensación poco precisa únicamente produciría una señal de mayor o menor amplitud. Por contra, la
corrección de fase debe compensar la fase de eco. El paso resulta crítico puesto que si se produce
un error entre la fase real y la calculada no se compensan y introducen errores en fase.
La fase varía exponencialmente en función de la distancia, es decir, una pequeña diferencia
entre las distancias puede producir un gran cambio en la fase del píxel. Por ejemplo, para una
diferencia de 1 mm
e−jK0 Rrecorrida ejK0 Rcalculada = ejK0 (Rcalculada −Rrecorrida )
= ej
2π93,96 109
0,001
3 108
(3.18)
= ej1,9679
Donde K0 es la frecuencia central de la señal “chirp”, Rrecorrida es la distancia recorrida por
la señal original y Rcalculada es la distancia de ida y vuelta entre el píxel y la antena. Si se define
ε como Rcalculada − Rrecorrida y se tiene en cuenta la fórmula de Euler, se obtiene que el error
que introduce un cambio en distancias es:
ejK0 ε = cos(K0 ε) + jsen(K0 ε) = −0, 3867 + j0, 9222
(3.19)
Si se calcula el módulo y la fase del resultado anterior, se obtiene que el módulo es de valor
1, es decir, no introduce errores, pero la fase es −1, 1737 rad o, lo que es lo mismo, −67, 2506 o .
Por lo tanto, un mal cálculo de la distancia implica que al sumar los píxeles de la curva RCM
tendrán diferentes fases, hecho que puede provocar la pérdida de información ya que se pueden
anular entre ellas e, incluso, causar la no detección de un blanco. Por ello, al calcular la fase a
partir de la distancia del píxel respecto a la posición de antena, se requiere interpolar el valor de
la señal emitida para la misma distancia que la calculada.
Es evidente que la interpolación es un paso delicado para no introducir errores y pérdidas
graves. Para ello se estudia la interpolación al vecino más cercano y la interpolación lineal. Ambas
están disponibles en el entorno Matlab con la función ‘interp1’.
3.2. Back-Projection con GB-SAR
29
Interpolación al vecino más cercano
La interpolación al vecino más cercano es aquella que selecciona el valor del punto más cercano
en el vector y no considera los valores de otros vecinos. Como resultado, la señal puede presentar
escalones, sin embargo, su ventaja es la sencillez de cálculo.
Si se tiene un vector simple como:
Figura 3.14: Vector antes de aplicar una interpolación al vecino más cercano.
Si se interpola de manera que haya cuatro muestras para cada muestra del vector original, la
forma del nuevo vector es:
Figura 3.15: Vector interpolado con el vecino más cercano.
Se observa que la interpolación introduce error, pero que es computacionalmente muy rápida.
El error que introducen las interpolaciones depende básicamente del tipo de señal de entrada y
de la diferencia entre muestras. En el ejemplo anterior el vector corresponde a valores aleatorios
entre cero y uno en su componente imaginaria y valor uno de la parte real. El error de fase entre
el punto esperado y el punto interpolado es del orden de la mitad del salto de fase entre dos
muestras consecutivas.
φ =
∆φ
2
(3.20)
30
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
Interpolación lineal
La interpolación lineal es aquella que combina las dos muestras más cercanas al punto deseado
teniendo en cuenta la distancia relativa entre ellas.
y=
x − x1
× (y2 − y1 ) + y1
x2 − x
(3.21)
De manera que si se parte del vector inicial en 3.14, el nuevo vector para la interpolación
lineal queda:
Figura 3.16: Vector interpolado linealmente.
Ahora el error introducido para esta señal es nulo a diferencia del caso del vecino más cercano.
Sea una señal de módulo uno y fase lineal, al interpolar una muestra se obtiene un gráfico del
estilo:
Figura 3.17: Representación de la parte real e imaginaria de la señal.
Por lo tanto, el error de fase introducido se puede expresar como:

sen
∆φ
2

∆φ
∆φ
∆φ
∆φ ∆φ
−1 
−1

=
φ =
− tg
− tg
tg
=
−
=0
2
2
2
2
2
cos ∆φ
(3.22)
2
Recalcar que los errores introducidos por la interpolación tienen una alta dependencia con el
3.2. Back-Projection con GB-SAR
31
paso entre muestras de la señal de entrada, siendo los errores mayores con señales muestreadas
cerca del límite de Nyquist.
Comparación entre interpolaciones
Las interpolaciones se han estudiado para un caso simple en que se interpolaba una señal
compleja lineal. Durante la reconstrucción SAR, la interpolación a realizar en el caso de observar
un blanco puntual es una señal sinc. Para determinar el comportamiento del interpolador en este
caso, se crea una señal sinc de 41 muestras y se interpola de manera que se obtengan 4 muestras
para cada muestra de la señal original.
Figura 3.18: Comparación entre la señal original y las interpoladas.
Se puede ver que la interpolación lineal se adapta muy bien a la forma de la señal de entrada,
mientras que la interpolación al vecino más cercano presenta errores en forma de escalones. El
error máximo para la señal interpolada con el interpolador al vecino más cercano sigue siendo
la mitad del paso entre muestras de la señal original. Si se general la señal original con tantas
muestras como las interpoladas se puede dibujar el error que introducen las señales.
Figura 3.19: Error introducido por la interpolación al vecino más cercano.
32
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
El error máximo introducido por esta interpolación es de 0, 1068 para el caso de estudio.
Si se sigue el mismo procedimiento para la interpolación lineal, se obtiene que el error máximo
introducido es de 0, 0153, una décima parte que para el caso anterior.
Figura 3.20: Error introducido por la interpolación lineal.
Por lo tanto, observando el comportamiento de las interpolaciones, es de esperar que los
resultados con interpolación lineal sean mejores que con interpolación al vecino más cercano, pero
surge un compromiso de diseño entre calidad y coste computacional del cálculo. Para justificar
el uso de un interpolador u otro se presentan los resultados obtenidos para un caso sencillo, en
que se obtendrá una imagen final de 500 × 500 píxeles y 1001 posiciones de antena.
(a) Interpolador al vecino más cercano.
(b) Interpolador lineal.
Figura 3.21: Comparación de calidad entre interpoladores.
Interpolador
Vecino más cercano
Lineal
Tiempo de ejecución
2 min 28 s
2 min 49 s
Cuadro 3.1: Comparación computacional entre interpoladores.
Si se aumentan los puntos de la imagen final a 1000 × 1000 píxeles, los resultados obtenidos
son muy parecidos a los anteriores.
3.2. Back-Projection con GB-SAR
(a) Interpolador al vecino más cercano.
33
(b) Interpolador lineal.
Figura 3.22: Comparación de calidad entre interpoladores.
Interpolador
Vecino más cercano
Lineal
Tiempo de ejecución
8 min 59 s
9 min 01 s
Cuadro 3.2: Comparación computacional entre interpoladores.
De forma parecida, para una imagen final de 500 × 500 píxeles y 2001 posiciones de antena,
los resultados obtenidos son:
(a) Interpolador al vecino más cercano.
(b) Interpolador lineal.
Figura 3.23: Comparación de calidad entre interpoladores.
Interpolador
Vecino más cercano
Lineal
Tiempo de ejecución
4 min 21 s
4 min 31 s
Cuadro 3.3: Comparación computacional entre interpoladores.
Se puede observar que la diferencia computacional no es muy elevada en ninguno de los
casos mientras que la calidad, efectivamente, es mucho mejor para el interpolador lineal. Por este
motivo, los resultados presentados se han realizado con el interpolador lineal.
34
3.3.
3. Algoritmos de formación de imágenes SAR
Implementación
Inicialmente se trabaja con la señal radar, es decir, una señal “chirp” y no con una concatenación de ellas, o lo que es lo mismo, la señal recibida para una única posición de antena concreta.
En este paso se genera paso a paso la señal, sin aplicar directamente Sb (t). Se verifica que el pulso
rectangular que limita la modulación contiene el mismo número de muestras para cada retardo.
Además, se desarrolla el archivo para crear la señal tanto en tiempo como en frecuencia.
Posteriormente, se crea otro archivo en que se crea la matriz, una concatenación de señales
radar para cada posición de antena, de nuevo, tanto en tiempo como en frecuencia. Paralelamente
se construye el procesador SAR en el que se aplica el filtro adaptado sobre cada señal recibida
para poder realizar la compresión en distancia y acimut. En este punto se obtiene un procesador
con el algoritmo Back-Propagation.
Sin embargo, se ha visto que el GB-SAR del laboratorio entrega los datos al convertidor
A/D con la técnica de deramping aplicada. Así pues, se opta por modificar la versión anterior
de manera que el simulador genere directamente la señal Sb (t), es decir, la señal de batido que
entrega el GB-SAR. Se consigue ahorrar coste computacional al procesador a la vez que se
construye un código válido para simulación y para datos reales.
Finalmente, es oportuno comentar que la aplicación propia del algoritmo Back-Propagation,
es decir, de la compresión en acimut, es donde más cambios se han realizado a lo largo del proyecto. En un inicio los cálculos se realizaban píxel a píxel, análogamente al algoritmo presentado
en 3.2.2. Matlab es una herramienta de gran potencial optimizada para trabajar con matrices
permitiendo reducir considerablemente el tiempo de ejecución. Por ello, una vez verificada la
correcta compensación de fases para un blanco determinado, se procede a cambiar el código
para realizar todos los cálculos matricialmente, recorriendo únicamente el bucle de posiciones de
antena como se indica en 4.4.2.
Capítulo 4
Simulación
En este capítulo se extenderán los detalles de la implementación del algoritmo explicado en
la sección 3. La simulación consiste en generar las imágenes de una escena capturada con el
GB-SAR, es decir, consiste en aplicar el algoritmo desarrollado en el capítulo anterior. Si no se
dispone de datos entregados por el GB-SAR, se generan los datos a partir de la definición del
problema directo. Principalmente se generan cuatro procedimientos diferentes: el simulador del
diagrama de antena, el generador de parámetros del sistema, el generador de señal para crear
la matriz de captura y, finalmente, el procesador, el cual contiene el algoritmo de formación
de imágenes. Se comentará también las posibles mejoras introducidas en la imagen, además de
pequeños cambios en el procesador para tratar con los datos obtenidos del GB-SAR.
4.1.
Simulador de la forma de antena
Una parte importante para la precisión del algoritmo consiste en compensar los factores de
atenuación, entre ellos los de antena, para obtener una imagen con una respuesta homogénea
para todo el dominio espacial observado.
El diagrama de antena se usa al simular la señal obtenida por el GB-SAR y al aplicar la
técnica Back-Propagation, por lo tanto, se genera una función para no duplicar código. Por otra
parte, el GB-SAR usa el mismo tipo de antenas para emisión y recepción, pero podrían usarse
diferentes antenas con lo que se obtendrían distintos patrones. Por este motivo, se han generado
dos archivos diferentes, antenna_pattern_tx y antenna_pattern_rx, de manera que se preserva
la libertad de cambiar uno o los dos patrones sin necesidad de modificar el código principal.
El GB-SAR usa dos bocinas cónicas circulares con transición de guía de onda rectangular a
circular integrada, como se menciona en [1, 9]. Sus especificaciones de trabajo vienen dadas por
la tabla 4.1.
Parámetro
fin
G
∆Θ−3dB
Valor
75 − 110 GHz
15 dB
13 o
Cuadro 4.1: Especificaciones de la bocina cónica del radar.
35
36
4. Simulación
La determinación rigurosa del diagrama de antena de la bocina cónica es complicada. Por
ello se aproxima su diagrama como una distribución gaussiana o normal, con un ancho de haz a
menos tres dB igual al medido experimentalmente.
(a) En escala lineal.
(b) En escala logarítmica.
Figura 4.1: Diagrama de radiación de la antena simulada.
Al simular la señal, se simplifican los cálculos considerando que sólo devuelve señal el blanco
o los blancos simulados, aunque en realidad se reciben señales reflejadas de toda la escena. De
esta manera, se obtiene el valor para la posición entre el blanco y la posición de la antena para
cada fila.
Por otra parte, en el receptor se usa el diagrama para compensar las ganancias o pérdidas que
pudiera introducir un píxel cualquiera de la imagen final. Ahora, este factor será obtenido para
cada píxel a partir de las distancias calculadas. Específicamente, para cada píxel se calcula el
factor del diagrama de antena emisora y el de la antena receptora Este último paso puede aplicarse
de dos maneras distintas o, directamente no aplicarse. Según si el parámetro se multiplica, se
divide o no interviene, se obtiene:
Decorrelación: la señal procesada se divide entre los factores obtenidos del diagrama de radiación para compensar el factor de antena. Es fácil observar, a partir de la ecuación de
radar presentada en 2.2, que al aplicar la decorrelación, la imagen resultante debería ser
independiente del diagrama de antena. Debido a la interpolación realizada para el Backpropagation, estos términos podrían introducir un pequeño error. El uso de esta técnica
consigue una mejora de resolución espacial al extender la longitud de la apertura sintética gracias a la ecualización de amplitud realizada. Sin embargo, puede dar lugar a una
sobreamplificación del ruido en las zonas de la escena mal iluminadas por la antena. Por
lo tanto, sólo debería aplicarse en casos en que la atenuación del diagrama de antena es
moderada y la medida puede realizarse con una elevada señal a ruido.
Filtrado adaptado: los factores obtenidos a partir del diagrama de antena se multiplican por
la señal procesada para compensar. La relación señal a ruido óptima se obtiene mediante
el uso del filtro adaptado con una respuesta frecuencial que mantiene la misma amplitud
que la señal recibida pero conjuga la fase. Con el uso del filtrado adaptado se da más peso
a los componentes frecuenciales que tienen mayor relación señal a ruido, ya que el centro
de la escena sufre más ganancia. Por contra, se tendrá menos resolución en los laterales ya
que estarán multiplicados dos veces por factores menores a uno.
No compensación: en la simulación del eco se tiene en cuenta el impacto del diagrama de
radiación de las antenas para reproducir fielmente las señales medidas. Sin embargo, durante
la reconstrucción de la imagen se puede prescindir de la compensación de la amplitud ya
que la reconstrucción se basa principalmente en la compensación de fase. De esta manera,
se mejora la relación señal a ruido a costa de una pequeña pérdida de resolución espacial.
4.2. Generador de valores
37
Es, entonces, un punto medio entre el compromiso que surge a partir de las dos técnicas
anteriores entre relación señal a ruido y resolución.
Para crear el diagrama de antena se genera una función Gaussiana centrada en el origen, 0,
ya que el máximo del diagrama de radiación se produce cuando la antena enfoca directa a la
escena, sin ángulo de desviación. El valor de σ define el ancho de la función. Para un ancho de
banda a menos tres dB de 13 o el valor de σ debe ser de 9, 73.
La estructura de la función es:
D(angle)=antenna_pattern_tx o antenna_pattern_rx(angle)
µ=0
ENTRADA: ángulo en radianes ϕ.
σ = 9, 73
G = 15
SALIDA: Factor del diagrama de radiación
D(ϕ).
4.2.
D(ϕ) = Gσ
p
(2π) normpdf (ϕ, µ, σ)
Generador de valores
Esta función se crea con el propósito de no introducir errores de entrada de los parámetros
del radar, ya que es esencial usar los mismos datos para poder procesar correctamente la señal
recibida. Por lo tanto, cualquier cambio en los parámetros tendrá que ser modificado internamente
en la función.
La función tiene un parámetro de entrada, α, indicador del sobremuestreo que tendrá la señal
en el ADC. Particularmente, durante la simulación de datos se usará una α de valor dos y para el
procesamiento de datos reales se usará con valor uno. Recordar que a más sobremuestreo mejor
se cumple la condición de Nyquist, permitiendo pendientes de corte de los filtros más suaves,
menos abruptas, de manera que surgen menos problemas de linealidad de fase y rizado.
La función tiene varios parámetros de salida, los cuales son:
f0 : frecuencia central de trabajo del radar, corresponde al valor de 93, 96 GHz para
preservar la estructura del radar, en caso de utilizar el radar mencionado en 2.1, mencionada
en el apartado 3.3.3 de [1] o en el apartado 2.1 de éste mismo, en que se comenta la necesidad
de crear una señal “chirp” centrada a 1305 M Hz y su escalado por un factor 72.
B: ancho de banda de la señal “chirp”. Como en el caso anterior, se parte de un ancho de
banda de 21 M Hz y aumenta en la cadena de multiplicadores hasta los 1, 512 GHz.
τ0 : duración de la rampa “chirp” emitida. El GB-SAR emite una señal triangular, o dentada,
de la cuál sólo se aprovecha el flanco de subida o de bajada. Así pues, la duración de τ0 es
la duración de la rampa positiva o negativa. De esta manera, se escoge que la duración τ0
38
4. Simulación
sea la mitad del intervalo de repetición entre periodos de modulación, que a su vez, viene
dada por el valor de la frecuencia del reloj del sistema, 90 M Hz. La relación es:
fprf =
f _sysclk
90M Hz
=
= 1, 3733 kHz
16
2
216
τ0 =
Tprf
1
=
= 364, 08 µs
2
2fprf
(4.1)
(4.2)
kc : pendiente de la señal “chirp”. El cálculo viene dado por la ecuación 2.5, pero se incluye
una ligera modificación debido al factor de entrada α, el cual multiplica la ecuación.
kc = α
B
Hz
= 8, 3059 × 1012
τ0
s
(4.3)
fs : frecuencia de muestreo de la señal. Viene dada por la frecuencia del reloj del sistema y
la división de reloj de trabajo. La división del reloj de trabajo durante el proyecto siempre
ha sido 8, por lo tanto:
fs =
f _sysclk
90M Hz
=
= 11, 25 M Hz
clock_division
8
(4.4)
ω0 : frecuencia de trabajo del radar expresada en radianes por segundo.
ω0 = 2πf0 = 590, 37 × 109
rad
s
(4.5)
nm: número de muestras que se simularán en distancia. Sólo es útil al momento de generar
y procesar información simulada. Para datos reales, no se usa esta variable. El valor depende
de τ0 y de fs .
nm = τ0 × fs
(4.6)
Los parámetros usados para las simulaciones son:
Unidad
fc
Kc
Valor
93,96 GHz
Hz
8,3057 Mµs
Unidad
B
fOL
Valor
1,512 GHz
1440 MHz
OL
fsysclk = f16
f
fprf = f sysclk
216
90 MHz
1,3732 kHz
fs = f sysclk
26
1
Tprf = fprf
f
1406250 Hz
728,17 µs
364,08 µs
stepazi
0,001 m
Tchirp = τ0 =
Tprf
2
Cuadro 4.2: Parámetros de ejecución.
Así pues, la función se resume en:
4.3. Generador
39
val_radar_cw(alpha)
f0 = 1305 M Hz × 12 × 6
B = 21 M Hz × 12 × 6
ENTRADA: Factor de sobremuestreo α.
SALIDAS: Frecuencia central f0 ,
ancho de banda B,
f _sysclk = 90 M Hz
fprf =
f _sysclk
216
tprf =
1
fprf
duración de la rampa τ0 ,
pendiente de chirp kc ,
frecuencia de muestreo fs ,
frecuencia central en radianes ω0 ,
número de muestras nm.
τ0 =
tprf
2
fs =
f _sysclk
clock_division
kc = α ×
B
τ0
nm = round (τ 0 × fs )
4.3.
Generador
En 3.3 se ha mencionado que el generador es uno de los códigos que ha sufrido más cambios.
Inicialmente se crea el generador de la señal recibida para una única posición de antena, es decir,
para el radar. Una vez se verifica el funcionamiento correcto para el radar, se forma la matriz de
retardos que se generaría con la apertura sintética, la cual no deja de ser una concatenación de
respuestas radar.
Figura 4.2: Esquema de la escena que se quiere capturar con los parámetros de entrada de la
función representados.
Los parámetros a introducir para que la función funcione adecuadamente son aquellos que
definen la escena a capturar y parámetros del sistema SAR, los cuales se presentan en la imagen
4.2. Es decir, el generador necesita que se especifiquen los valores de la longitud de apertura
40
4. Simulación
sintética, Ls , el salto entre posiciones de la plataforma, δxp , la distancia entre antenas, dante , la
distancia directa del radar, R0 , el tamaño de escena a capturar, xsc y ysc, los valores de amplitud
y posición del blanco, postarget , además de los valores de trabajo del sistema, salida de la función
anterior 4.2.
La variable postarget consiste en una matriz que consta de tantas filas como blancos se definan
en la escena y de cuatro columnas. Cada columna indica el número de blanco, la amplitud
compleja correspondiente a su RCS 1 , la posición relativa en el eje de distancias y la posición
relativa en el eje acimut. La posición relativa indica la posición positiva o negativa respecto al
punto de referencia, el cual se sitúa a una distancia R0 de la línea de medida y se establece en 0
para acimut.
A partir de los parámetros introducidos, se pueden definir el tiempo mínimo y máximo que
puede sufrir el eco para ser detectado, el vector de movimiento de la antena, xp , y crear el vector
de tiempo asociado a la señal.
Posteriormente, se genera la matriz de ecos recibidos recorriendo cada posición de la plataforma tantas veces como blancos en la escena simulada. La escena a capturar suele ser de
dimensiones diferentes a la longitud de la apertura sintética. Para adaptar el algoritmo a las
diferentes situaciones se contemplan tres casos distintos:
Ls < ysc: define el típico escenario SAR, en que la escena a capturar es mayor que las
dimensiones de la apertura sintética. Para tratarlo, la función añade puntos por ambos lados
en el vector de posiciones de la plataforma xp con valor NaN2 . El número de posiciones a
añadir es fácilmente calculable conociendo Ls , ysc y δxp . El número de posiciones para la
plataforma pos_Ls y para el eje acimut de la escena pos_ysc será:
pos_Ls =
Ls
+1
δxp
(4.7)
pos_ysc =
ysc
+1
δxp
(4.8)
Por lo tanto, las muestras a añadirse a cada lado del vector de posiciones de la plataforma
será:
add =
pos_Ls − pos_ysc
2
(4.9)
Para añadir los nuevos valores del vector en Matlab, se tiene que aplicar una concatenación
de la forma: xp=[-ones(1,add)*NaN xp ones(1,add)*NaN];.
Ls = ysc: este escenario no requiere cambios en el vector que recorre la posición de la
plataforma, ya que pos_Ls y pos_ysc son el mismo valor.
Ls > ysc: no es un escenario habitual de los sistemas SAR. En este caso, se debería
guardar únicamente la información para las posiciones de pos_ysc en que influyan todas
las posiciones de antena pos_Ls . Como no es un escenario habitual, ni el que tenemos en el
laboratorio, se ha simplificado el problema para no añadir bucles y se recorta el vector de
1
Siglas de Radar Cross Section. El parámetro indica la amplitud compleja de los blancos u objetos.
NaN : Not a Number. Se usa este valor ya que forma parte del cálculo para generar el retraso. Con un valor
indefinido o infinito se asegura que no aparecerá ningún retraso no esperado.
2
4.3. Generador
41
posiciones de antena pos_Ls a la dimensión de la imagen que se quiere capturar pos_ysc
con el mismo procedimiento que para el caso inverso.
less =
pos_ysc − pos_Ls
2
Ahora en Matlab se aplica de la manera:
(4.10)
xp=xp(less:end-less);
Con los cálculos anteriores se define el número de posiciones que finalmente deberá recorrer
el bucle for para desplazarse por la dirección acimutal. Dentro del bucle se inicializará la variable
echo, de manera que cada fila obtenga únicamente la respuesta de los blancos para la determinada
posición de antena. También se recorrerá otro bucle for para cada uno de los blancos en la escena,
para los cuáles se calcula la distancia recorrida por la señal, el retraso que genera en recepción
y se genera el echo. Si hay más de un blanco en la escena, los ecos de la misma fila se sumaran
entre ellos para reproducir la superposición de los ecos que se obtendría en un caso real sobre la
antena receptora. Finalmente, cuando se completa el segundo bucle, se guarda echo en la posición
acimutal recorrida en una matriz rd definida con tantas filas como posiciones acimutales.
Para generar el echo, se genera directamente la formulación de la señal Sb (t), es decir, se
obtiene la señal de batido. En este punto es interesante fijarse en la implementación de la función
rectpuls. Finalmente, no se ha usado esta función dada por Matlab ya que no generaba un pulso
rectangular del mismo número de muestras para cada fila de la matriz, dependiendo del valor
del retraso. En lugar de usar la función definida por el programa, se decide implementar con
r
rect = double(abs(t − t2r ) < ( τ0 −t
− eps)), la cual devuelve un 1 si se cumple la condición definida y
2
un 0 si no se cumple. La condición corresponde a la definición del pulso rectangular visto en
2.15 donde eps es un número de precisión definido por Matlab que corresponde a la distancia
entre números de tipo float, cuyo valor es ∼ 2, 2 × 10−16 . De esta manera, se obtienen pulsos
rectangulares del mismo número de muestras sea cual sea el valor del retraso generado por el
blanco.
La matriz obtenida al usar la dimensión vertical de la escena mayor que la longitud de la
apertura sintética presenta la forma siguiente. Además, durante la implementación es interesante
comprobar que se están generando tonos puros, como se ve en la imagen 4.3a. Para ello sólo es
necesario dibujar una línea de la matriz, por ejemplo la central, y comprobar que realmente se
trata de una sinusoide con su retraso. Para ver bien la forma de la sinusoide es recomendable
añadir muestras al vector del tiempo para aumentar en número de muestras de señal y obtener
una visualización adecuada.
(a) Matriz simulada.
(b) Tono generado para la fila central.
Figura 4.3: Simulación para un blanco situado en el punto de referencia (R0 ,0).
Así pues, el fichero sigue la forma:
42
4. Simulación
raw_data_cw
[f0 , τ0 , ω0 , B, fs , Kc , nm] = val_radar_cw(α)
for u = − L2s a
Ls
2
echo = 0
for n = 1 to Nt
xpos = R0 + postarget (n, 3)
ENTRADA:
Longitud de apertura sintética Ls ,
paso de plataforma δxp ,
distancia entre antenas dante ,
factor de sobremuestreo α (entrada de
4.2),
ypos = xp(u) ±
Rx =
tr =
p
dante
2
− postarget (n, 4)
xpos2 + ypos2
R
c
ϕx = tg −1
(abs(ypos)
xpos)
Dx = antenna_pattern_x (ϕx )
distancia de la línea de medida al centro
√
√
Dtx × Drx
2 R t Rr
de la escena R0 ,
D=
dimensiones de la escena xsc y ysc ,
rect = double((t −
tr
2
) < ( τ20 − tr ) − eps)
amplitud y posición del blanco pos_target.
f orm = cos(ω0 tr + πkc t2r − 2πkc tr t)
SALIDAS: Matriz de raw_data rd.
Sb (t) = D × rect × f orm
echo = echo + Sb (t)
end
rd(y, :) = echo
end
4.4.
Procesador
El procesador es una de las partes fundamentales del proyecto, ya que es donde se ejecuta el
algoritmo “Back-projection” y, como en el caso anterior, es donde se han realizado más cambios.
Como se ha visto en el capítulo 3, consta de dos procedimientos básicos, la compresión en
distancia y la compresión en acimut.
Como en el generador, es preciso conocer una serie de parámetros para procesar la señal.
Obviamente, se requiere la entrada de la matriz de información, en el caso de la simulación, la
entrada será la matriz rd. Además, se necesita conocer la longitud capturada de la dimensión en
acimut, ysc , la distancia entre las antenas transmisora y receptora, dante , los límites y el número
de puntos que se desean en la imagen final, ymin , ymax , xmin , xmax , numx y numy , el paso entre
posiciones de la antena δxp , además de los valores de trabajo del sistema salida de la función 4.2.
Para determinar el número de puntos de la imagen final, numx y numy , se tienen que tener
en cuenta las condiciones de Nyquist. El muestreo para la dimensión en distancia, numx , no
supone un problema para el sistema. Por otro lado, si la resolución para acimut es de 8 mm se
puede generar una muestra cada 8 mm, cumpliendo en el límite la condición, es decir, se obtiene
4.4. Procesador
43
una señal sinc con transiciones muy abrupta. Por contra, si se muestrea la dimensión de antena
casa 2 mm se obtiene una sinc con los lóbulos más redondeados. Por lo tanto, el número de
muestras mínimo se puede calcular como:
numy =
4.4.1.
Ls
paso_muestreo
(4.11)
Compresión en distancia
Se puede ver en la figura 4.3a que la matriz de señal no es fácilmente interpretable dado su
carácter holográfico. Por ello, se aplica la compresión en el eje de distancias a la matriz generada.
Como se genera directamente la señal Sb (t), la compresión consiste en aplicar únicamente la
transformada de Fourier unidimensional por fila. Si se utiliza un detector fase-cuadratura (I/Q)
para obtener la frecuencia de batido compleja, su espectro aparece únicamente a frecuencias
positivas o negativas dependiendo del signo de la modulación FM. Para reducir la complejidad
del radar, el GB-SAR usa un mezclador simple, de manera que se obtiene una señal de batido real,
únicamente canal I, que posee un espectro par proporcionando frecuencias positivas y negativas
para ambos signos de la modulación. En consecuencia, se deberá eliminar la parte que refleja las
frecuencias negativas, que, al procesarlo con Matlab, es la segunda mitad de la señal.
El número de puntos de la transformada de Fourier es un factor importante, obteniéndose
la mayor eficiencia numérica para un número de muestras igual a una potencia de dos. La señal
simulada tiene 256 puntos en el eje de distancias. Se toma como método coger un número de
puntos, nf f t, que sea 23 veces los puntos del eje de distancias de la matriz de señal, de manera
que, se pueda obtener una señal de 1024 puntos de la señal comprimida después de eliminar la
mitad del espectro en el caso que se genera la señal con menos puntos.
Figura 4.4: Compresión de la señal simulada.
El eje de distancias de salida se obtiene de la recolocación de la ecuación 2.21, por lo que
depende de los puntos de la transformada nf f t, la frecuencia de muestreo fs , la duración de la
señal τ0 , la velocidad de la luz c y el ancho de banda de la señal B.
xf =
0:
nf f t
fs
τ0 c
−1 ×
×
2
nf f t 2 B
(4.12)
Una vez eliminadas las frecuencias negativas y obtenido el vector de distancias, ya se puede
aplicar el algoritmo de Back-Propagation. Entre ambas compresiones, se ejecuta una función que
44
4. Simulación
cambia los valores NaN por ceros, incorporados para el caso en que ysc es mayor que Ls , para
evitar errores al interpolar.
Es decir, la compresión en distancia se puede resumir como:
range compressed
ENTRADA:
[f0 , B, τ0 , kc , fs , ω0 , nm] = val_radar_cw(α)
La matriz de raw_data rd,
nf f t = 8 nm
la frecuencia de muestreo fs ,
rdt = f f t(rd, nf f t, 2)
la duración de la rampa τ0 ,
f = (0 :
número de muestras de la señal nm,
el ancho de banda B.
xf =
nf f t
2
− 1)
fs
nf f t
f tau0 c
2 B
rdt = rdt(:, 1 :
SALIDAS: Matriz de la señal comprimida
end
)
2
rdt = change_nan(rdt)
en distancia.
En el cuadro anterior se usa la notación rdt=fft(rd,nfft,2), es decir, se usa la notación matricial.
El factor 2 indica la dimensión de la matriz en la que se aplica la transformada de Fourier. En
este caso, la operación se realiza sobre el eje de abscisas.
4.4.2.
Compresión en acimut
Para la compresión en acimut, se necesita conocer el valor del eje de distancias y acimut, las
dimensiones y número de puntos que debe tener la imagen final y la matriz comprimida. Para
obtener las dimensiones de la matriz comprimida, se parte del conocimiento del vector xf , y de
los puntos acimutales recorridos xp , el cual se define en función de las longitudes Ls o ysc como
se ha visto en 4.3.
En cambio, para conocer las dimensiones de la matriz que se quiere generar, se requiere la
entrada de xmin , xmax , ymin , ymax , numx y numy . A partir de los valores entrados se pueden
construir los vectores de dimensiones de la imagen final. Se definen los saltos entre posiciones:
Ax =
xmax − xmin
numx
(4.13)
Ay =
ymax − ymin
numy
(4.14)
A partir del punto mínimo, el número de puntos y el salto entre posiciones del vector, se
pueden crear los vectores que definen las distancias de los ejes de la imagen final.
x = xmin + (0 : 1 : numx ) × Ax
(4.15)
y = ymin + (0 : 1 : numy ) × Ay
(4.16)
4.4. Procesador
45
Como ya se ha mencionado, Matlab trabaja más rápido con matrices que con bucles. Para
evitar recorrer los tres bucles descritos en 3.2.2, es necesario crear matrices que contengan réplicas
de los ejes x y y obtenidos. La función [eixx,eixy]=meshgrid(x,y) replica el primer vector, x, tantas
veces como elementos tiene el segundo vector, y, y viceversa para el segundo elemento.
Así pues, se mantiene un bucle for que recorre las posiciones de la antena. Los cálculos vistos
en 3.2.2 se realizan ahora de manera matricial, de manera que para cada posición u de la antena
se calcula una matriz de distancias de transmisión, Rt , una matriz de distancias de recepción,
Rr , una matriz de distancias recorridas por la señal, R, sumatorio de las anteriores, una matriz
de retrasos, tr , una matriz de correcciones de fase, pheq , los ángulos de incidencia, ϕtx y ϕrx , y
los factores de atenuación causados por el diagrama de antena. Por lo tanto, el cálculo de las
distancias en transmisión es:
Figura 4.5: Cálculo de la distancia de transmisión matricialmente.
Seguidamente, se aplica la interpolación por filas. Matlab proporciona el comando interp1 el
cual busca cada valor de la matriz R en el vector xf y devuelve el valor pertinente de la función, en
este caso rdt(u, :) para asegurar que busca el valor en la línea de retorno de la posición de antena,
es decir, interpola únicamente en el eje de distancias. Además la función permite introducir el
tipo de interpolación y un valor que se asignará a aquellos valores que estén fuera del alcance
del vector. Así pues, a partir del comando Escat = interp1 (xf, rdt(u, :), R, ‘lineal0 , rdt(u, end)) ; se obtiene
la matriz de iluminaciones interpoladas para la posición de antena determinada.
Finalmente, se añade a la imagen la matriz de iluminaciones multiplicada por la matriz de
correcciones de fase y de compensación de las atenuaciones.
El resultado que se obtiene para un blanco en el punto de referencia (R0 , 0) es:
Figura 4.6: Blanco en el punto de referencia procesado.
46
4. Simulación
azimuth compressed
[eixx, eixy] = meshgrid(x, y)
xp
δxp
for u = 1 a
Rt =
ENTRADA:
La matriz comprimida rdt,
Rr =
xp (u) +
r
xp (u) −
+1
2
dante
2
− eixy
dante
2
− eixy
2
tr =
vector de posiciones de la antena xp,
el vector de distancias de la matriz
D1 = antenna_pattern_tx(ϕtx )
la distancia entre antenas dante ,
+ eixx2
R
c
pheq = ejω0 tr
d
xp(u)+ ante
−eixy
2
ϕtx = tg −1
eixx
la frecuencia en radianes ω0 ,
+ eixx2
R = Rt + Rr
las dimensiones de la imagen final
xmin , xmax , ymin , ymax , numx y numy ,
r
comprimida xf .
SALIDAS: Señal comprimida en ambos ejes
imagen.
ϕrx = tg −1
d
−eixy
xp(u)− ante
2
eixx
D2 = antenna_pattern_rx(ϕrx )
D=
√
D1 ×
√
D2
Escat : interp1 (xf, rdt(u, :), R, lineal, rdt(u, end))
imagen = imagen +
Escat pheq (Rt Rr )
D
end
4.5.
Mejoras de la imagen
Al comprimir la señal en ambas direcciones, se obtiene una respuesta impulsional en dos
dimensiones cuyos cortes en los ejes distancia y acimut son señales sinc. El máximo de la señal
obtenida será la posición del blanco en la escena representada. Los elevados lóbulos laterales de
una respuesta sinc pueden enmascarar blancos débiles cercanos a blancos de mayor RCS. Para
reducir los lóbulos laterales se utilizan filtros que suavizan las transiciones en el dominio espectral
lo que supone una ligera pérdida de resolución.
Para aplicar el filtro en el eje acimut, se multiplica cada eco devuelto por los blancos en el
generador de señal por el factor del filtro en la posición de antena determinada, es decir, se crea
un filtro de tantos elementos como posiciones de antena se recorren con el sistema. Para aplicar
el filtro en el eje distancias, se multiplica cada posición del eco por el filtro centrado en el centro
del pulso rectangular. Para medir la calidad de los filtros se dispone de tres medidas importantes:
Peak Sidelobes Ratio (PSLR): distancia en escala logarítmica entre el lóbulo principal y
el secundario, definido como el más alto de la señal después del lóbulo principal. Según [2]
un nivel aceptable de la medida es −20 dB.
Integrated Sidelobes Ratio (ISLR): la medida permite analizar la potencia, amplitud al
cuadrado, de los lóbulos laterales respeto al lóbulo principal. Este parámetro se puede
4.5. Mejoras de la imagen
47
definir de distintas maneras. Según [2, 7] se define mediante la ecuación:
ISLR = 10 log10
PT OT − PM AIN
PM AIN
(4.17)
Donde PT OT es la potencia contenida en toda la sinc, y PM AIN es la potencia del lóbulo
principal. Ambas se pueden expresar como la integral de los componentes al cuadrado
dentro de los límites adecuados.
∞
Z
PT OT =
| ψ̂(r) |2 dr
(4.18)
| ψ̂(r) |2 dr
(4.19)
0
Z
PM AIN =
a
0
Donde a es el primer cero de la sinc. Expresado de otra manera, se puede definir mediante:
!
Ra
2
PM AIN
0 | ψ̂(r) | dr
ISLR = −10 log10
= −10 log10 R ∞
(4.20)
PT OT − PM AIN
| ψ̂(r) |2 dr
a
Son expresiones que dan lugar al mismo resultado ya que se define el área de una función
como la integral entre dos puntos, lo que también se puede calcular como la suma de las
amplitudes de la función entre los dos puntos. Así pues, el cálculo consiste en conocer el
ratio entre la área del lóbulo principal y la área de los lóbulos secundarios. El valor típico
para sistemas SAR es de −17 dB.
Impulse Response Width (IRW): es la amplitud del lóbulo principal de la señal en el eje
horizontal cuando ésta sufre una caída de 3 dB respeto la amplitud del lóbulo principal.
La unidad de medida son muestras o bien la unidad del sistema, por ejemplo, metros.
Figura 4.7: Medidas de mejora de la señal sobre la respuesta impulsional.
Los filtros típicos en el procesado de señal son el filtro de Hanning y el filtro de Hamming.
Además, el filtro Kaiser es muy usual en las aplicaciones SAR. Para ello, se usan estos tres
filtros durante el proyecto. Brevemente se detalla el ancho de transición (caída del filtro), el rizo
pasabanda (rizado en la zona que permite el paso de la señal), la relación entre el lóbulo principal
y el secundario y su función matemática.
48
4. Simulación
Tipo
Hanning
Hamming
Kaiser **
Ancho de transición
6,2
N
6,6
N
5,71
N (β
= 8, 96)
Rizado pasabanda
0, 0546
0, 0194
Relación*
31
41
0, 000275
Función
0, 5 + 0, 5cos( 2πn
N )
0, 54q+ 0, 46cos( 2πn
N )
Io[β 1−( N2n
2]
)
−1
***
Io(β)
*Relación lóbulo principal a lóbulo secundario.
** Depende de la β usada en la función.
*** Io es la función de Bessel.
Cuadro 4.3: Características de los filtros.
En la tabla anterior, 4.3, se observa que la comparación entre las dos primeras ventanas es
sencilla, mientras que la ventana de Kaiser depende del factor β y no es tan simple de comparar
ya que su forma varia en función de ésta. Con los datos de la tabla, se prevé que el filtro más
selectivo será el filtro Kaiser ya que es el que ofrece un ancho de transición menor para la β dada.
Además el filtro Kaiser es el que introducirá menos distorsiones en la imagen final puesto que es
el que sufre menos rizado pasabanda.
Figura 4.8: Filtros usados en el proyecto.
En la imagen anterior se puede observar que la ventana de Kaiser con una β pequeña da
lugar a un enventanado ancho. Por contra, la ventana con un factor β elevado proporciona una
ventana más estrecha. En el caso de la imagen se ejecuta con una β con valor seis. La tabla 4.3
numera las características para una β de valor 8, 96, la cual seria una ventana más estrecha que la
anterior. Así pues, con la comparación de los filtros de la imagen anterior se puede confirmar que
el filtro Kaiser con β elevada es el más selectivo, seguido de la ventana de Hanning, la ventana
de Hamming y, finalmente, la ventana Kaiser con β elevada 2, 5. Se espera, por lo tanto, que el
filtro que atenúe más los lóbulos laterales de la señal sea el Kaiser con una β elevada.
Para obtener los resultados se aplica el filtro al procesar una señal con blanco centrado en
la escena. Los valores de las medidas se obtienen mediante un script generado que selecciona la
fila central y calcula las diferentes medidas mencionadas con anterioridad. Se observa en la tabla
4.6. Calibración
49
inferior que, efectivamente, el filtro que proporciona valores aceptables de P SLR e ISLR sin
ensanchar en exceso el pulso es el filtro Kaiser con β = 2, 5.
Tipo
Original
Hanning
Hamming
Kaiser β = 2, 5
Kaiser β = 6
ISLR
15, 6 dB
32, 348 dB
45, 371 dB
22, 816 dB
45, 01 dB
PSLR
−17, 209 dB
−36, 826 dB
−41, 446 dB
−24, 677 dB
−48, 527 dB
IRW
0, 044 m
0, 068 m
0, 064 m
0, 052 m
0, 068 m
ISLR az
8, 857 dB
46, 501 dB
43, 011 dB
22, 011 dB
46, 595 dB
PSLR az
−9, 092 dB
−47, 482 dB
−37, 486 dB
−21, 912 dB
−45, 794 dB
IRWaz
0, 007 m
0, 014 m
0, 01 m
0, 01 m
0, 01 m
Cuadro 4.4: Resultados de las medidas.
4.6.
Calibración
Hasta ahora el algoritmo permite identificar fácilmente el blanco o los blancos en la escena,
pero no permite conocer su módulo y fase. Para ello se aplica la calibración, la cual permitirá
obtener, al reconstruir, un módulo y una fase de igual valor que el introducido en el parámetro
pos_target del generador.
Para ello, se toma un blanco de calibración de sección recta unidad y se multiplica la matriz
rd, salida del generador de señal, por un factor tal que se obtenga un tono de amplitud uno, sin
considerar las atenuaciones introducidas por el diagrama de antena o las distancias recorridas.
Por construcción, el factor k 0 en el generador para obtener la amplitud 1 tiene que ser k 0 = 2 ya
que la señal Sb (t) introduce un factor medios en su formulación, 2.15.
k0 = 2
(4.21)
Además, la calibración es un punto clave en el procesador ya que permitirá compensar cualquier error constante que exista en el algoritmo. Para determinar el valor de k 00 , se procesa la
simulación con el factor k 0 aplicado y se introduce una k 00 = nf2f t ×pos_Ls , inicial y no definitiva,
que dividirá la imagen salida del algoritmo Back-Propagation. Comparando el valor esperado y
el obtenido, se obtiene el número complejo que completa el factor.
k 00 =
nf f t
× pos_Ls × (0, 06138 − j × 0, 0010398)
2
(4.22)
En la figura 4.9 se reúnen nueve figuras de blancos individuales con amplitud RCS de valor
1 + 0i en diferentes puntos de la escena.
(a) Blanco en (2,2, -0.3).
(b) Blanco en (5, -0,3).
(c) Blanco en (7,8, -0,3).
50
4. Simulación
(d) Blanco en (2,2, 0).
(e) Blanco en (5, 0).
(f) Blanco en (7,8, 0).
(g) Blanco en (2,2, 0,3).
(h) Blanco en (5, 0,3).
(i) Blanco en (7,8, 0,3).
Figura 4.9: Blancos individuales con RCS 1 + 0i.
Se obtiene una mejor precisión para el blanco situado en el punto de referencia (R0 , 0) o, lo
que es lo mismo, (5, 0). Los blancos situados en los laterales sufren un pequeño error introducido
por la discretización al querer corregir los pesos del diagrama de antena, en cualquier caso el
error es menor a 5 o para la fase y menor al 10 % de la amplitud.
Además, se estudia también la precisión con varios blancos en la escena y el posible solapamiento de sus respuestas en la imagen. En concreto disponemos los nueve blancos anteriores en
la misma escena y con la misma amplitud compleja. Ahora se obtiene los nueve blancos con un
error mayor pero dentro de los márgenes anteriores.
Figura 4.10: Nueve blancos distribuidos detectados con el módulo y fase de origen.
Si se estudia el comportamiento del procesamiento calibrado con la fase, disponemos un
blanco en el punto de referencia con RCS de valor 1 + πi. Al procesar obtenemos un blanco con
módulo 3, 2969 y fase 1, 2626 correspondientes al módulo y la fase del blanco complejo en origen.
En consecuencia, se puede concluir entonces que el funcionamiento de la calibración funciona de
manera correcta.
Figura 4.11: Blanco con RCS 1 + πi en el centro de la escena.
4.7. Adaptación a datos reales
4.7.
51
Adaptación a datos reales
Cuando el procesamiento se realiza sobre los datos capturados con el GB-SAR del laboratorio
son necesarias unas modificaciones sobre el procesador, ya que ahora la matriz de entrada no es
directamente una matriz generada con el Matlab sino que es un conjunto de bytes guardados por
el radar. El GB-SAR, los dispone en una fila de manera ordenada.
Para crear la matriz de manera adecuada, se necesita conocer cuantas muestras captura
en distancia y cuantos saltos hace en la dirección acimut. Con este propósito, el programa del
GB-SAR devuelve un archivo *.log en que se indican los parámetros que se pueden modificar.
radar.log
adc_minRecordLength,long register y
T_num_sample: número de B en distancia
Configuration parameters for the measure
adc_verticalRange
1,000000
adc_verticalOffset
0,000000
adc_verticalCoupling
1
adc_minSampleRate
0
adc_minRecordLength
4096
adc_numRecords
22500
long register
4096
T_num_sample
4096
num_mov
22500
clock
90000000,000000
clock_div
8
verti_Range
0,400000
mode
On the Fly
step_azi
3,1e-2 [mm]
Hour
20:45
para cada posición acimut.
adc_numRecords y num_mov: número de
posiciones en acimut.
clock: reloj del sistema, se mantiene
constante.
clock_div :división del reloj del sistema.
Afecta a la función 4.2.
verti_Range: distancia recorrida en acimut
con el dispositivo.
mode: modo de captura. Puede ser stop & go
o on the fly.
step_azi: salto entre posiciones de
acimut. Depende del vert_Range y del
número de posiciones.
La estructura del archivo binario, *.bin, contiene dos registros del tipo ‘int’3 de 32 bits, o dicho
de otra manera de 4 B, el primero de los cuales proporciona la información de cuántos Bytes
graba cada posición de acimut y el segundo indica cuantas posiciones acimut se han grabado
para recorrer la longitud de la plataforma. Así pues, la estructura adquiere la forma de la imagen
siguiente.
Figura 4.12: Estructura del archivo binario proporcionado por el radar.
3
Integer, es decir, números pertenecientes al conjunto de los números enteros.
52
4. Simulación
Para procesar esta información se tiene que leer el archivo, guardando en dos variables los
primeros 8 B, r y az, y en una tercera variable, el vector rawdata, la información captada por el
GB-SAR. Una vez leído el archivo completamente, se cierra para evitar problemas de sobrescritura. Para obtener la matriz de información similar al formato usado en simulación, se convierte
el vector rawdata a matriz a partir del comando rdt=reshape(rawdata,r,az);, el cual entrega
la matriz traspuesta respeto la usada en simulación, es decir, el eje de abscisas corresponde al
recorrido de la antena, el acimut, y el eje de ordenadas corresponde a la distancia.
Algoritmo 2 Leer *.bin
1: Seleccionar el archivo a procesar:
[filename,pathname]=uigetfile(‘*.bin’, ‘Selecciona el archivo: ’);
2: Guardar el nombre del archivo:
fitxer=strcat(pathname,filename);
3: Abrir el archivo con permisos de sólo lectura y estructura Big-Endian:
ff=fopen(fitxer,’rb’);
4: Leer el primer registro y guardarlo en r:
r=fread(ff,1,’int32’);
5: Leer el segundo registro y guardarlo en az:
az=fread(ff,1,’int32’);
6: Leer el resto del archivo, se guarda en un vector:
rawdata=fread(ff,r*az,’int32’);
7: Cerrar el archivo:
fclose(ff);
8: Crear la matriz de información (distancia × acimut):
rdt=reshape(rawdata,r,az);
9: El desplazamiento entre posiciones de antena, 0,7 es el desplazamiento total del GB-SAR:
Aant = 0,7
az
10: Variación de la frecuencia en distancia:
δf = nffsf t
11: Frecuencia de tono, beat tone:
fb = τB0 c
12: Definición de la distancia después de la fft:
xf = (0 : 8r − 1) δf
fb
Figura 4.13: Nueva configuración del punto de referencia del radar.
Para solventar la trasposición de los datos se puede trasponer de nuevo o adaptar el código
al nuevo formato. Se ha optado por adaptar el código al nuevo formato ya que la trasposición
añadiría coste computacional al código. Al realizar la compresión en distancia se aplica la transformada de Fourier por columnas, es decir, el factor de dimensión de la transformada de Fourier
con Matlab es el uno, de manera que el código ahora es rdt=fft(rd,nfft,1).
4.7. Adaptación a datos reales
53
En la implementación del Back-Projection para la compresión en acimut, se tienen que aplicar
diferentes consideraciones. Por una parte, la nueva configuración para el cálculo de las distancias,
visible en la imagen 4.13, provoca que sólo se resta la distancia entre antenas a la distancia del
blanco al receptor, o al ángulo de incidencia de éste. Por otra parte, al momento de interpolar se
busca en el eje de ordenadas en lugar del eje de abscisas. Por lo tanto, la interpolación se ejecuta
Escat = interp1 (xf, rdt(:, u), R, ‘lineal0 , rdt(end, u)) ;.
azimuth compressed with real signal
[eixx, eixy] = meshgrid(x, y)
for u = 1 a az
q
Rt = (xant (u) − eixy)2 + eixx2
q
Rr = (xant (u) − dante − eixy)2 + eixx2
ENTRADA:
La matriz comprimida rdt,
R = Rt + Rr
las dimensiones de la imagen final
tr =
xmin , xmax , ymin , ymax , numx y numy ,
la frecuencia en radianes ω0 ,
la distancia entre antenas dante fijada,
R
c
pheq = ejω0 tr
xant (u)−eixy
ϕtx = tg −1
eixx
vector de posiciones de la antena xp,
el vector de distancias de la matriz
D1 = antenna_pattern_tx(ϕtx )
comprimida xf .
ϕrx = tg −1
SALIDAS: Señal comprimida en ambos ejes
imagen.
xant (u)−dante −eixy
eixx
D2 = antenna_pattern_rx(ϕrx )
D = D1 × D2
Escat : interp1 (xf, rdt(:, u), R, lineal, rdt(end, u))
imagen = imagen +
Escat pheq (Rt +Rr )2
D
end
Ahora se obtiene una imagen más larga en el eje de ordenadas, la distancia, que en el eje de
abscisas, el acimut.
Capítulo 5
Resultados
En este capítulo se van a mostrar los resultados para distintos casos de simulación. Para
la simulación ideal se mostrarán las resoluciones obtenidas en ambas dimensiones de la imagen
final. Además, se añadirá ruido a las simulaciones ideales ya que, en un entorno real, el ruido
siempre está presente. A continuación, se presentarán los resultados para capturas realizadas con
el GB-SAR, presentando los escenarios y comentando los resultados obtenidos y, finalmente, se
comentará el resultado de la aplicación del algoritmo desarrollado con un dron.
5.1.
Simulación ideal
En el apartado de calibración del capítulo anterior, 4.9, se ha mostrado el resultado para
nueve blancos individuales y el resultado para nueve blancos en la misma escena, los cuales
presentan un RCS de amplitud 1 y fase 0. En todos los casos, se obtienen los blancos simulados
dentro de los márgenes de error, es decir, con errores máximos de ±5 o para la fase y menores
al ±10 % de la amplitud, es decir, se obtienen blancos con módulo entre 0, 9 y 1, 1 y con fase de
±5 o .
Además, se han demostrado las resoluciones teóricas del sistema observando si el ancho de
banda a menos tres decibelios corresponde a la resolución de la dimensión concreta. En este
apartado, se verifican las resoluciones simulando blancos cercanos en cada una de las dimensiones
de la imagen para comprobar que, efectivamente, la resolución del sistema permite resolver dos
blancos cercanos o no. En ninguno de los casos se ha usado enventanado de los filtros de mejoras
de la imagen.
5.1.1.
Resolución en distancia
Cuando dos blancos se encuentran a una distancia menor a la resolución del sistema, es decir,
cuando se trata de dos blancos muy cercanos, el sistema proporciona una imagen en que no
se pueden distinguir los dos blancos sino que se detecta como un único blanco. Por otro lado,
cuando la distancia que los separa es mayor a la resolución, el sistema proporciona una imagen
en la que se distinguen los dos blancos.
55
56
5. Resultados
La resolución en el eje de distancias es de 19, 8 cm. Para la comprobación, se simula un
blanco en la posición de referencia, (5, 0), y un segundo blanco en (5, 1, 0), por lo tanto, están
distanciados entre ellos diez centímetros.
Figura 5.1: Reconstrucción para blancos distanciados 10 cm entre ellos.
Simulando dos blancos distanciados entre ellos 15 cm, se observa que se puede distinguir la
existencia de dos blancos pero con distorsiones en amplitud y en posición de la imagen.
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en distancia central de los blancos.
Figura 5.2: Reconstrucciones para blancos distanciados 15 cm entre ellos.
Con el segundo blanco distanciado 20 cm del primer blanco, se pueden distinguir perfectamente los dos blancos y con mayor precisión de posición que en el caso anterior.
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en distancia central de los blancos.
Figura 5.3: Reconstrucciones para blancos distanciados 20 cm entre ellos.
Se observa que las escenas en que las respuestas de los blancos simulados se superponen, las
respuestas obtenidas en la imagen final presentan mayor error de tolerancia en módulo y fase
5.1. Simulación ideal
57
debido a la superposición entre los dos blancos reales, midiendo, por ejemplo, 1, 2 en módulo y
−3, 0171 en fase para el primer caso a 10 cm.
5.1.2.
Resolución en acimut
Para la dimensión acimut, la resolución del sistema depende de la distancia crítica, la cual
es de 4, 375 m con los valores simulados. Resaltar que para un blanco a 5 m la resolución es de
11, 4 mm.
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en acimut central de los blancos.
Figura 5.4: Reconstrucciones para blancos distanciados 1 cm entre ellos.
Al simular dos blancos distanciados en acimut una distancia menor a la distancia crítica,
1 cm, se observa que provoca una distorsión, detectando un único blanco.
Para dos blancos distanciados entre ellos 1, 2 cm, es posible distinguir los dos picos de los
lóbulos principales. Es importante destacar que probablemente no serian detectados ya que en
el ancho de banda a menos 3 dB se visualiza todavía como un único blanco.
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en acimut central de los blancos.
Figura 5.5: Reconstrucciones para blancos distanciados 1,2 cm entre ellos.
Por lo tanto, el solapamiento de las respuestas de los blancos muy cercanos producen errores
pequeños tanto en la posición como en el módulo y fase procesados del blanco, como en el caso
en distancia. Finalmente, si se simula dos blancos distanciados 1, 6 cm entre ellos, se distinguen
perfectamente ambos blancos.
58
5. Resultados
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en acimut central de los blancos.
Figura 5.6: Reconstrucciones para blancos distanciados 1,6 cm entre ellos.
5.2.
Simulación con ruido
Hasta ahora, se ha considerado un sistema ideal, es decir, sin introducción de ruido en la
señal. Sin embargo, el sistema se verá afectado por el ruido térmico de los componentes, por
ejemplo el LNA, además de por el ruido generado por el viaje de la señal por la atmósfera. Para
generar la simulación con ruido, la única diferencia reside en añadir el ruido aditivo a la matriz
de señal rd al generar la señal en el procesador.
Para ello se usa la función randn, la cual permite la generación de números aleatorios entre
0 y 1 con una distribución gaussiana o normal. De esta manera, se genera el ruido con el comando No(randn(1,nfft,‘double’)+j randn(1,nfft,‘double’)) donde N0 corresponde a la
densidad espectral de ruido.
(a) Corte en distancia central de los blancos.
(b) Corte en acimut central de los blancos.
(c) Matriz resultado de la simulación.
Figura 5.7: Reconstrucciones para un blanco centrado con ruido.
La respuesta para un blanco centrado en (5, 0) de 0 dBsm con presencia de un ruido equiva-
5.2. Simulación con ruido
59
lente al NES 1 , de −30 dBsm, permite la distinción del blanco con una relación señal a ruido de
30 dB pero la señal presenta pequeñas irregularidades. En la imagen anterior, se observa que, a
pesar de la existencia del ruido, la respuesta del blanco se encuentra dentro de los márgenes de
tolerancia de error.
5.2.1.
Resolución
Como en el caso ideal, se verifica la resolución de las capturas con el ruido equivalente
al NES. De nuevo, se comprueba si las resoluciones teóricas se cumplen, de manera que dos
blancos distanciados una distancia menor a la dada por la resolución se distinguen como un
único blanco. Para ello se realizan las mismas capturas que para el caso ideal, de manera que
sean representativas de las diferencias.
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en distancia central de los blancos.
Figura 5.8: Reconstrucciones para blancos distanciados 10 cm entre ellos en distancia.
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en acimut central de los blancos.
Figura 5.9: Reconstrucciones para blancos distanciados 1 cm entre ellos en acimut.
La figura 5.8 corresponde al corte de la matriz resultado en distancia y la figura 5.9 corresponde al corte en acimut, ambas simulaciones de dos blancos cercanos en el eje respectivo.
Por contra, si están distanciados por, como mínimo, la resolución calculada, si se detectan los
blancos. De nuevo, la figura 5.10 corresponde al corte en distancia y la figura 5.11 corresponde
1
Noise Equivalent Sigma: nivel de coeficiente de retrodispersión en el que aparece el ruido de fondo cuando no
tenemos blancos en la escena.
60
5. Resultados
al corte en acimut.
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en distancia central de los blancos.
Figura 5.10: Reconstrucciones para blancos distanciados 20 cm entre ellos.
(a) Matriz resultado.
(b) Corte en acimut central de los blancos.
Figura 5.11: Reconstrucciones para blancos distanciados 1.6 cm entre ellos en acimut.
Como en el caso ideal, las resoluciones se cumplen, pero ahora los blancos no presentan el
módulo y fase exacta de generación ya que el ruido influye en los valores calculados. Además,
se observa que también el pulso de respuesta es más ancho que la resolución esperada ya que
corresponde a la respuesta de dos blancos. Sin embargo, los blancos siguen siendo perfectamente
detectables.
5.3.
Capturas con el GB-SAR
Como se ha comentado en el apartado de simulación, para el caso de datos reales se requiere
la función generador de valores con α = 1 y el procesador adaptado visto en 4.7. Se observa en
la tabla posterior que los parámetros que han sufrido cambios son la pendiente de la señal “chirp
”, Kc , la frecuencia de muestreo, fs , y el paso entre muestras del eje acimut, stepazi el cual se
puede calcular fácilmente conociendo la longitud del raíl y el número de posiciones recorridas.
stepazi =
0, 7 m
= 3, 11 × 10−5 m
22500
(5.1)
5.3. Capturas con el GB-SAR
61
Por lo tanto, ahora los valores usados por el GB-SAR son:
Unidad
fc
Kc
Valor
93,96 GHz
Hz
4,1528 Mµs
Unidad
B
fOL
Valor
1,512 GHz
1440 MHz
OL
fsysclk = f16
f
fprf = f sysclk
216
90 MHz
1,3732 kHz
fs = f sysclk
8
1
Tprf = fprf
f
11250000 Hz
728,17 µs
364,08 µs
stepazi
3,1 ×10−5 m
Tchirp = τ0 =
Tprf
2
Cuadro 5.1: Parámetros de ejecución.
Además, se tendrán en cuenta los diagramas de antena, de manera que se usarán, también, las
funciones antenna_pattern_tx y antenna_pattern_rx comentadas 4.1 aplicando la decorrelación
de manera que las imágenes resultantes no dependan del diagrama de antena.
Ahora, la distancia crítica del sistema es Rc = 3, 0625 m, la resolución en distancia se mantiene a 19, 8 cm, mientras que las resoluciones acimutales del sistema varían siguiendo las ecuaciones
vistas en 2.3.2, siendo de 7 mm para blancos situados a una distancia menor que la distancia
crítica del sistema.
5.3.1.
Captura de la pared del edificio C3
Desde el laboratorio del C3, donde se realizan los experimentos, se captura la información
devuelta por la pared del edificio del departamento de telemática.
Figura 5.12: Pared capturada con el GB-SAR.
Para saber si los resultados son lo correctos, se tiene que conocer la distancia entre ambos.
Desde la página electrónica del catastro se consulta la distancia aproximada entre ellos.
Como se ve en 5.13a, la distancia entre ambos edificios es de 11, 89 m. Como la medida se
toma desde el interior del edificio, se deben considerar unos cuantos centímetros más de distancia,
ya que se tiene que superar el alféizar o grueso del muro.
62
5. Resultados
(a) Distancia entre ambos edificios.
(b) Pared del C3 capturada desde el D3.
Figura 5.13: Resultado y distancia de la captura realizada.
La captura permite distinguir entre la pared, primera línea de intensidad elevada, y la ventana,
la segunda línea de intensidad elevada. Por lo tanto, permite conocer la profundidad a la que se
encuentra la ventana, siendo de unos 40 cm. Destacar que la segunda línea de intensidad es más
elevada ya que la pared absorbe más las ondas que el cristal de la ventana, por lo que devuelve
mucha más señal.
Figura 5.14: Distancia entre la ventana y el límite del muro.
5.3.2.
Cámara anecoica
En la cámara anecoica se capturan tres blancos situados alrededor de una pasarela. En la
imagen 5.15 se observa la pared final de la cámara, situada a 9 m, y cuatro blancos, de los cuales
uno es una antena que no se puede mover de la posición actual en la parte izquierda.
Figura 5.15: Cámara anecoica grande.
5.3. Capturas con el GB-SAR
63
Las medidas tomadas de la distancia en la cámara anecoica no son totalmente fiables ya que
al tener el material absorbente en la pared para absorber las ondas, no se puede tomar un punto
de referencia exacto, lo que provoca la existencia de errores en las medidas de las distancias.
Figura 5.16: Medida en la cámara anecoica grande.
Se observa en la figura 5.16 que el blanco 1 se sitúa a 6, 92 m cuando en las medidas realizadas
se sitúa a 6, 86 m, proporcionando un error de 6 cm en la medida. El blanco 2 se sitúa en 4, 66 m
mientras que se mide que se encuentra a 4, 57 m del GB-SAR, proporcionando ahora un error
de 9 cm. Finalmente, el blanco más cercano al GB-SAR, se sitúa a 3, 38 m cuando se mide que
se encuentra a 3, 35 m, introduciendo únicamente 3 cm de error.
Por lo que hace a la posición en el eje acimutal, los blancos 1 y 2 están distanciados entre
ellos unos 67 cm mientras que los blancos 2 y 3 se distancian 64 cm. En la figura las distancias
medidas entre ellos son de 53 cm.
Se toma una segunda captura en cámara anecoica, está vez una más pequeña, de aproximadamente 3 m de profundidad. Se colocan 4 blancos distribuidos en la cámara, como se puede
observar en la imagen 5.17.
Figura 5.17: Cámara anecoica pequeña.
64
5. Resultados
En la imagen 5.18 se pueden distinguir los blancos con facilidad. Ahora, el blanco 1 se sitúa
a 1, 456 m cuando se había medido que se encontraba a 1, 45 m. El blanco 2 se encuentra a
1, 904 m y teóricamente se sitúa a 1, 90 m, de manera que el error es del orden de mm. De igual
manera, el blanco 3 está en 2 m cuando debería estar en 1, 98 m y el último blanco se encuentra
en 2, 2 m cuando se encontraba a 2, 16 m.
Figura 5.18: Captura en la cámara anecoica pequeña.
En el eje paralelo al movimiento de la antena, la distancia entre blancos es más precisa que
con la primera captura en la cámara anecoica grande. La separación entre los blancos 4 y 3 es de
52 cm y en la captura es de 51, 2 cm. La distancia entre los blancos 3 y 2 calculada es de 48 cm
mientras que la obtenida con el algoritmo es de 44 cm. Finalmente, la distancia entre el blanco
1 y el blanco 2 es de 54 cm mientras que en el resultado del algoritmo es de 49, 6 cm.
5.3.3.
Pasarela
En el experimento se captura la pasarela entre los edificios D3 y D4 para ver el comportamiento del GB-SAR en condiciones normales, es decir, sin estar en condiciones ideales sin
atenuaciones por la atmósfera, el viento, etc. Para capturar la información se coloca el radar
justo debajo de la pasarela de manera que su movimiento es paralelo a la pasarela.
Figura 5.19: Escena capturada con el GB-SAR.
Las medidas de la pasarela se obtienen del catastro y de google maps. En las imágenes
5.4. Captura con el dron S1000
65
inferiores se observa los valores obtenidos.
(a) Longitud de la pasarela.
(b) Grosor de la pasarela.
Figura 5.20: Medidas de la pasarela.
En la imagen se pueden visualizar tanto las paredes de los edificios como los extremos de la
pasarela así como la ventana. Con las etiquetas se puede calcular las distancias, así se obtiene
que la pasarela mide 4, 08 m de largo y ≈ 2, 4 m de ancho.
(a) Pasarela medida en color.
(b) Pasarela medida en escala de grises.
Figura 5.21: Pasarela medida mediante el GB-SAR.
Alrededor de los 12 m se visualiza el eco de la señal. Al medir con el radar enfocando a la
pasarela y entre las paredes, la señal rebota y devuelve un eco fuerte de señal.
5.4.
Captura con el dron S1000
Con el dron S1000, del cual se dispone en el laboratorio, se realiza un vuelo en un aeropuerto
de aeromodelismo situado en Ripollet obteniéndo tres capturas del pueblo. Al tratarse de un
66
5. Resultados
vuelo con una trayectoria no tan estable como las capturas vistas hasta el momento, se debe
modificar ligeramente el código. Por ejemplo, el procesador de imagen SAR desarrollado requiere
conocer la trayectoria del radar y el equiespaciado entre barridos FM. Esta información se ha
obtenido a partir de los datos de navegación del dron tomando como origen de coordenadas la
posición incial del vuelo y teniendo en cuenta la velocidad de la plataforma durante la captura
de datos.
Además, en la formación de la imagen SAR es necesario descartar los transitorios “cross-over ”
generados en la señal de eco por la inversión de la pendiente de la modulación de frecuencia.
Para ello se eliminan 500 muestras al inicio de cada barrido.
Figura 5.22: Zona de Ripollet capturada.
Se puede ver en la reconstrucción del campo de fútbol de la población, y la distribución de
viviendas, entre ellas el edificio que realiza un triangulo en su forma. Para conseguir visualizar
los resultados se tiene que especificar colormap(‘bones’) para que devuelva la imagen en blanco
y negro. Si se trabaja en la escala lineal, se tiene que aplicar una corrección del histograma, ya
que los puntos de mayor sección recta radar provocan un gran margen dinámico entre los puntos
comunes y los de grandes reflexiones, por ello, se sesga el histograma.
(a) Histograma de la imagen obtenida.
(b) Histograma modificado de la imagen.
Figura 5.23: Histograma antes y después de su sesgo.
El procedimiento que se sigue para sesgar el histograma consiste en, primero representarlo
para toda la matriz. Para ello, se tiene que colocar toda la información en un vector usando
5.4. Captura con el dron S1000
67
vect=reshape(imatge,1,[]); y representarla con hist(vect,bins), donde bins corresponde
al número de divisiones del histograma deseadas. Posteriormente se escoge un valor, en el caso
que nos concierne, el valor corresponde a la línea roja y, cualquier valor de la matriz por encima
del umbral adquiere este nuevo valor, a partir del comando imatge(imatge>=valor)=valor.
De esta manera, se obtiene:
Figura 5.24: Captura lineal de Ripollet.
De manera análoga, se puede convertir la imagen al dominio logarítmico con el comando
20*log10(abs(imatge)) y representarlo de nuevo en blanco y negro. Ahora el resultado es:
Figura 5.25: Captura logarítmica de Ripollet.
Con el uso del Adobe Photoshop, se superponen la imagen real con el resultado del procesador
SAR, a la vez que se modifica la segunda imagen para que los blancos se visualicen rojos. En la
68
5. Resultados
imagen resultante se puede ver que el campo de futbol sirve como punto de referencia para unir
las dos imágenes.
Figura 5.26: Superposición de la imagen real de Ripollet y la procesada.
Si se observa en detalle, hay un edificio que tiene una forma triangular, el cual también se
puede distinguir en las simulaciones, y ambos quedan solapados con bastante precisión. Al lado
de este edificio, se encuentra el parque “dels Pinetons” que, como su nombre indica hay una
elevada presencia de pinos. Por este motivo, se ve en los resultados de las simulaciones una área
más oscura, ya que la vegetación absorbe la radiación. Seguidamente se ve el entramado de calles,
la cual no obtiene muy buena resolución debido a la falta de correcciones de trayectoria. Al final
de la imagen, se visualizan los puntos de intensidad más elevada, que coinciden con el polígono
industrial de la población, al lado del río y de la autopista, por lo que también se puede ver el
puente que une las poblaciones de Ripollet y Cerdanyola del Vallés, que corresponde a los puntos
de elevada intensidad en el eje de las ordenadas.
Capítulo 6
Conclusiones y futuras líneas de trabajo
6.1.
Conclusiones
Se han alcanzado los objetivos del proyecto, obteniendo un algoritmo de alta precisión de
procesado SAR basado en la retroproyección del problema directo. El procesador desarrollado se
ha adaptado a las características del GB-SAR disponible en el laboratorio de teledetección de
manera que al procesar la matriz de datos obtenida se pudiese conocer la amplitud de la sección
recta del blanco y su posición.
Para ello se tuvo que realizar un estudio exhaustivo del funcionamiento del GB-SAR y entender las técnicas aplicadas para el correcto desarrollo del algoritmo. En su primera fase, parecía
que la simulación del generador era simple, sin embargo, entraña más dificultad de la imaginada
por el requerimiento de precisión para las imágenes finales.
La segunda fase del proyecto fue dónde surgieron más dificultades. La escasa bibliografíca
disponible complicó la comprensión del algoritmo o de la consulta de dudas. La aplicación del
Back Propagation basado en la señal obtenida por el GB-SAR simplificó los primeros pasos. La
ejecución del algoritmo sirvió para verificar críticamente la matriz generada por el procesador.
Sin duda, uno de los pasos más complicados fue la compensación correcta de la fase de eco
y su verificación. Una vez conseguido este último paso, la dificultad consistió en trabajar con
variables matriciales y conseguir la interpolación correcta de manera que se pudiese reducir el
tiempo de ejecución considerablemente, uno de los puntos más críticos de la mayoría de algoritmos
de formación de imágenes SAR. Además, se ha resuelto satisfactoriamente la aplicación de filtros
para la mejora del resultado final y la calibración correcta.
Finalmente, el algoritmo se adaptó a los datos medidos por el GB-SAR sin mucha complicación. Como último paso, me otorgaron la posibilidad de procesar datos obtenidos mediante
el dron S1000 disponible en el laboratorio. Descubrir que el algoritmo desarrollado es capaz de
procesar imágenes de un municipio es muy gratificante.
69
70
6.2.
6. Conclusiones y futuras líneas de trabajo
Futuras líneas de trabajo
Durante el proyecto se han alcanzado los objetivos propuestos y a su vez, han surgido diferentes problemas que se pueden solucionar de diferentes maneras. Por ejemplo, el interpolador
usado finalmente es el interpolador lineal, ya que ofrece resultados muy buenos. Sin embargo, se
ha visto la necesidad de obtener el mismo valor de campo para una correcta corrección de fase,
dependiente de la distancia calculada para cada píxel de la antena durante la reconstrucción.
Aunque el interpolador lineal funciona bien y presenta pocos errores, se podría implementar un
interpolador sinc ya que está pensado para trabajar con el tipo de señales obtenidas con el FMCW y permitiría obtener mejor resolución. Como todos los problemas de la ingeniería se tiene
que plantear el compromiso entre calidad y coste computacional.
Por otra parte, se propone en [26] el uso del algoritmo Fast Back-Propagation el cual permite obtener resultados muy parecidos a los obtenidos con Back-Propagation, ahorrando coste
computacional y sin la necesidad de interpolar.
Además, el algoritmo Back-Propagation es un algoritmo muy flexible en cuanto al ángulo
de trabajo resultando un algoritmo muy universal. Esto se debe a que para procesar la señal
requiere conocer la posición del sensor respecto los puntos capturados. En el caso del dron S1000
se obtiene una imagen que permite distinguir algunos elementos de la población de Ripollet. Si
se quiere obtener una imagen con mejor resolución, sería necesario incorporar correcciones de la
trayectoria.
Finalmente, el tipo de radar incorporado en el GB-SAR es comúnmente usado en aplicaciones de interferometría o detección de blancos en movimiento. Por eso, sería útil validar el
funcionamiento del algoritmo para estas aplicaciones.
Apéndice A
Demostración de Sb(t)
En el capítulo de fundamentos radar y SAR, se menciona la formulación final de Sb (t). La
formulación parte de que la señal Sb (t) es la multiplicación entre la señal recibida y la señal
emitida conjugada, lo que permite obtener la pendiente equivalente a la frecuencia de batido del
tono recibido.
Se parte de las señales:
s(t) = At cos ω0 t + πKc t2 + φ+
2
rect
sr (t) = Ar cos ω0 (t − tr ) + πKc (t − tr ) + φ+
t
τ0
(A.1)
rect
t − tr
τ0
(A.2)
Si se formula,
Sb (t) = sr (t)s∗ (t)
= At Ar rect
t − tr
τ0
rect
t
τ0
(A.3)
cos ω0 (t − tr ) + πKc (t − tr )2 + φ+ cos ω0 t + πKc t2 + φ+
Si se define las contantes como,
J = At Ar rect
t − tr
τ0
rect
t
τ0
= At Ar rect
t − t2r
τ0 − tr
!
(A.4)
Y se usa la propiedad trigonométrica,
cos(a) cos(b) =
cos(a + b) + cos(a − b)
2
71
(A.5)
72
A. Demostración de Sb(t)
Donde,
a = ω0 (t − tr ) + πKc (t − tr )2 + φ+
(A.6)
b = ω0 t + πKc t2 + φ+
Por lo tanto,
cos (a + b) = cos ω0 (t − tr ) + πKc (t − tr )2 + φ+ + ω0 t + πKc t2 + φ+
= cos ω0 t − ω0 tr + πKc t2 − 2πKc ttr + πKc t2r + φ+ + ω0 t + πKc t2 + φ+
= cos 2ω0 t − ω0 tr + 2πKc t2 − πKc 2ttr + πKc t2r + 2φ+
cos (a − b) = cos ω0 (t − tr ) + πKc (t − tr )2 + φ+ − ω0 t − πKc t2 − φ+
(A.7)
(A.8)
= cos ω0 t − ω0 tr + πKc t2 − 2πKc ttr + πKc t2r + φ+ − ω0 t − πKc t2 − φ+
= cos −ω0 tr − πKc 2ttr + πKc t2r
Entonces, y considerando que la ecuación A.7 va ser filtrada por el filtro paso bajo, queda
que,
J
cos −ω0 tr − πKc 2ttr + πKc t2r
2
!
t − t2r
At Ar
=
rect
cos −ω0 tr − πKc 2ttr + πKc t2r
2
τ0 − tr
Sb (t) =
(A.9)
Se puede pasar de la ecuación 2.15 a la ecuación obtenida en este anexo A.9,
!
Sb (t) = < At Ar rect
t − t2r
τ0 − tr
!
= < At Ar rect
t − t2r
τ0 − tr
!
e
−jω0 tr −jπKc 2ttr jπKc t2r
e
j (−ω0 tr −πKc 2ttr +πKc t2r )
e
e
!
(A.10)
Si se considera la propiedad de Euler,
ejx = cos(x) + jsin(x)
Ahora,
(A.11)
73
2
< ej (−ω0 tr −πKc 2ttr +πKc tr )
= < cos −ω0 tr − πKc 2ttr + πKc t2r + jsin −ω0 tr − πKc 2ttr + πKc t2r
= cos −ω0 tr − πKc 2ttr + πKc t2r
(A.12)
Por lo tanto,
Sb (t) = < At Ar rect
= At Ar rect
t − t2r
τ0 − tr
!
t − t2r
τ0 − tr
!
!
e
j (−ω0 tr −πKc 2ttr +πKc t2r )
cos −ω0 tr − πKc 2ttr + πKc t2r
(A.13)
Apéndice B
Demostración de Sb(f)
En el capítulo de fundamentos radar y SAR, se menciona la formulación final de Sb (f ). La
formulación proviene de la transformada de Fourier de Sb (t) hecho que permite obtener un pulso
sinc para poder conocer la frecuencia de batido de la señal y, en consecuencia, la distancia entre
el blanco y el radar.
Se parte de la ecuación 2.15 y se aplica la fórmula de la transformada de Fourier,
Z
∞
Sb (f ) = F (Sb (t)) =
sb (t) e−j2πf0 t dt
(B.1)
−∞
Sustituyendo Sb (t),
Z
∞
Sb (f ) =
At Ar rect
−∞
t − t2r
τ0 − tr
!
2
ejω0 tr ej2πkc ttr e−jπkc tr e−j2πf0 t dt
(B.2)
Los términos que no dependen de t son una constante, por lo tanto, la integral no va a surgir
ningíun efecto sobre ellos,
Sb (f ) = At Ar e
jω0 tr −jπkc t2r
Z
t − t2r
τ0 − tr
∞
e
rect
−∞
!
ej2πkc ttr e−j2πf0 t dt
(B.3)
El pulso rectangular únicamente limita temporalmente la integral, cambiando los límites,
pero no en amplitud dado que tiene valor 1. El pulso se encuentra centrado en t2r y tiene una
r
amplitud de τ0 −tr. Por lo tanto sus límites serán t2r ± τ0 −t
2 . Modificando los límites de la integral
a los del pulso y reagrupando los exponentes de las exponenciales,
Sb (f ) = At Ar e
jω0 tr −jπkc t2r
Z
e
tr
2
tr
2
75
+
τ0 −tr
2
τ −t
− 02 r
e−j2π(f0 −kc tr )t dt
(B.4)
76
B. Demostración de Sb(f)
Integrando según la fórmula de la exponencial,
2
Sb (f ) = At Ar ejω0 tr e−jπkc tr
τ −t
−j2π(f0 −kc tr ) t2r + 0 2 r
τ −t
−j2π(f0 −kc tr ) t2r − 0 2 r
−e
−j2π(f0 − kc tr )
e
(B.5)
2
Considerando J = At Ar ejω0 tr e−jπkc tr ,
Sb (f ) = J
e
−j2π(f0 −kc tr )
tr
2
+
τ0 −tr
2
τ −t
−j2π(f −kc tr ) t2r − 0 2 r
0
−e
−j2π(f0 − kc tr )
(B.6)
Si se aisla de las exponenciales resultantes de la integración el término con el retraso,
τ0 −tr
Sb (f ) = Je
−j2π(f0 −kc tr ) t2r
e−j2π(f0 −kc tr ) 2 − ej2π(f0 −kc tr )
−j2π(f0 − kc tr )
τ0 −tr
2
(B.7)
Eliminando los factores 2 que se compensan,
Sb (f ) = Je−jπ(f0 −kc tr )tr
e−jπ(f0 −kc tr )(τ0 −tr ) − ejπ(f0 −kc tr )(τ0 −tr )
−j2π(f0 − kc tr )
(B.8)
Por propiedades de las señales en el dominio frecuencial, la primera exponencial resulta ser
un retraso de la señal, de manera que,
Sb (f ) = J
e−jπ(f0 −kc tr )(τ0 −2tr ) − ejπ(f0 −kc tr )(τ0 −2tr )
−j2π(f0 − kc tr )
(B.9)
Se sustituye x = π(f0 − kc tr ) (τ0 − 2tr ) por simplicidad,
Sb (f ) = J
e−jx − ejx
e−jx − ejx
=
J
(τ
−
2t
)
0
r
x
−j2 (τ0 −2t
−j2x
r)
(B.10)
Desarrollando Euler,
Sb (f ) = J (τ0 − 2tr )
cos(x) − jsin(x) − cos(x) − jsin(x)
−j2x
(B.11)
Operando,
Sb (f ) = J (τ0 − 2tr )
−2jsin(x)
sin(x)
= J (τ0 − 2tr )
= J (τ0 − 2tr ) sinc(x)
−j2x
x
(B.12)
77
Finalmente, sustituyendo el valor de J y de x, se obtiene,
2
Sb (f ) = F (Sb (t)) = At Ar e−jπkc tr ejω0 tr (τ0 − 2tr ) sinc ((f − kc tr ) (τ0 − 2tr ))
(B.13)
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79
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