Capítulo 5 PRIMER MODELO DEL PROBLEMA

Departamento de Física Aplicada III
Capítulo 5:
Primer modelo
Capítulo 5
PRIMER MODELO
DEL PROBLEMA
Ya en el prólogo de este trabajo se comentó que hemos modelado el problema de
tres formas diferentes, profundizando el estudio de la estructura molecular en cada uno
de ellos. En este primero la molécula de agua es estudiada como un simple dipolo
eléctrico, pero la estructura del mismo se mantendrá casi invariable a lo largo de los
otros dos.
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Capítulo 5:
Primer modelo
1.- HIPÓTESIS DE PARTIDA
Con objeto de simplificar el problema, introduciremos las siguientes hipótesis:
1.- Inicialmente tenemos un gas de moléculas de H2O a muy baja densidad, de
forma que se puede considerar como un gas ideal en equilibrio, y que cumple todos los
requisitos para seguir la ley de distribución de Maxwell-Boltzmann.
2.- La sección del cilindro es muy pequeña comparada con la distancia a la que
se encuentran separadas las placas del condensador.
3.- Suponemos que al quitar el trinquete el movimiento de las moléculas es
unidireccional, paralelo al eje del cilindro, despreciando los posibles choques entre ellas
y las paredes del cilindro. Esta suposición es poco rigurosa, pues sabemos que los
choques entre las moléculas es una de las claves de la teoría cinética de los gases.
Visto de otra forma, las moléculas podrían chocar entre ellas o con las paredes
del cilindro, pero únicamente consideraremos la componente longitudinal de sus
velocidades.
4.- Las moléculas llegan al gradiente de campo con el mismo perfil de
velocidades que tenían antes de quitar el trinquete, pues en esta parte de la expansión no
ha variado la temperatura, como concluimos en el capítulo I. Es decir, la distribución de
velocidades del paquete de moléculas es la misma que antes de la expansión.
5.- Suponemos que podemos ajustar el campo E a la velocidad con que las
moléculas llegan al gradiente, es decir, es conocido E=E(v). Posteriormente veremos
que conocido E=E(v) es inmediato obtener E=E(t).
6.- Consideraremos únicamente la energía cinética de traslación del gas, sin
tener en cuenta su energía rotacional ni vibracional. Por tanto, las moléculas de H2O
serán tratadas inicialmente como monoatómicas.
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2.- CONDICIONES INICIALES DEL PROBLEMA
Las condiciones iniciales y datos de partida del problema son:
N = 6.023 × 10 23 moleculas
m( H 2 O ) = 2.9885 × 10 − 26 Kgr.
p ( H 2 O) = 6.2 × 10 −30
J
V
m
Ti = 298 K
donde:
N = número de moléculas de H2O que forman el gas encerrado en el cilindro
adiabático, antes de que sea expandido.
m = masa de una molécula de H2O16
p = momento dipolar de la molécula de agua.
Ti = Temperatura inicial de la muestra de gas de H2O
La distribución de Maxwell- Boltzmann de velocidades del gas en su estado inicial,
como se demostró en el capítulo II,es:
 m
dN 
 = 4πN 
dv  Ti
 2 KTi



3/ 2
 − mv 2

2  2 KTi
v e




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Sustituyendo las condiciones iniciales y datos del problema:
−6 2
dN 
= 9.4143 × 1015 v 2 e (−3.633×10 v )

dv  298 K
1,000 x 10 21
dN/dv
8,000 x 10 20
6,000 x 10 20
4,000 x 10 20
2,000 x 10 20
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
v (m/s)
Recordamos que la distribución de Maxwell-Boltzmann es una función de
densidad de probabilidades, por lo cual el significado físico de dN/dv es el número de
moléculas cuya velocidad se encuentra dentro del intervalo v , v+dv. Por tanto, si
integramos la función entre 0 y ∞ debemos obtener el número total de moléculas que
forman el gas.
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.
En la distribución inicial se observa que la velocidad molecular más probable tiene
lugar para:
v = 525 m
s
Este valor es importante porque nos servirá de referencia a la hora de comparar los
resultados obtenidos con la situación inicial.
3.-PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
Al quitar el trinquete dejamos que el gas se expanda contra la presión exterior nula, y
conectamos la fuente de voltaje de las placas del condensador. Entonces, las moléculas
de H2O atravesarán la zona del gradiente de campo eléctrico. Nuestro objetivo es
conocer la nueva distribución de Maxwell-Boltzmann de las moléculas del gas y
constatar si, en efecto, se ha producido el enfriamiento de la muestra. A su vez, veremos
qué orden de magnitud de intensidad de campo eléctrico se necesita para lograr un
enfriamiento certero, y qué limitaciones presenta el problema.
Al ser el campo eléctrico conservativo, cada molécula sufrirá un decremento de
energía cinética al atravesar el gradiente, a costa de un incremento en su energía
potencial, de manera que la energía total de la molécula se conserva.
1 2 1
mv − mw 2 = pE (v)
2
2
donde:
v= Velocidad inicial ( antes de atravesar el gradiente)
w= Velocidad final ( tras atravesar el gradiente)
p= momento dipolar
E(v) = campo eléctrico variable con el tiempo
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De la ecuación anterior, y sabiendo que:
J
2p
Kgr
−4
= 4.14 × 10
V
m
m
podemos despejar la velocidad final:
(1) w 2 = v 2 − 4.14 × 10 −4 E (v)
La nueva distribución de moléculas será
dN
, que se puede expresar en función de la
dw
distribución inicial mediante el siguiente cambio de variable:
(2)
dN dN dv
=
×
dw dv dw
Para obtener la expresión de
dv
de la ecuación (2), basta con derivar la ecuación (1),
dw
y obtenemos que:
(3)
dv
w
=
dw v − 2.07 × 10 − 4 dE
dv
Por último, necesitamos ecuación de la distribución inicial de MaxwellBoltzmann del gas en su estado inicial.
(4)
−6 2
dN 
= 9.4143 × 1015 v 2 e (−3.633×10 v )

dv  298 K
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Estas 4 ecuaciones, junto a la ecuación E=E(v) que determina la evolución temporal
del campo eléctrico con el tiempo, constituyen un conjunto de 5 ecuaciones con 6
incógnitas, que permitirán resolver el problema.
Las incógnitas del problema son:
E, v, w,
dN dN dv
,
,
.
dv dw dw
4.-RESTRICCIONES DEL PROBLEMA
Hasta ahora no hemos limitado la intensidad del campo E aplicado, pero como
veremos a continuación dicha intensidad no puede ser todo lo grande que queramos.
En efecto, valores muy grandes del campo E pueden provocar que al atravesar las
moléculas el gradiente de campo no sólo se vean frenadas, sino que incluso se vieran
aceleradas en sentido contrario al inicial. Con cierta lógica , se puede pensar que para
cada velocidad de las moléculas habrá un campo límite Elimit que provocará que w=0, es
decir, que la molécula sea frenada hasta llegar al reposo.
Matemáticamente esto se traduce hallando para qué valores de E la velocidad final w
de las moléculas se hace cero en la ec (1).
w 2 = v 2 − 4.14 × 10 −4 E (v)
w = 0
→ v 2 = 4.14 × 10 −4 E (v)
E limit (v) = 2415.46v 2
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E(V/m)
3,000 x 10 10
2,500 x 10 10
2,000 x 10 10
Región de campo prohibida
1,500 x 10
10
1,000 x 10 10
5,000 x 10 9
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
v (m/s)
Si nuestra función E(v) discurre en algún momento por la zona señalada en la
gráfica anterior como región de campo prohibida, entonces cabe pensar que algunas de
las moléculas que han pasado por el gradiente de campo han sido lanzadas en sentido
contrario, hecho que debemos evitar.
Es fácil deducir que un campo eléctrico constante E, por muy pequeño que sea,
provocará esta situación para alguna molécula con cierta velocidad v. De la misma
forma, en teoría al aplicar un campo eléctrico idéntico a Elimit se conseguiría un
enfriamiento cercano al cero absoluto, pues tendríamos que todas las moléculas de
nuestro gas quedarían frenadas en seco, con velocidad nula.
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5.- SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Vamos a escoger un campo eléctrico que decae con el tiempo cuadráticamente, pues
es el que teóricamente obtendría mejores resultados, y que se encuentre dentro del área
permitida de la gráfica anterior, como el siguiente:
E (v) = 2000v 2
Como vemos, está cerca de la barrera del campo límite definido en el apartado
anterior, por lo que cabe esperar un enfriamiento certero.
El conjunto total de ecuaciones a aplicar son:
(1) w 2 = v 2 − 4.14 × 10 −4 E (v)
(2)
(3)
dv
w
=
dw v − 2.07 × 10 − 4 dE
dv
−6 2
dN 
= 9.4143 × 1015 v 2 e (−3.633×10 v )

dv  298 K
(4) E (v) = 2000v 2
(5)
dE
= 4000v
dv
(6)
dN dN dv
=
×
dw dv dw
Este sistema de ecuaciones consta de 6 ecuaciones y 7 incógnitas. Para resolverlo,
realizaremos una tabla paramétrica que recorrerá la semirrecta w = (0,∞) y, por tanto, la
nueva distribución de moléculas será la siguiente:
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w(m/s)
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
400
425
450
475
500
525
550
575
600
625
650
675
700
725
750
775
800
825
850
875
900
925
950
975
1000
1025
dN/dw
3,13E+20
6,59E+20
1,07E+21
1,48E+21
1,85E+21
2,12E+21
2,27E+21
2,29E+21
2,20E+21
2,02E+21
1,78E+21
1,50E+21
1,22E+21
9,52E+20
7,19E+20
5,25E+20
3,71E+20
2,54E+20
1,68E+20
1,08E+20
6,70E+19
4,05E+19
2,37E+19
1,35E+19
7,42E+18
3,98E+18
2,07E+18
1,05E+18
5,14E+17
2,45E+17
1,14E+17
5,13E+16
2,25E+16
9,58E+15
3,97E+15
1,60E+15
6,27E+14
2,39E+14
8,86E+13
3,19E+13
V(m/s)
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
Capítulo 5:
dv/dw
120,6
180,8
241,1
301,4
361,7
422
482,2
542,5
602,8
663,1
723,4
783,6
843,9
904,2
964,5
1025
1085
1145
1206
1266
1326
1386
1447
1507
1567
1628
1688
1748
1808
1869
1929
1989
2050
2110
2170
2230
2291
2351
2411
2471
E(V/m)
1,30E+20
2,73E+20
4,43E+20
6,15E+20
7,66E+20
8,78E+20
9,41E+20
9,51E+20
9,14E+20
8,38E+20
7,36E+20
6,21E+20
5,04E+20
3,95E+20
2,98E+20
2,18E+20
1,54E+20
1,05E+20
6,97E+19
4,47E+19
2,78E+19
1,68E+19
9,82E+18
5,58E+18
3,08E+18
1,65E+18
8,58E+17
4,34E+17
2,13E+17
1,02E+17
4,72E+16
2,13E+16
9,32E+15
3,97E+15
1,65E+15
6,63E+14
2,60E+14
9,91E+13
3,67E+13
1,32E+13
Primer modelo
dN/dv
482243
723364
964486
1,21E+06
1,45E+06
1,69E+06
1,93E+06
2,17E+06
2,41E+06
2,65E+06
2,89E+06
3,14E+06
3,38E+06
3,62E+06
3,86E+06
4,10E+06
4,34E+06
4,58E+06
4,82E+06
5,06E+06
5,31E+06
5,55E+06
5,79E+06
6,03E+06
6,27E+06
6,51E+06
6,75E+06
6,99E+06
7,23E+06
7,48E+06
7,72E+06
7,96E+06
8,20E+06
8,44E+06
8,68E+06
8,92E+06
9,16E+06
9,40E+06
9,65E+06
9,89E+06
dE/dv
2,91E+07
6,54E+07
1,16E+08
1,82E+08
2,62E+08
3,56E+08
4,65E+08
5,89E+08
7,27E+08
8,79E+08
1,05E+09
1,23E+09
1,42E+09
1,64E+09
1,86E+09
2,10E+09
2,36E+09
2,62E+09
2,91E+09
3,21E+09
3,52E+09
3,84E+09
4,19E+09
4,54E+09
4,91E+09
5,30E+09
5,70E+09
6,11E+09
6,54E+09
6,98E+09
7,44E+09
7,91E+09
8,40E+09
8,90E+09
9,42E+09
9,95E+09
1,05E+10
1,11E+10
1,16E+10
1,22E+10
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w(m/s)
1050
1075
1100
1125
1150
1175
1200
1225
1250
1275
1300
1325
1350
1375
1400
1425
1450
1475
1500
dN/dw
1,12E+13
3,82E+12
1,27E+12
4,10E+11
1,29E+11
3,94E+10
1,17E+10
3,40E+09
9,58E+08
2,63E+08
7,01E+07
1,82E+07
4,60E+06
1,13E+06
271183
63209
14340
3167
680,7
V(m/s)
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
2,411
Capítulo 5:
Primer modelo
dv/dw
2532
2592
2652
2713
2773
2833
2893
2954
3014
3074
3135
3195
3255
3315
3376
3436
3496
3557
3617
E(V/m)
dN/dv
4,65E+12 1,01E+07
1,59E+12 1,04E+07
5,27E+11 1,06E+07
1,70E+11 1,09E+07
5,35E+10 1,11E+07
1,64E+10 1,13E+07
4,87E+09 1,16E+07
1,41E+09 1,18E+07
3,97E+08 1,21E+07
1,09E+08 1,23E+07
2,91E+07 1,25E+07
7,55E+06 1,28E+07
1,91E+06 1,30E+07
469642
1,33E+07
112467
1,35E+07
26215
1,37E+07
5947
1,40E+07
1313
1,42E+07
282,3
1,45E+07
dN
La representación gráfica de la nueva distribución
es :
dw
dE/dv
1,28E+10
1,34E+10
1,41E+10
1,47E+10
1,54E+10
1,61E+10
1,67E+10
1,75E+10
1,82E+10
1,89E+10
1,97E+10
2,04E+10
2,12E+10
2,20E+10
2,28E+10
2,36E+10
2,45E+10
2,53E+10
2,62E+10
dN/dw
2,500 x 10 21
2,000 x 10 21
1,500 x 10 21
1,000 x 10 21
5,000 x 10 20
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
w (m/s)
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Primer modelo
Podemos comparar la nueva distribución de velocidades con la inicial, que si
recordamos era :
1,000 x 10 21
dN/dv
8,000 x 10 20
6,000 x 10 20
4,000 x 10 20
2,000 x 10 20
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
v (m/s)
En efecto, se ha producido el efecto deseado: un estrechamiento en la función de
distribución de velocidades. En la nueva distribución la velocidad de la mayor parte de
las moléculas que forman el gas están incluidas en un intervalo muy reducido, por lo
cual la función debe ser más picuda que la anterior, pues recordemos que el área entre la
curva y
abcisa de ambas distribuciones debe ser la misma (mismo número de
moléculas).
En la distribución final de velocidades vemos que la velocidad molecular más
probable tiene lugar para:
v = 225 m
s
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6.-DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS
En el apartado anterior hemos hallado la distribución final de velocidades
moleculares, y hemos constatado que se ha producido el efecto que preveíamos al
principio: las moléculas más veloces han sido frenadas en mayor medida que las más
lentas, con lo cual podemos decir que en general, están más agrupadas.
En esta sección lo que buscamos es comparar esta nueva distribución del gas con otra
similar de Maxwell- Boltzmann, y de esta manera obtener un orden de magnitud en
temperaturas del enfriamiento conseguido.
Si nuestra distribución final de moléculas fuera de Maxwell-Boltzmann, tendríamos
que, según el capítulo II:
Vm =
2kT
m
donde Vm es la velocidad molecular más probable, y k es la constante de Boltzmann
Vm = 225 m 
→ T f = 54.82 K
s
Entonces, lo que haremos es hallar la distribución de Maxwell-Boltzmann de 1 mol
de H2O a dicha temperatura y comparar ambas curvas.
−5 2
dN 
= 1.193 × 1017 v 2 e (−1.975×10 v )

dv  54.82 K
___________________________________________________________________ 81
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Capítulo 5:
Primer modelo
dN/dv
2,250 x 10 21
1,800 x 10 21
1,350 x 10 21
9,000 x 10 20
4,500 x 10 20
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
v (m /s)
Vemos que ambas gráficas son muy parecidas, con un error de menos de un 5%,
con lo cual podemos decir que se puede haber conseguido un enfriamiento de unos
250K en orden de temperaturas.
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