Electromagnetismo II

Electromagnetismo II
Semestre: 2015-1
Reposición de tercer parcial: Solución
Dr. A. Reyes-Coronado
Por: Jesús Castrejón Figueroa
Problema 1 (25pts)
Una esfera de radio R posee una polarización dada por:
P~ (~r ) = k ~r ,
donde k es una constante y ~r es el vector de posición en coordenadas esféricas.
(a) Calcula las cargas inducidas σb y ρb .
(b) Calcula el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.
Solución:
a) La densidad superficial de carga está dada por:
~ · n̂ = P
~ · êr = kR.
σb = P
(1)
Mientras que la densidad volumétrica de carga es:
~ = − 1 ∂ r2 kr = −3k.
ρb = −∇ · P
r3 ∂r
(2)
b) Para calcular el campo eléctrico comencemos en al región r < R, usando ley de Gauss es fácil ver que el
campo eléctrico está dado por:
~ = ρr êr = − k êr si 0 < r < R.
E
(3)
30
0
3
Para r > R el campo eléctrico es el mismo que el de una carga puntual con carga Qtot = σb 4πR2 +(−3k) 4πR
=
3
0, por lo que:
~ = 0 si R < r.
E
(4)
Problema 2 (25pts)
Un conductor esférico de radio a que posee una carga Q, se encuentra rodeado por un dieléctrico lineal de
susceptibilidad χE de radio b, como se muestra en la figura. Calcula la energía de esta configuración por medio
de la siguiente ecuación:
Z
1
~ ·E
~ dV .
D
W =
2
1
Solución: Es posible calcular el desplazamiento eléctrico por medio de su relación con la carga libre, dada por:
I
~ · d~a = Qfree ,
(5)
D
enc
en este caso Qfree
enc = Q y debido a que el sistema tiene simetría esférica tomemos una esfera de radio r como
superficie gaussiana, obtenemos:
~ =
4πr2 D = Q ⇒ D
Q
~er si a < r.
4πr2
(6)
~ = 0 para 0 < r < a. Para un dieléctrico lineal se cumple que D
~ = E
~ = 0 (1 + χE )E,
~ por lo
Mientras que D
tanto el campo eléctrico está dado por:

0
si
r < a,





Q
~ =
er si a < r < b,
(7)
E
4πr 2 ~





Q
er si
r > b.
4π0 r 2 ~
Así la energía es:
"Z
Z ∞ 2 #
b
2
2
4πQ
r
dr
r dr
~ ·E
~ dV =
D
+
20 (4π)2 a (1 + χE )r4
r4
b
Q2
1
1 1
1
=
−
+
8π0 1 + χE a b
b
Q2
1 χE
=
+
.
8π0 (1 + χE ) a
b
1
W =
2
Z
(8)
Problema 3 (25pts)
Un cilindro muy largo de radio R y una densidad volumétrica de carga ρ gira con una frecuencia ω alrededor
de su eje. Calcula el campo magnético sobre su eje de simetría. ¿Cómo cambiaría tu resultado si toda la carga
estuviera concentrada en la superficie del cilindro?
2
Solución: La corriente volumétrica J~ en el cilindro es:
J~ = ρ~v = ρωrêφ ,
(9)
notemos que la dirección de la corriente es azimutal, al igual que en un solenoide. En la Fig. 1 se muestra un
circuito amperiano sobre una sección transversal del cilindro. El campo magnético fuera del cilindro es cero, ya
que estamos considerando que es de una longitud muy grande, mientras que el campo dentro es paralelo al eje.
Uusando la ley de Ampére, tenemos:
I
~ = BL
~ · dl
B
(10)
= µ0 i
Z
L
Z
R
rdrdz
= µ0 ρω
0
=
y entonces:
r
µ0 ρω 2
(R − r2 )L,
2
 µ ρω
0

(R2 − r2 )êz

2
~ =
B


0
r < R;
(11)
r > R.
Figura 1: Circuito amperiano usado para calcular el campo magnético producido en una simetría cilíndrica por una
corriente azimutal que depende del radio r.
Si la carga es puramente superficial, entonces la corriente viene dada por:
~ = σωRêφ ,
K
(12)
y entonces, usando el mismo circuito amperiano de la figura, tenemos:
BL = µ0 σωRL,
3
(13)
y el campo magnético es:
~ =
B

µ0 σωRêz
r < R;
(14)
0

r > R.
Notemos que si consideramos que el cilindro tiene una carga total λ por unidad de longitud, entonces:
ρ=
λ
,
πR2
(15)
para el caso de que la carga se distribuya uniformemente en el volumen, por lo que el campo en el centro del
cilindro (r = 0) es:
µ0 ρω 2
µ0 ωλ
B=
R =
,
(16)
2
2π
mientras que si la carga es puramente superficial:
σ=
λ
,
2πR
(17)
y el campo dentro del cilindro (para todo r < R) es:
B = µ0 σωR =
µ0 ωλ
,
2π
(18)
por lo que el campo magnético es el mismo sin importar la dependencia espacial de la distribución de carga.
Problema 4 (25pts)
Considera un solenoide infinito con sección transversal circular, que posee una corriente estacionaria I y n
vueltas por unidad de longitud. Muestra que el campo magnético fuera es cero y dentro es B = µ0 nI (en la
dirección longitudinal) en cualquier punto, siguiendo los siguientes pasos:
(a) Muestra que el campo magnético tiene solamente componente longitudinal. Hint: Considera las contribuciones al campo de aros que están localizados simétricamente respecto a un punto dado.
(b) Usa la ley de Ampère para mostrar que el campo tiene un valor uniforme tanto fuera como dentro del
solenoide, y estos valores difieren por µ0 nI.
(c) Muestra que B → 0 conforme r → 0. Hay varios caminos para esto, puedes obtener una cota superior para
la contribución al campo debido a un aro dado, desenrrollando el aro en un segmento de línea recta, y
luego calculando el campo debido a este segmento.
Solución:
a) El hecho de que el campo magnético sólo tenga una componente longitudinal viene de considerar las distribuciones de dos circuitos cerrados a ambos lados de un punto dado P , equidistantes a P (el campo debido
a cada uno de los circuitos B1 y B2 se muestra en la figura de abajo). En cualquier punto P sobre el plano a
la mitad de los anillos el campo apunta en la dirección longitudinal, debido a que las componentes radiales se
cancelan, como puede verse en la figura. Este argumento se cumple tanto para puntos dentro del cilindro como
para puntos fuera de el.
4
b) Una vez que se ha demostrado que el campo es longitudinal, se mostrará que el campo es uniforma dentro
y fuera del solenoide. Considere un circuito amperiano rectangular que se encuentre totalmente dentro del
solenoide, con dos lados apuntando en la dirección longitudinal y los otros dos apuntando en la dirección
transversal, como se ve en la figura. Lo cual nos da la discontinuidad del campo magnético en la superficie del
solenoide. Este circuito no encierra corriente, por lo tanto, la integral de línea del campo magnético es cero,
además, el campo no contribuye en la dirección transversal, por lo que se tiene que:
I
~ · d~l = (Ba − Bb )L = 0,
B
(19)
por lo que:
Ba = Bb ,
(20)
Bc = Bd ,
(21)
análogamente se tiene que para fuera del cilindro:
por lo que el campo es uniforme tanto fuera como dentro del cilindro. Consideremos un circuito amperiano
rectangular con un lado longitudinal dentro del solenoide y el otro fuera del solenoide, considerando que cada
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uno de estos lados tiene una longitud L, ahora el circuito encierra una corriente nIL, por lo que la ley de Ampère
resulta ser:
(Bin − Bout )L = µ0 nIL,
(22)
lo cual nos da la discontinuidad del campo magnético en la superficie de solenoide.
c) Ahora se demostrará que B → 0 cuando r → ∞. Considere el campo magnético en un punto P producido
por un aro particular del solenoide. Digamos que P está a una distancia muy grande del aro (grande comparado
con el tamaño del aro). El campo debido a este aro es menor que el campo producido por un segmento recto
de alambre que tenga el mismo tamaño del aro, es decir, un alambre de longitud b = 2πa (si a es el radio del
solenoide) y que, además, esté orientado en la dirección perpendicular del punto P . Veamos por qué, en el aro,
la corriente se mueve en diferentes direcciones alrededor de este, por lo tanto, las contribuciones a la ley de
Biot-Savart mayoritariamente se cancelan. Así, un límite superior al campo producido por el solenoide es el
producido por un conjunto infinito de alambres rectos de longitud b, alineados lado a lado. Para establecer el
límite superior, es decir, el campo producido por este conjunto infinito, basta con calcular el campo debido a
un solo segmento y, después, sumarlos. El campo debido a un segmento solo es:
B=
µ0 Ib
,
4π x2 + r2
(23)
las distancias r y x se muestran en la figura.
es
Hay n segmentos de alambre por unidad de longitud, así que el límite superior del campo debido al solenoide
Z
∞
µ0 nIb ∞
µ0 nIb
dx
µ0 nIb
−1 x Bsup =
=
tan
.
(24)
=
2
2
4π
4πr
r −∞
4r
−∞ x + r
Se sigue que, en el límite r → ∞, el límite superior de B debe ser cero; consecuentemente B = 0 en r = ∞,
como se quería mostrar.
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