1 LO QUE DEBO APRENDER

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LIC. ESP. BLANCA N. CASTILLO R.
PERIODO I
GUIA NO. 1
3 semanas
ENERO 25 AL 1 DE
ABRIL 2016
Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones
trigonométricas Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos
Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas Justifico la teoría de
las relaciones trigonométricas en el cálculo de ejercicios
EJE TEMATICO : PENSAMIENTO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO VARIACIONAL
LO QUE DEBO APRENDER:
MOTIVACIÓN: “Para ganarme una beca del gobierno debo prepararme y ser el (la) mejor”
Funciones
1. Función
1.1 concepto
1.2 Dominio y rango
1.3 Clases de funciones
2. Representación de funciones
2.1 Gráficos
2.2 Función creciente y decreciente
2.3 funciones pares e impares
2.4 Funciones periódicas
2.5 Función inversa
3. Función de variable real
3.1 Función lineal y afín
3.2 Función cuadrática y cubica
4. Función exponencial y logarítmicas
5. Función definidas a trozos
5.1 Función parte entera
5.2 Función valor absoluto
Funciones trigonométricas
Conceptos previos
1. Ángulos
1.1 Ángulos en el plano cartesiano
1.2 Medición de ángulos
1.3 Longitud de arco
1.4 Velocidad angular y lineal
1.5 Triángulos
2. Funciones trigonométricas
2.1 Definición de las funciones
trigonométricas de unos ángulos en su
posición normal
2.2 Signo de las funciones trigonométricas
2.3 Funciones trigonométricas en los
cuadrantes
3. Relaciones trigonométricas en el
triángulo rectángulo
4. Reducción al primer cuadrante
5. Problemas de aplicación
CONCEPTUALIZACIÓN
Función matemática
En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada
polígono le corresponde su número de lados.
En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono
le corresponde su número de lados.
Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de
«salida»
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del
valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área
es proporcional al cuadrado del radio, A =π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos
ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la
duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la
denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable
independiente.
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En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a
cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática).
Por ejemplo, cadanúmero entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):
... −2 → +4, −1 → +1, 0 → 0,
+1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ...
Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números
naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede
imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:
..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...
Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.
La manera habitual de denotar una función f es:
f: A → B
a → f(a),
Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f,
su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un
cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta
expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto.
En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:
f: Z → N
k → k2, o sencillamente f(k) = k2;
g: V → A
p → Inicial de p;
si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.
Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la
imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con
su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.
Introducción
Representación gráfica de la velocidad de un cuerpo acelerado a 0,66 m/s2.
Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y
puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es
la relación entre la posición y el tiempoen el movimiento de un cuerpo.
Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del
tiempo transcurridot. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas
magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se
supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)
Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto
instante t, para varios momentos distintos:
Tiempo t (s) Distancia d (m)
0,0
0,0
0,5
0,1
1,0
0,3
1,5
0,7
2,0
1,3
2,5
2,0
La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la
curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos
y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de
calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la
expresión:
d = 0,33 × t2,
donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una
dependencia entre ambas magnitudes.
Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables
independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la
distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, d = a·t2/2. Las funciones también se utilizan
para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una
función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le
asigna el siguiente:
3
Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes
Definición
La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos
dados.
Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación6 f que a cada
elemento de A le asigna un único elemento de B.
Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es
su codominio(también conjunto de llegada o conjunto final).
Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del
dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente.
Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que
construye las funciones como un objeto concreto.
Ejemplos
 Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el
dominio R le asigna su cubo en el codominio R.
 Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función
«inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R \ {0}, y con codominio R.
 Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto
una función «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos
conocidos} su género. El codominio de «clasificación en géneros» es la colección G = {géneros
de Mammalia}.
 Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio),
le asigna su área, un número real, luego su codominio es R.
 En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que
asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un
conjunto de partidos P, y una función entre ellos.
Funciones con múltiples variables
Notación. Nomenclatura
La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:
También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota
también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento
de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.6
Ejemplos
 La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, con f(x) = x3 para cada número real x.
 La función «inverso» es g: R \ {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo.
 La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m,
para cada mamífero conocido m.
 La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es
un triángulo del plano, B su base, y H su altura.
 La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada
votante a.
Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
Artículos principales: Función inyectiva, Función suprayectiva y Función biyectiva.
La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto
da lugar a la siguiente clasificación:
Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas:
o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos:
Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio:
o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:
Composición de funciones
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Funciones
Inyectiva
No inyectiva
Sobreyectiva
Biyectiva
No sobreyectiva
La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando f(x)
mediante g.
Artículo principal: Composición de funciones
Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como
valores de entrada para la otra., creando una nueva función.
Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera esté contenido en el
dominio de la segunda, Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g con f, la
función g ∘ f : A → D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f(a)).
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1. Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición,
sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
1.1 Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
1.1.1 Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
1.1.2 Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
1.1.3 Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
1.2 Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
1.3 Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea
mayor o igual que cero.
1.4 Funciones algebraicas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
2. Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de
cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
2.1 Funciones exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llamafunción
exponencial de base a y exponente x.
2.2 Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
2.3 Funciones trigonométricas
Función seno f(x) = sen x Función coseno f(x) = cos x Función tangente f(x) = tg x
Función cosecante f(x) = cosec x Función secante f(x) = sec x Función cotangente f(x) = cotg x
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AUTOEVALUACIÓN
EN CLASE:
 Se revisa la palabra del vocabulario, y los ejercicios del taller
 Debo estudiar todos los días : Tema visto tema evaluado
 Debo desarrollar en clase los ejercicios indicados por la docente de las pág. 11,12,19,21,23,28,34 texto
de Santillana para grado 10
 Debo traer siempre el cuaderno y la carpeta de matemática igual los implementos necesarios
 Debo traer en todas las clases una palabra (temas clase) para armar el vocabulario que se entregara en
la última clase del periodo. Total 20semans por tres igual 60 palabras (aprender su significado)
 Debo escribir la fecha en mi cuaderno de todas las clases de Matemática que reciba en el periodo
EN CASA:
 Debo ver los siguientes videos
Clases de funciones - YouTube
▶ 11:30
https://www.youtube.com/watch?v=oo-OlMQI7nI
12 mar. 2014 - Subido por Tareasplus
En este tutorial se muestran diferentes clases de funciones, incluyendo además un bosquejo de gráfica ..
Clases de funciones - YouTube
▶ 11:30
https://www.youtube.com/watch?v=oo-OlMQI7nI
12 mar. 2014 - Subido por Tareasplus
En este tutorial se muestran diferentes clases de funciones, incluyendo además un bosquejo de gráfica ...
TIPO DE FUNCIONES - YouTube
▶ 12:06
https://www.youtube.com/watch?v=j_f_IEjiXrA
30 sept. 2010 - Subido por Humberto Aguilar
M.4A.9.T.10 - Tipos de funciones - Duration: 15:37. Canal ahoraloentiendo 8,824 views. 15:37. Funciones ...
Clases de Funciones - YouTube
▶ 7:37
https://www.youtube.com/watch?v=YJl_LQDwTMM
24 ago. 2011 - Subido por Erick Bonilla
Ingresa a: http://mihijoconbuenanotaenmate.com/ cuales son las clases de funciones mas conocidas.
 Consulta quien fue :
 Debo desarrollar lo que no termine en clase de las pág. 11,12,19,21,23,28,34 texto de Santillana para grado 10
(fotocopiadora)
 Debo estudiar siempre que haya clase. Debo estar atento siempre a y preguntar lo que no entienda
 Debo preparar el Icfes con los cuadernillos de Procesos del Saber de Helmer Pardo (actualizados) y entregarlos
en la última clase de final de periodo en papel cuadriculado y dentro de una carpeta
 Debo leer todo el libro durante los cuatro periodos del divertido juego de las matemáticas y proponer en clase los
ejercicios que mas le interesen realizando un juego en el aula de clase realizar un juego cada semana
 Debo corregir las evaluaciones y guardarlas en la carpeta que entregare al final de periodo
POR FAVOR SU CARPETA DEBE ESTAR ORGANIZADA ASI: CONSULTAS E INVESTIGACIONES,
VOCABULARIO, EVALUACIONES, TALLERES DESARROLLADOS ESTA TIENE UNA CALIFICACION
EN EL HACER Y SABER
“SI TE PREPARAS HOY SERAS ALGUIEN EN EL MAÑANA, ADELANTE APUNTALE A SER EL (LA)
MEJOR”
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LO QUE DEBO APRENDER
Funciones trigonométricas
Conceptos previos
1. Ángulo
Un ángulo positivo de 45°.
Ángulo de 1°
(amplitud de 1 grado sexagesimal).
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen
o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se
denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta.
Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Definición y características
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un
punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común.
El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno
de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en
sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en
sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Transportador de ángulos.
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
Grado sexagesimal
Grado centesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la
ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Tipos de ángulos
Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.
1.1 Ángulos en el plano cartesiano
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Tipo
Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su
abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y
menor de rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de
100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a rad.
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el
vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a
rad.
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de
200g centesimales).
Ángulo llano
El ángulo llano tiene una amplitud de rad.
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo cóncavo
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.
Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo
o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de
rad.
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
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Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos
ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1
Tipo
Descripción
Ángulo convexo
o saliente
Es el que mide menos de rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos
de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante
Es el que mide más de rad y menos de
rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y
menos de 400g centesimales).
Ángulos relacionados
En función de su posición, se denominan:
Ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningún
punto interior común, y suman 180°.
Ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común.
Ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
En función de su amplitud, se denominan:
Ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo.
Ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°.
Ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°.
Ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.
Cuando dos rectas son cortadas por una tercera en distindo punto: 3
Recta Que Corta
Ángulos alternos: ángulos dispuestos a distinto lado de una recta que corta otras dos pero que no comparten
lado.
o
es alterno a
oa
o es alterno a
oa
y viceversa.
Ángulo alternos internos: ángulos comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta
cortante.
es alterno interno a
es alterno interno a
Ángulo alternos externos: ángulos no comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la
recta que corta.
es alterno externo a
es alterno externo a
10
Ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal. Se encuentran en el mismo
semiplano con respecto a la transversal y uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son
congruentes. Ángulos de un polígono
En función de su posición, se denominan:
ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.
ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.
Ángulos respecto de una circunferencia
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.
La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre esta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el
punto de tangencia el propio vértice.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados
más la del arco que abarcan sus prolongaciones;
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de esta.
TRABAJO EN CASA: 1. Debajo de cada ángulo escriba su medida y clasifíquelo
11
1.2 Medida de ángulos y conversiones de una sistema a otro
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama
lados y al origen común vértice.
El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso
contrario.
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1 Grado sexagesimal (°):
Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un
ángulo de un grado (1°) sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
2 Radián (rad):
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
Ejemplo:
2π rad = 360°
π rad = 180°
30º
rad
/3 rad
º
TALLER EN CLASE NO. 1
1.
2.
3.
4.
5.
Desarrolla los ejercicios indicados pág. 40 Texto de Santillana No. 10
Consulta próxima clase operaciones con ángulos
Longitud del arco
Velocidad angular y velocidad lineal
Lee pág. 46 y 47 y escribe sus propios conceptos de la lectura anéxala a la carpeta para presentar final de
periodo
6. Saca las copias del texto guía pag. 45, 56, 60
7. Entrega como calificación adicional la pag. 66 (opcional para obtener una calificación mas ) Ver TODOS
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12
Calcular la longitud de un arco de Circunferencia
Arco, como ya lo sabemos es un trozo, una parte de la longitud de la circunferencia.
El arco es la parte de la longitud de la circunferencia que corresponde al ángulo central O de 82º.
Compruebas que una circunferencia de radio 3,41cm., cuya longitud total sería
de
Esta longitud corresponde a la longitud total de la circunferencia, es decir, a los 360º.
Lo que tenemos que calcular ahora es la longitud del trozo de circunferencia que corresponde a 82º. Para ello, con una
regla de tres podemos conocerla:
Vemos que la longitud del arco es de 4,88 cm.
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esofisicaquimica/4quincena2/4q2_con
tenidos_2c.htm
La Velocidad Angular (W): es el ángulo girado por el móvil en la unidad de tiempo. es decir es la rapidez con que varia
el ángulo a medida que transcurre el tiempo, su unidad de medida según el S.I es [rad/s].
La Velocidad Lineal (v): es la longitud del arco recorrido Δs en la unidad de tiempo, su unidad de medida según el S.I es
[m/s].
http://www.cinematik3d.com/index.php/mc/velocidad-angular-lineal
13
EVALUACION
14
DEFINICION DE RAZONES TRIGONOMETRICAS
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectangulo
asociado a sus ángulos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas.
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que
contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es
igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0
y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para
angulos de este rango
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo
ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
TALLER EN CLASE no.2
1. Desarrolla en clase los ejercicios indicados pág. 45
2. Estudia próxima clase temas vistos
TALLER EN CLASE NO. 3
1. Desarrolla los ejercicios indicados pag. 56 y 60
2. Lo que no termine lo realiza en clase
3. Se prepara para una evaluación
15
ANGULOS DE 30,45 Y 60 GRADOS
Razones trigonométricas de 30° y 60
Estas funciones se deducen del triángulo equilátero que tiene 1 unidad de longitud por cada lado, como indica la figura:
En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°. La altura, h, del triángulo equilátero coincide con uno de los catetos.
Razones trigonométricas de 45°
Esta razón se deduce de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos tienen de medida 1 unidad, sus ángulos agudos
miden 45° cada uno. La hipotenusa de este tipo de triángulo rectángulo es:a
REGLA PARA CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS MAS IMPORTANTES
Numeramos los ángulos de 0 a 4 en orden creciente. El número que corresponde a cada ángulo será el n del mismo.
Numerados así el seno de un ángulo será la raíz de su npartida por 2. De esta forma obtenemos la fila de los senos. Para
obtener la fila de los cosenos no hace falta ningún cálculo, simplemente colocamos la fila que hemos obtenido antes en
orden inverso. Y para obtener la de las tangentes simplemente divididos el valor del seno entre el valor del coseno.
REPRESENTACION GRAFICA
Representación gráfica de las funciones trigonométricas
Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
https://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/REPRESENTACION+GRAFICA
https://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/VIDEO+TUTORIAL+DE+RELACIONES+TRIGONOMETRICAS
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http://math.kendallhunt.com/documents/dg3/condensedlessonplansspanish/dg_clps_12.pdf
TRIGONOMETRIA
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la
medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida". La trigonometría es la
rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las
razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
PIRÁMIDE MAYA
Las pirámides mayas responden a distintas exigencias. La diferencia principal entre una pirámide maya y una egipcia está
en que la primera, igual que el zigurat babilónico,
tiene como función principal soportar un templo, lo que no ocurría con las construcciones faraónicas. El edificio maya es
ante todo un monumental zócalo sobre el cual se alza el sanctasanctórum, el lugar del culto consagrado a las divinidades
APLICACIÓNES DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS
La trigonometría, en sus inicios, se concretó al estudio de los triángulos. Por varios siglos se empleó en topografía,
navegación y astronomía. En la aplicación de los triángulos rectángulos se deben manejar dos conceptos fundamentales
además del manejo de las relaciones trigonométricas ellos son ángulo de elevación y ángulo de depresión.
Equipo de topografía
El ingeniero de la izquierda mira a través de un teodolito la barra marcada que sostiene otro ingeniero situado más lejos.
Algunas de las medidas topográficas consisten en ver la diferencia de elevación entre la barra y el teodolito, las distancias
horizontales y los ángulos verticales y horizontales. El tercer miembro del equipo registra los datos medidos.
ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
El ángulo que se forma entre la línea visual y la horizontal es el ángulo de elevación, o el de depresión.
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 3m. Si forma un
ángulo 51º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?
2. Un observador se encuentra en un faro al pie de un acantilado. Esta a 687m sobre el nivel del mar, desde este punto
observa un barco con un ángulo depresión de 23º. Se desea saber a que distancia de la base del acantilado se encuentra el
barco.
AREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Multiplicar la longitud de los catetos y dividirlo entre 2
Un observador tiene un nivel visual de 1.70 m de altura, y se encuentra a 30 m de una antena. Al ver la punta de la antena,
su vista forma un ángulo de elevación de 33° ¿Cuál es la altura de la antena? Solución: Utilizamos la siguiente figura, en
la cual calcularemos h primero.
Por lo tanto, la altura de la antena = h + el nivel visual del observador. De modo que la altura de la antena es: 19.48 + 1.70
= 21.18 m.
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EJERCICIOS:
1) Un observador tiene un nivel visual de 1.40 m de altura, y se encuentra a 65 m de un árbol. Al ver la punta del árbol, su
vista forma un ángulo de elevación de 24°. ¿Cuál es la altura del árbol?
30.34 m
2) Un observador sobre un edificio tiene un nivel visual de 1.50 m de altura. Al ver un automóvil estacionado, el ángulo
de depresión de su vista es de 52°. Si la base del edificio se encuentra a 70 m del automóvil, ¿cuál es la altura del edificio?
88.10 m
TALLER EN CLASE DÍA 29 DE AGOSTO
Para este día los estudiantes deberán resolver los siguientes ejercicios en clase, sin la guia del profesor, lo cual evidencie
el grado o nivel de aprendizaje del tema.
Cada ejercicio deberá tener un dibujo o gráfica que mejor represente la situación dada en él.
3) Un observador tiene un nivel visual de 1.80 m de altura. Al ver la punta de un árbol de 15 m de altura, su vista forma
un ángulo visual de elevación de 41°. ¿A qué distancia horizontal se encuentra el observador de la base del árbol?
15.18 m
4) Un observador sobre un muelle tiene un nivel visual de 1.30 m. El muelle sobresale 2.45 m por encima del agua. Al
mirar una roca, el ángulo de depresión de su vista es de 17°. ¿Cuál es la distancia mínima (diagonal) entre los ojos del
observador y la roca?
12.83 m
5) Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con
respecto al piso.
5m
6) Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el
piso, y que tiene un largo de 13.75 m.
56°57
TALLER EN CLASE NO. 4
5) Obtener la altura de una pared, sobre la cual se encuentra recargada una escalera de 4.53 m de longitud que forma un
ángulo de 30° con respecto al piso.
RTA:2.26m
TOMADO DE https://docs.google.com/document/d/1DhUJjlxuUqs4xzqzE0W1GfzQMnfeiI2VD4KcWbwnymM/edit#