Turbomáquinas Hidráulicas Mg. Amancio R. Rojas Flores 1 Turbomáquinas Hidráulicas Son equipos que transforman energía por medio de un fluido, que para nuestros fines será el agua. Sin embargo, pueden ser utilizados otros fluidos, tales como aceite, y en general, derivados del petróleo, bajo la consideración de incompresibles. Para el estudio de las Máquinas Hidráulicas haremos las siguientes suposiciones •el agua es incompresible. •la temperatura es constante. •el flujo es uniforme. Para los fines prácticos consideraremos a las Máquinas Hidráulicas como equipos que transforman dos tipos de energía: energía mecánica. energía hidráulica 2 Caracterización de las maquinas hidráulicas Las máquinas que absorben energía del exterior. Esta energía puede ser visualizada como energía mecánica (potencia en el eje). Esta energía absorbida por la máquina es transformada en energía del fluido (energía hidráulica). Pertenecen a este grupo las Bombas y Ventiladores. Desde el punto de vista de la energía hidráulica, a las bombas (ventiladores) se les denomina Máquinas Generadoras. Las máquinas que entregan energía al exterior. A este grupo pertenecen las Turbinas, las cuales transforman la energía del fluido (hidráulica) en energía mecánica (en el eje). Desde el punto de vista de la energía hidráulica a este grupo se les denomina Máquinas Motoras. 3 TRIANGULOS DE VELOCIDADES: NOTACION INTERNACIONAL Las ecuaciones vectoriales : → C1 = u1 + w1 → C2 = u2 + w2 se representan mediante dos triángulos, que se llaman triángulo de entrada y triángulo de salida, respectivamente En dichos triángulos: U1 : velocidad absoluta del álabe a la entrada o velocidad periférica a la entrada; C1 : velocidad absoluta del fluido a la entrada; W1 : velocidad relativa a la entrada (del fluido con respecto al álabe) C1m : componente meridional de la velocidad absoluta del fluido a la entrada C1u : componente periférica de la velocidad absoluta del fluido a la entrada α1 : ángulo que forman las dos velocidades c1 y u1 β1 : ángulo que forma u1 con w1 Lo mismo en el triangulo de salida, sustituyendo el índice 1 por 2 4 Fig. Triángulos de velocidad de entrada y salida de los alabes de un rodete con la notación internacional para ángulos, velocidades y componentes de velocidades, corrientemente empleada en el estudio de todas las turbomáquinas 5 IMPORTANCIA DE LA ECUACIÓN DE EULER La ecuación de Euler es la ecuación fundamental para el estudio de las turbomáquinas, tanto de las turbomáquinas hidráulicas, como de las turbomáquinas térmicas. Constituye, pues, la ecuación básica tanto para el estudio de las bombas, ventiladores, turbinas hidráulicas (turbomáquinas hidráulicas) como para el estudio de los turbocompresores, turbinas de vapor y turbinas de gas (turbomáquínas térmicas) Es la ecuación que expresa la energía intercambiada en el rodete de todas estas máquinas. 6 PLANOS DE REPRESENTACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINA FIG. 2. Rodete de una bomba centrífuga. 7 DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER A PARTIR DE UNA BOMBA CENTRÍFUGA En la deducción de la ecuación de Euler se supone que todas las partículas de fluido que entran en los álabes sufren una misma desviación. (Método unidimensional de estudio.) Esta deducción se hará con relación a la misma Fig. 2, que representa, el rodete de una bomba centrífuga (o de un ventilador centrífugo que esencialmente sólo se diferencia de una bomba en que el fluido bombeado no es líquido, sino gas; pero todo el razonamiento y por tanto la fórmula de Euler deducida mediante él, será válido para todas las turbomáquinas. Supondremos que la bomba funciona en régimen permanente y que al girar crea una depresión en el rodete penetrando el fluido en el interior de la bomba. Sea C1 la velocidad absoluta de una partícula de fluido a la entrada de un álabe (punto 1 en la fig.). El rodete accionado por el motor de la bomba gira a una velocidad n, rpm. 8 En el punto 1 el rodete tiene una velocidad periférica u1 = π D1 n 60 Con relación al álabe el fluido se mueve con una velocidad w1, llamada velocidad relativa a la entrada. Las tres velocidades C1, u1, y w1 están relacionadas según la mecánica del movimiento relativo, por la ecuación vectorial: → w1 = c − u1 Suponemos que el álabe (o su tangente) tiene la dirección del vector w1, con lo que la partícula entra sin choque en el alabe La partícula guiada por el álabe sale del rodete con una velocidad relativa a la salida w2 que será tangente al álabe en el punto 2. En el punto 2 el álabe tiene la velocidad periférica u2 luego → C2 = u2 + w2 9 Del teorema de la cantidad de movimiento se deduce el teorema del momento cinético o del momento de la cantidad de movimiento. En efecto de la Ecuación → → F = ρQΔ v aplicada al hilo de corriente a que pertenece la partícula de fluido considerada, será: ⎛ → →⎞ ∂F = ∂Qρ ⎜ c2 − c1 ⎟ ⎝ ⎠ Tomando momentos con relación al eje de la máquina tendremos: ∂τ = ∂Qρ (l2 c2 − l1 c1 ) que es el teorema del momento cinético Donde: ∂τ momento resultante con relación al eje de la máquina de todas las fuerzas que el rodete ha ejercido sobre las partículas que integran el filamento de corriente considerado para hacerle variar su momento cinético; ∂Q caudal del filamento; l 2 , l 1 brazos de momento de los vectores c2 y c1, respectivamente 10 Suponemos ahora que todas las partículas de fluido entran en el rodete a un diámetro D1 con la misma velocidad c1 y salen a un diámetro D2 con la velocidad C2. Esto equivale a suponer que todos los filamentos de corriente sufren la misma desviación, lo cual a su vez implica que el número de álabes es infinito para que el rodete guíe al fluido perfectamente. Aplicando esta hipótesis llamada teoría unidimensional, o teoría del número infinito de álabes, al hacer la integral a la Ecuación anterior, el paréntesis del segundo miembro será constante, obteniéndose finalmente τ = Qρ (l2 c2 − l1 c1 ) Donde: τ: momento total comunicado al fluido o momento hidráulico; Q : caudal total de la bomba; 11 pero, de la Fig. 2b, se deduce fácilmente que l1 = r1 cos α1 l2 = r2 cos α 2 τ = Qρ (r2 c2 cos α 2 − r1c1 cos α1 ) luego: Este momento multiplicado por ω será igual a la potencia que el rodete comunica al fluido . Por tanto, N = τω = Qρω (r2 c2 cos α 2 − r1c1 cos α1 ) donde: ω= 2π n 60 Por otra parte, si llamarnos e a la energía específica intercambiada entre el rodete y el fluido, en nuestro caso la energía específica que el rodete de la bomba comunica al fluido, y G el caudal másico que atraviesa el rodete, se tendrá en el SI: 12 donde He : altura equivalente a la energía intercambiada en el fluido: igualando las dos expresiones de la potencia Qρ e = Qρω (r2 c2 cos α 2 − r1c1 cos α1 ) Pero: r1 ω = u1 c1 cos α1 = c1u r2 ω = u2 c2 cos α2 = c2u donde: c1u , c2u : proyecciones de c1 y c2 sobre u1 y u2 , o componentes periféricas de las velocidades absolutas a la entrada y a la salida de los álabes. 13 Sustituyendo estos valores en la Ec. En la ecuación e = u2 c2u − u1 c1u Sin embargo en el rodete existen dos pares iguales y de sentido contrario: el par comunicado al fluido y el par de reacción que el fluido ejerce sobre el ,rodete. Las turbinas ,son máquinas motoras: el fluido imparte energía al rodete. Por eso al tratar de deducir la ecuación de Euler para las máquinas motoras se procedería análogamente; pero escribiendo el momento que el fluido ejerce sobre el rodete, con lo que el segundo miembro de la Ec. tendría los signos cambiados y lo mismo los segundos miembros . Sin embargo en ambos casos e será la energía específica intercambiada entre el rodete y el fluido. Por tanto, para todas las turbomáquinas hidráulicas y térmicas; tanto motoras como generadoras, se tendrá : 14 ECUACION DE EULER (Expresión energética) e = ±(u1 c1u −u2 c2u ) ⎛ m2 ⎜⎜ 2 ⎝s ⎞ ⎟⎟ ⎠ + máquinas motoras - máquinas generadoras; En las turbomáquinas hidráulicas se prefiere utilizar la ecuación Euler en forma de altura. En las máquinas hidráulicas la altura una variable de gran significado físico: altura bruta de un salto agua, altura neta de una turbina hidráulica, altura de elevación una bomba. etc, . De la variable de es de de e se pasa a la variable H por la ecuación: 15 Por tanto, dividiendo los dos términos de la Ec. por g se tendrá ECUACION DE EULER (Expresión en alturas) u1 c1u − u 2 c2 u H =± g Comentarios sobre la ecuación de euler: Así como la ecuación de Bernoulli es la ecuación fundamental de la hidrodinámica, la ecuación de Euler es la ecuación fundamental de las turbomáquinas. la altura He en las turbomáquinas hidráulicas se denomina también altura hidráulica 16 OTRAS FORMAS DE EXPRESAR LA ECUACIÓN DE EULER Del triangulo de entrada se deduce trigonometricamente que: w12 = u12 + c12 + 2u1c1 cosα1 = u12 + c12 + 2u1c1u 1 2 2 u1c1u = (u1 + c1 − w12 ) 2 asimismo, del triangulo de salida se deduce que: 1 2 2 u2c2u = (u2 + c2 − w22 ) 2 17 Remplazando en la ecuación e = ±(u1 c1u −u2 c2u ) ECUACIÓN DE EULER ( Expresión energética ) ⎛ u12 − u22 w22 − w12 c12 − c22 ⎞ + + ⎟⎟ e = ± ⎜⎜ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎛ m2 ⎜⎜ 2 ⎝s ⎞ ⎟⎟ ⎠ asimismo dividiendo por g ambos miembros de la Ec. tendremos: ECUACIÓN DE EULER ( Expresión en alturas ) ⎛ u12 − u22 w22 − w12 c12 − c22 ⎞ H = ⎜⎜ + + ⎟⎟ 2g 2g ⎠ ⎝ 2g 18 ALTURA DE PRESION Y ALTURA DINAMICA Escribiendo la ecuación de Bernoulli entre la entrada y salida del rodete, punto 1 y 2 , sin tener en cuenta las pérdidas en el mismo, se tendrá: 2 2 ⎛ p1 − p2 c1 − c2 H e = ± ⎜⎜ + z1 − z2 + 2g ⎝ ρg ⎞ ⎟⎟ ⎠ Por otra parte, según la ecuación de Euler: ⎛ u12 − u22 w22 − w12 c12 − c22 ⎞ H e = ± ⎜⎜ + + ⎟⎟ 2g 2g ⎠ ⎝ 2g Igualando las dos expresiones de He , se tendrá ⎛ p1 − p2 ⎞ ⎛ u12 − u22 w22 − w12 ⎞ + z1 − z2 ⎟⎟ = ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎜⎜ 2g ⎠ ⎝ ρg ⎠ ⎝ 2g 19 de las expresiones, se puede observar: c12 − c 22 2g representa la altura dinámica que da el fluido al rodete ( turbinas hidráulicas) o el rodete al fluido (bombas y ventiladores). u12 − u22 w22 − w12 p1 − p2 − = + z1 − z2 = 2g 2g ρg •representa la energía proveniente de la variación de presión y posición si despreciamos la diferencia de cotas podemos escribir ALTURA DE PRESION DEL RODETE ⎛ u12 − u22 w22 − w12 ⎞ ⎛ p1 − p2 ⎞ H p = ± ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟ = ± ⎜⎜ 2g ⎠ ⎝ ρg ⎠ ⎝ 2g ALTURA DINAMICA DEL RODETE + → turbinas - → bombas c12 − c22 Hd = ± 2g de esta forma se puede escribir. He = He. dinámica + He. presión 20 Estudio del sistema para una turbomáquina generadora: 21 C I2 EE = + gZ I + − ghf I − E 2 ρ PI C II2 ES = + gZ II + + ghf S − II ρ 2 PII e = ES − EE ⎞ ⎞ ⎛ PI ⎛ PII C II2 C I2 e = ⎜⎜ − ghf I − E ⎟⎟ + gZ II + + ghf S − II ⎟⎟ − ⎜⎜ + gZ I + 2 2 ⎠ ⎠ ⎝ρ ⎝ ρ e= PII − PI ρ C II2 − C I2 + g (Z II − Z I ) + + ghf S − II + ghf I − E 2 Trabajo específico del sistema = Trabajo específico de la Turbomáquina e= PS − PE ρ C S2 − C E2 + g (Z S − Z E ) + 2 22 Curva característica de una turbomáquina generadora Curva característica de un sistema 23 24 Definimos el término Altura Dinámica Total como: e H= g Las alturas dinámicas de la turbomáquina y del sistema quedan de la siguiente manera (para el caso de las generadoras): H= H= PS − PE PII − PI γ γ C S2 − C E2 + (Z S − Z E ) + 2g C II2 − C I2 + (Z II − Z I ) + + ∑ hf I − II 2g Para la Turbomáquina Para el Sistema 25 Para cualquier caso se desprecia C1, la velocidad con que baja el nivel del agua es bastante despreciable, a menos que estemos hablando de un tanque de área transversal sumamente pequeño. 26 Para la salida por encima del nivel (ZII), la velocidad CII podría ser apreciable y hay que tomarla en cuenta para efectos de cálculo. Para salida por debajo del nivel (ZII’), la velocidad CII es despreciable. Ahora supongamos que el tanque I está abierto a la atmósfera, entonces: PI = PATM ⎯ ⎯→ PII = PII .mano + PIIATM ⇒ PII − PI = PII .mano Si ambos tanques están abiertos a la atmósfera: PII = PI Entonces ⇒ H = Z II − Z I + ∑ hf I − II Supongamos ahora que los tanques están a la misma altura (esto en la práctica puede ocurrir sólo momentáneamente): Z I = Z II Entonces ⇒ H = hf I − II 27 Sistema de una turbomáquina hidráulica motora: 28 e= PE − PS ρ C E2 − C S2 + g (z E − z S ) + 2 C I2 EE = + gZ I + − ghf I − E ρ 2 PI e = EE − ES C II2 ES = + gZ II + + ghf S − II ρ 2 PII e= PI − PII ρ C I2 − C II2 + g (Z I − Z II ) + − ghf S − II − ghf I − E 2 29