Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática Campus Santiago Guía de Ejercicios MAT-024 1. Calcule el aŕea de la porción del paraboloide z = x2 + y 2 que está comprendida entre los planos z = 0 y z = 1. 2. Calcule el ŕea de la porción de superficie cónica x2 + y 2 = z 2 situada por encima del plano z = 0 y limitada por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2ax. 3. Calcular el área de la porción de la superficie z = x2 + (y − 1)2 comprendida entre los planos z = 1 y z = 4. 4. Determine el área que es recortada de la superficie en forma de silla de montar z = xy por el cilindro x2 + y 2 = 1 5. Determine el área de la elipse cortada del plano z = cx (c constante) por cilindro el cilindro x2 + y 2 = 1. 6. Rotamos la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, alrededor del eje y. Demostrar que el área de la superficie generada de este modo (superficie de revolución) está dada por ˆ b p |x| 1 + [f 0 (x)]2 dx A = 2π a Use lo anterior para calcular el área de la superficie obtenida haceiendo girar la curva y = x2 , 0 ≤ x ≤ 1, alrededor del eje y. 7. Determine el área de la porción de superficie cónica x2 + y 2 = z 2 situada entre los planos z = 0 y x + 2z = 3. ¨ 8. Hallar f (x, y, z) dS, en cada uno de los casos siguientes: S a) f (x, y, z) = x2 y S es el trozo del plano x = z contenido dentro del cilindro x2 + y 2 = 1. p b) f (x, y, z) = x y S es el trozo del cilindro x2 + y 2 = 2x con 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 . c) f (x, y, z) = x y S es la parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 situada en el primer octante. d ) f (x, y, z) = r−n , donde S es la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 y r es la distancia que hay desde el punto de la esfera a al punto fijo P = (0, 0, c) con c > R. e) f (x, y, z) = xy + 1 y S es la parte del paraboloide z = x2 + y 2 que está en el interior del cilindro x2 + y 2 = 4. f ) f (x, y, z) = x + y + z y S es la superficie del cubo cortado del primer octante por los planos x = a, y = a y z = a. ¨ 9. Calcule F · n dS donde n es el vector normal que apunta hacia arriba de la superficie. S a) F(x, y, z) = (0, 2y, 2z) y S es la parte del plano z = 3x + 2 dentro del cilindro x2 + y 2 = 4. b) F(x, y, z) = (z 2 , x, −3z) y S es la superficie acotada determinada por el paraboloide z = 4 − y 2 y los planos x = 0 y x = 1 y z = 0. ˜ 10. Calcule s F · n dS donde F(x, y, z) = (x3 − 3x, y 3 + xy, z 3 − xz) y S es la región determinada por x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 y y ≤ x 11. Calcule el flujo del campo F(x, y, z) = (z 2 , x, −3z) hacia afuera, a través de la superficie cortada en el cilindro parabólico z = 4 − y 2 por los planos x = 0, x = 1 y z = 0. RGP