Dónde están los números reales? José Omar Rico Trejo

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ
FACULTAD DE CIENCIAS
¿Dónde están los números
reales?
Tesis que, para obtener el grado de
Licenciado en Matemáticas,
presenta
José Omar Rico Trejo
bajo la asesorı́a del
Dr. Álvaro Pérez Raposo.
Octubre de 2009
ii
Índice general
Resumen
V
1. Introducción
1
2. Definición de R
3
2.1. Construcción de R por cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2. Construcción de R por sucesiones de Cauchy de números racionales 11
2.3. Definicion axiomática de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Cardinalidad de R
17
4. Algunos subconjuntos importantes de R
4.1. Los números naturales N. . . . . . . . .
4.1.1. Estructura algebraica . . . . . .
4.1.2. Cardinalidad de N . . . . . . . .
4.2. Los números enteros . . . . . . . . . . .
4.2.1. Estructura algebraica . . . . . .
4.2.2. Cardinalidad de Z . . . . . . . .
4.3. Los números racionales . . . . . . . . . .
4.3.1. Estructura algebraica . . . . . .
4.3.2. Cardinalidad de Q . . . . . . . .
4.4. Los números construibles . . . . . . . .
4.4.1. Estructura algebraica . . . . . .
4.4.2. Cardinalidad de B . . . . . . . .
4.5. Los números algebraicos . . . . . . . . .
4.5.1. Estructura algebraica . . . . . .
4.5.2. Cardinalidad de A . . . . . . . .
4.6. Los números computables . . . . . . . .
4.6.1. Máquina de Turing . . . . . . . .
4.6.2. Números computables . . . . . .
4.7. Definibles . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1. Estructura algebraica . . . . . .
4.7.2. Cardinalidad . . . . . . . . . . .
4.7.3. La constante de Chaitin Ω . . . .
iii
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28
28
29
30
30
34
41
42
43
43
iv
5. Conclusiones
ÍNDICE GENERAL
47
A. Apéndice
49
A.1. Números cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.2. Teorı́a de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Resumen
Se define el conjunto de los números reales, comenzando por las construcciones
clásicas tanto por cortaduras como por sucesiones de Cauchy de racionales,
para llegar a la definición axiomática. A partir de esta definición se estudia la
propiedad de su cardinalidad, mostrando que el conjunto de los reales es no
numerable.
El trabajo continúa definiendo algunos conjuntos destacables de números
reales y analizando tanto su estructura algebraica como su cardinalidad: los naturales, los enteros, los racionales, los construibles, los algebraicos, los computables y, por último, los definibles.
Seguidamente constatamos que todos estos subconjuntos son numerables
y, por tanto, representan una cantidad casi insignificante respecto al total de
números reales. Sin embargo, más allá de los números computables, los reales
no pueden ser calculados; ni tan siquiera aproximados. Peor aún, más allá de los
definibles, ningún número real puede ser singularmente distinguido. Concluimos,
por tanto, que prácticamente la totalidad de los números reales son inasequibles.
v
vi
RESUMEN
Capı́tulo 1
Introducción
En este trabajo estudio el conjunto de los números reales, denotado R, profundizando con especial énfasis en su cardinalidad y en la posibilidad de conocer
cada número real como entidad propia.
El conjunto de los números reales está en la base de una gran parte de las
matemáticas: el análisis y todo aquello que se construye sobre él. Por ello es
crucial tener una definición rigurosa que sirva de cimiento a toda la obra que
sobre ella descansa. No fue, sin embargo, hasta finales del siglo XIX cuando
se dieron las primeras definiciones precisas de este conjunto: las construcciones debidas a Dedekind, mediante cortaduras de los racionales, y a Weierstrass
y Cantor, mediante sucesiones de Cauchy de números racionales. Por la misma razón, para poder sustentar el resto de este trabajo, el siguiente capı́tulo
está dedicado a repetir ese camino de descubrimiento de los reales: describo las
cortaduras de Dedekind ası́ como las sucesiones de Cauchy de racionales. Llego
después a la equivalencia de ambas construcciones y, en el fondo, de cualquier
cuerpo ordenado y completo, lo que lleva a la definición axiomática que es usual
actualmente.
Como es sabido, el objetivo al definir los reales es disponer de un conjunto con
todas las buenas propiedades con que ya cuenta el conjunto de los racionales, a
saber, un buen comportamiento algebraico dado por una estructura de cuerpo,
y un orden compatible con las operaciones, pero que se distinga de éste por
carecer de huecos en su orden, es decir, que sea completo. Lo más llamativo del
conjunto de los reales es que la tarea de rellenar dichos huecos de los racionales
tiene un costo elevadı́simo, pues la complejidad del conjunto de los reales es
tremendamente mayor que la del conjunto de los racionales. La primera muestra
de ello es la cardinalidad. Si el paso de los naturales a los enteros no supone
aumento de cardinalidad, ni tampoco el paso de enteros a racionales, no ocurre
ası́ con el paso de racionales a reales. Es un salto gigante y un hecho aislado
entre los conjuntos numéricos pues ni siquiera en la ampliación de los reales a
los complejos se tiene un aumento de cardinalidad. Este asunto es tratado en el
capı́tulo 3.
Para explorar más la complejidad que supone trabajar con el conjunto de
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
los reales en el capı́tulo 4 estudio algunos subconjuntos notables de R intentando ver en su secuencia un aumento progresivo de la mencionada complejidad.
Ası́ comienzo con los naturales, N, como el conjunto numérico más básico. Después los enteros, Z, con una notable ganancia en el terreno algebraico. Proseguimos con los racionales, Q, donde alcanzamos la meta algebraica de tener ya un
cuerpo y, además, se logra que el orden sea lineal sin perder por ello la sencillez
de un conjunto que aún me parece asequible, manejable. Por razones históricas
he estudiado el conjunto de los números construibles con regla y compás, B, que
son los primeros números no racionales que se definieron con precisión. Enseguida continúo con los números reales algebraicos, A, que aún mantienen todas
las buenas propiedades de los racionales y representan todos aquéllos reales que
pueden ser definidos a partir de manipulaciones algebraicas con los racionales y
sus polinomios. Más allá de los algebraicos, por tanto, hay que abandonar las
técnicas puramente algebraicas y nos enfocamos directamente en la pregunta
de qué números reales pueden ser calculados, es decir, pueden ser escritos en
su representación decimal o, al menos, aproximados con cualquier precisión requerida. Éste es el conjunto de los números computables, T. Al otro lado de los
computables no podemos dar el valor, ni siquiera aproximado, de ningún otro
número. Sin embargo aún nos queda una noción que explorar, la de los números
definibles, aquéllos que pueden ser distinguidos del resto de los reales, aunque
no puedan ser calculados.
Conocer la estructura de estos subconjuntos notables nos ayuda a conocer
el propio conjunto R. Pero, más aún que estos subconjuntos, lo que nos da una
idea de la complejidad de R son los números que quedan fuera de ellos. Esta
última reflexión es la que abordo en el capı́tulo 5 donde expongo las conclusiones
del trabajo.
Capı́tulo 2
Definición de R
El conjunto Q de los racionales posee propiedades algebraicas y de orden
muy interesantes: es cuerpo ordenado. De hecho, el cuerpo ordenado fundamental pues cualquier otro lo contiene. Es suficiente conocerlo sólo a él para el
manejo práctico de la ingenierı́a, ya que finalmente cualquier medida tangible
se expresa como un número racional. Sin embargo muchas de las aplicaciones
tecnológicas (sustentadas en elegantes teorı́as matemáticas) involucran números
tan tradicionales, pero muy especiales, como lo son e y π, que pertenecen a un
conjunto de “más jerarquı́a” que el de los números racionales: el de los reales. El
conjunto de los números reales se ha construido para llevar a cabo el desarrollo
de la teorı́a del análisis y su principal diferencia con el de los racionales es su
completitud. Informalmente, el conjunto de racionales, cuando se sitúa sobre
una recta, deja puntos de la misma sin cubrir o, dicho de otro modo, Q tiene
“huecos”. La construcción de R consiste en llenar dichos “huecos” para cubrir
completamente la recta.
Existen varias formas de lograr este objetivo a partir de Q. En el presente
capı́tulo presentaremos las más tradicionales: por medio de cortaduras, primero,
y por medio de sucesiones de Cauchy, después.
Sin embargo estas construcciones resultan en conjuntos que comparten las
propiedades que nos interesan de los reales: son cuerpos ordenados y completos.
Son estas tres propiedades las que dan su esencia a R y por ello finalmente se
deslinda la definición de una construcción concreta y se deja como una definición
axiomática.
2.1.
Construcción de R por cortaduras
Esta construcción se debe a Dedekind y ataca el problema de los “huecos”
directamente, definiendo un objeto llamado cortadura, el cual pone de manifiesto
los “huecos” de Q. Una cortadura es una escisión de Q en dos clases de modo
ambas quedan separadas por un sólo número racional o separadas sin que haya
un número racional en medio. Éste último caso define un hueco. El conjunto de
3
4
CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
los reales será, precisamente, el conjunto de cortaduras. En el lenguaje moderno
de la topologı́a una cortadura no es otra cosa que una desconexión de Q respecto
a su topologı́a de orden. Sin embargo en este caso hemos preferido mantener el
lenguaje original.
Definición 2.1. Llamaremos cortadura a un conjunto α de números racionales
que satisface:
i) α 6= ∅ y α 6= Q.
ii) Si r ∈ α y s > r, entonces s ∈ α.
iii) α no tiene mı́nimo.
El complemento de α, denotado por αc , posee las siguiente propiedad:
si r ∈ αc y s ∈ α, entonces r < s.
Denotaremos en adelante las cortaduras con letras griegas α, β . . . , y a los
elementos de cada una de ellas por las letras A, B, . . . y a los de sus respectivos
complementos por a, b . . . etc.
Definición 2.2. Una cortadura ρ es una cortadura racional si
ρ = {x ∈ Q|r < x para algún r racional }.
Bajo la definición anterior es claro que todos los números racionales pueden
ser vistos como una cortadura (cortadura racional).
A continuación exhibimos dos ejemplos de cortadura, una racional y una no
racional, a fin de ilustrar cómo es que el conjunto de cortaduras posee algunos
elementos más que las cortaduras racionales.
1o es trivial que el conjunto de los números racionales mayores que cero. el
cual denotaremos por 0+ es una cortadura.
2o Denotemos ahora por α√2 al conjunto de los numeros racionales r que
satisfacen r2 > 2. Cualquiera de los números en este conjunto es mayor
que 1 y además, si r ∈ α√2 , la relación s > r implica que s ∈ α√2 . También
es claro que α√2 es un conjunto no vacı́o y tampoco lo es su complemento.
Sólo falta probar que α√2 no tiene mı́nimo. En efecto, dado r ∈ α√2 si
0 < δ < 1, entonces tendremos r − δ > 0 y además:
(r − δ)2 = r2 − 2δr + δ 2 > r2 − 2rδ.
2
El último número es mayor que 2 siempre que se cumpla que r 2r−2 > δ.
Ahora, un número δ entre 0 y 1 que cumpla la última condición es, por
ejemplo,
r2 − 2
δ= 2
.
r − 2 + 2r
2.1. CONSTRUCCIÓN DE R POR CORTADURAS
5
Este número verifica las condiciones que se requieren para que r − δ pertenezca a α√2 , a saber:
r − δ > 0 y (r − δ 2 > 2).
Luego α√2 es una cortadura.
Ası́ ha quedado de manifiesto que α√2 no tiene mı́nimo, pero hay otro
hecho que es fundamental para el estudio del conjunto de cortaduras, el
c
que su clase complementaria, α√
no tiene máximo. Esto prueba que el
2
conjunto de cortaduras contiene también cortaduras que no son racionales.
c
no tiene máximo.
Lema 2.3. α√
2
Demostración. Sea r un número postivo que verifica r2 < 2. Entonces
podemos hallar un número δ entre 0 y 1 que verifique (r + δ)2 < 2. Pues
si 0 < δ < 1, tendremos:
(r + δ)2 = r2 + 2rδ + δ 2 < r2 + 2rδ + δ = r2 + (2r + 1)δ < 2
lo cual se cumple si δ <
δ=
(2−r 2 )
2r+1 .
Basta entonces elegir
2 − r2
2 − r2
=
2 − r2 + 2r + 1
3 − r2 + 2r
c
no tiene máximo.
y queda probado que α√
2
Definición 2.4. (Orden) Dadas dos cortaduras α, β, β ≤ α si α ⊂ β.
Lema 2.5. La relación ≤ es una relación de orden total en el conjunto de
cortaduras.
Demostración. Las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva son inmediatas de la definición del orden como la inclusión de cortaduras. Para ver que
el orden es total supongamos, sin pérdida de generalidad, que α no está incluida
en β. Entonces existe un número A en α pero que no pertenece a β, luego A = b
para algún b en β c . Por tanto cualquier número racional B ∈ β verifica que
B > A, de donde se tiene que B ∈ α.
Puesto que tenemos un orden total en el conjunto de cortaduras, los conceptos habituales de cota superior o inferior tienen plena validez en este contexto.
La gran ventaja del conjunto de cortaduras frente al de los racionales es que
aquél sı́ verifica la propiedad del ı́nfimo.
Teorema 2.6. Sea G un conjunto de cortaduras no vacı́o y acotado inferiormente. Entonces G tiene ı́nfimo, es decir, existe una cortadura γ tal que:
a) γ es cota inferior de G.
b) Si β es una cota inferior de G, entonces β ≤ γ.
6
CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
En otras palabras, γ es la máxima de las cotas inferiores de G.
Demostración. Definamos el conjunto γ como
[
γ=
α.
α∈G
Es fácil ver que γ es una cortadura y, además, que α ∈ G implica que α ⊂ γ, es
decir, γ < α, luego γ es cota inferior de G.
Si ahora β es una cota inferior de G arbitraria, notemos que por construcción
β < γ, por tanto γ es la cota inferior máxima.
Como es sabido, de la propiedad del ı́nfimo se deduce inmediatamente la
propiedad del supremo.
Corolario 2.7. Sea G un conjunto de cortaduras no vacı́o acotado superiormente, entonces G tiene supremo.
Ahora estamos en vı́speras de definir las operaciones de cuerpo para el conjunto de las cortaduras. Sin embargo hace falta una herramienta adicional que
se enuncia en el siguiente lema.
Lema 2.8. Dados una cortadura α, un número a0 ∈ αc y un número racional
t > 0, existen un par de números racionales A ∈ α y a ∈ αc , tales que
a0 ≤ a y A − a < t.
Demostración. Tomemos un número A0 en α y un número natural n tales que
A0 − a0
< t.
n
Tomemos ahora el mı́nimo entero k tal que a0 + k A0 n−a0 ∈ α. Nótese que para
k = n se obtiene A0 y para k = 0 se obtiene a0 . Luego A = a0 + k A0 n−a0 y
a = a0 + (k − 1) A0 n−a0 satisfacen las condiciones del lema.
Procederemos ahora a definir las operaciones de suma y producto de cortaduras a través de las operaciones de Q.
Por comodidad denotaremos en adelante al conjunto de cortaduras mediante
el sı́mbolo D.
Definición 2.9. (Suma de cortaduras) Sean α, β ∈ D definimos
α + β = {A + B|A ∈ α, B ∈ β}.
Proposición 2.10. D con la suma definida y la cortadura 0+ como neutro es
un grupo abeliano.
Demostración. Hay que probar las siguientes propiedades:
2.1. CONSTRUCCIÓN DE R POR CORTADURAS
7
i) Asociatividad,
α + (β + γ) = (α + β) + γ.
ii) Conmutatividad,
α + β = β + α.
iii) Neutro,
α + 0+ = α.
iv) Opuestos,
Dado α ∈ D existe β ∈ D tal que, α + β = 0+ .
Los incisos i), ii), iii) son triviales a partir de la definición de cortadura. Mostraremos sólo el último.
Tomemos α ∈ D y definamos
β = {B|B > −a para algún a en αc }.
El conjunto β es no vacı́o pues basta tomar B = −a + 1 para algún a ∈ αc .
Ahora, si tomamos A ∈ α el número −A no pertenece a β. Si ası́ ocurriera
tendrı́amos que −A > −a y, por tanto, A < a lo cual es una contradicción.
De la definición de β se tiene que si B ∈ β y f > B entonces f ∈ β. Además
si B > −a, podemos elegir siempre un número B 0 tal que B > B 0 > −a, lo cual
implica que β no tiene mı́nimo. Luego β es una cortadura.
Probaremos ahora que α + β = 0+ . En efecto un elemento de α + β tiene la
forma A + B, donde A ∈ α y B > −a para algún a ∈ αc . Luego
A + B > A + (−a) = A − a > 0,
lo cual muestra que A + B ∈ 0+ .
Recı́procamente, dado t ∈ 0+ , se tiene que t > 0, y en virtud del lema
2.8 existen números A y a tales que A − a < t. Luego existe s > 0 tal que
t = A − a + s = A + (−a + s).
La cortadura β definida en el teorema se denota por −α.
Corolario 2.11. Dadas dos cortaduras α y β, si α + β = 0 entonces β = −α.
Corolario 2.12. Dadas α, β, γ ∈ G si α ≤ β, entonces α + γ ≤ β + γ.
Definición 2.13. β − α = β + (−α).
Ahora definiremos el producto de cortaduras pues nuestro objetivo es probar
que D es un cuerpo. Sin embargo definir el producto no es tan sencillo como lo
fue la suma. Hay que dividir en casos introduciendo la regla de los signos en la
definición.
Definición 2.14. α es positiva si α > 0.
8
CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
Definición 2.15. (Producto de cortaduras positivas) Dadas α, β cortaduras positivas, definimos αβ como sigue:
αβ = {AB|A ∈ α, B ∈ β}.
En la siguiente proposición se prueba que αβ es, efectivamente, una cortadura.
Proposición 2.16. αβ es una cortadura.
Demostración. Claramente αβ es no vacı́a ya que existe en ella un elemento
de la forma AB ya que α y β tampoco lo son; su complemento, que incluye al
cero y a todos los numeros racionales negativos, tampoco es vacı́o. Ahora, si un
número r > AB para algún AB ∈ αβ, entonces existe s > 0 tal que
s
= AB 0 ,
r = AB + s = A B +
A
lo que muestra que r está en la clase αβ. Probar que αβ no tiene mı́nimo es
sencillo. Sea AB, con A ∈ α y B ∈ β un elemento arbitrario de αβ. Puesto
que α y β son cortaduras no tienen mı́nimo, luego existen racionales A0 < A
y B 0 < B cada uno en su respectiva cortadura. Por otro lado, siendo α y β
cortaduras positivas tenemos que 0 < A0 ası́ como 0 < B 0 , de donde llegamos a
que A0 B 0 < AB y, por tanto, αβ no tiene mı́nimo.
Ahora probaremos la ley distributiva, conmutativa y asociativa para las cortaduras positivas.
Proposición 2.17. Sean α, β, γ cortaduras positivas, entonces:
i) α(βγ) = (αβ)γ.
ii) αβ = βα.
iii) α(β + γ) = αβ + αγ.
Demostración. Probar i) y ii) es trivial si recordamos que el producto en Q es
asociativo y conmutativo. Para probar iii) notemos que cualquier miembro del
conjunto α(β + γ) es de la forma A(B + G) = AB + AG que es un elemento
del conjunto αβ + αγ. De manera recı́proca un número del conjunto αβ + αγ
es de la forma AB + A0 G. Supongamos que A < A0 , entonces AB + A0 G ≥
AB + AG = A(B + G), el cual es un elemento del conjunto α(β + γ).
Corolario 2.18. Si 1 denota la cortadura de los numeros racionales mayores
que 1 y α es una cortadura positiva entonces
α1 = α.
Corolario 2.19. Si α una cortadura positiva entonces
α0 = 0.
2.1. CONSTRUCCIÓN DE R POR CORTADURAS
9
Proposición 2.20. Si α es una cortadura positiva entonces existe β tambien
cortadura positiva tal que
αβ = 1.
Demostración. Dado que α es positiva,existe un número a0 > 0 en αc . Ahora
definimos β de la siguiente manera:
β = {B|B >
1
para algún a > 0 en αc }.
a
Sólo hay que probar que el conjunto definido anteriormente es una cortadura
positiva.
Un número del conjunto tiene la forma AB con B > a1 para algún a > 0
en αc , de donde AB > A
a > 1 luego, AB es un elemento de la cortadura 1.
De manera recı́proca, sea r > 1. En virtud del lema 2.8, para cualquier t > 0
existen números A ∈ α y a ∈ αc tales que a > a0 y A − a < t, luego
A
a + (A − a)
A−a
t
=
=1+
<1+
= r,
a
a
a
a0
siempre que elijamos t = a0 (r − 1). Entonces existe un número s > 0 tal que
1
s
A
+
= AB,
r = +s=A
s
a A
de donde se tiene que r es un elemento del conjunto αβ.
Ahora, puesto que ya hemos definido el producto de cortaduras positivas y
el negativo de una cortadura positiva, extendemos el producto a cualesquiera
cortaduras mediante la siguiente definición.
Definición 2.21. Sean α, β ∈ D entonces:


−(α(−β)), si α ≥ 0 y β < 0
αβ = −((−α)β), si α < 0 y β ≥ 0


(−α)(−β)
si α < 0 y β < 0
Con la anterior definición es fácil comprobar la habitual regla de signos que
recogemos en el siguiente resultado.
Proposición 2.22. (Regla de los signos) Dadas dos cortaduras α, β
α(−β) = (−α)β = −(αβ)
Ahora probaremos la distributividad del producto sobre la suma para cualesquiera cortaduras.
Proposición 2.23. Dadas α, β, γ cortaduras
α(β + γ) = αβ + αγ.
10
CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
Hay que considerar varios casos dependiendo de los signos de las cortaduras
α, β, γ y de β + γ. Probaremos primero los casos en que α es mayor o igual que
cero, reduciéndolos al caso en que todas las cortaduras son positivas, el cual ya
está probado más arriba. Después ilustraremos cómo el caso en el que α es una
cortadura negativa se reduce a los anteriores.
Demostración.
1) Consideremos α ≥ 0, β ≥ 0, γ < 0, β + γ ≥ 0, entonces
αβ = α[(β + γ) + (−γ)]
donde tanto (β + γ) como (−γ) son cortaduras positivas, luego aplicamos
distributividad y llegamos a
αβ = α(β + γ) − αγ,
de donde
αβ + αγ = α(β + γ).
2) Consideremos α ≥ 0, β ≥ 0, γ < 0, pero esta vez con (β + γ) < 0. Utilizando la regla de signos se puede convertir fácilmente en el caso anterior.
α(β + γ) = −(α(−β − γ)) = −[α(−γ) + α(−β)] = αβ + αγ.
3) Los casos en que α ≥ 0, β < 0 y γ ≥ 0 se reducen a los dos anteriores
debido a la propiedad conmutativa de la suma, pues β + γ = γ + β.
4) Finalmente sean las cortaduras α ≥ 0, β < 0, γ < 0. Entonces β + γ < 0
y podemos utilizar los resultados anteriores para deducir
α(β + γ) = −α(−β − γ) = −[α(−γ) + α(−β)] = αβ + αγ.
5) Ahora consideraremos α < 0. Empleando las reglas los signos tenemos que
α(β + γ) = −((−α)(β + γ)),
con lo cual todo se reduce a los casos anteriores.
Corolario 2.24. Sean α, β, γ cortaduras tales que α ≤ β y γ ≥ 0 entonces
αγ ≤ βγ.
En resumen hemos probado el siguiente resultado:
Teorema 2.25. Existe un cuerpo ordenado tal que todo subconjunto no vacı́o
y acotado superiormente tiene supremo.
2.2. CONSTRUCCIÓN DE R POR SUCESIONES DE CAUCHY DE NÚMEROS RACIONALES11
2.2.
Construcción de R por sucesiones de Cauchy de números racionales
Ahora abordaremos otra de las construcciones clásicas de R, debida a Weierstrass y Cantor: la de sucesiones de Cauchy de números racionales. Las sucesiones
de Cauchy resultan ser otra herramienta para denunciar “huecos” en Q ya que
una sucesión de Cauchy tiene todos los elementos para ser convergente y, sin
embargo, puede resultar que el lı́mite al que deberı́a tender no es tal porque no
existe como número racional. Por ello esta aproximación permite definir R como
el conjunto de sucesiones de Cauchy de racionales.
En este caso, a diferencia del anterior, sı́ optamos por utilizar el lenguaje
moderno de anillos e ideales ya que supone una gran simplificación en las pruebas de las propiedades algebraicas del conjunto definido. En lugar de definir el
conjunto de sucesiones de Cauchy, la relación de equivalencia entre sucesiones
y luego las operaciones y comprobar que satisface las propiedades de cuerpo
ordenado y completo comenzaremos por el anillo de todas las sucesiones de
racionales, el subanillo de sucesiones de Cauchy y, en él, las sucesiones que convergen a cero, las cuáles forman un ideal maximal. Al efectuar el cociente entre
el anillo de sucesiones y el ideal maximal el resultado es un cuerpo. la parte del
orden y la completez es igual que en la construcción estándar.
Llamamos QN al conjunto de todas las sucesiones de números racionales, y
una sucesión la denotamos como (an ). Con las operaciones de suma y producto
puntuales, éste conjunto tiene estructura de anillo conmutativo con identidad;
el cero es la sucesión constante (0) y la identidad es la sucesión constante (1).
Definición 2.26. Una sucesión (an ) es de Cauchy si para todo racional > 0
existe un natural N tal que si n, m > N entonces |am − an | < . El subconjunto
de las sucesiones de Cauchy lo denotamos C.
A continuación vemos que C también es un anillo conmutativo con identidad,
argumentando que es un subanillo de QN , para lo cual necesitamos un lema que
nos asegura que toda sucesión de Cauchy es acotada.
Lema 2.27. Dada una sucesión de Cauchy (an ) existe un número racional
positivo B tal que |an | ≤ B para todo n ∈ N.
Demostración. Dado = 1, existe N tal que para todo n ≥ N tenemos |an −
aN | ≤ 1, entonces para todo n ≥ N , |an | ≤ |aN | + 1. Entonces
B = máx{|a1 |, |a2 |, . . . , |aN −1 |, |aN | + 1}
verifica el lema.
Proposición 2.28. Las sucesiones de Cauchy, C, forman un subanillo con identidad de QN .
Demostración. Las partes no triviales de la prueba son las clausuras bajo suma
y producto. Sean (an ) y (bn ) sucesiones de Cauchy. Dado > 0 existen naturales
12
CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
N1 y N2 tales que si n, m > N1 entonces |am − an | < /2 y que si n, m > N2
entonces |bm − bn | < /2, con lo cual, tomando N = máx{N1 , N2 } tenemos
|(am + bm ) − (an + bn )| = |am − an + bm − bn | ≤ |am − an | + |bm − bn | <
+ =
2 2
de donde (an ) + (bn ) es sucesión de Cauchy.
Para el producto recordemos que, por ser sucesiones de Cauchy, están acotadas luego existen k, l ∈ Q+ tales que |an | < k y |bn | < l para todo n ∈ N.
Entonces la sucesión producto (an bn ) cumple
|am bm − an bn | ≤ |am bm − am bn | + |am bn − an bn | = |am ||bm − bn | + |bn ||am − an |.
Ahora, por ser de Cauchy, dado > 0 existen naturales N1 y N2 tales que si
n, m > N1 entonces |am − an | < /2l y si n, m > N2 entonces |bm − bn | < /2k.
Por tanto
|am bm − an bn | < k
+ l = ,
2k
2l
y el producto también es sucesión de Cauchy.
A continuación introducimos el subconjunto de las sucesiones de Cauchy
nulas o fundamentales. Cuando mostremos que se trata de un ideal maximal del
anillo anterior, el cociente nos da directamente el cuerpo que buscamos.
Definición 2.29. Una sucesión de Cauchy (an ) es nula, o fundamental, si dado
cualquier racional positivo , existe un natural N tal que si n > N tenemos que
|an | < . Al conjunto de sucesiones nulas lo denotamos I.
Lema 2.30. El subconjunto I es un ideal C.
Demostración. Es un subgrupo aditivo. Sean (an ) y (bn ) sucesiones nulas; dado
> 0 existen naturales N1 y N2 tales que |an | < /2 si n > N1 y |bn | < /2 si
n > N2 . Entonces, tomando N = máx{N1 , N2 } tenemos que para todo n > N
|an + bn | ≤ |an | + |bn | <
+ = .
2 2
Por otro lado es obvio que la sucesión constante (0) es nula. Asimismo, si (an )
es nula, la sucesión (−an ), que es su opuesta, también es nula.
Además, I absorbe el producto. Sean (an ) una sucesión nula y (bn ) una
sucesión de Cauchy arbitraria, la cual está acotada por, digamos, B. Entonces,
dado > 0 existe un natural N tal que si n > N ocurre que |an | < /B. De este
modo
|an bn | = |an ||bn | < |an |B < B = .
B
Ahora podemos considerar el cociente C/I.
Proposición 2.31. El anillo cociente C/I es un cuerpo.
2.2. CONSTRUCCIÓN DE R POR SUCESIONES DE CAUCHY DE NÚMEROS RACIONALES13
Demostración. Basta ver que el ideal I es maximal. Sea J un ideal de C que
contiene propiamente a I. Entonces existe (zn ) ∈ J tal que (zn ) ∈
/ I. Construyamos apartir de (zn ) una nueva sucesión que llamaremos (xn ) tal que (xn ) ∈ J
pero que no pertenezca a I y sea unidad. Con ello quedará probado que J = C
y, por tanto, que I es ideal maximal.
a) Por ser (zn ) de Cauchy y no ser nula (no converge a cero), existen > 0 y
N ∈ N tales que |zn | > si n > N . Por tanto (zn ) tiene un número finito
de ceros.
b) Definamos la sucesión yn de la siguiente manera:
(
1, si zn = 0,
yn =
0, en otro caso.
Claramente yn ∈ I ⊂ J.
c) Definamos ahora xn = zn + yn . Por construcción (xn ) ∈ J y xn ∈
/ I. Y,
puesto que xn 6= 0 para todo número natural n, la sucesión ( x1n ) es de
Cauchy e inversa de xn . Por tanto xn es unidad.
Obsérvese que los elementos del cuerpo C/I son las clases laterales de la forma
I + (an ), y que dos sucesiones están en la misma clase lateral si (an ) − (bn ) ∈
I. También hacemos notar que este cuerpo contiene a Q de manera natural
asociando a cada racional r con la sucesión constante (r).
El siguiente paso es dotar a este cuerpo de un orden que, en cierto modo,
venga inducido por el de Q. Comenzamos por ordenar el anillo de sucesiones de
Cauchy.
Definición 2.32. Una sucesión de Cauchy (an ) es positiva si existe un natural
N tal que si n > N entonces an > 0.
Diremos que (an ) < (bn ) si la sucesión (bn ) − (an ) es positiva.
Es fácil comprobar que esta definición efectivamente ordena el anillo C,
ası́ como comprobar que éste induce un orden en el cociente: I +(an ) < I +(bn ) si
(an ) < (bn ) (especialmente que esta definición no depende de los representantes
elegidos).
Lo más interesante, sin embargo, son las dos propiedades que enunciamos a
continuación sobre este cuerpo ordenado: es arquimediano y es completo (ahora
en el sentido métrico, es decir, que toda sucesión de Cauchy converge).
Teorema 2.33. El cuerpo ordenado C/I es arquimediano y toda sucesión de
Cauchy converge en él.
Demostración. Primero veamos la propiedad arquimediana. Sean I + (an ) e
I + (bn ) dos elementos de C/I que verifican 0 < I + (an ) < I + (bn ). Entonces
existe un natural N tal que an < bn si n > N . Por otro lado, por ser de
14
CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
Cauchy, la sucesión (bn ) tiene una cota superior B, luego podemos escribir
an < bn < B. Puesto que el orden de Q sı́ es arquimediano existe un natural
m tal que B < man , de donde la sucesión (man ) es mayor que (bn ) o, en otras
palabras I + (bn ) < m(I + (an )).
Continuamos con la convergencia de toda sucesión de Cauchy separándola
en dos casos: sucesiones de Cauchy de racionales, como paso previo, y sucesiones de Cauchy arbitrarias. Sea (an ) una sucesión de Cauchy racional, la cual
define el elemento α = I + (an ) en C/I. Veamos que dicho elemento es su lı́mite.
Efectivamente, sea > 0 un elemento de C/I. Puesto que este cuerpo es arquimediano, Q es denso en él, con lo cual existe un racional q tal que 0 < q < .
Por ser (an ) de Cauchy existe un natural N tal que |am − an | < q si m, n > N .
Ahora calculemos la distancia de la sucesión (an ) al elemento α:
|am − α| = |(I + (am )) − (I + (an ))|
= I + (|am − an |)
< I + (q) = q < siempre que m > N , luego (an ) converge a α.
Ahora consideremos una sucesión de Cauchy en C/I, (βk ), donde cada elemento de la sucesión es de la forma βk = I + (bkn ) y (bkn ) es una sucesión de
Cauchy racional (con ı́ndice n). Por el párrafo anterior sabemos que la sucesión
(bkn ) converge a βk . Ahora bien, por ser (βk ) sucesión de Cauchy sabemos que
dado > 0 existe un natural K tal que si k, l > K entonces |βk − βl | < pero,
desarrollando la expresión de los elementos βk tenemos
|βk − βl | = |(I + (bkn )) − (I + (bln ))|
= I + (|bkn − bln |) < .
Por los argumentos anteriores existe un racional q tal que I +(|bkn −bln |) < q < lo cual significa que existe un natural N tal que si n > N tenemos |bkn −bln | < q,
siempre que k, l > K. Esto nos permite definir una nueva sucesión de racionales
(ak ) donde ak es un elemento de la sucesión (bkn ) con n suficientemente grande
para que se cumpla |ak − al | < q si k, l > K. Esta sucesión es de Cauchy y, por
tanto, define un elemento en C/I que llamamos α, su lı́mite. Ahora sólo resta
ver que (βk ) converge a α.
|βk − α| = |(I + (bkm )) − (I + (ak ))|
= I + (|bkm − bkn |)
< I + (q) < .
Ası́ pues hemos construido otro cuerpo ordenado y completo a partir de las
sucesiones de Cauchy. Cualquiera de los dos, el conjunto de cortaduras D o el
cociente C/I, puede ser llamado el conjunto de los números reales. Ası́ que se nos
plantea una primera pregunta, ¿cuál de los dos elegir? La respuesta es que no
importa pues el resultado es el mismo, debido a que podemos identificar ambos
conjuntos mediante el siguiente isomorfismo.
2.3. DEFINICION AXIOMÁTICA DE R
15
Proposición 2.34. La función
φ : C/I → D
que a cada elemento I + (an ) asocia la cortadura α definida como sigue: un
racional r está en α si el conjunto de elementos de la sucesión (an ) que verifican
r < an es finito; es un isomorfismo de cuerpos que preserva el orden.
Demostración. La función está bien definida, en el sentido de que no depende de
la sucesión que se elija como representante de la clase lateral I + (an ). Es claro
que es una biyección, pues es fácil definir la función inversa como aquélla que a
cada cortadura de D asigna una clase lateral a partir de una sucesión definida
en base a la cortadura, cuyos elementos se acerquen al punto de separación de
ambas clases: la cortadura y su complemento.
Esta función permite ver, asimismo, que la completitud en sentido de conexión topologógica equivale a las propiedades arquimedianas y completitud en
sentido métrico.
Esta identificación de ambas construcciones nos catapulta más allá, a la idea
de definir el conjunto de los reales prescindiendo incluso de cualquier construcción explı́cita del mismo: axiomáticamente.
2.3.
Definicion axiomática de R
Las propiedades que nos permiten identificar las dos construcciones de las
secciones precedentes son:
1. Las propiedades algebraicas que les dan estructura de cuerpo.
2. Las propiedades de orden, compatible con la estructura algebraica, que los
convierten en cuerpos ordenados.
3. La propiedad de completitud (ya sea en la versión de la propiedad del
supremo o en la versión de arquimedianidad más completitud métrica)
que los convierten en cuerpos ordenados y completos
Éstas son, además, las propiedades que se desean en el conjunto de los reales. El
siguiente teorema dice que todos los conjuntos que verifican dichas propiedades
son isomorfos entre sı́.
Teorema 2.35. Todo cuerpo ordenado arquimediano y completo (en sentido
métrico) es isomorfo a C/I.
Demostración. Sea K un cuerpo ordenado arquimediano y completo. Por ser
arquimediano contiene un subcuerpo isomorfo a Q y denso en K, al que llamaremos simplemente Q. Vamos a asociar con cada elemento de K una sucesión
de racionales. Con el cero asociamos la sucesión constante (0).
16
CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE R
Sea x ∈ K un elemento positivo (todo lo que sigue es análogo para un
elemento negativo). Entonces existe un racional q1 tal que 0 < q1 < x tal que
|x − q1 | < 1.
De nuevo por la densidad de Q en K podemos encontrar un racional q2 tal
que q1 < q2 < x y |x−q2 | < 21 . Análogamente procedemos por inducción y, dado
el racional qn podemos encontrar qn+1 que verifique qn < qn+1 < x y, además
1
.
|x − qn+1 | < n+1
La sucesión de racionales (qn ) converge a x por construcción y, por tanto, es
de Cauchy. Entonces podemos definir la siguiente función
φ: K
x
→
7
→
C/I
I + (qn ).
Ahora comprobamos que φ es un isomorfismo de cuerpos que preserva el orden.
Preserva el orden pues, por la construcción de la sucesión (qn ) se tiene inmediatamente que si x > 0 entonces φ(x) = I +(qn ) > 0. Similarmente es homomorfismo
pues φ(x+y) = I+(qn +rn ) = (I+(qn ))+(I+(rn )) = φ(x)+φ(y) respecto a la suma, y respecto al producto φ(xy) = I +(qn rn ) = (I +(qn ))(I +(rn )) = φ(x)φ(y).
Veamos que es inyectiva tomando elementos x, y ∈ K tales que φ(x) = φ(y).
Entonces I + (qn ) = I + (rn ) de donde obtenemos que la sucesión (qn − rn ) es
nula. Ahora bien, como cada una de las dos sucesiones tiene lı́mite, a saber x y
y respectivamente, eso nos lleva a que ambas tienen el mismo lı́mite, de donde
x = y.
Por último la suprayectividad. Sea I +(an ) un elemento de C/I donde (an ) es
una sucesión de Cauchy de racionales. Entonces, considerando la misma sucesión
(an ) pero en K, puesto que éste es completo, define un elemento x, el cual
obviamente verifica φ(x) = I + (an ).
Este último teorema nos permite dar un salto más y prescindir completamente de la construcción de un conjunto con las propiedades mencionadas y
postular, simplemente, que un conjunto con tales propiedades es lo que llamamos el conjunto de los números reales.
Definición 2.36. El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado y
completo y lo denotamos R.
Capı́tulo 3
Cardinalidad de R
En el capı́tulo anterior hemos visto que para llegar a definir R esencialmente
hemos tenido que añadir elementos al conjunto de los racionales. Debido a la
definición que hemos dado finalmente, postulando las propiedades que queremos
en él, conocemos bien su estructura algebraica y de orden. Sin embargo surge
como primera pregunta ¿cuántos elementos más tiene R que Q? Los irracionales
que hay que añadir a Q para completar la recta real, ¿son muchos o pocos? Por
ello este capı́tulo está dedicado a estudiar la cardinalidad de R, donde aparece
el primer indicio de la complejidad que subyace en este conjunto.
En primer lugar vemos que efectivamente el cuerpo R tiene más elementos
que Q, es decir, es no numerable. Seguidamente mostramos que la cardinalidad
de R es la cardinalidad del conjunto pontencia de los números naturales. En
otras palabras, R es muy grande, mucho más de lo imaginable.
Teorema 3.1. R no es numerable.
Presentamos una prueba que utiliza el resultado sobre intervalos anidados
de la recta real, resultado que mostramos previamente en un lema.
Lema 3.2. Sea {In }n∈N una T
familia de intervalos cerrados y anidados en R,
es decir, In+1 ⊂ In . Entonces n∈N In 6= ∅.
Demostración. Para cada n natural, sea el intervalo In = [an , bn ]. Entonces la
condición de estar anidados implica que (an ) es una sucesión creciente de reales,
mientras que (bn ) es una sucesión decreciente y, además, ambas están acotadas
pues para cualquier m y n naturales am ≤ bn . Por tanto ambas sucesiones son
de Cauchy y, por ser R completo, tienen lı́mite. Llamemos A al lı́mite de (an ).
Por ser (an ) creciente es claro que para cualquier n, an ≤ A. Por otro lado,
también debe cumplirse A ≤ bn pues de lo contrario, si existe m tal que bm < A
entonces para todo n > m tenemos que |an − A| > tomando = A − bm ,
contradiciendo que A es lı́mite de la sucesión (an ). Por tanto, para todo natural
n tenemos
an ≤ A ≤ bn o, dicho de otra forma A ∈ [an , bn ]. De este modo
T
A ∈ n∈N In y la intersección es no vacı́a.
17
18
CAPÍTULO 3. CARDINALIDAD DE R
Ahora sı́ pasamos a la prueba del teorema sobre la cardinalidad de R.
Demostración. Basta ver que un subconjunto I de R no es numerable. Consideremos el intervalo I = [0, 1] ⊂ R. Supongamos que I es numerable, es decir,
podemos enlistar los elementos de I como x1 , x2 , . . . Hagamos la siguiente partición de I:
1 2
2
1
I = 0,
∪ ,
∪ ,1 ,
3
3 3
3
y tomemos x1 . Claramente x1 no pertenece a alguno (por lo menos) de los
intervalos en la partición de I. Llamemos I1 a dicho intervalo. Particionemos
ahora I1 en tres subintervalos como lo hicimos con I. Al considerar x2 , existe
por lo menos un subintervalo de I1 que no lo contiene; llamemos a éste I2 , y
ası́ sucesivamente. Por tanto se tiene que In no contiene a x1 , x2 . . . , xn .
Consideremos ahora la familia de intervalos cerrados anidados {In }n∈N que
acabamos de definir. Por construcción tenemos que:
\
In = ∅
n∈N
lo cual es una contradicción con el lema 3.2. luego [0, 1] no es numerable y, por
tanto, tampoco R lo es.
De esta manera queda de manifiesto el que R tiene una cardinalidad mayor
que la cardinalidad de los números naturales. Ahora surge la más natural de las
preguntas ¿Qué tan grande es es R en comparación con N? Su cardinalidad es
2ℵ0 .
Para la demostración de este resultado se usamos la representación de un
número entre cero y uno en forma binaria. Con esta herramienta expondremos
una función entre el conjunto potencia de los naturales y el intervalo unitario
de la recta real.
Tomemos un número decimal entre cero y uno digamos x, su expresión en
notación binaria es una secuencia de dı́gitos escrita de la forma 0.x1 x2 x3 . . . ,
donde xn ∈ {0, 1} que cumplen
x=
∞
X
xn
.
2n
n=0
Ası́ la expresión binaria para x = 0,7 será x = 0,1011001 . . . .
La función natural serı́a la que toma la lista de dı́gitos ceros y unos como
una función caracterı́stica de un subconjunto de N: el conjunto que contiene
al natural n si la n-ésima cifra de la expansión binaria es un 1. O viceversa,
número real asociado a un conjunto tiene sus cifras binarias definidas por la
función caracterı́stica de un subconjunto de N, lo cual se puede escribir como
f : P(N) → [0, 1) tal que A 7→ f (A) = 0.x1 x2 x3 . . . donde cada cifra binaria
está dada por xn = χA (n).
Pero esta definición no es del todo correcta puesto que se busca que sea biyectiva y tenemos el problema de que algunos números admiten dos expansiones
19
binarias diferentes. Por ejemplo 0,1 = 0,011111 . . . , con lo cual la función no
serı́a inyectiva.
Para solucionarlo definimos la función con un dominio nuevo pero con la
misma cardinalidad de P(N). Dicho conjunto será
P(N) = P(N) \ F,
donde
F = {A ⊂ N|A es finito }.
Los argumentos expuestos en el apéndice sobre cardinalidad muestran que el
conjunto F tiene cardinalidad ℵ0 ya que
X
|F | =
2n = ℵ0 .
n∈N
Entonces también podemos argumentar que el conjunto P(N) tiene la misma
cardinalidad que P(N), ya que P(N) y F son disjuntos y cumplen
P(N) ∪ F = P(N),
con lo cual tenemos la siguiente relación de cardinalidades:
|P(N)| + |F | = |P(N)|.
Pero, como |F | = ℵ0 es el menor de los cardinales infinitos verifica que la suma
con cualquier otro cardinal infinito (y desde luego |P(N)| lo es) lo absorbe, es
decir
|P(N)| + |F | = |P(N)|,
y queda probada nuestra afirmación.
Hecha la discución anterior exponemos el siguiente resultado.
Teorema 3.3. |R| = 2ℵ0
Demostración. Definamos la siguiente función:
f : P(N) →
A
7→
(0, 1)
f (A) = 0.x1 x2 x3 . . .
donde cada cifra binaria está dada por xn = χA (n). Probamos a continuación
que esta función es biyectiva.
i) Es suprayectiva pues consideremos un número real x del intervalo (0, 1) y
demos su expansión binaria x = 0.x1 x2 x3 . . . , xn ∈ {0, 1}. Por lo comentado anteriormente podemos dar una expansión binaria que no termine en
una cola de ceros, es decir tal que no existe N ∈ N de modo que xn = 0
para todo n > N . En tal caso el conjunto
A = {n ∈ N|xn = 1}
no es finito y claramente cumple que su imagen bajo f es x.
20
CAPÍTULO 3. CARDINALIDAD DE R
ii) Es inyectiva ya que si A, B son subconjuntos de N tales que A 6= B entonces existe m tal que m ∈ A y m ∈
/ B (o al revés). Al evaluar en f tenemos
que
f (A) = 0.x1 x2 x3 . . . , f (B) = 0.y1 y2 y3 . . . ,
donde xn = χA (n) mientras que yn = χB (n). Entonces es claro que xm 6=
ym , luego f (A) 6= f (B).
Hecho lo anterior sólo falta biyectar (0, 1) con R, lo cual se consigue, como es
sabido, mediante la función g(x) = tan(πx − π2 ). Como f y g son biyectivas su
composición también lo será con lo que concluimos que |R| = |P(N)| = 2ℵ0 .
Capı́tulo 4
Algunos subconjuntos
importantes de R
El tema central de este capı́tulo es escrutar algunos de los subconjuntos destacables de R, en el sentido de que son los que, en la práctica, más se usan.
Analizaremos, en particular, la estructura algebraica que poseen como subconjuntos de R con las operaciones usuales de suma y producto restringidas a ellos.
Empezamos estudiando los naturales, enteros y racionales. Obsérvese que,
puesto que finalmente dimos una definición de R postulando simplemente sus
propiedades, y rechazamos la construcción a partir de los racionales, ahora debemos realizar el trabajo de definir, a partir de R, los conjuntos N, Z y Q para
mantener la coherencia. Para no dejarnos nada atrás mostraremos que estos tres
conjuntos tienen la misma cardinalidad: ℵ0 , el menor cardinal infinito.
Después de estos conjuntos que, en realidad, ya existı́an sin la necesidad
de inventar R pasamos a estudiar algunos conjuntos que nos permitan asomarnos mejor a la verdadera naturaleza de los reales. A los números irracionales.
Empezaremos despacio también, con los números construibles, para pasar enseguida a los algebraicos. Con estos dos ejemplos constatamos que, aunque ya
estamos adentrados en el mundo de los irracionales, apenas despegamos, porque
son conjuntos de nuevo con cardinalidad ℵ0 , es decir, siguen siendo pequeños.
El siguiente paso es plantearse ya, directamente, cuáles son todos los números
que podemos utilizar en la práctica. Es decir, aquéllos que podemos calcular o,
al menos, aproximar. Éste conjunto lo llamamos de los números computables.
Constataremos que, como los anteriores, tiene estructura de cuerpo ordenado.
Sin embargo sigue siendo pequeño.
Como último paso estudiamos qué números reales podemos distinguir del
resto mediante una definición, aunque no podamos calcularlo. A éstos los denominamos números definibles y, obviamente, es el último paso, pues más allá de
lo que podemos definir no podemos adentrarnos.
21
22
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
4.1.
Los números naturales N.
Definiremos el conjunto de los naturales a partir de los conjuntos que satisfacen la propiedad esencial de aquél: la inducción. Por ello definimos primero
los conjuntos inductivos.
Definición 4.1. Sea A un subconjunto de R. Diremos que A es inductivo si
1 ∈ A y además, para todo x ∈ A se tiene que x + 1 ∈ A.
Entonces definimos N como el menor de los conjuntos inductivos.
Definición 4.2. Sea I la familia de todos los subconjuntos inductivos de R.
Definimos
\
N=
A.
A∈I
Es claro de la definición que N está formado por el elemento 1 y por todo
número real que se puede expresar como una suma finita de 1 con sı́ mismo:
1 + · · · + 1.
4.1.1.
Estructura algebraica
Proposición 4.3. N es cerrado bajo suma y producto.
Demostración. Sean x, y elementos de N, entonces x = 1+· · ·+1, y = 1+· · ·+1
y su suma, por la propiedad asociativa, tiene la forma
x + y = 1 + · · · + 1 + 1 + · · · + 1,
luego está en N.
Para el producto hacemos uso de la propiedad distributiva, quedando patente
de nuevo que el producto de una suma finita de unos por otra suma finita de
unos es, de nuevo, una suma finita de unos.
xy = (1 + · · · + 1)(1 + · · · + 1) = 1 + · · · + 1.
Por tanto las operaciones de suma y producto restringidas a N dan lugar a
una estructura algebraica. Sin embargo no es muy rica ya que el cero no está en
N: por ejemplo el intervalo [1, ∞) es un conjunto inductivo y no contiene a 0.
Ası́ que N no tiene ni tan siquiera neutro respecto a la suma, mucho menos
opuestos. Sı́ contiene a la identidad del producto, el 1, pero tampoco a ningún
inverso (excepto el propio 1).
4.1.2.
Cardinalidad de N
Por definición N tiene cardinalidad ℵ0 , el cual es el menor de los cardinales
infinitos.
4.2. LOS NÚMEROS ENTEROS
4.2.
23
Los números enteros
Definiremos ahora el conjunto de los números enteros añadiendo a los naturales el cero y sus opuestos.
Definición 4.4. Denotemos por −N el conjunto de los opuestos, en R, de los
números naturales. Entonces definimos el conjunto de los números enteros como
Z = −N ∪ {0} ∪ N.
4.2.1.
Estructura algebraica
Proposición 4.5. Z es cerrado bajo suma y producto definidos en R.
Demostración. Sean x, y elementos de Z, si x, y son ambos positivos todo se
reduce al teorema anterior para su suma y producto. Si x, y son ambos negativos
tendremos por propiedades de distributividad en R
x + y = −((−x) + (−y)),
donde tanto −x como −y son naturales, luego −(x + y) ∈ −N. Análogamente
se demuestra que la suma de un positivo y un negativo es de nuevo un entero.
La suma con el cero, siendo éste el neutro de la suma, no plantea problemas.
Para el producto seguimos un razonamiento análogo. Si x, y son ambos negativos tenemos xy = (−x)(−y), donde de nuevo (−x) y (−y) son naturales.
Análogamente para el caso de uno positivo y otro negativo. El producto por
cero claramente está en Z.
Por tanto las operaciones suma y producto dan una estructura algebraica
a Z: es un anillo conmutativo con identidad. Efectivamente, a diferencia de los
naturales, en los enteros tenemos un neutro para la suma, 0, y opuestos para
cada elemento por construcción. El resto de propiedades necesarias para ser
anillo se heredan de R directamente. No es cuerpo porque todos los elementos,
excepto 1 y −1, carecen de inversos.
4.2.2.
Cardinalidad de Z
Proposición 4.6. Z tiene cardinalidad ℵ0 .
Demostración. Por definición tenemos |Z| = | − N ∪ {0} ∪ N|, pero los tres
conjuntos del segundo miembro son disjuntos, luego |Z| = | − N| + |{0}| + |N| =
ℵ0 + 1 + ℵ0 = ℵ0 .
Un elemento que está en Z pero no en N es por ejemplo el 0. Ası́ tenemos
que la inclusión N ⊂ Z es propia.
24
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
4.3.
Los números racionales
Definición 4.7. Definimos el conjunto de los números racionales Q como los
reales que se pueden expresar como un cociente de enteros:
n
ao
.
Q = r ∈ R|∃a, b ∈ Z, r =
b
4.3.1.
Estructura algebraica
Proposición 4.8. El conjunto Q es cerrado bajo la suma y el producto de R.
Demostración. Sean r y s racionales. Entonces r = ab11 y s = ab22 , donde a1 , a2 , b1 , b2
son enteros. La suma y el producto se pueden expresar, respectivamente,
r+s=
a1 b2 + a2 b1
,
b1 b2
rs =
a1 a2
b1 b2
luego claramente r + s y rs son racionales.
Es claro que todo número entero m puede verse en la forma
son racionales.
4.3.2.
m
1,
luego también
Cardinalidad de Q
Proposición 4.9. El conjunto Q tiene cardinalidad ℵ0 .
Demostración. Puesto que Q contiene a Z tenemos la desigualdad ℵ0 ≤ |Q|. Por
otro lado, es claro que la cardinalidad de Q es menor o igual que la de Z × Z
pues la función que asigna a cada racional la pareja (a, b) donde ab es la fracción
irreducible que representa al racional, es inyectiva. Pero |Z × Z| = ℵ0 ℵ0 = ℵ0 .
Por tanto |Q| ≤ ℵ0 .
De ambas desigualdades concluimos |Q| = ℵ0 .
Un elemento que está en Q pero no en Z es, por ejemplo, 12 , lo cual muestra
que Z ⊂ Q es una contención propia.
4.4.
Los números construibles
En esta sección nos adentramos ya en el mundo de los irracionales de la
mano de problemas clásicos de la geometrı́a euclı́dea. Los inicios el estudio de
los irracionales están, efectivamente, en la geometrı́a, pues los antiguos griegos
pensaban que todos los números debı́an poderse construir con regla
√ y compás.
Ası́ aparecen números que se pueden construir fácilmente, como 2, y que sin
embargo no eran racionales.
Definición 4.10. Dado un segmento de recta que llamaremos unidad, se dice
que un número α ∈ R es construible si podemos construir un segmento de recta
de longitud |α| mediante trazos con regla y compás.
Denotamos B al conjunto de los números construibles.
4.4. LOS NÚMEROS CONSTRUIBLES
25
Nótese que en esta definición los trazos permitidos toman sentido en el entorno
de la geometrı́a euclı́dea.
4.4.1.
Estructura algebraica
Iniciemos, como en los casos anteriores, viendo que B es un conjunto cerrado
bajo las operaciones de R, para lo cual haremos uso de la siguiente propiedad,
trivial, pero de suma importancia.
Lema 4.11. Si α es un número construible, −α también lo es.
Demostración. Al contar con un segmento de magnitud |α| contamos también
con un segmento de magnitud | − α|.
Ahora podemos ver que B es un subcuerpo de R.
Teorema 4.12. El conjunto B es un subcuerpo de R.
Demostración. Es obvio que 0 es un número construible considerando un punto
geométrico como un segmento de longitud 0. Sean ahora α y β números construibles y supongamos que |β| < |α|. Sea OA un segmento de longitud |α|.
Ahora sobre dicho segmento construimos otro de origen O y longitud |β|, cuyo
punto final llamamos B. Es claro entonces que el segmento BA tiene magnitud
|α − β|, luego α − β es construible y queda probado que B es subgrupo aditivo.
Para el producto consideremos los mismos dos números construibles, asumiendo ahora que no son cero. La figura 4.1 muestra una construcción del segmento AE, de longitud |α| y, sobre la misma recta, el segmento AG, de longitud
1. El segmento AD, de longitud |β|, está sobre una recta adyacente. Entonces,
por el teorema de Thales, tenemos la siguiente relación:
α
1
,
=
β
AF
β
de donde el segmento AF tiene longitud α
. Por tanto queda probado que B\{0}
es subgrupo multiplicativo de R \ {0}.
Con ambos resultados queda probado que B es subcuerpo de R.
Nótese que Q está contenido en B, pues es el menor subcuerpo de R.
Ahora estamos en vı́speras de conocer de manera más precisa a los elementos
que forman parte del conjunto en cuestión. Para esto procederemos de manera
analı́tica para llevar a efecto la construcción de cualquier número construible.
Imaginemos un plano cartesiano donde sólo tienen vida los pares ordenados
de números racionales. Entonces cualquier otro punto que podamos localizar en
el plano utilizando regla y compás puede localizarse de la siguente manera.
a) Como intersección de dos rectas, donde cada una pasa por dos puntos con
coordenadas racionales.
26
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
Figura 4.1: Construcción para probar que B∗ es subgrupo multiplicativo de R∗ .
b) Como intersección de una recta que pasa por dos puntos con coordenadas
racionales y una circunferencia cuyo centro tiene coordenadas construibles,
y el cuadrado de su radio es racional.
c) Como intersección de dos cı́rculos cuyos centros tiene coordenadas racionales y los cuadrados de sus radios son racionales.
La ecuación de una recta en el plano es ax + by + c = 0, mientras que la ecuación
de una circunferencia en el plano es ax2 + by 2 + cx + dy + e = 0. Por tanto
en el primero de los casos, una solución simultánea de dos ecuaciones lineales
sólo puede dar valores racionales de x y y, con lo cual no se obtienen puntos
nuevos, pues Q es cerrado bajo suma y producto. El tercer caso puede reducirse
a la intersección de una recta (cuerda común a ambas circunferencias) y una
de las circunferencias. Analicemos pues el segundo caso, donde la búsqueda de
una solución conduce, mediante susutitución, a una ecuación cuadrática y a
soluciones que serán raı́ces cuadradas de números racionales.
De ahı́ surge la necesidad de exponer el siguiente resultado.
Lema 4.13. La raı́z cuadrada de un número construible es construible.
Demostración. Dado α ∈ B, podemos construir el segmento de magnitud |α|
con extremos A y B. Llamemos C al punto tal que, al prolongar el segmento
AB hasta AC tenga magnitud |α| + 1. Obteniendo el punto medio de dicho
segmento, podemos trazar una semicircunferencia de radio |α|+1
2 , de manera
4.4. LOS NÚMEROS CONSTRUIBLES
27
que los extremos de dicha curva sean A y C. Eregimos una perpendicular desde
el punto B hasta cortar la circunferencia, llamando a este punto D. Luego el
triángulo ABD es semejante con el triángulo ACD, por tanto
de donde AB =
√
AB
α
,
=
1
AB
α.
Ası́ los números contruibles se pueden obtener intersectando rectas que pasan por puntos de coordenadas construibles, e intersectando circunferencias con
centro de coordenadas construibles, y radio construible, con rectas de coordenadas construibles.
Dado el razonamiento anterior tenemos el siguiente resultado.
Teorema 4.14. El cuerpo B consta, precisamente, de todos los números reales
que podemos obtener de Q, tomando raı́ces cuadradas de números positivos un
número finito de veces y aplicando un número finito de operaciones de cuerpo.
Demostración. Los números racionales son construibles. Suma de números racionales es construible, la raı́z cuadrada de un número racional es construible, y
los únicos elementos de B que no están en Q son las raı́ces cuadradas de números
racionales.
Corolario 4.15. Si α ∈ B pero α ∈
/ Q entonces existe una secuencia de números
construibles γ1 , γ2 , . . . , γn = α tal que Q(γ1 , γ2 , . . . , γn ) es una extensión de
Q(γ1 , γ2 , . . . , γn−1 ) de grado 2. En particular [Q(α) : Q] = 2r (donde [Q(α) : Q]
denota la dimensión de Q(α) sobre Q como espacio vectorial) para algún entero
r.
4.4.2.
Cardinalidad de B
Teorema 4.16. B tiene cardinalidad ℵ0 .
√
Demostración. Llamemos Q+ al conjunto de las raı́ces cuadradas de números
racionales mayores o iguales a cero. Este conjunto tiene la misma cardinalidad
que Q+ , √
la cual es ℵ0 .
√
1
Sea ( Q+ )n = {(α) 2n |α ∈ Q+ } el cual tambien tiene cardinalidad ℵ0 ;
Construyamos el conjunto
[ p
A=
( Q+ )i ,
i∈N
el cual también tiene cardinalidad ℵ0 por ser unión numerable de conjuntos
numerables. Ahora concideremos el conjunto de los inversos aditivos de dicho
conjunto, denotado por A.
En virtud del teorema anterior
X
B={
a1 a2 · · · ai |ai ∈ A ∪ −A}.
i,j∈N
Luego |B| = ℵ0 , pues vuelve a ser una suma numerable de cantidades numerables.
28
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
4.5.
Los números algebraicos
Con los ejemplos de la sección anterior ha quedado manifiesta la pauta que
abre el camino para el estudio de otro subconjunto de R caracterı́stico por su
cardinalidad, y aún más porque nos acerca a un concepto de renombre en la
teorı́a del álgebra (el concepto de clausura algebraica de un cuerpo sobre una
extensión de él): el conjunto de los números algebraicos.
En el presente cápitulo mostraremos que este conjunto es un subcuerpo de
R que contiene a B, y además tiene cardinalidad ℵ0 .
Definición 4.17. α ∈ R es algebraico (sobre Q) si es raı́z de un polinomio no
nulo con coeficientes en Q.
El conjunto de todos los reales algebraicos lo denotamos A.
Recordando el teorema 4.14 de la sección anterior, es fácil ver que todo
número construible es algebraico, debido a que los elementos de B se obtienen
a partir de una cantidad finita de operaciones de campo de elmentos de Q y
tomando un numero finito de raı́ces cuadradas. Pretendiendo obtener el polinomio pα (x) para el cual α es raı́z, basta hacer las operaciones de manera inversa
que se efectuaron para construir α.
4.5.1.
Estructura algebraica
Definición 4.18. Un cuerpo de extensión E de un cuerpo F es una extensión
algebraica de F si todo elemento de E es algebraico sobre F .
Definición 4.19. Un cuerpo de extensión E de un cuerpo F es una extensión
finita, si E es de dimensión finita como espacio vectorial sobre F .
Teorema 4.20. Un cuerpo de extensión finita E de un cuerpo F es una extensión algebraica de F .
Demostración. Si dimF E = n y α pertenece a E pero no a F , entonces {1, α, α2 , . . . αn }
es un conjunto linealmente dependiente, de manera que existen ai ∈ F , i =
1, 2, . . . , n tales que:
n
X
0=
ai αi
i=1
con ai 6= 0 para algunos ı́ndices. Luego
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 · · · + an xn
es un polinomio no nulo con coeficientes en F tal que p(α) = 0.
Con las herramientas anteriores vamos a probar que el conjunto de todos los
números reales algebraicos es un subcuerpo de R. En realidad es un resultado
más general que se puede probar para cualquier extensión de un cuerpo. Lo
anterior es una tarea difı́cil si nos empeñamos en exhibir polinomios para los
cuales α + β, αβ, α
β sean raı́ces, pero con las definiciones y el teorema anteriores,
es fácil probar el siguiente resultado.
4.5. LOS NÚMEROS ALGEBRAICOS
29
Teorema 4.21. Sea E un cuerpo de extensión de F . Entonces
F E = {α ∈ E|α es algebraico sobre F }
es un subcuerpo de E, a saber, la clausura algebraica de F en E.
Demostración. Sean α, β ∈ F E . Entonces F (α, β) es una extensión finita de F ,
y por el teorema 4.20 todo elemento de F (α, β) es algebraico sobre F .
Corolario 4.22. El conjunto A de todos los números reales algebraicos sobre
Q es un subcuerpo de R.
Demostración. La demostración se sigue del teorema 4.21 pues el conjunto de
los números reales algebraicos es la clausura algebraica de Q sobre R.
4.5.2.
Cardinalidad de A
Como ya hemos comentado B ⊂ A pero, ¿qué tan grande es A, en cuanto
a cardinalidades, con respecto a B? En la presente sección mostramos que la
cardinalidad de A es, de nuevo, ℵ0 .
De la definición de número algebraico sabemos que para cada elemento de
A existe un polinomio p(x) con coeficientes en Q, tal que p(α) = 0. Entonces
basta con saber cuántos polinomios con coeficientes racionales existen para saber
cuántos elementos algebraicos hay.
Teorema 4.23. El conjunto A tiene cardinalidad ℵ0 .
Demostración. Consideremos el siguiente conjunto
Pn = {p(x) ∈ Q[x]|p(x) es de grado n}.
Un elemento de este conjunto es de la forma
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,
con an 6= 0.
Cada coeficiente ai , i = 1, . . . , n toma valores en Q, es decir, ℵ0 posibilidades.
Por tanto, en virtud del teorema A.3, |Pn | = ℵ0 .
La unión de estos conjuntos resulta en el conjunto de todos los polinomios
con coeficientes en Q
[
Q[x] =
Pn ,
n∈N
donde la unión es disjunta. Por otro lado, un polinomio de grado n tiene, a lo
sumo, n raı́ces, por tanto tenemos la siguiente desigualdad
X
|A| ≤
n|Pn |.
n∈N
Pero el segundo miembro es una suma numerable de cantidades numerables,
luego es numerable. Tenemos ası́ que |A| ≤ ℵ0 .
Claramente ℵ0 ≤ |A| puesto que A contiene a Q. Por tanto concluimos
|A| = ℵ0 .
30
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
Sin embargo, para comprobar que el conjunto de los algebraicos es, en verdad, una extensión propia de los construibles recordamos unos de los problemas
clásicos de la geometrı́a griega que no se pudo resolver hasta la llegada de la
teorı́a algebraica moderna.
Teorema 4.24. Es imposible duplicar el cubo, es decir: dado el lado de un cubo,
no es posible construir, con regla y compás , el lado de un cubo que tenga el doble
del volumen del cubo original.
Demostración. Sea el cubo de lado 1 y, por tanto, de volumen 1. El cubo que
se busca debe
√ tener volumen 2 y, por tanto cada uno de sus lados debe ser de
longitud 3 2, pero dicho numero es raı́z del polinomio p(x) = x3 − 2, que es
irreducible sobre Q, de manera que
√
3
[Q( 2) : Q] = 3.
En virtud del corolario 4.15 deberia existir un número n tal que 3 = 2n , lo cual
no es ocurre.
√
Ası́, 3 2 es un número algebraico pero no construible, luego la inclusión
B ⊂ A es propia.
4.6.
Los números computables
El conjunto de los números algebraicos agota las posibilidades de identificar números reales a partir de los números elementales (naturales, enteros y
racionales) y operaciones algebraicas. Sin embargo sabemos que hay muchos
más números con los que trabajamos habitualmente y que son muy accesibles.
Un ejemplo de tal elemento es el número e. En [7] se prueba que es un número trascendente, es decir, no algebraico. Sin embargo, si tomamos su definición
como
n
1
e = lı́m 1 +
,
n
tenemos en la sucesión una forma de calcular el número con toda la precisión
que deseemos; basta elegir n suficientemente grande.
Dicho de otra manera tenemos un “algoritmo” que nos permite saber con
precisión la n-ésima cifra de la expansión decimal de e. Ésta es la definición
intuitiva del concepto de número computable. Para el estudio riguroso de este
tipo de objetos es necesario precisar algunos conceptos clave, especialmente el
de algoritmo.
4.6.1.
Máquina de Turing
Introducida por Alan Turing, la máquina de Turing (en adelante la llamaremos T) es un objeto matemático que formaliza el concepto de algoritmo.
Intentando dar una explicaion al problema planetado por Hilbert sobre si la
matemáticas son decidibles o no (en otras palabras, si existe un método que
4.6. LOS NÚMEROS COMPUTABLES
31
nos permita saber si una sentencia matemática es verdadera o falsa), Turing
formalizó su idea en las máquinas T, probando la existencia de problemas que
dichas máquinas no podı́an resolver.
Una máquina T consta de un cabezal y una cinta infinita dividida en celdas, cada una de la cuales puede contener un sı́mbolo dentro de un alfabeto o
estar en blanco. La máquina puede llevar a cabo cuatro operaciones: moverse
a la izquierda o la derecha, escribir un sı́mbolo o borrarlo. Con estos simples
movimientos Turing probó que cualquier problema que involucre una secuencia
de pasos para resolverlo, puede ser codificado por una de estas máquinas. Sin
embargo, dicho problema puede tener o no solución.
Para que la máquina pueda realizar sus movimientos necesitan de un apoyo
auxiliar; unas instrucciones que le ordenen cómo hacer su trabajo dada una entrada inicial para la máquina. Pero dada una máquina con estados, un alfabeto,
una entrada inicial y las intrucciones de cómo ejecutar su tarea ¿el proceso que
lleva acabo con una determinada entrada finaliza en algún momento? Que el
proceso finalize y entrege un resultado es deseable como una de las propiedades
de las máquinas T.
De manera más formal definimos las máquinas de Turing a continuación.
Definición 4.25. Una máquina T es una quı́ntupla
T = (Q, q0 , Γ, b, δ),
donde Q es un conjunto finito de estados y q0 ∈ Q es el estado inicial de la
máquina, Γ es un conjunto finito de sı́mbolos llamado alfabeto y b es un sı́mblo
denominado blanco. Por último, δ es llamada la función de transición:
[
δ : Q × Γ −→ Q × Γ × {L, R} {Halt}.
Esta función de transición es la serie de instrucciones de la máquina para
poder llevar a cabo su función. Halt es la instrución que le indica a la máquina
detenerse.
Nótese que la entrada inical de la máquina se codifica en términos del alfabeto
que posee la máquina.
Veamos un ejemplo concreto de una máquina con dos estados y un alfabeto
de un sı́mbolo (más el blanco). Con Q = {q0 , q1 }, Γ = {b, 1}, definamos una
máquina T dando la siguiente función de transición.
S
δ : Q × Γ −→ Q × Γ × {L, R} {Halt}
(q0 , 1) 7→ (q0 , b, R)
(q0 , b) 7→ (q1 , 1, R)
(q1 , b) 7→ (q0 , b, R)
(q1 , 1) 7→ Halt
Suponiendo que la entrada inicial se codifica con el alfabeto dado en un solo
sı́mbolo 1 escrito en la cinta, y que el cabezal está sobre esa celda, la máquina
descrita con la función de transición anterior no termina su proceso. El proceso
32
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
que describe es: estando en el estado inicial q0 y con el cabezal sobre la celda
que contiene el sı́mbolo 1 ésta permanece en el estado q0 , escribe sobre la celda
el sı́mbolo blanco y se mueve a la derecha; allı́ leerá un simbolo b, entonces
cambiará al estado q1 y escribirá sobre la celda un sı́mbolo 1 y se moverá a la
derecha, entonces voverá al estado q0 y leerá un sı́mbolo b. Esta máquina no se
dentendrá a pesar de que en la imagen de su funcion de transición se encuentre
la instrucción Halt.
Figura 4.2: Máquina de Turing que no se detiene.
Otro ejemplo de máquina T es el siguiente en que la máquina tiene un solo
estado Q = {q0 } y el mismo alfabeto que antes, Γ = {b, 1}. La función de
transición es
S
δ : Q × Γ −→ Q × Γ × {L, R} {Halt}
(q0 , b) 7→ Halt
(q0 , 1) 7→ (q0 , 1, R)
Suponiendo que la entrada inicial se codifica con el alfabeto dado en una secuencia finita de 1 escritos en la cinta, y que el cabezal se encuentra sobre un celda
que contiene un 1, esta máquina describe el siguiente proceso: el cabezal estando
en el estado inicial q0 lee el sı́mbolo 1, escribe sobre esa celda el sı́mbolo blanco,
permanece en el estado q0 y se mueve a la derecha. Se detendrá cuando lea un
sı́mbolo blanco. Esta es una máquina T que borra los datos que se encuentra
hasta que lee un sı́mbolo blanco.
Figura 4.3: Máquina de Turing que borra entradas hasta encontrar un blanco
Es claro que en una máquina T el proceso que lleva a cabo se detendrá en
algún momento dependiendo de la entrada, y más aún de la función de transición. En los ejemplos anteriores pudimos definir dos funciones de transición
distintas, y por ende dos máquinas distintas. Cada función de transición define
una máquina distinta, y éstas dependen de los sı́mbolos con que las definamos
entonces ¿cuántas máquinas T existen?
4.6. LOS NÚMEROS COMPUTABLES
33
Proposición 4.26. El conjunto de las máquinas T tiene cardinalidad ℵ0 .
Demostración. Para Q, Γ dados si |Q| = n y |Γ| = m las posibles funciones de
trasición serán:
|Q × Γ||Q×Γ×{L,R}
S
{Halt}|
= nm2nm+1 .
Como Q y Γ siempre son conjuntos finitos el total de máquinas T será
XX
nm2nm+1 = ℵ0 .
n∈N m∈N
Las máquinas T permiten definir el concepto de función computable como
aquélla que puede ser calculada por una máquina.
Definición 4.27. Una función f : N −→ N es computable si existe una máquina
T tal que para todo n en el dominio de f , la máquina T con el dato inicial n se
detiene arrojando como resultado f (n).
Un ejemplo de función computable es el siguiente.
f: N
n
−→
7→
N
n + 1.
Una máquina T que computa la función f anterior es la que tiene un solo estado
Q = {q0 }, el alfabeto Γ = {b, 0, 1} y la función de transición
S
δ : Q × Γ −→ Q × Γ × {L, R} {Halt}
(q0 , b) 7→ (q0 , 1, R)
(q0 , 1) 7→ (q0 , 1, R)
(q0 , 0) 7→ Halt
Si la entrada inicial n se codifica en n unos en la cinta a la derecha del lugar en
donde se encuentra el cabezal seguidos de un 0, lo que se obtiene al ejecutar la
instrucción Halt es una cinta con n + 1 unos escritos a la derecha del cabezal,
lo cual se puede recodificar según el alfabeto en el número n + 1.
Figura 4.4: Máquina de Turing que calcula el sucesor de un natural
Si bien tenemos funciones computables, también hay otras que no lo son,
como el caso que a continuación exponemos, conocido como el famoso problema
34
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
de la parada de las máquinas T . Supongamos que existe una máquina T que dice
si una de estas máquinas se detiene al introducirle una cierta entrada. Utilizando
el hecho de la numerabilidad de conjunto de las máquinas T numerémoslas y
llamemos a la máquina con número i, Mi . Por otro lado, la entrada inicial debe
ser una cadena finita de caracteres del alfabeto, con lo cual la cantidad de tales
entradas también es numerable. Ası́ denotamos Mi (j) a la máquina i con la
entrada j. Definamos la función h : N × N → N dada por
(
2, si Mi (j) se detiene,
h(i, j) =
1, en otro caso.
Ahora sea f : N × N −→ N una función computable arbitraria. Probaremos que
h es diferente de f , con lo cual h no puede ser una función computable. Para
ello definamos una función auxiliar, g : N −→ N dada por
(
1, si f (i, i) = 1,
g(i) =
no definido en otro caso,
la cual es claramente computable. Por tanto le corresponde una máquina T , digamos Mn . Al evaluar g(n), es decir Mn (n), tenemos que si f (n, n) = 1 entonces
h(n, n) = 2. Por otro lado si f (n, n) no es 1 tenemos entonces que h(n, n) = 1,
luego h 6= f para cualquier f .
4.6.2.
Números computables
Todo lo discutido en la sección anterior nos da las herramientas necesarias
para poder definir número computable.
Definición 4.28. Una sucesión {qn } de números racionales es computable si
existe una función f computable tal que ∀n ∈ N, f (n) = qn
Definición 4.29. Un número α ∈ R es computable si existe una sucesión {qn }
computable de racionales tal que
|α − qn | ≤
1
.
2n
En las definiciones anteriores la función computable f referida se conoce
como función de aproximación para el número α. Y su naturaleza está siempre
ligada a una máquina T .
Con base en la idea intuitiva que presentamos al inicio de la sección 4.6 dados
dos números reales para los cuales poseemos algoritmos (en adelante algoritmo
será para nosotros sinónimo de máquina T ) para conocer la n-ésima cifra de su
expansión binaria, podemos conocer la n-ésima cifra de la expasión binaria de
su suma y producto, ası́ como de su división siempre y cuando el dividendo sea
no nulo. Lo cual nos lleva al siguiente teorema.
Teorema 4.30. El conjunto de los números computables T es un subcuerpo de
R.
4.6. LOS NÚMEROS COMPUTABLES
35
La prueba de este teorema y los que siguen se va a presentar con cierta
informalidad pues las pruebas completas exigen un grado de inmersión en la
teorı́a de la computabilidad que está fuera del objetivo de esta tesis. Todas las
pruebas hacen uso intensivo de un famoso resultado conocido como teorema sm-n el cual enunciamos informalmente. Numeremos las funciones computables
y denotémoslas por fj . Dada una función computable de dos variables, g :
N × N → N : (x, y) 7→ g(x, y) debe tener un número en la lista de funciones
computables, digamos k. Si ahora fijamos la primera variable, x, obtenemos una
nueva función computable N → N : y 7→ g(x, y). El teorema s-m-n afirma que
existe una función computable s (de hecho, recursiva primitiva) tal que número
s(k, x) da la función computable que corresponde a g(x, ·), es decir para todo y
en el dominio de g(x, ·) se tiene g(x, y) = fs(k,x) (y). El teorema se enuncia con
toda generalidad para una función g de m + n variables, de las cuales se fijan
las m primeras obteniéndose una nueva función computable de las n variables
restantes. Entonces existe una función computable sm
n que da el número de dicha
función computable.
Asumiendo este resultado pasamos a probar el teorema anterior.
Demostración. Sean α, β números computables y fi , fj funciones de aproximación para α, β.
Procederemos primero mostrando que la suma de números computables es
computable.
|α + β − (fi (k) + fj (k))| = |α − fi (k) + β − fj (k)|
≤ |α − fi (k)| + |β − fj (k)|
1
≤ k−1 .
2
Consideremos la siguiente función computable Ψ : N −→ N donde Ψ(n) es el
1
menor natural k que satisface 2k−1
≤ 21n . Entonces la función f : N −→ N dada
por
f (n) = fi (Ψ(n)) + fj (Ψ(n))
es computable. El teorema s-m-n da el número l que corresponde a la función
computable que verifica
fl (Ψ(n)) = f (n).
Ahora probaremos que fl (Ψ(n)) es un algoritmo para α + β.
|α + β − fl (Ψ(n))| = |α + β − (fi (Ψ(n)) + fj (Ψ(n)))|
1
≤ Ψ(n)−1
2
1
≤ n.
2
Para la resta se puede hacer un procedimiento análogo. Vamos ahora con el
36
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
producto.
|αβ − fi (k)fj (k)| ≤ |α − fi (k)||β| + |β − fj (k)||fi (k)|
≤
1 + |fj (k)| + |fi (k)|
.
2k
Consideremos la función computable Ψ : N3 −→ N donde Ψ(i, j, n) es el menor
1+|fj (k)|+|fi (k)|
k ∈ N tal que
≤ 21n .
2k
Como
1 + |fj (k)| + |fi (k)| ≤ 1 + (|α| +
1
1
) + (|β| + k ) ≤ |α| + |β| + 3,
2k
2
se tiene que
limk→∞
1 + |fj (k)| + |fi (k)|
= 0.
2k
Luego, Ψ es una función computable y, con ella, también la función H : N3 −→
Q, dada por
H(i, j, n) = fi (Ψ(i, j, n))fj (Ψ(i, j, n)).
De nuevo el teorema s-m-n existe una función computable s : N2 −→ N tal que
par todo n
fs(i,j) (n) = H(i, j, n).
Sólo falta probar que fs(i,j) es un código para αβ.
En efecto
|αβ − fs(i,j) | = |αβ − fi (Ψ(i, j, n))fj (Ψ(i, j, n))|
1 + |fi (Ψ(i, j, n))| + |fj (Ψ(i, j, n))|
2Ψ(i,j,n)
1
≤ n.
2
≤
Para probar que el cociente de números computables es computable basta probar
que si α es un número computable no nulo, α1 también lo es.
Sean α un número real computable no nulo y fe una función computable para
α. Teniendo presente la numeración de las funciones computables fm : N −→ N
definamos ψ : N2 −→ N por
(
1
, si 2fe (m) + n − 2 es no nulo,
ψ(m, n) = 2fe (m)+n−2
no definido, en otro caso.
Aplicando el teorema s-m-n existe una función computable s : N −→ N tal que
fs(m) (n) = Ψ(m, n). Como α 6= 0, existe k0 tal que 2k50 ≤ |α|. Luego
|fe (k0 )| ≥ |α| −
5
1
1
≥ k0 − k0 ,
k
0
2
2
2
4.6. LOS NÚMEROS COMPUTABLES
37
lo cual define ψ(e). Además, para todo k ≤ ψ(e) se tiene:
|fe (k)| ≥ |fe (ψ(e))| − |α − fe (ψ(e))| − |α − fe (k)|
1
1
1
≥ ψ(e)−2 −
−
2ψ(e) 2ψ(e)
2
1
= ψ(e)−1 .
2
Por tanto
1
≤ lı́m |fe (k)| = α
k→∞
2ψ(e)−2
y
1
≤ 2ψ(e)−1 .
|α|
Dado que ψ(e) ≥ 2, para cada n ∈ N se tiene que 2ψ(e) + n − 2 ≥ ψ(e) y, por
tanto,
1
0 < ψ(e)−1 ≤ |fe (2ψ(e) + n − 2)|.
2
Luego fs(e) (n) = Ψ(e, n) está definido y satisface
|
1
|α − fe (2ψ(e) + n − 2)|
− fs(e)(n) | =
α
|α||fe (2ψ(e) + n − 2)|
1
2ψ(e)−1 2ψ(e)−1
= n
2
22ψ(e)+n−2
es una función de aproximación para
≤
lo cual muestra que fs(e)
1
α.
Probado lo anterior, y para seguir con la filosofı́a de este estudio, mostraremos que A ⊂ T. Para ello es necesario probar previamente los siguientes
resultados.
Lema 4.31. Existe un algoritmo que, aplicado a α, β ∈ T tales que α 6= β,
decide si α < β.
Demostración. Dado que α < β si, y sólo si 0 < β − α basta probar que existe
un algoritmo que aplicado a un número computable, decide si este es positivo o
negativo. Sea fe una función de aproximación para el número α 6= 0. Aplicamos
el algoritmo que describimos a continuación.
1. Genere el menor n tal que |fe (n + 1)| >
1
2n+1 .
2. Si fe (n + 1) > 0, escriba entonces “el número es positivo” y pare; en caso
contrario escriba “el número es negativo” y pare.
Como α 6= 0, existe n0 tal que |α| >
implica que
1
2n0
. Además |α − fe (n0 + 1)| ≤
|fe (n0 + 1)| ≥ |α| −
1
2n0 +1
1
1
− n0 +1
n
0
2
2
1
= n0 +1 .
2
>
1
2−n0 −1
38
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
Ahora, notemos que
−1
1
≤ α − fe (n + 1) ≤ n+1 .
2n+1
2
Si fe (n + 1) > 0, tenemos
α ≥ fe (n + 1) −
1
2n+1
>
1
2n+1
−
1
2n+1
= 0.
En forma análoga, si fe < 0, entonces α < 0. Luego el procedimiento anterior
es un algoritmo para saber si α es un número positivo o negativo.
Con lo anterior hemos probado que T es un conjunto ordenado. Consideremos ahora el teorema del valor medio para el caso del subcuerpo de los números
computables con el objetivo de, posteriormente, localizar las raı́ces de polinomios, es decir, los números algebraicos.
Teorema 4.32. Sean p(x) ∈ T[x] y α, β ∈ T tales que p(α)p(β) < 0. Si p(x) es
monótono en el intervalo [α, β] existe un único γ ∈ T tal que p(γ) = 0.
Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que p(x) es creciente
en el intervalo [α, β]. Por el teorema del valor intermedio existe γ ∈ R tal que
p(γ) = 0, ahora veamos que γ ∈ T.
Sea a1 = α+β
2 , consideremos los subintervalos [α, a1 ]y [a1 , β] y sus correspondientes puntos medios. Llevando a cabo este proceso obtenemos una familia de
subintervalos de [α, β]. Sea D = {α, β, a1 , a2 ...}. Es claro que D ⊂ T. Si γ ∈ D
el teorema queda probado; si no es ası́ se tiene que para todo d ∈ D p(d) 6= 0.
Considérese en tal caso el siguiente algoritmo.
1. Haga L = α, y R = β.
2. Para k desde 1 hasta n haga ak = L+R
y calcule p(αk ) si p(αk ) < 0.
2
entonces haga L = αk si no haga R = αk .
3. Genere αn .
Es claro que αn ∈ D y que
|αn − γ| ≤
|α − β|
.
2n
Por tanto {αn }∞
n=1 es una sucesión de números computables qua converge a γ.
Luego γ es un número computable.
Hemos ya reunido los elementos suficientes que nos conducen a uno de los
puntos claves en esta sección: probar que todo número algebraico es computable.
Teorema 4.33. Todo número algebraico es computable.
4.6. LOS NÚMEROS COMPUTABLES
39
Demostración. Sea α ∈ A; entonces existe p(x) ∈ Q[x] tal que p(α) = 0. Por
indución sobre el grado del polinomio probaremos que todo número algebraico
en el intervalo [a, b], el cual contiene las raı́ces de p(x), es computable. Notemos
que si p(x) ∈ Q[x] y p(α = 0) entonces existe q(x) ∈ Z tal que q(α) = 0. Si el
grado de q es n = 1, q(x) = lx + m con l, m ∈ Z y en este caso es claro que
α ∈ T.
Supongamos ahora que para todo polinomio con grado menor que n se cumple que que sus raı́ces son computables. Sea p(x) con grado n. La deriva de
p(x), p0 (x), tiene grado n − 1 y, por hı́potesis de inducción, las raı́ces en [a, b]
son computables y se pueden ordenar de la siguiente manera:
α0 = a < α2 < ...αn−2 < αn−1 = b.
Luego si α ∈ [a, b] entonces existe k tal que α ∈ [αk , αk+1 ]. Aplicando el teorema
4.32 se tiene que α es computable.
Presentamos ahora un número que no es algebraico pero sı́ computable,
conocido como la constante de Liouville, para lo cual algunas definiciones y
resultados son necesarios antes de definirlo.
Definición 4.34. Un número de Liouville es un número real α tal que ∀n ∈ N
existen enteros p, q, con q > 1, tales que
1
p
0 < |α − | < n .
q
q
A continuación probamos que efectivamente un número de Liouville no es
algebraico.
Proposición 4.35. Sea α un número irracional raı́z de un polinomio f (x) de
grado n > 0 con coeficientes enteros. Entonces existe un número real a > 0 tal
que ∀p, q ∈ N, con q > 0, se tiene que
p
a
|α − | >
.
q
qn
Demostración. Procederemos por contradicción. Sean M el valor máximo de
|f 0 (x)| en el intervalo [α − 1, α + 1] y α1 , α2 , ..., αm las otras raı́ces de f (x).
Sea a > 0 tal que:
a < mı́n{1,
1
, |α − α1 |, |α − α2 |, ..., |α − αm |}.
M
Supongamos que existen p, q para los cuales el lema no se cumple, es decir
p
a
1
|α − | 5 n 5 a 5 mı́n{1, , |α − α1 |, |α − α2 |, ..., |α − αm |}.
q
q
M
Entonces pq ∈ [α − 1, α + 1], además pq 6= α1 , α2 , ..., αm , por tanto no es raı́z de
f (x). Tampoco hay raı́ces entre α y pq .
Por el teorema del valor medio, existe x0 entre pq y α tal que:
40
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
f (α) − f ( pq ) = (α − pq )f 0 (x0 ).
Puesto que α es raı́z pero no pq , se tiene que |f 0 (x0 )| > 0 entonces
f ( pq )
p
|α − | = | 0
|.
q
f (x0 )
Pn
Sabemos que f (x) es de la forma i=0 ci xi , con ci ∈ Z entonces:
n
X
p
ci pi q −i |
|f ( )| = |
q
i=0
Pn
ci pi q n−i
= i=0 n
q
1
= n.
q
Dado que f 0 (x) ≤ M y
1
M
≥ a por definición, tenemos que
f ( pq )
p
|α − | = | 0
|
q
f (x0 )
1
=
M qn
a
> n
q
p
= |α − |,
q
lo cual es una contradicción.
Corolario 4.36. Sea α un número de Liouville, entonces α es irracional.
Demostración. Procederemos por contradicción.
Si α es algebraico existen n un entero y un número real a > 0 tal que para
todo p, q
p
a
|α − | > n .
q
q
Sea m un entero tal que
tales que
1
2m
≥ a. Tomando l = m + n existen h, k con k > 1,
|a −
h
1
|< l
k
k
1
k m+n
1
= m n
k k
1
< m n
2 k
a
< n
k
=
4.7. DEFINIBLES
41
lo cual contradice el teorema anterior.
Ahora consideremos el siguiente número
c=
∞
X
10−j! .
i=1
P∞
n!−j!
n!
con pn = i=1 10
y qn = 10 , c es un número de Liouville. Como hemos
visto c es un número computable pues existe un algoritmo para calcularlo sin
embargo, como se demostró, no es algebraico.
Hasta ahora hemos probado que el conjunto de los números algebraicos es
un subconjunto propio de los números computables por tanto |T| ≥ ℵ0 ; pero
¿qué tan grande es T?
Teorema 4.37. La cardinalidad de T es ℵ0 .
Demostración. Cada número computable es definido por un funcón de aproximación que es computable. Cada función computable está definida por una
máquina T . El conjunto de las máquinas T tiene cardinalidad ℵ0 , pero no toda
máquina T define una función computable (las máquinas que no paran). Luego
|T| ≤ ℵ0 y, finalmente |T| = ℵ0 .
4.7.
Definibles
Después de la sección anterior vemos que sólo de una cantidad ı́nfima de los
números reales podemos calcular su valor o, al menos, dar una aproximación:
sólo una cantidad numerable. Pensando en el resto de números reales llevamos
la pregunta hasta el extremo: aunque no los podamos calcular o aproximar,
¿podemos al menos definirlos? Es decir, podemos aislar cada número real para
distinguirlo del resto de reales. Obviamente cada número natural puede ser
distinguido, pues tenemos un sı́mbolo para cada uno de ellos (la numeración
que aprendemos de niños), con lo cual también cada número entero y cada
racional. De hecho veremos más abajo que todos los computables caen en este
grupo de forma natural. Pero nuestra pregunta es si podemos hacer esto con
todos y cada uno de los reales. Porque, de no ser ası́, ¿qué pasararı́a con los
reales que no podemos definir?
Para discutir estas ideas es necesario acotar bien qué entendemos por “definir” un número real.
Consideremos los conectivos lógicos ∧, ∨, ¬, cuantificadores ∀, ∃, separadores
(, ) y el sı́mbolo de la teorı́a de conjuntos ∈. También consideramos una familia
numerable de fórmulas atómicas (o constantes) {p1 , p2 , . . . }. Uniéndolo todo
tenemos el alfabeto A. Sea Σ el conjunto de todas las fórmulas que podemos
formar tomando cadenas finitas de sı́mbolos de A. Consideraremos la teorı́a de
conjuntos ZFC (por Zermelo, Fraenkel y el axioma de elección) como modelo de
Σ.
Es bien conocido, aunque no lo hemos expuesto en este trabajo, que el conjunto de los naturales se puede construir en la teorı́a de conjuntos a partir del
42
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
conjunto vacı́o y la función sucesor. Con los naturales en la mano es posible
construir los enteros y con éstos los racionales. En el capı́tulo 2 vimos explı́citamente cómo a partir de los racionales se puede construir el conjunto de los
reales. Aunque finalmente optamos por la definición axiomática de R, volvemos
a considerar aquı́ brevemente una definición constructiva para argumentar que,
en definitiva, R tiene cabida en el modelo de Σ dado por la teorı́a de conjuntos.
La siguiente definición nos encamina hacia la concepción del resultado buscado.
Definición 4.38. Sea A un subconjunto de R, decimos que A es definible en
el modelo de la teorı́a de los conjuntos si existe una fórmula φ en Σ tal que A
satisface φ. Es decir φ es verdadera para A.
Definición 4.39. Un número α es definible en la teorı́a de los conjuntos si {α}
es definible como conjunto.
El conjunto de los números reales definibles lo denotamos E.
En primer lugar veamos que este conjunto es una extensión de los vistos
anteriormente. Para ello tengamos en cuenta que las operaciones que dotan
a R de estructura de cuerpo han sido definidas (en el capı́tulo 2) mediante
fórmulas de Σ en este modelo y, por tanto, también las podemos utilizar como
parte del lenguaje, ası́como los sı́mbolos 0 y 1 por la misma razón. Entonces
podemos definir cualquier número natural a partir del sı́mbolo 1 y la operación
suma. Del mismo modo podemos definir el opuesto del natural n como el único
real x que verifica x + n = 0, con lo cual vemos que los enteros también son
definibles. Análogamente definimos el inverso de cada entero m 6= 0 como el
único real x que cumple xm = 1; estos inversos junto con la suma nos permiten
definir cualquier racional. Un real algebraico es fácilmente definible a partir de
su polinomio irreducible sobre Q, el cual define el conjunto de sus raı́ces reales,
y en él podemos ordenar los elementos y distinguir cada uno por su posición.
Estos argumentos nos llevan a formular el siguiente resultado que probamos
para los números computables, los cuáles contienen a todos los anteriores.
Proposición 4.40. Todo número real computable es definible.
Demostración. Sea β un número computable con f : N → Q una función de
aproximación para β, la cual es una función computable (por la tesis de ChurchTuring toda función recursiva puede ser considerada función computable). Por
tanto la sucesión computable de racionales que aproxima a β puede ser construida en el modelo de la teorı́a de los conjuntos lo cual nos lleva a que β es
definible.
4.7.1.
Estructura algebraica
Proposición 4.41. El conjunto E de los números definibles es un subcuerpo de
R.
Demostración. Ya se ha argumentado que tanto 0 como 1 son definibles, pues
son parte del alfabeto. Si x y y son definibles, entonces su suma es una fórmula
4.7. DEFINIBLES
43
que define un único número real que, por tanto, también es definible. Del mismo
modo, el opuesto de x es el único número real z que verifica la fórmula x+z = 0,
con lo cual también es definible. Para el producto razonamos del mismo modo:
la fórmula xy define un número real, luego el conjunto E es cerrado bajo el
producto y, si x 6= 0, existe un único real z que verifica xz = 1, lo cual lo
define.
4.7.2.
Cardinalidad
Proposición 4.42. El conjunto de los números definibles tiene cardinalidad ℵ0 .
Demostración. El alfabeto A tiene cardinalidad ℵ0 y toda fórmula escrita con
él debe ser finita. Por tanto el conjunto de fórmulas que pueden formarse, Σ,
es numerable. Esto nos da la cota |E| ≤ ℵ0 . Por otro lado es claro, porque E
contiene a los naturales, que ℵ0 ≤ |E|.
4.7.3.
La constante de Chaitin Ω
Por último veamos que la construcción del conjunto E, aunque finalmente llegamos a la misma cardinalidad que el conjunto T, sı́ nos aporta nuevos
números reales más allá de los computables. Para ello vamos a exhibir un real
definible pero no computable, la llamada constante de Chaitin: Ω.
La idea de este número es que mide la probabilidad de que una máquina
T elegida al azar, junto con una entrada también elegida al azar, se detenga o
no. Es posible definir rigurosamente tal número, pero no puede ser computable
pues, si lo fuera, llegarı́amos a una contradicción con el problema de la parada
de las máquinas T.
Consideremos un alfabeto A, es decir, un conjunto finito. Una palabra p es
una cadena finita de elementos del alfabeto A, y llamamos longitud de la palabra,
denotada |p|, a la longitud de dicha cadena. Un lenguaje L es el conjunto de las
palabras que podemos formar con A. Dado, pues, el lenguaje llamamos código
a un subconjunto del mismo. Pero nos interesa un tipo especial de códigos que
nos van a simplificar los argumentos posteriores: los códigos libres de prefijos.
Definición 4.43. Un código libre de prefijos es un subconjunto CLP del lenguaje
L tal que ∀x, y ∈ CLP se cumple que, si x = (x1 x2 · · · xn ) y y = (y1 y2 · · · ym ),
con n ≤ m,
(x1 x2 · · · xn ) 6= (y1 y2 · · · yn ).
Dicho de otro modo, ninguna palabra de un código libre de prefijos contiene
a otra palabra en los primeros caracteres de su secuencia.
En lo que sigue tomaremos como alfabeto el binario, A = {0, 1} y como
lenguaje {0, 1}N , llamado conjunto de Cantor. En este conjunto queremos definir
una probabilidad que mida la probabilidad de parada. Para ello definimos, dada
un palabra p de un código libre de prefijos, el conjunto de las sucesiones de 0 y
1 que comienzan precisamente por la palabra p.
44
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
Definición 4.44. Sea F un código libre de prefijos en {0, 1}N y p una palabra
en dicho código. Definimos el conjunto
Sp = {x ∈ {0, 1}N |(x1 x2 · · · xn ) = p}.
Gracias a que F es libre de prefijos tenemos que, si p 6= q, Sp ∩ Sq = ∅.
Sin embargo la familia de conjuntos Sp no es cerrada bajo unión. Por ello la
σ-álgebra que tomamos es la generada por estos conjuntos y la denotamos Σ.
En ella definimos una medida µ dando su valor en los conjuntos Sp :
µ(Sp ) =
1
.
2|p|
Proposición 4.45. La medida µ ası́ definida hace de ({0, 1}N , Σ, µ) un espacio
de probabilidad.
Demostración. Basta ver que la medida de {0, 1}N es uno. Pero observemos que
tenemos la siguiente partición
{0, 1}N = S0 ∪ S1 ,
donde S0 es el conjunto definido por la palabra p = 0 mientras que S1 es el
definido por la palabra p = 1. Claramente S0 ∩ S1 = ∅ y la medida de cada uno
de estos conjuntos es 1/2. Entonces
µ({0, 1}N ) = µ(S0 ∪ S1 ) =
1 1
+ = 1.
2 2
Ahora codificamos cada máquina T con cada posible entrada para la misma
con el código F, de modo que cada palabra p corresponde a una máquina con
una entrada. Esto es posible porque el conjunto de máquinas y entradas es
numerable y, por otro lado, el conjunto N puede traducirse en dicho código. En el
conjunto F consideramos aquéllas máquinas y su entrada tal que su ejecución se
detiene eventualmente, y llamamos a este subconjunto F 0 . Con estos ingredientes
podemos ya definir la constante de Chaitin.
Definición 4.46. El número Ω es
Ω=
X 1
.
2|p|
p∈F 0
Probaremos a continuación que dicha suma converge y, más aún, que 0 <
Ω < 1 con lo cual podemos interpretarlo como una probabilidad: la probabilidad
de parada.
Proposición 4.47. 0 < Ω < 1.
4.7. DEFINIBLES
45
Demostración. Construyamos un código F a partir de un árbol infinito que en
cada nudo se separa en dos ramas, la del 0 y la del 1. El nivel n del árbol tiene, por tanto, 2n nudos. Con este árbol se puede construir un código libre de
prefijos realizando caminos que, partiendo de la raı́z del árbol, avancen por el
mismo un número finito de pasos, sin retroceder. Cada camino define una palabra, y la libertad de prefijos se consigue exigiendo que ningún camino contenga
completamente a otro.
Una palabra de longitud n es un camino de este árbol que termina en el nivel
n. Asignémosle un peso 2−n a dicha palabra. Ahora fijémonos en que si un nudo
es el final de una palabra, todas las ramificaciones que nacen de él ya no forman
parte de ninguna otra palabra. En particular, las dos palabras de longitud n + 1
que podrı́an formarse si la palabra p no estuviera en F tendrı́an cada una peso
2−(n+1) o, dicho de otro modo, ambas producen el mismo peso que la palabra
p. Esto indica que la suma de los pesos de todas las palabras de F es menor que
la suma de los pesos de todos los nudos de cualquier nivel, donde hay 2n nudos,
cada uno con peso 2−n . Es decir la suma es menor que 2n 2−n = 1.
El número Ω es definible, como se acaba de ver. Sin embargo no es computable pues, de serlo, tendrı́amos una contradicción con el problema de la parada.
Efectivamente supongamos que Ω es computable. Podemos conocer, por tanto,
la cifra n-ésima de su expansión binaria. El número con n cifras nos da la probabilidad de que las máquinas T con entrada definidas por palabras con longitud
|p| ≤ n se detengan. Esto nos da un algoritmo para decidir si una máquina con
una entrada se detiene o no, en contra de lo que se probó de que no existe tal
algoritmo. Por tanto Ω no es computable y hemos probado que la contención
T ⊂ E es propia.
46
CAPÍTULO 4. ALGUNOS SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE R
Capı́tulo 5
Conclusiones
En este trabajo he mostrado cómo las construcciones realizadas para dar completitud a los racionales y crear con ello un cuerpo ordenado y completo da lugar
a un conjunto tremendamente complicado: el conjunto de los números reales.
La primera muestra de la amplitud de la tarea la da su cardinalidad, pues
R es no numerable como he mostrado en el capı́tulo 3. Este enorme aumento
de cardinalidad (que de hecho no podemos cuantificar debido al problema de la
hipótesis del continuo) nos lleva a la cuestión de saber dónde hemos introducido
tantos elementos nuevos.
En el capı́tulo 4 he explorado los subconjuntos que, a mi entender, son los
más notables de R, y que además forman una cadena ascendente de inclusión
e, intuitivamente, de complejidad: naturales, enteros, racionales, construibles,
algebraicos, computables y definibles.
Los computables son un conjunto muy notable por la propiedad que los
define como los únicos números reales que podemos calcular, es decir, conocer
su valor o una aproximación al mismo. Sin embargo es un conjunto numerable.
Lo mismo ocurre con el conjunto de números definibles, aquéllos que podemos
distinguir del resto de reales; también es un conjunto numerable. Más allá de los
computables no podemos calcular ningún número ni aproximarlo. Más allá de
los definibles no podemos ni siquiera aislar ningún número. Pero más allá de los
definibles viven la mayorı́a de los reales, por no decir prácticamente la totalidad
de ellos, ya que un conjunto numerable dentro de los reales supone una parte
insignificante del mismo.
Por tanto, encaramado a la torre de subconjuntos que podemos manejar y
conocer, miro al resto de los números reales, es decir, prácticamente a todos, y
sé que están ahı́, pero no los puedo ver y por ello me pregunto, ¿dónde están
los reales?
47
48
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
Apéndice A
Apéndice
A.1.
Números cardinales
Definición A.1. ℵ0 = |N|.
Teorema A.2. ℵ0 ℵ0 = ℵ20 = ℵ0
Procederemos exhiviendo una función biyectiva que tiene como dominio a
un conjunto con cardinalidad |N| y como imagen un conjunto con cardinalidad
|N × N|.
Demostración. Definamos N• = N∪{0}, es claro que |N| = |N• |. Ahora concideremos la expresión en binario de un número natural. conciderandol el acomodo
de derecha a izquierda y colocando infinitos ceros despues del último dı́gito de
la exprsión. Por ejemplo 3 = . . . 00011.
Concideremos ahora la siguiente función
h : N• −→ N• × N•
x = . . . 000 . . . ai . . . a2 a1 7→ (. . . 00a2i , . . . 00ai )
tales que aj ∈ {0, 1}. h es biyectiva.
a) Suprayectiva. Sea z = (. . . 00ai , . . . 00bj ) tales que ai , bj ∈ {0, 1}, i, j ∈
{N}. Es claro que para x = 00 . . . ai bj se tiene que h(x) = z.
b) Inyectiva. Sean x, y dos numeros naturales en su expresión binaria tales
que x = 00 . . . ai 6= y = 00 . . . bj . Al evaluar en h tenemos que h(x) =
(00 . . . a2i , 00 . . . ai ) y h(y) = (. . . b2j, . . . bj ). Luego como x 6= y se tiene
que ai 6= bi para algún i ∈ N, luego h(x) 6= h(y).
luego |N• | = |N• × N• |
Teorema A.3. ℵn0 = ℵ0
49
50
APÉNDICE A. APÉNDICE
Demostración. Procederemos de manera inductiva.
Sabemos que ℵ0 ℵ0 = ℵ0 , supongamos que ℵk0 = ℵ0 . Probaremos para k + 1.
ℵk+1
= ℵ0 ℵk0
0
por hipótesis se tiene que
ℵk0 = ℵ0
por tanto
ℵ0 ℵk0 = ℵ0 .
A.2.
Teorı́a de conjuntos
Teorema A.4. Sea {An }n∈N una familia de conjuntos numerables entonces
∪n∈N An
es un conjunto numerable.
Demostración. Es inmediato del teorema A.3.
Teorema A.5. (Cantor) Sea A un conjunto, entonces |A| |P(A)|.
Demostración.
a) |A| ≤ |P(A)|.
b) |P(A)| |A|.
Sea
f : A −→ P(A)
a 7→ a.
f es una función inyectiva. de esta manera queda probado a). Para probar b)
procederemos por contradicción. Supongamos que |P(A)| ≤ |A| entonces del
inciso a) se tiene que |P(A)| = |A|, luego existe unna función biyectiva
h : A −→ P(A)
a 7→ h(a) ⊂ A
.
Definamos ahora B = {b ∈ A/b ∈
/ h(b)}. Entonces B ⊂ A, por tanto B ∈
P(A). Además h−1 (B) ∈ A, luego por definición de B tenemos que h−1 (B) ∈
B ⇔ h−1 (B) ∈
/ h(h−1 (B)) lo cual es una contradicción.
Bibliografı́a
[1] Chaitin G., [2005] Meta Math!, Pantheon.
[2] Cohen L.W. & Ehrlich G.,[1977] The Structure of the Real Number System,
Robert E. Krieger Publishing Company Inc.
[3] Fraleigh J.B., [1989] Abstract Algebra, Addison-Wesley Pub. Co.
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