Tema 2: Lenguajes regulares

Tema 2: Lenguajes regulares
Idea de autómata
Autómatas finitos y gramáticas regulares
b
• Autómatas finitos deterministas
a
p
• Autómatas finitos no deterministas
q
a
b
• Gramáticas regulares (y lineales) a la derecha
a
Expresiones regulares
• Expresiones regulares
a
b
a
b
a
a
b
p
1
a
b
a
b
p
a
b
p
3
• Autómatas finitos no deterministas con transiciones vacías
a
5
q
q
q
Propiedades de los lenguajes regulares
• Minimización de autómatas
a
a
b
a
b
a
• Algunas propiedades de cierre
2
• Lenguajes no regulares
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1
6
q
•
•
•
conjunto de estados
Fuente de entrada
Σ
alfabeto de entrada
a
b
p
q
M = (Q, Σ, δ,
δ q0, F) con δ : Q × Σ  → Q
b
p
a
a
Ciclo-máquina:
Consultas: estado actual y símbolo de entrada
Acciones: avance en la entrada y cambio de estado
q
b
Este autómata es:
M = ({p,q}, {a,b}, δ, p, {q}) con δ definida:
Elementos distinguidos para la inicialización y salida:
q0 ∈ Q: estado inicial y F ⊆ Q: conjunto de estados finales
δ(p,a) = q
δ(p,b) = p
δ(q,a) = p
δ(q,b) = q
Definición formal: M = (Q, Σ, δ, q0, F) con δ : Q × Σ  → Q
(función parcial)
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b
2
Com ponentes lógicos
Q
a
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Formalmente:
Unidad de Proceso
a
b
Ejemplo de AFD
Elementos:
Com ponentes físicos
a
4
Autómata finito determinista (AFD)
•
b
p
p
q
Aplicaciones
a
3
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4
Lenguaje aceptado por un AFD
Ejemplo de AFD
a
•
•
•
Configuración:
(q, w) ∈ Q ×Σ*
q es el estado actual y w la palabra que queda por leer
Movimiento:
a
b
a
a
b
p
a
2
a
a
b
a
a
b
a
p
q
a
b
a
a
b
p
p
b
5
q
b
a
4
6
q
a
b
a
b
p
q
(p, aabab) | (q, abab) | (p, bab) | (p, ab) | (q, b) | (q,ε)
δ(p,a) = q
5
Función de transición extendida
δ(q,a) = p
δ(p,b) = p
δ(p,a) = q
δ(q,b) = q
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6
Ejemplo de lenguaje aceptado
Dado un AFD M = (Q, Σ, δ,
δ q0, F), el lenguaje que acepta es
L(M) = { w∈Σ*: (q0,w) |
* (p, ε) ∧ p∈F }
= { w∈Σ*: δ*(q0, w)∈ F }
Función de transición extendida a palabras
δ*: Q ×∑*  → Q
∀ w∈ Σ*, ∀s ∈ Σ, ∀ q ∈ Q
δ*(q, w) = estado en que se encuentra M tras leer la palabra w desde q
Para el AFD M = ({p,q}, {a,b}, δ, p, {q})
b
- δ* (q, ε) = q
- δ* (q, ws) = δ (δ
δ* (q, w), s)
p
a
a
Lenguaje aceptado por M:
q
b
L(M) = { a, bab, aaa, aaba, aabba, abbbabab,....
}
= { w∈{a,b}*: el número de a’s en w es impar }
L(M) = { w∈Σ*: δ*(q0, w)∈ F }
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b
p
q
( |
* denota 0 ó más pasos de |
)
•
a
3
q
Lenguaje aceptado por el autómata M:
L(M) = { w∈Σ*: (q0,w) |
* (p,εε) ∧ p∈F }
•
b
1
cambio de configuración en un paso (s∈Σ)
(p, s.w) |
 (q, w) si y solo si δ(p,s) = q
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a
7
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8
Autómata finito determinista
totalmente especificado (AFDt)
•
Ejemplo: AFD a AFDt
Autómata totalmente especificado AFDt
AFD M = (Q, Σ, δ,
δ q0, F) con δ : Q × Σ  → Q f. parcial
Es un AFD cuya función de transición es total
M = (Q, Σ, δ,
δ q0, F)
•
con δ : Q×Σ
×Σ
b
δ(p,c) = indefinido
δ(q,b) = indefinido
Q
p
∪{s}, Σ, δ’,
∪{s} × Σ → Q∪
∪{s} f. total
AFDt N = (Q∪
δ q0, F) con δ’ : Q∪
M y N son equivalentes si L(M) = L(N)
Los AFDts y los AFDs son equivalentes: L(AFDt) = L(AFD)
[⊇
⊇]
b
tal que
PROPOSICIÓN 1:
[⊆
⊆]
q
a
Autómatas equivalentes
Dem:
c
a
L(M) = L(N)
a
c
Todo AFDt es un AFD
s
Para cada AFD existe un AFDt (con un
estado “trampa”) equivalente.
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9
c
a
p
q
b
a,b,c
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Autómata finito no determinista
(AFND)
Ejemplo de AFND
• Definición formal:
M = (Q, Σ, δ, q0, F) con δ : Q × Σ → ℘(Q )
• Función de transición extendida:
a
q0
δ* : Q × Σ* → ℘(Q )
δ * ( q , ε ) = {q} y δ * ( q , ws ) =
a
U δ ( p, s )
p∈δ * ( q , w )
(q, w) ∈ Q × Σ *
•
Configuración:
•
Movimiento:
•
Lenguaje aceptado:
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(p, s.w) |— (q, w) si y solo si q ∈δ(p, s)
L(M) = { w∈Σ*: δ *(q0, w) ∩ F ≠∅ }
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q1
q2
b
c
δ(q0, a) = {q1, q2}
δ(q0, b) = ∅
δ(q0, c) = ∅
δ(q1, a) = ∅
δ(q1, b) = {q1}
δ(q1, c) = ∅
δ(q2, a) = ∅
δ(q2, b) = ∅
δ(q2, c) = {q2}
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Gramáticas regulares a la
derecha (GRD)
Relación entre AFND y AFD
PROPOSICIÓN 2:
L(AFD) ⊆ L(AFND)
•
Elementos:
Los lenguajes reconocidos por los autómatas finitos deterministas
son reconocidos por los autómatas finitos no deterministas.
DEMOSTRACIÓN:
Dado un AFD M = (Q, Σ, δ, q0, F), construimos el AFND
C o m p o n en te s
N
c o n ju n to d e n o te rm in a le s
F u en te d e en tra d a
Σ
a lfab e to d e te rm in ale s
•
Elementos distinguidos para la inicialización: S∈
∈N símbolo inicial
•
Ciclo-generativo:
Búsqueda de subpalabra: lado izquierdo de una regla
M’ = (Q, Σ, γ, q0, F) con γ (q,s) = { δ(q,s) } ∀q∈Q, ∀s∈Σ
Acciones: sustituir por lado derecho.
Los autómatas M y M’ son equivalentes: L(M) = L(M’)
•
Pasos de la demostración:
con N∩
∩Σ=∅ y S∈
∈N
Definición formal: G = (N, ∑, S, P)
con P (conjunto de reglas o producciones) de la forma:
1)
γ*(q,x) = { δ*(q,x) } ∀q∈Q, ∀x∈Σ*
2)
x∈L(M) ⇔ x∈L(M’)
A → aB
con A,B∈
∈N, a∈
∈∑
A→ε
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Gramáticas regulares a la
derecha (GRD)
•
C o m p o n en te s fo r m a le s
C a te g o ria s
Ejemplo de GRD
G = (N, ∑, S, P), con N = {S,A,B}, ∑ = {a,b,c} y siendo P el conjunto
Derivación:
de reglas:
δ 1 ⇒ δ 2 si y sólo si δ 1 = σ 1 A σ 2 , δ 2 = σ 1 βσ
•
y A → β ∈P
S → aA | aB
Forma sentencial:
*
α ∈ ( Σ ∪ N ) * tal que S ⇒ α
G
•
2
B → cB | ε
Ejemplos de derivaciones:
*
(donde ⇒ denota 0 ó más pasos de ⇒ )
S ⇒ aA ⇒ abA ⇒ abbA ⇒ abb
Lenguaje generado por G:
S ⇒ aB ⇒ acB ⇒ ac
*
L (G ) = { w ∈ Σ * : S ⇒ w}
¿Lenguaje generado por G?
G
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A → bA | ε
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Gramáticas lineales a la derecha
(GLD)
Relación entre GRD y GLD
Definición formal: G = (N, ∑, S, P) con N∩
∩Σ=∅ y S∈
∈N
donde el conjunto P de reglas o producciones es de la forma:
A → wB
con A,B∈
∈N, w∈
∈∑+, u∈
∈∑*
A→u
Algoritmo que transforma una GLD en una GRD equivalente:
ENTRADA: GLD G = (N, Σ, A0, P)
GRD G’ = (N∪N’, Σ, A0, P’)
SALIDA:
→ awB (ó equiv. A→
→ aw) con w ≠ ε se crea un
Para cada A→
símbolo no terminal Z∈N’ y cambiamos la regla por 2 reglas:
PROPOSICIÓN 3:
A→
→ aZ y Z→
→ wB (ó equiv. Z→
→ w)
Las GRDs y las GLDs son equivalentes: L(GRD) = L(GLD)
Dem:
[⊆
⊆]
Toda GRD es una GLD
[⊇]
Para cada GLD se construye una GRD equivalente,
Para cada A→
→ a con a∈Σ
∈Σ se crea un símbolo no terminal Z∈N’ y
cambiamos la regla por 2 reglas:
A→
→ aZ y Z→
→ε
mediante el siguiente algoritmo:
Continuar el proceso mientras haya reglas que reemplazar.
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Ejemplo: GLD a GRD
Relación entre GRD y AFD
PROPOSICIÓN 4:
Ejemplo de transformación de una GLD en una GRD equivalente:
ENTRADA:
SALIDA:
B→d|ε
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DEMOSTRACIÓN:
1) Crear un algoritmo que produzca una GRD equivalente a un AFD M:
GRD G’ = ({A,B,C,D,E}, {a,b,c,d}, A, P’) siendo P’:
A → aC
C → bcB
C → bD
D → cB
B → dE | ε
E→ ε
L(AFD) ⊆ L(GRD)
Los lenguajes reconocidos por los autómatas finitos deterministas
son generados por las gramáticas regulares a la derecha.
GLD G = ({A,B}, {a,b,c,d}, A, P) siendo P:
A → abcB
18
•
ENTRADA: AFD M = (Q, Σ, δ, q0, F) con Q = {q0, q1, ..., qm}.
•
SALIDA:
GRD G = (N, Σ, A0, P)
2) Probar que M y G son equivalentes: L(M)=L(G).
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2) Demostración formal de la
equivalencia
1) Construcción del algoritmo
•
Sea N = { A0, A1, ..., Am } donde Ai se corresponde con el estado qi
•
Sea P = { Ai → sAj : δ(qi, s) = qj } ∪ { Ai →ε : qi∈F }
•
La salida es G = (N, Σ, A0, P)
a) Demostramos por inducción sobre k≥0 la siguiente propiedad:
(qi, x) |—k— (qj, ε) ⇔
a
Gramática obtenida:
a
b
q1
b
x∈L(M) ⇔ (q0, x) |—k— (qf, ε) con qf ∈F ⇔
A0 → aA0 | bA1 | ε
A0⇒k xAf y Af ε ∈P ⇔ A0⇒k xAf ⇒x ⇔
A1 → aA1 | bA2
b
q2
A0⇒k+1 x
A2 → aA2 | bA0
a
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⇔
x∈L(G)
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Relación entre GRD y AFND
PROPOSICIÓN 5:
( x∈∑* )
b) A partir de la propiedad anterior podemos demostrar la
equivalencia:
Ejemplo:
q0
Ai ⇒k xAj
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Relaciones estudiadas
L(AFND) = L(GRD)
Los lenguajes reconocidos por los autómatas finitos no deterministas
son generados por gramáticas regulares a la derecha. Y viceversa.
Repaso de las proposiciones vistas hasta ahora:
DEMOSTRACIÓN:
L(AFND) ⊆ L(GRD) Similar a la demostración de la Proposición 2.
L(GRD) ⊆ L(AFND) Dar la vuelta a la demostración anterior.
EJEMPLO:
a
q0
a
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q1
q2
b
c
L(AFDt) =(1) L(AFD) ⊆ (2) L(AFND) =(5) L(GRD) =(3) L(GLD)
⊆ (4)
S → aA | aB
A → bA | ε
B → cB | ε
23
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