GEOMETRÍA ANALÍTICA (Adiciones al Tema) AÑ -1 . Intersección de dos planos. Sean dos planos: 1 a1 x b1 y c1 z d1 0 2 a2 x b2 y c2 z d 2 0 Los planos pueden cortarse en una recta, o bien ser paralelos: la intersección será la solución de este sistema lineal, por tanto observamos el rango de las matrices a1 a2 b1 c1 b2 c2 | d1 | c2 * Si rg(A) = rg(A’) = 2 el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones). Los planos se cortan en una recta r. * Si rg(A) =1; rg(A’) = 2 el sistema es incompatible (serían paralelos). AÑ -2 . Intersección de dos rectas. Sean las dos rectas: a1 x b1 y c1 z d1 0 r a2 x b2 y c2 z d 2 0 a3 x b3 y c3 z d3 0 s a4 x b4 y c4 z d 4 0 Estudiamos el rango de las matrices: a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 | d1 c2 | d 2 c3 | d3 c4 | d 4 1) Si rg(A) = rg(A’) = 3 ………. Solución única (Se cortan en un punto P) 2) Si rg(A) = rg(A’) = 2 ………. Compatible indetermin. (Las rectas coinciden) 3) Si rg(A) y rg(A’) son distintos….. Sistema incompatible (las rectas se cruzan) --(pueden ser paralelas) 1 Añ. 3 - Ángulo de dos rectas (cortándose o cruzándose) Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) los vectores directores de dos rectas. Entonces: u .v u . v cos cos u .v u .v u1v1 u2 v2 u3v3 cos 2 1 u u2 2 u3 2 . v12 v2 2 v3 2 Añ. 4 – Ángulo entre recta y plano. Sea la recta r , con vector directriz u (u1, u2, u3) y sea el plano π , con vector normal n (a, b, c): Se tiene que: n .u cos sin n .u 2 Añ. 5 – Distancia entre dos puntos. Sean dos puntos P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2). La distancia (euclídea) d entre dichos puntos es el módulo del vector formado por P1P2 d P1 P2 x2 x1 2 ( y2 y1 )2 ( z 2 z1 ) 2 2 Añ.6 – Distancia de un punto a un plano. Sea un punto P0(x0, y0, z0), y el plano ax + by + cz + d = 0. Su vector normal unitario viene dado por: u 1 2 a b2 c2 a, b, c Si tomamos un punto Q(x, y, z) del plano se tiene: h P0Q cos P0Q P0Q . u P0Q . u P0Q . u Por tanto, la distancia h del punto al plano es: h a ( x x0 ) b( y y0 ) c ( z z0 ) a2 b2 c 2 ax by cz (ax0 by0 cz0 ) a2 b2 c 2 Ahora sustituímos: ax + by + cz = - d h (a x0 b y 0 c z0 d ) a 2 b2 c 2 Esta cantidad h puede dar positiva o negativa (dependiendo de si el punto P0 se halla a un lado o a otro del plano). Por lo tanto para la distancia del punto al plano se prescinde del signo: h | a x0 b y 0 c z0 d | a2 b2 c 2 3