5. Propagación en un cristal fotónico unidimensional En este capítulo analizamos la evolución de una onda electromagnética al propagarse a través de un cristal fotónico unidimensional de longitud finita (CF1D) en donde conocemos de antemano la forma que debe de tener el campo electromagnético. La forma prevista del campo electromagnético se obtiene a través del análisis de la estructura de bandas del CF1D. Una vez identificadas las frecuencias en el que es posible la propagación del campo (frecuencia permitida) y las frecuencias que no permiten la propagación del campo dentro del cristal (frecuencias prohibidas), se procede a realizar la simulación de la propagación del campo. En el caso de frecuencias prohibidas, relacionamos el decaimiento de la onda dentro del cristal con el vector de Bloch imaginario. Terminamos este capítulo con un análisis de la transmisión de una onda sinusoidal a través de un cristal fotónico unidimensional por medio de una variación de la temperatura. Este fenómeno de sintonización de la respuesta óptica de un CF1D es relevante para el desarrollo de dispositivos fotónicos con respuesta óptica activa. 5.1 Bandas de energía prohibidas y permitidas. Los cristales fotónicos son medios periódicos estructurados, que presentan rangos de frecuencia en los cuales la luz no puede propagarse dentro de la estructura. Esta periodicidad es del orden de la longitud de onda de la frecuencia prohibida y es un fenómeno que ocurre similarmente en el campo del estado sólido, en donde los cristales atómicos actúan como redes de difracción para el electrón. La periodicidad de un cristal fotónico, en la región de bandas prohibidas da lugar a una reflexión total. Este fenómeno puede también denominarse como un efecto espejo. Sin embargo, este espejo no es perfecto. En este capitulo veremos que existe una porción del campo que penetra en la estructura. Usualmente la teoría de cristales fotónicos esta basada en la aproximación estacionaria. Por ejemplo, el Método de Ondas Planas14 propone una solución estacionaria de los campos y por medio de una expansión de Fourier para el campo Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 58 electromagnético y la función dieléctrica, se encuentran los valores propios de oscilación en el sistema periódico, es decir, la estructura de bandas de energía del sistema. Por su parte, el Método de Matriz de Transferencia unidimensional15 propone la solución estacionaria de los campos y por medio de condiciones de frontera, se encuentra tanto la relación de dispersión como la reflexión. La lógica del MDFDT es diferente. En el MDFDT hacemos evolucionar una onda electromagnética en una estructura, y solo después de que la onda ha evolucionado será posible determinar si la frecuencia de oscilación (o las frecuencias de oscilaciones, si es un pulso) son bandas prohibidas o permitidas. En este capítulo presentamos nuestros primeros pasos de la utilización del algoritmo del MDFDT en cristales fotónicos. Nuestro interés es la visualización del campo EM en una situación física que ya conocemos de antemano, a saber, las bandas prohibidas y permitidas. El sistema a analizar esta constituido por arreglo periódico de capas alternadas de TiO2 (medio a) y SiO2 (medio b), las cuales están delimitadas en sus extremos por aire, las constantes dieléctricas para los materiales son ε a = 5.5225 y ε b = 2.1316 . Estos parámetros corresponden a los utilizados en la referencia16 para una estructura que es ilustrada en la Fig. 5.1. Las capas consideradas son de espesores d a = 0.66d y db = 0.33d , donde d es el período de la multicapa. El número completo de medios presentes es de 19. na nb Aire Aire a b z Figura 5.1.- Geometría de la multicapa El comportamiento del campo dentro del cristal lo dicta la estructura de bandas fotónicas para el cristal infinito que es ilustrada en la Fig. 5.2. Esta estructura de banda dicta un comportamiento del campo al incidir sobre un cristal finito, el cual esta Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 1,2 59 caracterizado por un aumento en la reflexión en las bandas prohibidas y transmisión total en las regiones de bandas permitidas (Apéndice 5). Las energías en esta estructura están presentadas en frecuencia reducida, la cual es obtenida por la relación ω red = ωd / 2πc 1,2 ωred (ωa/2πc) 0,8 0,4 0,0 -0,8 0,0 Reflexión 0,8 Kr Ki Figura 5.2.- En el lado izquierdo mostramos la reflexión del campo, en el lado derecho tenemos la relación de dispersión con la parte imaginaria y real del vector de onda. 5.1.2 Visualización en frecuencias prohibidas. En esta sección presentamos una visualización del campo en energía prohibida en un cristal fotónico. En la Fig. 5.3 ilustramos la posición espectral de la frecuencia reducida ω red = 0.48 . Una onda sinusoidal con esta frecuencia decae al interior del cristal de la forma que es ilustrada en la Fig. 5.4. Como se observa en la figura, los resultados de nuestra simulación están de acuerdo con la descripción de la estructura de bandas. Se puede observar que el decaimiento de la onda dentro de el cristal [parte (a)] esta de acuerdo con el comportamiento evanescente predicho por la parte imaginaria del vector de Bloch. El decaimiento del vector de Poynting es ilustrado en la parte (b). En estas figuras no aparece el campo incidente, ya que para nosotros es importante observar los campos transmitidos y reflejados. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 60 0,6 ωred (ωa/2πc) 0,5 ωred = 0,48 0,4 -1,0 -0,5 0,0 Reflexión Figura 5.3 Ubicación del valor de frecuencia reducida a utilizar en la simulación. a) Campo Eléctrico E(z,t) 2 1 Decaimiento de Bloch 0 λ0 -1 -2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -6 z (metros) x10 b) Vector de Poynting S(z,t) 2 1 0 -1 -2 0 5 10 15 20 25 30 35 z (metros) 40 -6 x10 Figura 5.4 Resultado de la simulación para una frecuencia de 0.48 (Frecuencia prohibida), la línea evanescente corresponde a la aportación de la parte imaginaria del vector de Bloch. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 61 5.1.3 Análisis del campo para frecuencias permitidas. En esta sección presentamos la visualización del campo, para frecuencias que estén dentro del rango de frecuencias permitidas y que además presenten un mínimo de reflexión, lo cual indica que el campo es totalmente transmitido. En la Fig. 5.5 escogemos un valor de frecuencia reducida ω red = 0.355 . ωred (ωa/2πc) 0,6 0,4 ωred = 0,355 -1,0 -0,5 Reflexión 0,0 Figura 5.5 Ubicación de frecuencia reducida para un mínimo de reflexión. En la Fig. 5.6 mostramos el resultado de la simulación por medio del MDFDT de la onda electromagnética. Para este caso no es necesario omitir el campo incidente, ya que como esperamos un mínimo de reflexión, esta no va a interferir con el campo. Como se observa, la onda es completamente transmitida a través del cristal, tal como se esperaba. . Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 62 Campo Eléctrico E(z,t) 2 1 0 -1 -2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -6 z (metros) x10 Vector dr Poynting S(z,t) 2 1 0 -1 -2 5 10 15 20 25 30 35 40 -6 z (metros) x10 Figura 5.6 Resultado de la simulación para frecuencia de 0.355 (Permitida). 5.2. Sintonización por medio de la temperatura La estrategia de sintonizar por medio de la temperatura es la de alterar la constante dieléctrica del semiconductor por medio de un agente externo con la idea de proponer dispositivos que tengan una respuesta óptica regulable. Recientemente se han realizado varios trabajos relacionados con este fenómeno para un CF unidimensional17, 18, 19 . En estas referencias se trabaja con la siguiente función dieléctrica para el semiconductor: ⎡ ε (ω ) = ε ∞ ⎢1 + ⎣⎢ 2 2 ⎤ ω pe ω ph ω L2 − ωT2 − − ⎥ 2 2 ωT − ω − iωγ ω (ω + i / τ e ) ω (ω + i / τ h ) ⎦⎥ (5.1) Aquí ω pe ( ω ph ) es la frecuencia de plasma del electrón apantallado, el cual depende de la concentración de portadores ne (nh), la masa efectiva de conductividad me (mh), y la constante dieléctrica para altas frecuencias ε∞ como 2 ω pe = 4πne e 2 / me ε ∞ 2 ( ω ph = 4πn h e 2 / m h ε ∞ ). Se incluyen también amortiguamientos de plasmones y fonones. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 63 En la ecuación ωT y ω L son las frecuencias ópticas transversal y longitudinal de fonones y γ es la constante de amortiguamiento para fonones. Finalmente, τ e ( τ h ) es el tiempo de colisión de los electrones que puede ser obtenido de la movilidad: τ e = me μ e / e ( τ h = mh μ h / e ). En la referencia17 pueden obtenerse los valores completos de los parámetros materiales utilizados. El sistema esta conformado por nueve capas con espesor para cada una de las capas de 10 micras que es ilustrado en la Fig. 5.7. De izquierda a derecha tenemos un medio semi-infinito (aire), a continuación una secuencia de capas de InSb y aire que es terminada con una capa de InSb y finalmente tenemos una capa semi-infinita de aire. InSb Aire Aire d d z Figura 5.7 Geometría de la multicapa La variación de la función dieléctrica realista del InSb [ec (1)] varía con la temperatura según se indica en la Fig. 5.8. Los datos experimentales para T=298 K son graficados con círculos llenos y vacíos. Como se observa, la función dieléctrica tiende a infinito en ωT = 3.5 x1013 s −1 . En el límite de bajas frecuencias y en el rango 3.0 < ω < 4.5(1013 s −1 ) , la absorción que producirá la parte imaginaria de la función dieléctrica será demasiado grande. Es por ello que definimos un rango de frecuencias ε i / ε r < 0.1 dentro del cual es posible lograr una sintonización aceptable de la respuesta óptica. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 64 30 (b) εi Dielectric Function 25 εr 200 K 20 260 K 15 298 K 10 5 0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 13 3,5 4,0 4,5 -1 Frequency ω (10 s ) Figura 5.8 Función dieléctrica del InSb para distintas temperaturas. En cada temperatura las líneas gruesas (delgadas) describen la parte real (imaginaria) de la función dieléctrica, Los puntos negros y blancos corresponden a resultados experimentales11. La respuesta óptica del sistema para T= 260, 280 y 300 K es ilustrada en las Figs. 5.9, 5.10 y 5.11. En cada una de estas figuras presentamos, de arriba abajo la reflexión, transmisión, absorción, la estructura de bandas y la función dieléctrica contra la frecuencia. Para el caso de la función dieléctrica la línea punteada corresponde a la parte imaginaria de la función, en la estructura de bandas la línea punteada corresponde a la parte imaginaria del vector de Bloch. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 65 La siguiente figura nos da información de las propiedades ópticas a una temperatura de 260K Temperatura = 260K Reflexion 1 0.5 Transmision 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 1 0.5 0 Absorcion 1 0.5 0 Banda 1 0 Función dieléctrica -1 30 20 10 0 -10 Frecuencia ω (1x1014) Figura 5.9 Propiedades ópticas de la multicapa InSb-aire para T = 260 K. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 66 A continuación presentamos la respuesta de las propiedades ópticas para una temperatura de 280K. Temperatura = 280K Reflexion 1 0.5 Transmision 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 1 0.5 0 Absorcion 1 0.5 0 Banda 1 0 Función dieléctrica -1 30 20 10 0 -10 14 Frecuencia ω (1x10 ) Figura 5.10 Propiedades ópticas de la multicapa InSb-aire para T = 280 K. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 67 Finalmente obtenemos la respuesta de las propiedades ópticas para una temperatura de 300K. Temperatura = 300K Reflexion 1 0.5 Transmision 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 1 0.5 0 Absorcion 1 0.5 0 Banda 1 0 Función dieléctrica -1 30 20 10 0 -10 Frecuencia ω (1x1014) Figura 5.11 Propiedades ópticas de la multicapa InSb-aire para T = 300 K. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 68 La variación de la reflexión en función de la temperatura puede ser condensada en la Figura 5.12 en donde presentamos la comparación de la reflexión para las temperaturas T= 260, 280 y 300 K. Se observa que la reflexión varía hacia altas energías a medida que la temperatura aumenta. Reflectancia 0,8 0,4 T=260K T=280K T=300K 0,0 0,0 0,2 0,23 −1 Frecuencia ω (s ) 0,4 14 (1x10 ) Figura 5.12 Comparación de la reflexión en para T= 260, 280 y 300 K.17 A continuación vamos a realizar una simulación para el campo electromagnético utilizando el MDFDT y observar la respuesta del cristal a diferentes temperaturas. Elegimos un valor de frecuencia ω = 0.23x1014 s -1 para comparar la forma del campo para T= 260, 280 y 300 K, la cual es ilustrada en las Figs. 5.13, 5.14 y 5.15. En cada una de estas figuras presentamos en la parte (a) el campo eléctrico y en la parte (b) el vector de Poynting. Los valores de la reflexión en función de la temperatura obtenida por el método de la matriz de transferencia son R(260K)=0.1, R(280 K)= 0.6 y R(300 K)=0.9. Estos valores coinciden con el comportamiento obtenido por el MDFDT. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 69 De lo anterior podemos ver que existe una fuerte dependencia de las propiedades ópticas del material con la temperatura y que es posible la sintonización de estos cristales, ya que con 40K de diferencia en la temperatura, una banda prohibida pasa a ser banda permitida. La siguiente figura corresponde a simulación del campo a una temperatura de 260K: Campo electrico E(z,t) 2 1 0 -1 -2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -6 z ( metros) x10 Vector de Poynting S(z,t) 2 1.5 1 0.5 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -6 z ( metros) x10 Figura 5.13 Resultado de la simulación, temperatura de 260K. Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 70 La siguiente figura corresponde al resultado de la simulación para una temperatura de 280K Campo eléctrico E(z,t) 2 1 0 -1 -2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -6 z (metros) x10 Vector de Poynting S(z,t) 2 1 0 -1 -2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -6 z (metros) x10 Figura 5.14 Resultado de la simulación temperatura de 280K Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 71 Finalmente tenemos el resultado de la simulación para una temperatura de 300K Campo electrico E(z,t) 2 1 0 -1 -2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -6 z (metros) x10 Vector de Poynting S(z,t) 2 1 0 -1 -2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 -6 z (metros) x10 Figura 5.15 Resultado de la simulación temperatura de 300K Como se observa en las figuras anteriores los resultados del MDFDT, están de acuerdo a lo esperado, observándose como cambia la propagación del campo desde una temperatura de 260K (R = 0.1) hasta una temperatura de 300K (R = 0.9). Aplicación del Método de Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo a la simulación del Campo Electromagnético. 72