∫∫ ∫∫ ∫ ∫

ÓPTICA ESTADÍSTICA
GRUPO PILOTO
CURSO 2006/2007
Solucionario Ejercicio No.6
De acuerdo con el enunciado del ejercicio en el plano de la fuente Z=0 tenemos una
intensidad mutua asociada a dicha fuente definida:
 r 
Γ s, s,0 = I 0circ 

 2R 
(
)
(1)
En las condiciones de aproximación para una fuente de Carter-Wolf emitiendo en el
límite incoherente en condiciones de cuasi-monocromaticidad, el grado de coherencia
espacial se obtiene aplicando el Teorema de Van Cittert-Zernike:
l
Γ ( P1 , P2 ;0 ) = β
∫∫

 x
y 
Γ s, s;0 exp  − ik  xs 12 + ys 12   dxs dys
−∞
z12  
 z12

(
+∞
)
(2)
l es una constante compleja, y x , y , z son coordenadas reducidas.
donde: β
12
12 12
Por conveniencia escribiremos la ec.(2) como:
l
Γ ( P1 , P2 ;0 ) = β
∫∫
+∞
−∞
(
)
Γ s, s;0 exp  −2π i ( xsu12 + ys v12 )  dxs dys
Donde hemos introducido las frecuencias espaciales: u12 =
(3)
x12
y
, v12 = 12 .
λ z12
λ z12
Debido a la geometría de la fuente debemos de trabajar en coordenadas polares. Para
ello consideramos el siguiente cambio de variable:
xs = r cosθ
ys = rsenθ
Sustituyendo la ec.(1) en la ec.(3) y operando teniendo en cuenta el Jacobiano:
l
Γ ( ρ ,φ ;0 ) = I 0 β
R
∫∫
0
2π
0
exp ( −2π i ρ r cosθ cos φ ) exp ( −2π i ρ r senθ senφ ) rdrdθ
(4)
Donde:
u12 = ρ cos φ
v12 = ρ senφ
Nótese que:
ρ = u122 + v122 =
1
r
v
y
x122 + y122 = 12 ; φ = arctan 12 = arctan 12 .
λ z12
λ z 12
u12
x12
Operando en la ec.(4):
l
Γ ( ρ ,φ ;0 ) = I 0 β
R
∫∫
0
2π
0
exp  −2π i ρ r cos (θ − φ ) rdrdθ
(5)
La integral de la ec.(5) se puede realizar utilizando la representación integral de las
funciones de Bessel.
En general:
i−n
Jn ( x) =
2π
∫
2π
0
exp ( − ix cosθ ) exp ( inθ ) dθ
(6)
Donde por n denotamos el orden de la función de Bessel.
Por tanto, en la ec.(5):
l
Γ ( ρ ;0 ) = 2π I 0 β
∫
R
0
J 0 ( 2πρ r ) rdr
(7)
La ec.(7) expresa la transformada de Bessel-Fourier de la intensidad mutua asociada a la
fuente circular.
Haremos uso de la siguiente propiedad de la función de Bessel de orden cero:
∫
x
0
J 0 ( x ') x ' dx ' = xJ1 ( x )
(8)
Donde J1 es la función de Bessel de orden uno. Sustituyendo en la ec.(7):
l
Γ ( ρ ;0 ) = π R 2 I 0 β
La función
2 J1 ( 2πρ R )
( 2πρ R )
(9)
2 J1 ( 2πρ R )
se denomina función Besinc, puesto que es una representación
( 2πρ R )
análoga a la sinc pero en coordenadas polares. Por tanto sus ceros tienen valores no
enteros. El módulo cuadrado de la función Besinc se denomina “función de Airy”1.
En particular, anotaremos como dato el primer cero de la función Besinc:
1,22π = 3,833; 2 ρ R = 1,22; ρ =
1,22 0,61
. También es importante el dato del
=
2R
R
radio del disco central correspondiente al máximo de energía.
1
Véase: M. Born, E. Wolf, Principles of Optics, Capítulo 8, sección 8.5. Editorial Cambridge University
Press, 7a edición, 1999.
De acuerdo con el resultado de la ec.(9) el grado de coherencia espacial de la fuente
circular, viene expresado según el módulo de la función Besinc normalizada a su valor
máximo en el origen:
 2π Rr12 
2 J1 
λ z12 
2 J1 ( 2πρ R )

=
γ ( ρ ;0 ) =
 2π Rr12 
( 2πρ R )


 λ z12 
(10)
Las figuras 1, 2 y 3 representan respectivamente el comportamiento numérico de la
ec.(9) para los parámetros que intervienen en la propagación de la intensidad mutua.
γ ( r12 ;0)
r12 (mm)
Figura 1.- Comportamiento del grado de coherencia espacial de un fuente circular. Datos
numéricos: λ=600 nm., distancia de propagación: z12 = 1m., radio de la fuente: R=65 mm.
Obsérvese que el primer cero de la función se encuentra para: r12 = 5,5 µm. El radio de
coherencia se puede entonces estimar de acuerdo con este valor (siguiendo el criterio del
experimento de Verdet).
γ ( r12 ;0)
r12 (mm)
Figura 2.- En este caso se ha tomado como dato del radio de la fuente: R=6,5 cm. Se aprecia
que el grado de coherencia espacial disminuye de forma importante con respecto al
comportamiento obtenido en la figura 1.
γ ( r12 ;0)
z12 (m)
Figura 3.- Evolución del grado de coherencia espacial con la distancia de propagación. Datos
numéricos análogos a la figura 1, con r12 fijo: r12 = 0,002 mm. Se observa que la coherencia
espacial aumenta con la propagación de la correlación obteniéndose un valor casi estable para
una propagación del orden de 2 m.