Teorema de Kirk y estructura normal en espacios de Banach Introducción En el anterior artículo se comentaron los llamados problemas del milenio de las matemáticas [8]. Sólo uno de ellos se ha podido resolver hasta la fecha: La conjetura de Poincaré [9]. Ya hablamos de la hipótesis de Riemann, formulada en 1859, una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s) y su relación con los números primos [10] y de la conjetura de Hodge [11]. Hablemos en este artículo de otro de los seis problemas del milenio no resuelto: La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Se trata de un problema de geometría algebraica muy relacionado con la teoría de números. En este problema se estudian las curvas algebraicas: conjuntos de soluciones de un polinomio f(x,y) en dos variables. Además la teoría de números está presente ya que se pide estudiar las soluciones racionales de las mismas (y los coeficientes del polinomio son también racionales). Las curvas algebraicas se clasifican según su género, siendo las más sencillas las de género cero o curvas racionales. Estas tienen o bien ninguna o bien infinitas soluciones racionales. El criterio para distinguir unas de otras fue establecido en 1890 por Hilbert y Hurwitz. Por ejemplo, x 2 + y 2 = 1, tiene infinitas soluciones racionales y la curva x 2 + y 2 = 3 ninguna. Para las de género dos o más, Faltings demostró en 1983 que el número de soluciones racionales es siempre finito. Por ejemplo, la ecuación x n + y n = 1, tiene un número finito de soluciones racionales para cada número natural n>2. (Es éste el famoso Último Teorema de Fermat, enunciado por el matemático de este nombre en el margen de un libro, en el siglo XVII y demostrado por A. Wiles en 1994, afirma que ese número es dos si n es impar y cuatro si n es par...) ¿Qué pasa con las curvas de género 1? Queda por demostrar un criterio que distinga qué curvas de género 1 (también llamadas elípticas) tienen infinitas soluciones racionales y cuáles tienen un número finito. Y decimos demostrar, porque "conocerse" se conoce. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer relaciona el carácter infinito o finito del número de soluciones racionales de una curva algebraica elíptica C con que se anule o no en s=1 cierta función C(s) definida de un modo parecido al de la función zeta de Riemann. Intentemos conocer brevemente las curvas elípticas: Las curvas elípticas se definen mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado) y fueron utilizadas para probar el último teorema de Fermat. Algunas de las curvas reales (que no son funciones) elípticas son: A principios de la década de1960, Peter Swinnerton-Dyer calculó (computacionalmente) el número de puntos módulo p (denotado por Np) para un número largo de primos p sobre curvas elípticas cuyo rango era conocido. De esos resultados numéricos Bryan Birch y Swinnerton-Dyer conjeturaron que Np para una curva E con rango r obedecía una ley asintótica La conjetura se podría plantear como la resolución una ecuación diofántica (cálculo de los ceros naturales (o enteros o racionales) de un polinomio multivariable cuyos coeficientes también sean números enteros o naturales). En este caso polinomios en dos variables p(x,y)=0 en los que se sabe que existe al menos una solución con grado 3. Si dicha solución es conocida, ¿cuántas soluciones adicionales existen? En el caso de un polinomio cuadrático (grado d=2. Pero no se sabe lo que pasa en el caso cúbico (d=3), puede haber un número finito de soluciones adicionales o puede haber un número infinito de ellas. Como todo polinomio cúbico de dos variables puede transformarse en la curva elíptica de la forma y² = x³ + A x + B, donde A y B son números racionales, basta considerar este caso particular para demostrar la conjetura BSD. ¿Será éste el siguiente problema del milenio en resolverse? ¿Está Andrew Wiles trabajando en la conjetura BSD? Nadie lo sabe con seguridad, pero este problema del milenio es el que está más próximo a su línea de trabajo. Pasemos a lo que nos ocupa en este artículo. Aunque el primer teorema métrico del punto fijo fue dado por Stefan Banach en 1922, podemos decir que la Teoría (métrica) del Punto Fijo se inicia en 1965 cuando Browder, Göhde y Kirk prueban la existencia de puntos fijos (fpp) para aplicaciones no expansivas en espacios de Banach que verifican ciertas propiedades geométricas. En Análisis matemático, una aplicación es no expansiva, entre dos espacios métricos(X,dx) y (Y,dy) es una función f de X en Y, para la cual existe un número real positivo k inferior a uno tal que, para cualesquiera elementos x1 y x2 de X, dy(f(x1),f(x2)) dx(x1,x2). A partir de este momento muchos investigadores se preocupan por explotar esta conexión, esencialmente considerando otras propiedades geométricas de los espacios de Banach (convexidad uniforme, suavidad uniforme, condiciones de tipo Opial, casi convexidad uniforme, casi suavidad, etc.) que puedan ser aplicadas para probar la existencia de puntos fijos para distintos tipos de operadores no lineales. En este artículo veremos con detalle el resultado dado por Kirk en 1965. ” Sea K un subconjunto no vacío, débil compacto, y convexo de un espacio de Banach. Si K tiene estructura normal entonces K tiene la propiedad del punto fijo para aplicaciones no expansivas.” 1. Definiciones y resultados previos. Para hacer entendible al lector esta parte tan específica de las matemáticas daremos unas definiciones previas y resultados sin demostrar, así como las referencias del mismo autor donde poder verlo con detalle Definición 1.1 (Espacio de Banach) Un espacio de Banach es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales (complejos) con una norma ||·|| tal que toda sucesión de Cauchy en tiene un límite en éste. Definición 1.2 (Diámetro de un conjunto) Sea X un espacio de Banach y K un subconjunto acotado de X. Definimos el diámetro de K por: Definición 1.3 (Estructura normal) Un subconjunto convexo, acotado K de un espacio de Banach X tiene estructura normal (n.s.) si cualquier subconjunto suyo convexo H con más de un punto, contiene un punto no diametral, es decir, H contiene un punto x 0 tal que Para más detalle, ver [1] Definición 1.4 La envolvente convexa de un conjunto A como: Definición 1.5 (Sucesión diametral) Una sucesión (x n ) no constante se dice diametral si verifica: Toda subsucesión de una sucesión diametral es diametral. Teorema (Caracterizaciones de estructura normal) Sea K un subconjunto convexo, acotado y cerrado de un espacio de Banach X. Son equivalentes: (NS) K tiene estructura normal. (NS1) No existen sucesiones diametrales contenidas en K (NS2) No existen sucesiones contenidas en K tales que (NS3) No existen sucesiones contenidas en K tales que (NS4) No existen sucesiones no constantes contenidas en K tales que (NS5) Para cada sucesión no constante contenida en K (NS6) No existen sucesiones no constantes contenidas en K tales que (NS7) Si para cada sucesión no constante contenida en K tenemos que: La demostración seguirá este esquema y su desarrollo se encuentra en [1]. 2. Teorema de Kirk. Demostremos el teorema de Kirk. Para ello daremos dos resultados, con demostraciones constructivas, que nos permitirán alcanzar nuestro objetivo. Definición 2.1 Un subconjunto no vacío, convexo, acotado K de un espacio de Banach X y T: K → K una aplicación no expansiva, decimos que una sucesión contenida en K es aproximadamente T-fija si la diferencia, en norma, entre los términos de la sucesión y sus imágenes tiende a cero. Definición 2.2 Un subconjunto no vacío, cerrado y convexo D de un conjunto dado K, es minimal invariante para T : K → K si T (D) ⊂ D y si D no tiene subconjuntos propios que sean cerrados, convexos y T -invariantes. La siguiente proposición garantiza la existencia de un conjunto minimal T -invariante bajo ciertas condiciones. Proposición 2.3 Sea K un subconjunto no vacío débil compacto y convexo de un espacio de Banach. Entonces, para toda aplicación T : K → K existe un subconjunto W de K no vacio, cerrado, convexo y minimal T -invariante. D) Sea ξ la familia de subconjuntos de K que son no vacíos cerrados, convexos ( y en consecuencia débil-compactos) y T -invariantes. Dados dos subconjuntos ordenados parcialmente para ξ y ζ una cadena en ξ. Puesto que cada C ∈ ζ es cerrado, convexo y T -invariante, entonces C es cerrado, convexo y T -invariante. Además, como ζ es una cadena de débil-compactos, con intersección no vacía, acotada superiormente. En consecuencia, por el Lema de Zorn existe W ∈ ξ, elemento maximal de ξ por lo que, W es un subconjunto de K no vacío, cerrado, convexo y minimal T -invariante. c.q.d. Como consecuencia inmediata tenemos que si K es un subconjunto no vacío, cerrado, convexo y minimal T -invariante de un espacio de Banach X, entonces el conjunto K es igual al cierre de su imagen. Los conjuntos minimales T-invariantes tienen la propiedad fundamental que todo subconjunto, no vacío, cerrado y minimal T-invariante de un espacio de Banach entonces el conjunto coincide con el cierre convexo de su imagen. Proposición 2.4 Un espacio de Banach X no tiene estructura normal si y sólo si existe una sucesión acotada no constante que verifica: A tales sucesiones se las denomina diametrales[1] D) Veamos primero la condición suficiente. Partamos de una sucesión cuyo diámetro es d. Veamos que su cierre convexo también es d. Por su definición es mayor o igual que d. Demostremos que es menor o igual. Sean Luego Como resulta que entonces Demostrada que el cierre convexo es d, por ser diametral la sucesión para N>m se verifica Por tanto se tiene que De lo que se deduce que el cierre convexo es diametral. Como, además, es un subconjunto de X acotado, cerrado y convexo, con diámetro mayor que cero, se tiene que X no tiene estructura normal. Veamos la condición necesaria. Partamos de un subconjunto S de X acotado, cerrado y convexo, diametral, con diámetro d mayor que cero, Notemos que En consecuencia De lo que se deduce De lo que se sigue que la sucesión es diametral. Veamos el resultado fundamental de nuestro artículo cuya demostración se cimenta en las dos proposiciones anteriores. Teorema 2.5 (de Kirk) Sea K un subconjunto no vacío, débil compacto, y convexo de un espacio de Banach. Si K tiene estructura normal entonces K tiene la propiedad del punto fijo para aplicaciones no expansivas. D) Supongamos que K tiene estructura normal y sea T: K → K una aplicación no expansiva. En virtud de la proposición 2.3, podemos suponer que K es minimal T –invariante y por la proposición 2.4 tenemos que K es diametral. Como K es acotado, cerrado, convexo y tiene estructura normal, necesariamente diam(K)=0. Como K es no vacío entonces K consta de un solo punto, el cual es fijo bajo T. De este resultado se deduce: Corolario 2.6 Si X es un espacio de Banach reflexivo con estructura normal, entonces X tiene la fpp. Bibliografía Web: http://www.google.com Libros y artículos de consulta: [1] Rivera, Juan Antonio “Estructura Normal en Espacios de Banach”. Catálogo Fama de la Universidad de Sevilla. Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963 [3] Rivera, Juan Antonio “¿Qué espacios de Banach tienen estructura normal?” publicado el 17/05/2010 en la revista digital “Temas para la educación nº7”. [8] Rivera, Juan Antonio Relación entre los coeficientes de estructura normal de N(X) y WCS(X) y el módulo de convexidad publicado el 17/05/2013 en la revista digital “Temas para la educación nº24”. [9] Rivera, Juan Antonio Estructura normal uniforme publicado el 18/11/2013 en la revista digital “Temas para la educación nº25”. [10] Rivera, Juan Antonio Relación entre el coeficiente de estructura normal WCS(X) y el módulo de suavidad en espacios de Banach publicado el 18/11/2013 en la revista digital “Temas para la educación nº25”. [11] Rivera, Juan Antonio Espacios de Banach uniformemente no cuadrados. Estructura normal publicado el 19/05/2014 en la revista digital “Temas para la educación nº28”.