UNIVERSIDAD DE CHILE Fac. de Ciencias Veterinarias y Pecuarias 29 de Abril de 2010. PRUEBA 1 - MAT I Profesor: Orlando Campos. Ayudante: Ignacio Trujillo. NOMBRE:..................................................................................................... 1. Considerar, n 2 3 (n + 2n) , 1 ≤ n ≤ 40 √ √ 3 3n − 3 3n + 3 , 41 ≤ n ≤ 100 an = 102n +n , 101 ≤ n 10n+2 Calcular 200 X ak K=45 RESP: 200 X 100 X 200 X 10k ak = [bk − bk+1 ] + [ + k] 100 K=45 k=45 k=101 200 200 X X 10k = b45 − b101 + + k 100 k=101 k=101 = = √ 3 = √ 3 3 ∗ 45 − √ 3 135 − √ 3 √ 3 135 − 200 100 200 100 X X X 10k X 10k 3 ∗ 101 + [ − ]+[ k− k] 100 100 k=0 k=0 k=1 k=1 200 100 1 X k X k 303 + [ 10 − 10 ] + [100 ∗ 201 − 50 ∗ 101] 100 k=0 k=0 √ 3 1 10201 − 1 10101 − 1 [ − ] + [20100 − 5050] 100 9 9 √ √ 10201 − 10101 3 3 = 135 − 303 + + 15050 900 303 + √ 2. En el desarrollo de (x x + 1 n ) , x2 el coeficiente del tercer termino es mayor que el coeficiente del segundo termino en 44 unidades. Calcular el valor de n. RESP: n X n 0 k 3 2 n−k (x ) −2 k (x ) ;o como Nao: n X n 0 k 3 (x 2 )k (x−2 )n−k La condicion arroja: n n = + 44 2 1 n! = n + 44 ⇔ n2 − 3n − 88 = 0 ⇔ (n − 11)(n + 8) = 0 ⇔ n = 11 2(n − 2)! 3. a) Es cierta, para n ∈ N arbitrario, la siguiente igualdad?? Justificar. n n n n 2n 2n 2n 2n 2 [ 1+ + + + ..... + ] =1+ + + + ..... + 1 2 3 n 1 2 3 2n RESP: n X n n n n n 2 2 [ 1+ + + + ..... + ] =( ) = (2n )2 = 22n 1 2 3 n k k=0 = n X 2n k=0 k 2n 2n 2n 2n =1+ + + + ..... + 1 2 3 2n b) La suma de una Progresion Geometrica de razon 3 es 728, y el ultimo termino es 486. Hallar el primer termino. RESP: Sabemos que, Sn = 728 y que an = 486 Tambien sabemos que, Y que, Sn = a + a ∗ 3 + a ∗ 32 ... + a ∗ 3n = a 3 n+1 −1 2 = 728........(i) an = a ∗ 3n = 486...............(ii) 1456 +1⇔ a 1456+a = 486 3a a De (i) tenemos que, 3n+1 = De donde, para a no nula: 3n = 1456+a 3a y de (ii) que, 3n = Resolviendo, obtenemos a = 2 4. Considerar la funcion: f (x) = (x − 2)(x − 8), 2 6 x 6 8 Hallar: a) f (6) y f (−1) b) Dom(f ) c) f (1 − t) d) f (f (3)) e) Graficar f f) Restringir Dom(f ), de manera que f sea inversible. Tiempo :90 minutos. 486 a