Tema 1. Teoría General de Deformaciones

Tema 1.
Teoría General de Deformaciones
Alejandra Staller Vázquez
a.staller@upm.es
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Tema 1.Teoría General de Deformaciones
1.1.‐ RELACIÓN PLANO‐SUPERFICIE DE REFERENCIA.
a) Cálculo de elementos diferenciales sobre el Elipsoide y sus
correspondientes sobre el plano.
b) Módulos de deformación lineal, angular y superficial.
1.2.‐ TEORÍA DE DEFORMACIONES. ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT (EIT).
a) Definición de Elipse Indicatriz de Tissot (EIT). Direcciones Principales.
b) Deformación lineal a partir de la EIT.
c) Deformación angular a partir de la EIT.
d) Deformación superficial a partir de la EIT.
e) Cálculo de los semiejes de la EIT.
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Teoría General de Deformaciones
RELACIÓN PLANO ‐ SUPERFICIE DE REFERENCIA
MÓDULOS DE DEFORMACIÓN
PROYECCIÓN GENERAL
x  f ( ,  )
y  g ( ,  )
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ELEMENTOS DIFERENCIALES ELIPSOIDE DE REFERENCIA
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ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL PLANO DE LA PROYECCIÓN
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Elipse Indicatriz de Tissot
o
Elipse Indicatriz de Tissot, o elipse de distorsión, es un concepto desarrollado por el
matemático francés Nicolás Auguste Tissot, en 1859, para medir e ilustrar distorsiones de
las proyecciones cartográficas.
o
Tissot probó que la transformada de un círculo infinitesimal de radio ds, centrado en un
punto P sobre el elipsoide, se transforma, según una proyección cartográfica arbitraria, en
una elipse centrada en el transformado del punto, sobre el plano de la proyección. A esta
elipse se la denomina Elipse Indicatriz de Tissot.
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Teoría General de Deformaciones
Elipse Indicatriz de Tissot
La Indicatriz de Tissot se usa para ilustrar gráficamente las distorsiones lineares,
angulares y de área de los mapas:
o
Cuando la elipse Indicatriz de Tissot se
reduce a un círculo significa que, en ese
punto en particular, la escala es
independiente de la dirección.
o
En las proyecciones conformes, donde
los ángulos se conservan en todo el
mapa, las elipses Indicatrices de Tissot
son todas círculos, con tamaños
variables.
Proy. Mercator
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Elipse Indicatriz de Tissot
o
En las proyecciones equivalentes (equiáreas), donde las proporciones de área se mantienen en
todo el mapa, las elipses Indicatrices de Tissot tienen la misma unidad de área, aunque sus
formas y orientaciones varíen con la ubicación.
Proy. de Peters
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Teoría General de Deformaciones
Elipse Indicatriz de Tissot
o
En las proyecciones equidistantes, las distancias en cierta dirección se mantienen en todo el
mapa, las elipses Indicatrices de Tissot tendrán radio unidad en la dirección considerada,
aunque sus formas y orientaciones varíen con la ubicación.
Proy. Cilíndrica Equidistante
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Elipse Indicatriz de Tissot
 Todo círculo infinitesimal de radio ds centrado en un punto P sobre el elipsoide se
transforma, según una proyección cartográfica arbitraria, en una elipse centrada en el
transformado del punto, sobre el plano de la proyección. A esta elipse se la denomina
Elipse indicadora o indicatriz de Tissot.
PROYECCIÓN GENERAL
x  f ( ,  )
y  g ( ,  )
ds 2   2  d 2  r 2  d2
A  dx 2  B  dy 2  2C  dx  dy  D
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Elipse Indicatriz de Tissot
Direcciones o Tangentes Principales
 Para cualquier valor del parámetro mixto (F’), en todo punto del elipsoide existen dos
direcciones cuyas tangentes son perpendiculares entre sí y que, una vez realizada la
representación cartográfica, se corresponden con los valores de máxima y mínima
deformación lineal.
 Estas direcciones se conocen como tangentes principales de la proyección en cada
punto, y coinciden precisamente con las tangentes al meridiano y al paralelo en
aquellos sistemas de proyección donde el parámetro mixto (F’) de la transformación es
igual a cero.
 TEOREMA DE TISSOT ‐> Salvo para las singularidades de un sistema de proyección
cartográfica, en cada punto de la superficie del elipsoide existen dos tangentes
perpendiculares, y sólo dos cuando la proyección no es conforme, cuyas transformadas
sobre el plano de representación son también dos líneas perpendiculares que se
cortan en el punto en cuestión.
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DETERMINACIÓN DE DEFORMACIONES ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT
PROYECCIÓN GENERAL
x  f ( ,  )
y  g ( ,  )
ELIPSOIDE  P (x, y)
PLANO  P’ (x’, y’)
Cartografía Matemática – A. Staller Vázquez 2011‐2012
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Ejemplo 1. Desarrollo Cilíndrico Directo Equidistante de meridianos automecoicos
x  R  
y  R 
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Ejemplo 2. Desarrollo Cilíndrico Directo Equivalente
x  R  
y  R  sen
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Ejemplo 3. Proyección Ortográfica Polar
x  R  cos   sen
y   R  cos   cos 
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Ejemplo 4. Proyección Azimutal Equidistante Polar


x  R       sen
2



y   R       cos 
2


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