Presentación de clase

Matemáticas I
E.I.I
Tema 1
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Curso 2009-2010
LOS NUMEROS COMPLEJOS
Introducción
Como requisitos previos para manejar todos lo que en este tema se
introduce se tienen que recordar los conceptos de trigonometría, y
las propiedades de los conjuntos numéricos N, Z, Q, y R.
Suponemos conocidos (visto en cursos anteriores) los conjuntos numéricos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R y sus propiedades …
En R:
Hay ecs. como x2+1=0 que carecen de soluciones en el campo de
los números reales.
loge(-2) no es un número real.
Tampoco es un número real (-2)π
En este tema introducimos el Cuerpo de los números complejos 
extensión de ) que resuelve estas cuestiones , entre otras muchas.
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
Definición de 
Sea
RxR={(x,y) / x,y∈R} y las operaciones + y .
– + (x,y)+(a,b) = (x+a,y+b) ∀ (x,y) (a,b) ∈ R2
– • (x,y)⋅(a,b) = (xa-yb,xb+ya)
(RxR,+,⋅) es un CUERPO
“El cuerpo de los números
complejos”
Con las propiedades:
– + asociativa, conmutativa, e. neutro(0,0), opuesto (-a,-b).
– . asociativa, conmutativa, e. unidad (1,0), inverso…
–
Distributiva z1.(z2+z3)=z1.z2 +z1.z3
En definitiva un número complejo es “un par ordenado de nº
reales” z=(a,b) donde:
– a=parte real de (a,b) = Re(a,b)=Re(z)
– b= parte imaginaria de (a,b) = Im(a,b)=Im(z)

es una extensión de

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LOS NUMEROS COMPLEJOS
 ⊂  Ö…números imaginarios,
forma binómica
 es una extensión de 
– Obsérvese el conjunto {(x,0)/x∈R} ⊂ RxR={(x,y)/x,y∈R}=

– Identificamos el número real “a” con el complejo (a,0)
Números imaginarios, unidad imaginaria “i”.
– Los elementos de la forma (0,x)∈, x∈R, les llamamos imaginarios
puros.
– Al número (0,1)=i se le llama unidad de los números imaginarios.
Propiedad fdtal:
(0,1).(0,1)=(-1,0) ⇔ i.i=-1 ⇔ i2 =-1
Con esta notación se puede observar que:
z=(a,b)= (a,0)+(b,0)(0,1) que equivale a ⇔ z=a+bi
A esta forma se le llama forma binómica del complejo
Operaciones en forma binómica.
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
La forma binómica nos sugiere la
representación de los complejos en
un plano …..
De modo que el complejo z=(a,b)
representa el punto P (llamado
afijo), cuyas coordenadas son
precisamente a y b.
modulo
2
2
Representación gráfica,
modulo, argumento, forma
polar….
P(a,b)
Eje imaginario
z=a+bi
b
r
α
i
1
a
Eje Real
r= a +b
argumento es el valor de α tal que
tg α =b/a
Nótese que si α es un argumento también lo
es α+2kπ... k∈
El argumento se llama principal si -π<α≤π
–
–
Número complejo conjugado :
– si z=(a,b) entonces
=(a,-b)=a-bi
– Propiedades
Dado que:
a=r.cos(α) y b =r.sen(α)
El complejo se puede
expresar de la forma:
z=a+bi= a=r.[cos(α)+i sen(α)
O bien de la forma z=rα
Que se llama forma polar del
complejo (modulo-argumental)
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
Complejos conjugados… propiedades
Número complejo conjugado :
si z=(a,b) entonces
=(a,-b)=a-bi
Propiedades
En modulo argumental el conjugado sería:
z=rα ⇒ z=r−α
además se verifican las propiedades:
z1 + z2 = z1 + z2
z1 • z2 = z1 • z2
z1
z2
=
z1
z•z = z
z2
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
Operaciones con complejos …binómica
Si z1 = a+bi y
----
z2 = c+di
SUMA z1±z2 = (a±c) +i (b±d)
PRODUCTO: z1.z2=(ac-bd)+(bc+ad) i
z1
COCIENTE:
z2
=
a + bi c − di
a
-b
•
= ......= 2
+i 2
c + di c − di
c + d2
c + d2
POTENCIA (z1)n=(a+bi)n= desarrollo por el binomio de Newton=…
– n
natural, entero, racional…. ….
p
q
z q = zp
RAIZ se podría aplicar la definición de raíz y
z=n z1
⇔
zn=z1
Pero mejor verlo en forma polar….
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
Operaciones con complejos
…polar
---Si z1 = Rα y z2 = rβ
PRODUCTO: z1.z2= (R.r)α+β
COCIENTE: z1/z2= (R/r)α−β
POTENCIA (z1)n=(R)n n.α
RAIZ
Si
llamando z a la raíz n-esima de z1 tendríamos que:
z=mθ
y
z =
n
z 1 ⇔ z n =z1 ⇔ (mθ )n =R α ⇔ mnnθ = R α
– La última igualdad nos dice que:
Si
n
nθ
m
= Rα ⇒
⎧mn=R ⇒ m=n R
⎪
⎨
α +2kπ
⎪nθ=α +2kπ ⇒ θ=
n
⎩
k=0,1,2,3....n-1
Esto es la raíz n-ésima de un complejo son n complejos que tienen
por módulo la raíz n-ésima del modulo del radicando y como
argumentos a/n + k.(2π/n)
¿Cómo están los afijos de estos complejos?
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
Funciones complejas….exponencial
Definimos algunas funciones de en    importantes
– EXPONENCIAL COMPLEJA:
Recordamos la función real f(x)=ex y buscamos la función exponencial en .
Si z=a+b.i → ez=ea+bi=eaebi donde ea∈.
Se define eix=cos(x)+i.sen(x)
Por tanto
ez=ea+bi=ea [cos(b)+i.sen(b)]
Observamos que:
– eix es un número complejo de módulo 1
– ez≠0 ⇔ ∀z∈
– ez=1 ⇔ z=2kπ i k∈
– ez es una función periódica de periodo 2π i
Todo complejo se puede expresar como
como forma exponencial del complejo
rα=r.eiα
conocida
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
Funciones complejas….logarítmica, potencia
– FUNCION LOGARITMICA:
Recordamos la función real f(x)=ln(x) y buscamos la función logaritmo de
un 
Recordamos que
ln(z)=w ⇔ ew=z
Como todo complejo se puede expresar z= rα=r.eiα
⇒ ln(z)=ln(r)+i(α+2kπ) k=0, ±1,±2,±3,….
Por tanto el ln(z) son en realidad infinitos números complejos
Para k=0 se obtiene el valor principal del logaritmo, esto es
ln(z)=ln(r)+i α con -π<α≤π
– POTENCIA DE NUMEROS COMPLEJOS:
A partir de la definición de logaritmo podemos expresar la potencia
compleja de complejos.
Si z,w∈ entonces:
» zw=ew.ln(z)
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
Funciones complejas….trigonométricas
– FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:
Recordamos que:
y que
eiz=[cos(z)+i.sen(z)]
e-iz=[cos(z)-i.sen(z)]
Sumando y restando ambas expresiones obtenemos:
eiz +e-iz
sen(z)=
2
eiz -e-iz
cos(z)=
2i
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS ……1
..
– 1) calcular loge(-2)
log e (−2) = ln(2 π ) = ln 2 + i(π + 2kπ) =
ln 2 + i(1 + 2k )π → Ln(−2) = ln 2 + iπ
________________________
– 2) calcular (-2)π
(−2) π = (2 π ) π = e π ln( 2π ) = e π (ln 2+i (1+ 2 k ) π ) =
e
π ln 2 i (1+ 2 k ) π 2
e
= e π ln 2 (cos(1 + 2k )π 2 + i sin(1 + 2k )π 2 )
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS ……2
……
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor principal del
resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):
( − 2 ) π = e π ln 2 (cos π 2 + i sin π 2 ) =
- 7.9662
- i 3.7974
– 3) calcular ii
i i = e i ln i = e i ln( 1π / 2 ) =
e i (ln 1+ i ( π / 2 + 2 k π )) = e − ( π / 2 + 2 k π )
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS ……3
……
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor principal
del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):
i i = e − π / 2 = 0.2079
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del ángulo
doble.
C om o
(cosθ+ i.sin θ)2 = e iθ = (cos2 θ+ i.sin 2θ)
desarrollan do el prim er térm in o
e igu alan do las partes reales e im agin arias... ⇒
⎧ cos2θ= cos 2 θ-sin 2 θ
⎨
⎩ sin 2θ= 2sin θcosθ
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS ……4
1. Realiza las siguientes operaciones con números complejos:
a)(2+3i)-(1-i). b) in con n entero
d) (2-4i)/(-4+i) e) (1+i)-1
c) (3+i)(3-i)
2. Escribe en todas sus formas el número complejo que resulte
de las siguientes operaciones:
b) (i5-i-8)/(i√2)
a)(-1-i)2
3. a) Calcula las partes real e imaginaria del número
(1+i)(2+3i)(3+i)(2-2i). b) Determina m y n para que se
cumpla la igualdad:(4m-2i)/(6-2i)=3+ni
4. La suma de dos números complejos es 3 + i, la parte real de
uno de ellos es 2 y su cociente es imaginario puro. Determina
dichos números.
5. Que efecto geométrico produce multiplicar un número
complejo por 1α? Y dividirlo por su módulo z/|z|
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS ……5
6. Calcula las raíces quintas de (1 + i)
7. Una raíz cuarta de un número complejo es -1+i. Calcula
las demás raíces cuartas, así como dicho número.
Representa gráficamente el numero buscado y todas sus
raíces cuartas.
8. Calcula
ii;
i
ii ;
(2 + 2i)3+i ; log(i); log[(2 + 3i)4 ]; log(
2 + 3i
)
1-i
9. a) Determina los tres números complejos a,b,c tales que
para todo elemento del cuerpo C se tenga: z3+z2(5i6)+z(9-24i)+13i+18= (z+i)(az 2+bz+c).
b) Resolver en el cuerpo C la ecuación z3+ z2(5i-6)+z(924i)+13i+ 18=0 c) Representar en el plano complejo los
afijos de las soluciones de la ecuación.
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LOS NUMEROS COMPLEJOS
EJEMPLOS ……6
1-Encontrar módulo y argumento de: z=1+tg (α)
1-i 3
z=
1-i 3
e iα + e i β
1 + e i (α + β )
z =
2-Resolver las ecuaciones x2-2(1+ia2)x+1-a=0 a ∈R x 2 -(5-4i)x-2(5i+2) = 0;
3- Encontrar:
z con: a)
b) z=1+i
z=4ab+2(a2-b2 )i a,b ∈ R
c) z=1-i
4- Hallar cos 5a y sen 5a en4 función de cos(a) y de sen(a).
1+iz
-1+i 3
5- Resolver la ecuación ⎛⎜ ⎞⎟ =
⎝ 1-iz ⎠
6- Hallar
(1+i 3 ) (1-i 3 )
n
+
-1-i 3
n
n∈N
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Bibliografía.Problemas de Cálculo (tomo I) Tébar Flores
Problemas de Cálculo infinitesimal
Schaum
Fin
Tema
NÚMEROS COMPLEJOS
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