Integrales dobles. Ejemplo 1

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES G.A.D.E.
CURSO 2012/2013
Práctica 3:
Integrales dobles.
Ejemplo 1
Una integral doble se puede calcular como un par de integrales consecutivas, asi ÙÙ@1,2D´@3,4D Ix2 + y3 e x M â xây
se puede
calcular como (cuidado con poner el orden adecuado en los diferenciales):
à à Hx ^ 2 + y ^ 3 Exp@xDL â y â x
2
1
4
3
7
175
+
3
4
H-1 + ãL ã
Si queremos ver una aproximación del resultado podemos usar
N@7  3 + 175  4 H-1 + EL ED
206.68
Otra forma de calcular la integral es cambiando el orden de integración:
à à Hx ^ 2 + y ^ 3 Exp@xDL â x â y
4
2
3
1
7
I4 - 75 ã + 75 ã2 M
12
Y si queremos ver el valor numérico de este resultado, usamos
N@7  12 H4 - 75 E + 75 E ^ 2LD
206.68
Con lo que vemos que ambas integrales coinciden, y el Teorema de Fubini se cumple.
Otra forma de escribir la integral es usando el comando
Integrate [ "expresión a integrar dependiendo de x e y", {x,"extremo inferior para x", "extremo superior para x"},
{y,"extremo inferior para y", "extremo superior para y"} ]
Integrate@x ^ 2 + y ^ 3 Exp@xD, 8x, 1, 2<, 8y, 3, 4<D
7
175
+
3
4
H-1 + ãL ã
¿Que volumen es el que hemos calculado? Podemos verlo dibujando la función en tres dimensiones:
2
Practica3.nb
Plot3D@x ^ 2 + y ^ 3 Exp@xD, 8x, 1, 2<, 8y, 3, 4<D
400
4.0
300
200
100
1.0
3.5
1.5
2.0
3.0
El volumen calculado es el que hay bajo la gráfica cuya base es el plano z=0
Ejemplo 2
Puede ocurrir que el resultado que nos da no lo entendamos (porque puede depender de funciones que no se han estudiado).
En este caso también podemos decirle que calcule la integral de forma aproximada usando NIntegrate
Integrate@Exp@x ^ 2 yD, 8x, 0, 1<, 8y, -1, 1<D
1 - ã2 + ã
Π HErf@1D + Erfi@1DL
ã
NIntegrate@Exp@x ^ 2 yD, 8x, 0, 1<, 8y, -1, 1<D
2.06855
Ejemplo 3
La integral doble mide un volumen. Pero este volumen hay que interpretarlo con signo, de forma que donde la gráfica esté
por encima del plano de altura 0 se trata de un volumen positivo y si por el contrario donde la gráfica está por debajo se
considera que el volumen es negativo.
La siguiente integral da cero como resultado:
Integrate@-3 x ^ 2 - 3 y ^ 2 + 2, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<D
0
¿Significa que no hay volumen bajo la función? Veamos la gráfica en tres dimensiones, con el plano de altura 0 dibujado.
(No hace falta que copies el siguiente código, sólo observa la gráfica).
Practica3.nb
g1 := Plot3DA-3 x2 - 3 y2 + 2, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<E
g2 := Plot3D@0, 8x, -1, 1<, 8y, -1, 1<D
Show@g1, g2, PlotRange ® AllD
2
1.0
0
-2
0.5
-4
-1.0
0.0
-0.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
El "volumen negativo" coincide con el "volumen positivo" con lo que la integral total vale 0.
Ejercicios
Ejercicios:
1)Calcula la integral ÙÙ@1,2D´@-1,3D x y e x y dxdy
2) Aproxima la integral
ÙÙ@1,2D´@-1,3D x y e
xy
dxdy
(el resultado debe dar 2(e+e^5) )
(el resultado debe dar aproximadamente 307.69)
3