Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014) 1

Justificaciones de los exámenes de la Fase Final
de la XI Olimpiada Internacional de Lógica
BACHILLERATO: 1
PREGUNTA:
¿Cuál de las siguientes asignaciones de valores de verdad para las proposiciones primitivas P, Q, S y T hacen
verdadera la siguiente proposición compuesta?
(T ≡ ~S) ~ ((~Q (P ~P)) ~ (S  ~S))
a) V(P) = V
V(Q) = V V(S) = F V(T) = F
b) V(P) = V
V(Q) = V V(S) = V V(T) = V
c) V(P) = F
V(Q) = V V(S) = F V(T) = V
d) V(P) = F
V(Q) = V V(S) = V V(T) = F
e) V(P) = V
V(Q) = F V(S) = F V(T) = V
Preámbulo de la Justificación
La proposición compuesta es equivalente a T &(Q &~S), Así que la respuesta es Q es Verdadero S es
Falso T es Verdadero El valor de P es irrelevante
(T ≡ ~ S)  ~ ((~ Q  (P  ~ P))  ~ (S  ~ S))
F F V F F V F
V F V V F V
F F F V V F
V F F V F F F
V F V V F V
V V V F F V
V V V F V V F
V F F V V F
F F F V V F
F V F V F F F
V F F V V F
V V V F F V
V V V F F F V
F V V V F V
V F F V V F
La respuesta correcta es c)
BACHILLERATO: 2
PREGUNTA:
¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración?
Ganaré la olimpiada, incluso si pierdo a todos mis amigos. (Dicho por Pablo)
Diccionario: G: Pablo ganará la olimpiada, S: Pablo pierde a todos sus amigos.
a) S  G
b) G
c) ~S  G
d) S ≡ G
e) S
Preámbulo de la Justificación
La estructura es equivalente, a Ganaré la olimpiada, pues no se afirma que pierda o no a sus amigos. Por lo tanto, la
respuesta correcta es B.
BACHILLERATO: 3.
PREGUNTA:
Asumamos que el símbolo “¢” es una conectiva de dos lugares que representa una disyunción exclusiva. Cuando
decimos que “p ¢ r” estamos diciendo “O bien p es verdadera, o bien r pero no ambas”. Considerando el conjunto
de fórmulas Γ = {P ¢ R, R ¢ S} ¿Cuál de los siguientes conjuntos de fórmulas en conjunción con Γ daría lugar a
una contradicción?
Preámbulo de la Justificación
Una manera sencilla de resolver este problema es sólo pensando en que con la disyunción exclusiva da uno sólo de
ambos caminos, no nada más obtendremos el restante cuando uno está negado, sino que obtendremos el otro negado
cuando tengamos uno afirmado. De este modo puede analizarse cada opción de respuesta sin tener que formalizar.
La formalización de una disyunción exclusiva es equivalente a la negación de un bicondicional. Todo bicondicional
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1
negado es equivalente a un bicondicional con uno de sus lados negado. En suma, un bicondicional con negaciones
nones sin importar el lado de la conectiva o si la afectan directamente a ella, nos da como resultado que las fórmulas
a los lados del bicondicional deben ser diferentes. Por poderse desglosar -cualquier bicondicional- como dos
condicionales, uno de ida y otro de regreso, tenemos por Modus Ponendo Ponens que la afirmación categórica de
cualquiera de los lados de un bicondicional negado dará el otro lado negado y si la afirmación categórica de uno de
sus lados está negada, dará el lado opuesto. Las opciones de respuesta ofrecen pares de afirmaciones atómicas
negadas o afirmadas categóricamente con las cuales se pueden hacer tantos MPP como hagan falta de izquierda a
derecha o de derecha a izquierda sobre la conectiva “¢” recordando de invertir el valor de verdad del lado obtenido.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
{ p, ¬ r, s }
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
{ r, ¬ s }
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
{ ¬ p, s }
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
{ ¬ p, r, ¬ s }
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
{ ¬ p, ¬ s }
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta.
Es consistente que “p” y “s” tengan el mismo valor de verdad y “r” uno
distinto de estas dos proposiciones
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta.
Es consistente que “p” y “s” tengan el mismo valor de verdad y “r” uno
distinto de estas dos proposiciones
JUSTIFICACIÓN:
Ésta SÌ es la respuesta correcta.
Es consistente que “p” y “s” tengan el mismo valor de verdad y “r” uno
distinto de estas dos proposiciones. En este caso, “p” y “s” tienen valores
distintos haciendo inconsistente la unión de los dos conjuntos
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta.
Es consistente que “p” y “s” tengan el mismo valor de verdad y “r” uno
distinto de estas dos proposiciones
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta.
Es consistente que “p” y “s” tengan el mismo valor de verdad y “r” uno
distinto de estas dos proposiciones
BACHILLERATO: 4. LICENCIATURA: 12.
PREGUNTA:
Los zombies tomaron un antídoto y ahora sólo atacan a quienes enuncian un argumento que tenga al menos una
fórmula tautológica entre sus premisas y al menos una fórmula tautológica en la conclusión. Marco, Pepe, Luis,
Carlos y Juan son acorralados por un grupo de zombies y en un intento por no ser atacados, cada uno ha dicho el
argumento que se le ha ocurrido. ¿Quién es atacado por los zombies?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Marco: Estoy vivo y estoy muerto; o no estoy vivo y no Esta no es la respuesta. Basta con ver que la conclusión
es una contradicción.
estoy muerto: Luego, soy un zombie y no soy un zombie.
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Esta
no
es
la
respuesta,
porque no hay una tautología
Pepe: Si no soy un zombie, no estoy muerto. Si no soy un
entre
las
premisas,
ambas
fórmulas son contingentes. El
zombie, no estoy vivo. Luego, soy un zombie o no lo soy.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Luis: Si no estoy vivo, estoy muerto. Si no soy un zombie,
no soy un zombie. Por lo tanto; si soy un zombie y no lo
soy, entonces no soy un zombie y lo soy.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Carlos: Soy un zombie si y sólo si, no estoy muerto y no
estoy vivo. Luego, soy un zombie o no lo soy.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Juan: Si soy un zombie, entonces estoy vivo o no estoy
vivo. Luego, si estoy muerto y soy un zombie; estoy vivo y
no soy un zombie.
caso falso para ambos enunciados se da con las
siguientes asignaciones:
a) “Soy un zombie”=F. “Estoy muerto”=V.
b) “Soy un zombie”=F. “Estoy vivo”=V.
JUSTIFICACIÓN:
Esta es la respuesta. En las premisas el enunciado: “si no
soy un zombie, no soy un zombie” es una tautología. Y la
conclusión, al ser un condicional con el antecedente falso,
también es una tautología.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta, pues la premisa no es una fórmula
tautológica. Una asignación que hace falsa a la premisa es
cuando todos los enunciados atómicos son verdaderos.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta, pues la conclusión no es una
tautología. Una asignación que hace falsa a la conclusión
es cuando todos los enunciados atómicos son verdaderos.
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BACHILLERATO: 5. LICENCIATURA: 5.
PREGUNTA:
¿Qué se sigue del siguiente conjunto de oraciones?
Don Lucho siempre miente. Un día Don Lucho dijo: Todos los hombres justos serán recordados por siempre.
Preámbulo de la Justificación
Sabemos que lo dijo Don Lucho es falso, por lo tanto existe por lo menos un hombre justo que no será recordado
por siempre.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
No hay hombres justos.
Incorrecta, no se sigue, pues hay al menos un hombre justo.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Hay hombres justos que serán
Incorrecta, no se sigue, porque la premisa no permite determinar si hay
recordados por siempre.
hombres justos que serán recordados por siempre.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Nadie será recordado por siempre.
Incorrecta, no se sigue, la fórmula no nos permite determinar si hay alguien
o no que será recordado por siempre.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Hay por lo menos un hombre justo.
Correcta, sí se sigue, pues la fórmula original es equivalente a decir que hay
un hombre justo que no será recordado por siempre; de donde se sigue que
hay al menos un hombre justo.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Todos los hombres que serán recordados Incorrecta, no se sigue. La fórmula original no permite inferir esta fórmula.
por siempre son justos.
BACHILLERATO: 6.
PREGUNTA:
¿Cuál de las siguientes asignaciones de valores de verdad para las proposiciones primitivas P, Q, S y T hacen falsa
la siguiente proposición compuesta?
~ (~ (~Q  T) (~(P (T  ~T)) ~(S  ~S)))
a) V(P) = F
V(Q) = V V(S) = F V(T) = V
b) V(P) = V V(Q) = F V(S) = V V(T) = V
c) V(P) = F
V(Q) = F V(S) = V V(T) = F
d) V(P) = V V(Q) = F V(S) = V V(T) = F
e) V(P) = V V(Q) = V V(S) = V V(T) = F
Preámbulo de la Justificación
La fórmula es equivalente a (Q P) (T ~S), Así que la respuesta es v(P)=V, v(Q)=F, v(S)=V, v(T)=F.
(Opción D). Las demás asignaciones hacen verdadera a la fórmula.
(Q
V
F
F
F
V

V
F
V
F
V

V
F
V
F
F
P)
F
V
F
V
V

V
V
V
F
V
(T
V
V
F
F
F

V
V
F
F
F

V
F
F
F
F
S)
F
V
V
V
V
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BACHILLERATO: 7. LICENCIATURA: 1. MASTERS: 2.
PREGUNTA:
¿Qué no se sigue del siguiente conjunto de oraciones?
Cualquiera que sea amigo de Alicia está loco. Sólo los locos son felices. Si alguien es feliz no está loco. Si nadie es
feliz, entonces nadie está loco.
Preámbulo de la Justificación
De Sólo los locos son felices y Si alguien es feliz no está loco, se sigue que nadie es feliz. Usando esto y que Si
nadie es feliz, entonces nadie está loco, tenemos que nadie está loco. Usando esto y que Cualquiera que sea amigo
de Alicia está loco nos permite inferir que Alicia no tiene amigos.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Nadie es feliz.
Incorrecto, sí se sigue.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Alicia no tiene amigos.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, sí se sigue.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Cualquiera que esté loco es amigo de Alicia.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Cualquiera que no esté loco es amigo de Alicia
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, sí se sigue (pues no hay locos).
JUSTIFICACIÓN:
Correcta. No se sigue, pues hay por lo menos alguien que no está
loco, pero nadie es amigo de Alicia.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Hay alguien que ni está loco ni es feliz
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, sí se sigue (pues nadie está loco y nadie es feliz). Y hay
por lo menos un objeto.
BACHILLERATO: 8.
PREGUNTA:
Tenemos un argumento con la premisa P y la conclusión R. ¿Qué conjunto de fórmulas es necesario agregar a las
premisas para que el argumento sea válido?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
{~P  R, R ~ P}
Esta NO es la respuesta correcta. Contando con P para llegar a R , si tomamos la primer
premisa, justo requeriríamos la negación de p para aplicar MPP. Con transposición quedaría
(~ R P) y con p no podemos llegar al antecedente. Si tomamos la segunda premisa del
conjunto, podríamos aplicar MTT, pero obtendríamos la negación de la conclusión buscada. Por
Transposición obtendríamos (P 
~ R) y por MPP el resultado es el mismo. Si vinculamos con
Silogismo Hipotético ambas premisas del conjunto obtenemos una tautología, o bien (RR) o
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
{~ S  ~ P, ~ S R}
bien se obtiene (~ P ~ P) que junto a p no nos ofrece camino válido para llegar a R.
JUSTIFICACIÓN:
Esta NO es la respuesta correcta. Contando con p para llegar a R, si tomamos la primer
premisa, podríamos aplicar MTT, pero obtendríamos la negación de ¬S que equivale a s. Por
transposición llegamos a (P  S) y por MPP también obtenemos S. Con S y la segunda
premisa no podemos obtener R por que se pide ~S para un MPP. Si aplicáramos una
Transposición a la segunda premisa obtendríamos (~ R S) una vez teniendo s, nos haría falta
s negada para poder aplicar MTT, cosa que sería contradictoria. Adicionalmente, es de notarse
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
{~ R  ~ S, P S}
que (~ R S) es también una consecuencia de S por Condicionalización y no arroja nueva
información que nos haga llegar categóricamente a R.
No podemos vincular con Silogismo Hipotético ambas premisas del conjunto, pues no tenemos
que el consecuente de alguna se el antecedente de la otra, ni siquiera probando con sus
versiones en Transposición.
JUSTIFICACIÓN:
Esta SÌ es la respuesta correcta. Basta hacer Transposición a la primer premisa del conjunto
para obtener (S
R),
aplicar Silogismo Hipotético a este resultado junto con la segunda
premisa del conjunto y obtener así (PR) para finalmente aplicar un MPP con la premisa
explícita P y obtener válidamente R.
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OPCIÓN DE RESPUESTA D)
{R S, S P}
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
{~ S  R, P  S}
JUSTIFICACIÓN:
Esta NO es la respuesta correcta. Podemos iniciar aplicando Silogismo Hipotético a ambas
premisas del conjunto para obtener (RP) o si aplicáramos a ambas premisas Transposición
previamente, el resultado sería (¬P ¬R), a su vez una Transposición del primer resultado que
ya habíamos obtenido. A ninguna de las dos fórmulas le sirve tener P para llegar a R
válidamente, pues en el primer caso se trataría de una falacia de afirmación de consecuente y
en el segundo de una falacia de negación de antecedente (aunque con doble negación).
JUSTIFICACIÓN:
Esta NO es la respuesta correcta. No hay manera de vincular ambas premisas del conjunto con
Silogismo Hipotético pues no hay antecedente de alguna de las fórmulas que corresponda al
consecuente de la otra. Si se aplica MPP a P (premisa explicita) junto a la segunda premisa del
conjunto y con ello se obtiene S, no hay manera de llegar a R que no sea cayendo en
contradicción o de manera inválida
BACHILLERATO: 9.
PREGUNTA:
¿Cuál de las opciones se sigue de la fórmula: ~(P & ~Q) v R?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
~P v (Q v ~R)
No se sigue, se demuestra con la asignación P=V,Q=F,R=V
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
(~R v ~Q) v ~P
No se sigue, se demuestra con la asignación P=V,Q=V,R=V
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
(~R & ~Q) & ~P
No se sigue, se demuestra con la asignación P=V,Q=V,R=V
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
(R & ~Q) v (R & ~Q)
No se sigue, se demuestra con la asignación P=V,Q=V,R=V
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
(~P v R ) v (~P v Q)
Respuesta correcta, no puede haber ningún caso en que la primer fórmula fuera
verdadera y la segunda falsa. Como la segunda es una disyunción para que
fuera falsa necesitaríamos que P=V, R=F y Q=F; pero con esta asignación la
primer fórmula resulta falsa.
BACHILLERATO: 10.
PREGUNTA:
Teniendo el valor de verdad de las proposiciones P, ¬ Q , R como sigue: V(P)= V, V(Q)= F, V(R)=V
¿Cuál de las siguientes proposiciones resulta falsa?
Preámbulo de la Justificación
Sólo hay que revisar las condiciones de verdad de cada fórmula. En especial, recordemos que el condicional
material sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso y verdadero en los demás casos.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
NO ES respuesta correcta. Con antecedente falso y consecuente
( ¬ P v Q)  ¬ ( R & P )
falso; la proposición es verdadera
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
SÌ ES la respuesta correcta. Con antecedente verdadero y
( P v Q )  ¬ ( ¬ Q v R)
consecuente falso; la proposición es FALSA.
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
NO ES respuesta correcta. Con antecedente falso y consecuente
(Q&R)(Pv¬Q)
verdadero; la proposición es verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
NO ES respuesta correcta. Con antecedente verdadero y
(P&R)(¬Qv¬R)
consecuente verdadero; la proposición es verdadera
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
NO ES respuesta correcta. Conntecedente verdadero y consecuente
( Q v R )  ¬ ( P & Q)
verdadero; la proposición es verdadera.
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BACHILLERATO: 11.
PREGUNTA:
Alicia quiere crecer, pero sólo lo logrará si deja de decir tautologías. ¿Cuál de las siguientes frases debe decir Alicia
para poder crecer?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Si el sombrerero está loco, yo estoy cuerda; si y solo si:
si yo no estoy cuerda, el sombrerero no está loco.
Esta expresión es una tautología, así que no es la respuesta. La
equivalencia es una transposición.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
El sombrerero está loco y yo estoy cuerda, si y solo si, el
sombrerero no está loco y yo no estoy cuerda.
JUSTIFICACIÓN:
Esta es la respuesta, pues no es una tautología. Cuando las
fórmulas atómicas de la expresión son verdaderas, la fórmula
completa es falsa.
JUSTIFICACIÓN:
Esta expresión es una tautología, así que no es la respuesta.
La equivalencia se prueba haciendo implicación material a la
primera expresión, y posteriormente transposición.
JUSTIFICACIÓN:
Esta expresión es una tautología, así que no es la respuesta.
Las implicaciones se pueden convertir en disyunciones de la forma
“No P o P” y “No Q o Q”, cada una de las cuales es una tautología;
y al estar unidas con conjunción, el resultado también es una
tautología.
JUSTIFICACIÓN:
Esta expresión es una tautología.
(L
&
C)
(L
V
C)


OPCIÓN DE RESPUESTA C)
El sombrerero no está loco o yo estoy cuerda, si y solo
si, si yo no estoy cuerda entonces el sombrerero no está
loco.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Si el sombrerero está loco, está loco; y si yo estoy
cuerda, estoy cuerda.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Si el sombrerero está loco y yo estoy cuerda; entonces,
el sombrerero está loco o yo no estoy cuerda.
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
BACHILLERATO: 12. MASTERS: 16.
PREGUNTA:
Supongamos que estamos en la isla de los caballeros y de los bribones. En esta isla todos son o caballeros o
bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. En una ocasión, hubo una
epidemia que causaba que los caballeros enfermos siempre dijesen mentiras y que los bribones enfermos siempre
dijesen la verdad. Un visitante se encontró con 2 nativos de los que no sabía nada, excepto sus nombres Juan y José.
Se dio el siguiente diálogo.
Juan: Puedes confiar en José, es un bribón enfermo.
José: Juan es un bribón sano.
Juan: Yo no soy un bribón.
José: Yo no soy un bribón.
¿De qué tipo de persona se trata en cada caso?
Preámbulo de la Justificación
Si Juan dice la verdad entonces José dice la verdad, pero José dice que Juan miente. Por lo tanto, Juan miente y o es
un caballero enfermo o es un bribón sano. Pero como Juan dice que no es bribón, entonces es bribón, es decir, es un
bribón sano. Entonces los que dijo José es cierto, entonces o es un caballero sano o bien un bribón enfermo.
Entonces, como dice que no es un bribón, no lo es. Entonces José es un caballero sano.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Juan es un bribón sano y José es un caballero sano.
Correcta, ver el preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Juan es un bribón sano y José es un caballero enfermo.
Incorrecta, ver el preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Juan es un caballero enfermo y José es un bribón enfermo. Incorrecta, ver el preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Juan es un caballero enfermo y José es un caballero sano. Incorrecta, ver el preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Juan es un bribón sano y José es un bribón enfermo.
Incorrecta, ver el preámbulo.
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BACHILLERATO: 13.
PREGUNTA:
¿Cuál es la negación lógica de Voy a ser feliz contigo o sin ti?
a) Voy a ser feliz sin ti o no voy a ser feliz contigo.
b) Voy a ser feliz contigo y no voy a ser feliz sin ti.
c) No voy a ser feliz contigo y voy a ser feliz sin ti.
d) No voy a ser feliz contigo y no voy a ser feliz sin ti.
e) No voy a ser feliz contigo o no voy a ser feliz sin ti.
Preámbulo de la Justificación
La negación de la fórmula es la negación de una disyunción, por tanto se puede usar ley de Morgan y queda una
conjunción de negaciones, las cuales se encuentran en el inciso d. Las demás opciones no son equivalentes.
BACHILLERATO: 14. LICENCIATURA: 17.
PREGUNTA:
Norma, la mamá de Pepe, le dice a su hijo: Si apruebas tus materias, todos somos felices. La mamá de Pepe sólo
será infeliz si sucede lo que la negación del enunciado que le dijo a Pepe expresa. ¿Qué tiene que suceder para que
la mamá de Pepe sea infeliz?
Preámbulo de la justificación.
Dado que la afirmación de la mamá de Pepe es un condicional, para que sea falso, el antecedente debe ser verdadero
y el consecuente falso. Por lo tanto, Pepe debe aprobar sus materias, y no todos deben ser felices; este segundo
enunciado es equivalente a que haya alguien que no sea feliz. Por lo tanto, la respuesta es la opción b.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Que Pepe apruebe sus materias y que No es la respuesta, pues la negación no implica que todos sean felices;
todos sean felices.
implica que alguien no sea feliz.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Que Pepe apruebe sus materias y que Esta es la respuesta. Ver el preámbulo.
alguien no sea feliz.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Que Pepe apruebe sus materias y que No es la respuesta, pues la negación no implica que nadie sea feliz;
nadie sea feliz.
implica que hay alguien que no es feliz.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Que Pepe no apruebe sus materias y que No es la respuesta, pues no cumple con que Pepe apruebe las materias.
todos sean felices.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Que Pepe no apruebe sus materias y que No es la respuesta, pues no cumple con que Pepe apruebe las materias.
alguien sea feliz.
BACHILLERATO: 15.
LICENCIATURA: 9.
MASTERS: 8.
PREGUNTA:
Sea | un operador binario que indica que P|Q es verdadero en los siguientes casos y sólo en éstos:
a) V(P)= F y V(Q)= F.
b) V(P)=V y V(Q)=F.
c) V(P)=F y V(Q)=V.
Supóngase además que las reglas de formación de fórmulas son iguales a las de los operadores binarios usuales.
Señale cuál de las siguientes fórmulas no es lógicamente equivalente a ~R|S.
Preámbulo de la Justificación
Es claro que | es la negación conjunta (NAND), es decir P | Q es lógicamente equivalente a ¬( P&Q)
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
¬(¬ R& S)
Si tomamos a ¬R como P, se sigue de la definición del preámbulo.
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OPCIÓN DE RESPUESTA B)
¬S v R
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
RvS
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
R v ~S
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
( (¬R &¬S) v (R & S) ) v ¬(¬R v S)
JUSTIFICACIÓN:
Por teorema de De Morgan de a, aplicando doble negación y
conmutatividad.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue, para verlo basta con tomar la interpretación R=f y S=v,
con la cual ¬R | S resulta verdadero y R v S falso.
JUSTIFICACIÓN:
En la definición se puede ver que | tiene la propiedad conmutativa.
JUSTIFICACIÓN:
Se sigue, puesto que la única asignación que hace falsa a esta fórmula
es R=F y S=V, y esta asignación hace falsa también a ¬R |S.
BACHILLERATO: 16.
PREGUNTA:
¿Qué se sigue del siguiente conjunto de oraciones?
O bien, todo está perdido, o bien, todo tiene solución. Si todo está perdido, de nada hay que preocuparse. Si de
nada hay que preocuparse, entonces todo tiene solución.
Preámbulo de la Justificación
De estas oraciones se sigue que Todo tiene solución, pero no se puede inferir de estas oraciones ni que todo está
perdido, ni que no hay nada de que preocuparse, ni que hay algo que no tiene solución. En consecuencia, la
respuesta correcta es B.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Todo está perdido
Incorrecta, no se sigue. Ver preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Todo tiene solución.
Correcta, sí se sigue. Ver preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
No todo está perdido.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Hay algo que no tiene solución.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, no se sigue. Ver preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, no se sigue. Ver preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
De nada hay que preocuparse.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, no se sigue. Ver preámbulo.
BACHILLERATO: 17. LICENCIATURA: 25.
PREGUNTA:
Michael Jordan le dice a Michael Jackson: Si tú eres el rey del pop y yo soy el mejor basquetbolista, entonces, si tú
eres Superman, entonces yo soy Batman. ¿Qué enunciado es equivalente a la negación de esta afirmación?
Preámbulo de la justificación. Simbolizando y haciendo deducción natural tenemos:
1) ~ ((P&M)  (S  B))
2)
3)
4)
5)
6)
~ (~ (P&M) v (S  B)) Implicación material.
~ (~ (P&M) v (~ S v B)) Implicación material.
~ ~ (P&M) & ~ (~ S v B) Ley de Morgan.
(P&M) & (~ ~S&~B) Doble negación y ley de Morgan.
(P&M) & (S&~B) Doble negación. Esto es lo que se expresa en la opción C).
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Tú eres el rey del pop y yo soy el mejor No es la respuesta. Con la asignación: P=V, M=V, S=V y
basquetbolista, o tú eres Superman y yo no soy B= V, las dos fórmulas salen con distinto valor de verdad.
Batman.
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8
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Tú eres el rey del pop o yo soy el mejor No es la respuesta. Con la asignación: P=V, M=V, S=V y
basquetbolista, y tú eres Superman y yo soy Batman.
B= V, las dos fórmulas salen con distinto valor de verdad.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Tú eres el rey del pop y yo soy el mejor Es la respuesta. Ver el preámbulo.
basquetbolista, y tú eres Superman y yo no soy
Batman.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Tú eres el rey del pop o yo soy el mejor No es la respuesta. Con la asignación: P=V, M=V, S=V y
basquetbolista, o tú no eres Superman y yo no soy B= V, las dos fórmulas salen con distinto valor de verdad.
Batman.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Tú eres el rey del pop o yo soy el mejor No es la respuesta. Con la asignación: P=V, M=V, S=V y
basquetbolista, y tú eres Superman o yo no soy B= V, las dos fórmulas salen con distinto valor de verdad.
Batman.
BACHILLERATO: 18.
LICENCIATURA: 15.
PREGUNTA:
Un periodista llegó a una extraña isla llamada Logi-Kosa. La isla está habitada por dos tribus: los Logis, que
siempre dicen la verdad y los Kosa que siempre mienten. Al ver a 4 nativos (llamémosles A, B y C) sentados en
círculo, el periodista se acercó y, para descubrir a qué tribu pertenecían les preguntó en orden: ¿Usted y el que está a
su izquierda son de la misma tribu? Y recibió las siguientes respuestas: A: Sí. B: Sí. C: No. D: No.
¿A qué tribu pertenecía cada aborigen?
Preámbulo de la Justificación
El enigma se resuelve mediante una prueba por casos.
Caso 1: A es Logi  B es Logi C es Logi D es Kosa  A es Kosa ^
Caso 2: A es Kosa  B es Logi  C es Logi D es Kosa A es Kosa.
Como el primer caso lleva a contradicción sólo es posible el segundo. De Modo que la respuesta
correcta es la e.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
A y C son Kosa; B y D son Esta opción no es la correcta. Porque si C es Kosa D es Kosa. Pues C miente
Logi.
al decir que NO son del mismo tipo. Pero Aquí se dice que C es Logi 
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
A y B son Logi, C y D son Kosa. Esta opción no es correcta. Porque Si B es Logi C es Logi. Pues B dice que él
y C son de la misma tribu. Pero Aquí se dice que C es Kosa
OPCIÓN DE RESPUESTA
JUSTIFICACIÓN:
C)
A y C son Logi; B y D son Esta opción no es correcta porque si D es Kosa A debe ser Kosa. Pues D
Kosa.
miente al decir que no son de la misma tribu. Pero acá se dice que A es logi 
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
A, B y C son Logi y D es Kosa.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción no es correcta porque si D es Kosa A debe ser Kosa. Pues D
miente al decir que no son de la misma tribu. Pero acá se dice que A es logi 
JUSTIFICACIÓN:
A y D son Kosa; B y C son Esta opción sí es la respuesta correcta. Como se ha visto en el preámbulo no
Logi.
lleva a contradicción alguna.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
9
BACHILLERATO: 19. LICENCIATURA: 20.
PREGUNTA:
Supongamos que estamos en la isla de los caballeros y de los bribones. En esta isla todos son o caballeros o
bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. En una ocasión, hubo una
epidemia que causaba que los caballeros enfermos siempre dijesen mentiras y que los bribones enfermos siempre
dijesen la verdad.
¿Cuál de las siguientes oraciones no puede ser dicha por un bribón enfermo?
Preámbulo de la Justificación
Hay cuatro tipos de nativos, los caballeros sanos y los bribones enfermos siempre dicen la verdad. Los caballeros
enfermos y los bribones sanos siempre mienten. Debemos buscar algo que dicho por un bribón enfermo sea falso.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Soy un bribón.
Incorrecta, pues sería verdad y los bribones enfermos dicen la verdad.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Si soy un caballero, entonces estoy
Incorrecta, pues sería verdadero el consecuente y inconsecuencia el
enfermo.
condicional sería verdadero.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Si soy un caballero, entonces soy un Incorrecta, pues sería verdadero el consecuente y inconsecuencia el
bribón.
condicional sería verdadero.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Soy un caballero sii soy un bribón.
Correcta, pues es falsa y un bribón enfermo no podría decirla.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Si estoy sano, entonces soy un
caballero.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues el antecedente es falso y por tanto el condicional es
verdadero.
BACHILLERATO: 20.
PREGUNTA:
¿Qué se sigue de la negación del siguiente enunciado: Estudio o no es el caso que: voy a la Olimpiada y gano?
Preámbulo de la justificación. Simbolizando: E: Estudio. O: Voy a la Olimpiada. G: gano. Tenemos que la
negación es: ~ (E v ~ (O & G)) Aplicando Ley de Morgan queda: ~E & ~ ~ (O & G). Y con doble negación solo
queda: No estudio y voy a la Olimpiada y gano; lo que se expresa en la opción e).
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
No voy a la Olimpiada y no estudio o no gano.
No se sigue que no voy a la Olimpiada.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
No estudio y voy a la Olimpiada, y no gano.
No se sigue que no gano.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
No voy a la Olimpiada o estudio, o no gano.
No se sigue ninguno de los tres disyuntos.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
No gano y estudio y voy a la Olimpiada.
No se sigue que: no gano y que estudio.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Voy a la Olimpiada, y no estudio y gano.
JUSTIFICACIÓN:
Es la respuesta correcta. Ver el preámbulo.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
10
BACHILLERATO: 21.
LICENCIATURA: 21.
PREGUNTA:
Tenemos un argumento con la premisa P y la conclusión (S&T). ¿Qué conjunto de fórmulas es necesario agregar a
las premisas para que el argumento sea válido?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
{P  (~ T& R), ~ R  S, P  ~ S}
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
{R  (P  ~ (S  T)), P  R}
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
{P  (S  T), (S T)  R, R  S}
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
{S  ~T , ~ T  P}
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
{ P  (S  ~T)}
Ésta NO es la respuesta correcta. Aunque por MPP entre la primer premisa del
conjunto y p podamos obtener ( ¬ T & R ) y por Simplificación tanto a ¬ T (segunda
parte de la conclusión a la que faltaría S) como a R, no hay manera de llegar a la s
faltante. Ni con r en la segunda premisa del conjunto, ni con p en la tercera en donde
con MPP obtendríamos justo la negación de nuestro objetivo.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta SÌ es la respuesta correcta. Con P y la segunda premisa del conjunto se obtiene
R por MPP y con la misma regla aplicada a la primer premisa del conjunto y a R, se
deriva (P→ ¬ ( S → T) ) ; como ya teníamos P, volvemos a aplicar un MPP y nos
quedamos con ¬ ( S → T) que equivale a (S & ¬ T ) por Definición del condicional
material y Doble negación, justo la conclusión a la que queríamos llegar.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. Podemos evidenciar la transitividad entre las tres
premisas del conjunto aplicándoles varios Silogismos Hipotéticos para obtener P→ S.
Con la premisa explícita P derivaríamos S y nos faltaría ¬ T, que no puede obtenerse.
Si en la primer premisa del conjunto aplicamos MPP, obtenemos S → T y con la S
llegaríamos a T, justo la negación de lo que nos falta.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. Sólo confundiendo el condicional con un
bicondicional y aplicando en reversa una especie de MPP que en realidad resultaría
inválido es como podría obtenerse la conclusión. Finalmente, con este conjunto de
premisas y P, no puede derivarse nada útil.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. Con P podemos aplicar un MPP para obtener ( S
→ ¬ T ), pero en ésta nueva fórmula no tenemos categóricamente ni a S ni a ¬ T con
lo que no pueden ponerse en conjunción como la conclusión lo pide.
BACHILLERATO: 22. LICENCIATURA: 29. MASTERS: 26.
PREGUNTA:
Asumamos que el símbolo “¢” es una conectiva de dos lugares que representa una disyunción exclusiva. Cuando
decimos que “P ¢ R” estamos diciendo “O bien P es verdadera, o bien R, pero no ambas”.
Considerando el conjunto de fórmulas Γ = {P ¢ Q, Q ¢ R, T ¢ S, R ¢ S} ¿Cuál de los siguientes conjuntos de
fórmulas en conjunción con Γ daría lugar a una contradicción?
La formalización de una disyunción exclusiva es equivalente a la negación de un bicondicional. Todo bicondicional
negado es equivalente a un bicondicional con uno de sus lados negado. En suma, un bicondicional con negaciones
nones sin importar el lado de la conectiva o si la afectan directamente a ella, nos da como resultado que las fórmulas
a los lados del bicondicional deben ser diferentes. Por poderse desglosar -cualquier bicondicional- como dos
condicionales, uno de ida y otro de regreso, tenemos por Modus Ponendo Ponens que la afirmación categórica de
cualquiera de los lados de un bicondicional negado dará el otro lado negado y si la afirmación categórica de uno de
sus lados está negada, dará el lado opuesto. Las opciones de respuesta ofrecen pares de afirmaciones atómicas
negadas o afirmadas categóricamente con las cuales se pueden hacer tantos MPP como hagan falta de izquierda a
derecha o de derecha a izquierda sobre la conectiva “¢” recordando de invertir el valor de verdad del lado obtenido.
Ayudará reordenar las fórmulas de la pregunta para ver con más claridad la solución y colocarlas en lugar de así:
Γ = { p ¢ q, q ¢ r, t ¢ s, r ¢ s }
Mejor así:
Γ = { p ¢ q, q ¢ r, r ¢ s s ¢ t, }
Recordemos también que las cuatro opciones que no son la respuesta correcta deben ser consistentes con el
conjunto A. La respuesta correcta debe arrojarnos una contradicción.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
11
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
{ q, ¬ t }
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
{ s, ¬ p }
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
{p,t}
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
{ ¬ s, q }
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
{ ¬ r, ¬ t }
BACHILLERATO: 23.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. Aplicando todos los MPP pertinentes, la fórmula “q” nos
arroja ¬ p, ¬r que a su vez nos arroja s y s nos arroja ¬ t que es justo la otra fórmula que
se nos ofrece en la respuesta
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. “p” por MPP da por resultado ¬ q. A su vez ¬ q arroja r.
A su vez r arroja ¬ s quien arroja t manteniendo consistencia.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta SÍ es la respuesta correcta. ¬s por MMP da r y r por MMP da ¬ q que es inconsistente
con la q que se ofrece.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. ¬ r por MPP da s quien a su vez da ¬ t.
LICENCIATURA: 22.
PREGUNTA:
¿Cuál de las siguientes fórmulas es falsa dada la siguiente asignación de valores de verdad?
v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=V, v(S)=V.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
No es, la asignación de valores da verdadero.
(~(P  ~P) & ~Q) & ~(R  ~S)
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
No es, la asignación de valores da verdadero
P  (P  ~((R & S)  Q))
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
No es, la asignación de valores da verdadero
(R & P)  ((~R  ~P)  (~Q & S))
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Esta es la respuesta. La asignación hace falsa a la fórmula.
(P  (Q  (R  S)))  (P  Q)
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
No es, la asignación de valores da verdadero
(S  P)  ~(Q  R)
BACHILLERATO: 24.
PREGUNTA:
¿Qué fórmula, que contenga sólo negaciones y disyunciones, es equivalente a la siguiente: (P ≡ Q)?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción a) es verdadera.
(P  Q)  ( Q  P)
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
 (P  Q)  ( Q  P)
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
(P  Q)   ( Q  P)
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
 (P  Q)   ( Q  P)
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
(P  Q)  (Q  P)
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción b) es verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción c) es verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
Esta es la respuesta correcta. Prueba por equivalencias.
La fórmula original es equivalente a la negación de la conjunción de “P entonces Q” y “Q
entonces P”. Aplicando Ley de Morgan queda la negación de “P entonces Q” o la negación
de “Q entonces P”. Y aplicando implicación material a ambos condicionales queda la
respuesta.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción e) es verdadera.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
12
BACHILLERATO: 25.
PREGUNTA:
¿Cuál de las siguientes formalizaciones no es adecuada para el siguiente argumento?
Peter ama a Gwen. Pero, si Peter ama a Gwen, ella correrá peligro y tarde o temprano morirá. Ergo, Gwen tarde
o temprano morirá.
Diccionario: P: Peter ama a Gwen, Q: Gwen correrá peligro, R: Gwen tarde o temprano morirá.
Todas las opciones excepto la e) son equivalentes.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
1. P
2. P  (Q & R)
/ R
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
1. P
2. (P  Q) & (P  R)
/ R
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
1. P
2. P  ~(~Q  ~R)
/ R
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
1. P & (P  (Q & R))
/ R
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
1. P
2. P  (Q  R)
/ R
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Sí es adecuada a lo que dice el argumento.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Sí es adecuada a lo que dice el argumento.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Sí es adecuada a lo que dice el argumento.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Sí es adecuada a lo que dice el argumento.
JUSTIFICACIÓN:
Es la respuesta. No es una formalización adecuada para el
argumento porque la segunda premisa es un condicional cuyo
consecuente es una disyunción; y en el argumento esos últimos
elementos están en una conjunción.
BACHILLERATO: 26. LICENCIATURA: 26.
PREGUNTA:
¿Cuál de las siguientes asignaciones de valores de verdad muestra que el siguiente argumento es inválido?
1. (P  R) (R & P)
2. ~R  Q
3. ~(~Q  Q)
/ ~P
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
v(P)=F, v(Q)=V, v(R)=V.
Ésta no es la respuesta, la asignación no hace que las premisas sean
verdaderas y la conclusión sea falsa.
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=V.
Ésta es la respuesta, la asignación hace que las premisas sean verdaderas y la
conclusión sea falsa.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
v(P)=V, v(Q)=V, v(R)=F.
Ésta no es la respuesta, la asignación no hace que las premisas sean
verdaderas y la conclusión sea falsa.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
13
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
v(P)=F, v(Q)=F, v(R)=F.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta no es la respuesta, la asignación no hace que las premisas sean
verdaderas y la conclusión sea falsa.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta no es la respuesta, la asignación no hace que las premisas sean
verdaderas y la conclusión sea falsa.
BACHILLERATO: 27. LICENCIATURA: 28.
PREGUNTA:
28. Hugol quiere saber quién ganará el mundial de futbol; así que va con el oráculo del deporte, para que le dé sus
pronósticos. El oráculo le dice: Si España no gana o México gana, entonces Alemania gana. Si Francia no gana,
entonces España no gana. Si Holanda gana, entonces Brasil gana. No es el caso que: Holanda gana o Francia
gana. Como Hugol es un experto en lógica, inmediatamente supo quien ganaría. De acuerdo a lo dicho por el
oráculo y considerando que solo un equipo puede ganar, ¿quién gana el Mundial?
Diccionario: E: España gana. M: México gana. A: Alemania gana. F: Francia gana. H: Holanda gana. B: Brasil
gana.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
México
No se sigue. Con la asignación de valores v(F)=V, v(E)=V, v(M)=F, v(A)=V,
v(H)=F v(B)=V, se demuestra que esta opción no se deriva de las premisas.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Francia
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Brasil
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
España
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Alemania
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Con la asignación de valores v(F)=F, v(E)=F, v(M)=F, v(A)=V,
v(H)=F v(B)=V, se demuestra que esta opción no se deriva de las premisas.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Con la asignación de valores v(F)=F, v(E)=F, v(M)=F, v(A)=V,
v(H)=F v(B)=F, se demuestra que esta opción no se deriva de las premisas.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Con la asignación de valores v(F)=F, v(E)=F, v(M)=F, v(A)=V,
v(H)=F v(B)=F, se demuestra que esta opción no se deriva de las premisas.
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta correcta.
Prueba por deducción natural:
1.
(~E v M)  A Premisa
2.
~F  ~E
Premisa
3.
HB
Premisa
4.
~(H v F)
Premisa
5.
~H & ~F
Ley de Morgan 4
6.
~H
Simplificación 5
7.
~E
Ponendo ponens 2, 6.
8.
~E v M
Adición 7.
9.
A
Ponendo Ponens 1, 8.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
14
BACHILLERATO: 28.
MASTERS: 14.
PREGUNTA:
En cierta comunidad todo acusado de haber cometido un delito es juzgado por cuatro jueces quienes determinan si
éste es condenado o absuelto. De los jueces se sabe que el juez A siempre se ajusta a la solución del anterior, el juez
B siempre contradice la resolución del anterior, el juez C siempre concede la absolución, y el juez D siempre
condena cuando él es el primero en emitir su resolución, y absuelve cuando es el último; si no es el primero o el
último, a veces condena y a veces absuelve. Con respecto al juicio se sabe que el orden en que los jueces emiten su
resolución es determinado por medio de un sorteo, y que se concede definitivamente la absolución si y sólo si al
menos tres jueces resuelven absolver. ¿Cuál de los siguientes sorteos no permite determinar si el acusado será
condenado o absuelto?
Preámbulo de la Justificación
Es importante notar que dado que es una condición necesaria y suficiente que tres de los cuatro jueces resuelven
absolver al condenado para conceder la absolución definitiva, entonces bastará que en un caso concreto dos jueces
condenen al acusado para que se niegue la absolución definitiva.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Juez D, juez B, juez C, juez A Este sorteo conduce necesariamente a la absolución del acusado. Dado que el Juez
D es el primero en emitir su resolución, condenará al acusado (pues siempre lo
hace), en tanto que el Juez B, quien es el segundo en resolver, contradirá la
resolución del anterior, de modo que resolverá absolver al acusado. Dado que el
juez C siempre absuelve, entonces también absolverá al acusado. Finalmente el
juez A absolverá al acusado pues siempre hace lo mismo que el anterior.
Tenemos, entonces, que se ha resuelto en tres casos absolver al acusado y estamos
seguros de que esa será la resolución.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Este sorteo conduce necesariamente a la absolución del acusado. Dado que el Juez
Juez C, juez A, juez B, juez D. C es el primero en emitir su resolución, absolverá al acusado (pues siempre lo
hace), y puesto que el juez A siempre se ajusta a la resolución del anterior,
entonces también absolverá al acusado. El juez B, quien resuelve en tercer lugar,
contradirá la resolución del anterior, de modo que resolverá condenar al acusado.
Finalmente el juez D resolverá absolver al acusado.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Este sorteo no conduce necesariamente a la condena del acusado. Dado que el
Juez C, juez D, juez B, juez A. Juez C es el primero en emitir su resolución, absolverá al acusado (pues siempre
lo hace). Del juez D sabemos que resolverá condenar si es el primero en el sorteo,
pero resolverá absolver si es el último en el sorteo, sin embargo nada sabemos
sobre su comportamiento cuando es el segundo en el sorteo. De este modo,
tenemos dos casos:
Caso 1. El juez D condena al acusado.
Si el juez D condena al acusado, entonces el juez B contradirá esta resolución
absolviendo al acusado. Finalmente, en juez A se ajustará a este dictamen y
absolverá también al acusado. De modo que resultan tres absoluciones y sólo una
condena, lo cual es suficiente para conceder la absolución definitiva.
Caso 2. El juez D absuelve al acusado.
Si el juez D absuelve al acusado, entonces el juez B contradirá esta resolución
condenando al acusado. Finalmente, en juez A se ajustará a este dictamen y
condenará también al acusado. De modo que resultan dos absoluciones y dos
condenas, lo cual es suficiente para no conceder la absolución definitiva.
Siendo esto así, podemos concluir a partir de este sorteo que el acusado será
condenado o no lo será. Por lo tanto, esta es la respuesta correcta.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Este sorteo conlleva necesariamente a la condena del acusado. Dado que el juez C
siempre concede la absolución, absolverá al acusado. El juez B contradirá esta
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
15
Juez C, juez B, juez A, juez D.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Juez D, juez B, juez A, juez C.
resolución, condenando al acusado. El juez A, por su parte, se ajustará a la
resolución del anterior, condenando al acusado. Finalmente, dado que el juez D
resolvió al final, absolverá al acusado. Tenemos, pues, dos condenas y dos
absoluciones con lo cual se establecerá condenar al acusado.
JUSTIFICACIÓN:
Este sorteo conlleva necesariamente a la absolución del acusado. Dado que El juez
D es el primero en resolver, condenará al acusado. El juez B contradirá esta
resolución, absolviendo al acusado. El juez A, por su parte, se ajustará a la
resolución del anterior, absolviendo al acusado. Finalmente, el juez C, como
siempre lo hace, absolverá al acusado. Tenemos, en suma, tres absoluciones.
BACHILLERATO: 29.
PREGUNTA:
Si el conjunto de proposiciones { P v R, ~ P v ~ R } lo unimos con el conjunto que tiene como única proposición { R S}, ¿Qué
podemos derivar con validez de las tres proposiciones juntas?
Preámbulo de la Justificación
El conjunto { P v R, ~ P v ~ R} es equivalente a una disyunción exclusiva, pues la segunda proposición es equivalente a
~ (p&r). De tal modo, la disyunción exclusiva entre P y R es equivalente a
(~P  R). Al unir { RS} puede hacerse el Silogismo Hipotético que resulta en la respuesta correcta. ~ P  S.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
NO ES respuesta correcta. P llevaría a ~ R y esto no lleva a S, sino a través de una falacia
PS
de afirmación de antecedente.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
NO ES respuesta correcta. S no es categórica.
~R  S
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
NO ES respuesta correcta. P llevaría a ¬ R y entre R y s no hay bicondicional.
P  ~S
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
R ~S
JUSTIFICACIÓN:
NO ES respuesta correcta. No tendría nada que ver con el primer conjunto de proposiciones
y del segundo no se sigue.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
SÌ ES la respuesta correcta. ~P llevaría a R y R llevaría a S con un ponendo ponens.
~P  S
BACHILLERATO: 30.
PREGUNTA:
30. ¿Cuál de las siguientes fórmulas en cálculo proposicional es equivalente a la que expresa el diagrama?
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
16
Preámbulo de la Justificación
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
(P v ~Q) v ((R v S)& ~T)
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
(P &Q) v ((R v S)& ~T)
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
(~P & ~Q) v ((R v S)&T)
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
(~P v ~Q) v ((~R v S)& ~T)
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
a) ~ (P v ~Q) v ((R v S)& ~T)
Esta es la respuesta correcta. Es equivalente a la fórmula del diagrama
haciendo una ley de Morgan a la primera parte de la disyunción.
JUSTIFICACIÓN:
No es respuesta. No está la negación de P y la negación del primer disyunto.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Falta la negación del primer disyunto y Q no debe ir
negada. T debe ir negada.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. P no debe ir negada; y R tampoco.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Falta la negación de P, Q no debe ir negada, y en el
primer disyunto el conectivo principal debe ser conjunción.
LICENCIATURA: 2.
PREGUNTA:
2. ¿Cuál de las siguientes opciones se sigue del siguiente conjunto de premisas?
{P  (P  (R  S)), S  T, Q  R}
Preámbulo de la Justificación
De P(P(RS)) es equivalente a la conjunción de P y RS.
Para mostrar que una fórmula no se sigue hay que dar una asignación de valores de verdad que hagan
verdaderas a las fórmulas del conjunto y falsa a la opción que se está evaluando
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta. Valuación que lo muestra:
PS
v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F, v(S)=F, v(T)=F.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta. Valuación que lo muestra:
~TR
v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F, v(S)=F, v(T)=F.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
QT
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
P(QS)
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
(RS)(TQ)
JUSTIFICACIÓN:
Correcta. Ninguna asignación hace verdaderas a las fórmulas del
conjunto y falsa a esta opción.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta. Valuación que lo muestra:
v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=V, v(S)=V, v(T)=V.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta. Valuación que lo muestra:
v(P)=V, v(Q)=F, v(R)=F, v(S)=F, v(T)=V.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
17
LICENCIATURA: 3. MASTERS: 9.
PREGUNTA:
Sea  la constante falsedad, es decir,  siempre tiene el valor de verdad falso. ¿Cuál de las siguientes fórmulas es
equivalente a (P  T) & ~T?
Preámbulo de la Justificación
La fórmula es equivalente a ~P~T
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
((P)T)
JUSTIFICACIÓN:
Correcta, sí es equivalente.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
~(PT)~T
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, no es equivalente.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
((PT))  ~T
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
(T)((PT))
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, no es equivalente.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, no es equivalente.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
(P(PT))
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, no es equivalente.
LICENCIATURA: 4.
PREGUNTA:
Suponga que Paquita la del Barrio, Paulina Rubio y Lupita D’alessio son sospechosas de evasión de impuestos.
Ellas dan testimonio bajo juramento como sigue:
Paquita: Paulina es culpable pero Lupita no.
Paulina: Si Paquita es culpable, entonces también Lupita lo es.
Lupita: Soy inocente, pero al menos una de las otras es culpable.
Suponiendo que la(s) inocente(s) dijo(eron) la verdad y la(s) culpable(s) mintió(eron), ¿quien(es) es(son)
inocente(s) y quien(es) es(son) culpable(s)?
Preámbulo de la Justificación
Supongamos que P denota “Paquita es inocente”; A denota “Paulina es inocente” y L denota “Lupita es
inocente”, entonces tenemos que en las siguientes tablas:
P
A
L
Conjunción que debería ser verdadera por la hipótesis
Valor de verdad
V
V
V
F
(~AL)(~P~L)(L(~P~A))
V
V
F
F
(~AL)(~P~L)~(L(~P~A))
V
F
V
F
(~AL)~(~P~L)(L(~P~A))
V
F
F
F
(~AL)~(~P~L)~(L(~P~A))
F
V
V
F
~(~AL)(~P~L)(L(~P~A))
F
V
F
V
~(~AL)(~P~L)~(L(~P~A))
F
F
V
F
~(~AL)~(~P~L)(L(~P~A))
F
F
F
F
~(~AL)~(~P~L)~(L(~P~A))
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Todas son inocentes.
Respuesta Incorrecta. Si todas fueran inocentes la conjunción de lo que dijeron debería
ser verdadero, pero vemos en la tabla que es falso.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Todas son culpables.
Respuesta Incorrecta. Si todas fueran culpables, la conjunción de las negaciones de sus
testimonios debía ser verdadera, pero es falsa.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Paquita y Lupita son culpables pero Respuesta Correcta. Si Paquita y Lupita son culpables y Paulina inocente, la conjunción
Paulina es inocente.
del renglón 6 en la tabla, debería ser verdadero. Vemos que sí lo es, por tanto esta es la
respuesta correcta.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Paquita y Lupita son inocentes pero Respuesta Incorrecta. Si Paquita y Lupita son inocentes, pero Paulina es culpable, la
Paulina es culpable.
conjunción de la tabla en el renglón 3 debería ser verdadera, pero vemos que es falsa.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
18
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Lupita es inocente pero Paquita y
Paulina son culpables.
LICENCIATURA: 6.
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta Incorrecta. Si Lupita es inocente pero Paquita y Paulina son culpables, la
conjunción del renglón 7 de la tabla debería ser verdadera, pero es falsa.
MASTERS: 4.
PREGUNTA:
¿Qué no se sigue del siguiente conjunto de oraciones?
Es falso que: Hay actos injustos que son castigados. Es falso que: Hay actos justos que son recompensados. Es
falso que: Todos los actos injustos provocan dolor. Es falso que: Todos los actos justos provocan placer.
Preámbulo de la Justificación
Las oraciones de la preguntan son equivalentes a: Todo acto injusto no es castigado. Todo acto justo no es
recompensado. Existe un acto injusto que no provoca dolor. Existe un acto justo que no provoca placer.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Hay actos injustos que ni provocan Incorrecto, sí se sigue; pues por la primer premisa sabemos que ningún acto
dolor ni son castigados.
injusto es castigado, y por la premisa tres sabemos que algunos actos injustos no
provocan dolor.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Hay actos justos que provocan
Correcto, NO se sigue. De las premisas no se puede determinar que hay actos
placer pero no son recompensados. justos que provocan placer.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Todo acto injusto que provoca dolor Incorrecto, sí se sigue; pues por la por la primer premisa sabemos que ningún
no es castigado.
acto injusto es castigado.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Hay actos justos que ni provocan Incorrecto, sí se sigue. Pues por la segunda premisa sabemos que ningún acto
placer ni son recompensados.
justo es recompensado y por la cuarta premisa sabemos que hay actos justos que
no provocan placer.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Todo acto justo que provoca placer Incorrecto, sí se sigue. Pues por la segunda premisa sabemos que ningún acto
no es recompensado.
justo es recompensado.
LICENCIATURA: 7. MASTERS: 7.
PREGUNTA:
¿Cuál de las siguientes fórmulas es equivalente a la negación de: Soy feliz si y solo si soy una lombriz?
a) No soy feliz o soy una lombriz; o no soy una lombriz o soy feliz.
b) No soy una lombriz o no soy feliz; o no es cierto que: no soy feliz o no soy una lombriz.
c) Soy feliz o soy una lombriz; o no es cierto que: soy una lombriz o soy feliz.
d) No es cierto que: no soy feliz o soy una lombriz; o no es cierto que: no soy una lombriz o soy feliz.
e) No soy feliz o soy una lombriz; o, no soy una lombriz o soy feliz..
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción a) es verdadera.
(P  Q)  ( Q  P)
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
 (P  Q)  ( Q  P)
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
(P  Q)   ( Q  P)
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción b) es verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción c) es verdadera.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
 (P  Q)   ( Q  P)
Esta es la respuesta correcta. Prueba por equivalencias.
La fórmula original es equivalente a la negación de la conjunción de “P entonces
Q” y “Q entonces P”. Aplicando Ley de Morgan queda la negación de “P entonces
Q” o la negación de “Q entonces P”. Y aplicando implicación material a ambos
condicionales queda la respuesta.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
19
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
(P  Q)  (Q  P)
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando P y Q son falsas; el bicondicional es falso, y la opción e) es verdadera.
LICENCIATURA: 8. MASTERS: 27.
PREGUNTA:
Sea Γ un conjunto de fórmulas, y α, β y φ tres fórmulas cualesquiera. Suponga que Γ, β ⊨ α. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones no se sigue?
Las respuestas se siguen de principios básicos de metalógica.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
Γ⊨β⊃ α
JUSTIFICACIÓN:
Se sigue por deducción.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Γ⊨αv¬β
JUSTIFICACIÓN:
Se sigue por equivalencia lógica de la opción a.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Γ, β, ¬ α ⊨ φ
JUSTIFICACIÓN:
Se sigue porque {Γ, β, ¬ α} es insatisfacible.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Γ, α ⊨ β
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue, se ve claramente en el caso en que Γ = {p}, α=q, β =r.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Γ, β, φ ⊨ α
JUSTIFICACIÓN:
Se sigue por monotonicidad dado que Γ, β ⊨ α.
LICENCIATURA: 10. MASTERS: 21.
PREGUNTA:
¿Cuál es la negación de la siguiente fórmula? x(Sx  y(Py & x=y))
JUSTIFICACIÓN:
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
x(Sx & y(Py  x≠y))
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
x(~Sx  y(Py & x=y))
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
x(Sx v y(Py  x≠y))
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
xy(~Sx  (Py & x=y))
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
xy(~ (Py & x=y)  Sx)
~x(Sx  y(Py & x=y)) Premisa
x ~( Sx  y(Py & x=y)) Equivalencia 1
x ~ (~Sx v y(Py & x=y)) Implicación material 2
x (Sx & ~y(Py & x=y)) Ley de Morgan 3
x (Sx & y~(Py & x=y)) Equivalencia 4
x(Sx & y (~Py v x≠y)) Ley de Morgan 5
7.
x(Sx & y(Py  x≠y)) Implicación material 6
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. La negación de la fórmula original es el existencial de una
conjunción y esta fórmula es la universalización de una disyunción.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. La negación de la fórmula original es el existencial de una
conjunción y esta fórmula es el existencial de una disyunción.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Esta fórmula no es equivalente a la negación de la fórmula
original.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Esta fórmula no es equivalente a la negación de la fórmula
original.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
20
LICENCIATURA: 11. MASTERS: 5.
PREGUNTA:
¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración?
Todos los hombres son felices, a menos que haya más de un monstruo.
Dominio de discurso: Los seres humanos y los monstruos.
Diccionario: Sx: x es un ser humano, Fx: x es feliz, Mx: x es un monstruo.
Preámbulo de la Justificación
El “a menos que” indica una disyunción o un condicional con el antecedente negado. En este caso el antecedente
dice que no existe más de un monstruo (es decir, no es cierto que existen por lo menos dos). El consecuente dice
que todos los hombre serán felices.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
~xy(~x=y z(Mz (x=z  y=z))) xFx
Incorrecta, pues el antecedente dice que no existen
exactamente 2 monstruos y el consecuente dice que todos
(incluyendo a los monstruos) son felices.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues la conectiva principal es una conjunción.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
~xy(~x=y (Mx  My)) x(Sx Fx)
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
~xy(~x=y z(Mz (x=z  y=z))) x(Sx Fx) Incorrecta, pues el antecendente dice que no existen
exactamente 2 monstruos.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Correcta.
~xy(~x=y (Mx  My)) x(Sx Fx)
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta,
pues
el
consecuente
dice que todos (incluyendo a
~xy(~x=y (Mx  My)) xFx
los monstruos) son felices.
LICENCIATURA: 13. MASTERS: 11.
PREGUNTA:
¿Qué expresión es equivalente a la negación lógica del siguiente enunciado? Si estoy en Puebla y no estoy en
Puebla, entonces estoy en México o no estoy en México.
Preámbulo de la Justificación
La fórmula propuesta es una tautología, pues el antecedente del condicional es una contradicción. En consecuencia,
la negación de la fórmula es una contradicción.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
Estoy en Puebla o no estoy en Puebla, y si
no estoy en México, no estoy en México.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Estoy en Puebla y no estoy en Puebla; o si
no estoy en México, estoy en México.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Estoy en Puebla o no estoy en Puebla; y si
estoy en México, estoy en México.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Estoy en Puebla o no estoy en Puebla; y si
estoy en México, no estoy en México.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Estoy en Puebla y no estoy en Puebla; y si
estoy en México, estoy en México.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando todas las fórmulas atómicas son
verdaderas; la fórmula es verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando todas las fórmulas atómicas son
verdaderas; la fórmula es verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando todas las fórmulas atómicas son
verdaderas; la fórmula es verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
No es la respuesta. Cuando todas las fórmulas atómicas son falsas; la
fórmula es verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
Esta es la respuesta. La fórmula es una conjunción cuya primera parte
es una contradicción; en consecuencia, la fórmula completa es una
contradicción.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
21
LICENCIATURA: 14.
MASTERS: 10.
PREGUNTA:
¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración?
Incluso si todos me odian, yo amaré a todos y cada uno de los seres humanos (dicho por Jacinto).
Dominio de discurso: Los seres humanos.
Diccionario: a: Jacinto, Oxy: x odia a y, Axy: x ama a y.
Preámbulo de la Justificación
La oración es equivalente a decir que Jacinto amará a todos los seres humanos.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
xO(x,a) xA(a,x)
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
xA(x,a)
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
xO(x,a) xA(a,x)
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
xA(a,x)
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
xO(x,a) xA(a,x)
LICENCIATURA: 16.
JUSTIFICACIÓN:
Es más débil que la afirmación original.
JUSTIFICACIÓN:
Dice que todos aman a Jacinto.
JUSTIFICACIÓN:
Es más débil que la afirmación original.
JUSTIFICACIÓN:
Correcta.
JUSTIFICACIÓN:
Es más débil que la afirmación original.
MASTERS: 15.
PREGUNTA:
Supongamos que tenemos un conjunto de fórmulas Γ { α } que es consistente. ¿Cuál de las siguientes opciones
tiene que ser verdadera?
Preámbulo de la Justificación
Se sigue que  es consistente, pero es posible que de  se siga Pero sabemos que no se sigue ~
pues para ellos {} debería ser inconsistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
╞
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
El conjunto de fórmulas {~} es inconsistente.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver el preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver el preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
El conjunto de fórmulas {~} es consistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
╞~
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
El conjunto de fórmulas  es inconsistente.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver el preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Correcto, ver el preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver el preámbulo.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
22
LICENCIATURA: 18.
MASTERS: 13.
PREGUNTA:
18. ¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración? Javier tiene más de un amigo, además de Martha.
Dominio de discurso: Los seres humanos. Diccionario: a: Javier, b: Martha, Axy: x es amigo de y.
Preámbulo de la Justificación
La oración debe indicar que Martha es amiga de Javier que hay dos personas que no son Martha que son amigas de
Javier.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
xy(~x=y (A(x,a)  A(y,a)))
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
xy(~x=y z(A(z,a)  (z=x  z=y)))
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
xy((~x=y (~x=b  ~z=b))(A(x,a)  A(y,a)))  A(b,a)
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
xy(~x=y (A(x,a)  A(y,a))) A(b,a)
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
xy((~x=y (~x=b  ~y=b)) z(A(z,a)  (z=x  z=y)))
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues no implica que Martha
sea amiga de Javier.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues dice que Javier sólo
tiene 2 amigos, y Javier tiene por lo
menos 3.
JUSTIFICACIÓN:
Correcta.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues no se indica que
Martha no es ni x ni y.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues implica que Martha no
es amiga de Javier.
LICENCIATURA: 19. MASTERS: 22.
PREGUNTA:
¿Qué se sigue de las siguientes premisas?: Todos los filósofos son dogmáticos y ningún matemático es empirista.
Pepe es filósofo y Juan no es empirista.
Preámbulo de la Justificación
Usando el diccionario: Fx: x es filósofo. Dx: x es dogmático. Mx: x es matemático. Ex: x es empirista. p:
Pepe. j: Juan.
1) ∀x(FxDx) Premisa
2) ∀x(Mx¬Ex) Premisa
3) Fp¬Ej
Premisa
4) Fp
Simplificación
5) ¬Ej
Simplificación
6) FpDp
Instanciación universal 1
7) Mj¬Ej Instanciación universal 2
8) Dp
Ponendo ponens 4, 6.
9) x(Dx)
Generalización existencial 8.
10) x(¬Ex)
Generalización existencial 9.
11) ¬¬x(Dx)
Doble negación 9.
12) ¬∀x(¬Dx)
Equivalencia de negación de cuantificadores.
13) ¬∀x(¬Dx) v x(Mx) Adición 12.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
23
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
No todos son matemáticos, aunque hay
alguien que es dogmático.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Si alguien no es filósofo, alguien no es
empirista.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Alguien es matemático y alguien no es
dogmático.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
No todos no son dogmáticos o alguien es
matemático.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Aunque alguien es un filósofo, alguien no
es un dogmático.
LICENCIATURA: 23.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Las premisas no permiten determinar si hay o no
matemáticos.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Las premisas no permiten determinar que alguien sea
empirista.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Las premisas no permiten determinar que hay
matemáticos y que hay alguien que no es dogmático.
JUSTIFICACIÓN:
Esta es la respuesta correcta. La prueba está en el preámbulo de la
justificación.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Las premisas no permiten determinar si hay alguien que
no es dogmático.
MASTERS: 25.
PREGUNTA:
Tenemos un argumento con la conclusión (xMx) y las premisas Pa y ~(xRx & xSx). ¿Qué conjunto de
fórmulas es necesario agregar a las premisas para que el argumento sea válido?
OPCIÓN
DE
JUSTIFICACIÓN:
RESPUESTA A)
{ Pb, Pc, ( ∀x Px → ∃x
Mx ) }
OPCIÓN
DE
RESPUESTA B)
{ ( ∀x Mx → ∃x Sx ),
¬ ∃x ¬ Rx, Ma → Ra }
OPCIÓN
DE
RESPUESTA C)
{ ∃x Sx, ∀x Rx  Mb,
∀x Px }
OPCIÓN
DE
RESPUESTA D)
{ (∃x ¬ Rx v ∀x ¬ Sx ),
( Pa & ∀x ¬ Sx ) →∃x
Mx}
Ésta NO es la respuesta correcta. Lo sería si el dominio de discurso fuera de tres individuos, pero el
dominio es irrestricto (infinito).
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. La segunda premisa equivale a decir que Todos en el dominio
tienen la propiedad R: ∀x Rx. Esto es irrelevante para la tercer premisa del conjunto pues una
instancia se encuentra en el consecuente del condicional y nada nuevo agrega o puede obtenerse
derivando.
Si aplicamos Ley De Morgan a la segunda premisa explícita, obtenemos ¬ ∀x Rx v ¬ ∃x Sx. Con
Doble Negación a la primer fórmula que hemos derivado podemos aplicar un Silogismo Disyuntivo y
quedarnos con ¬ ∃x Sx. Al llegar a este punto podemos aplicar un MTT a la primer premisa del
conjunto y obtener negado el antecedente: ¬ ∀x Mx que tampoco nos conduce a la conclusión.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. Si aplicamos Ley De Morgan a la segunda premisa explícita,
obtenemos ¬ ∀x Rx v ¬ ∃x Sx. Con Doble Negación a la primer fórmula del conjunto podemos aplicar
un Silogismo Disyuntivo y quedarnos con ¬ ∀x Rx. El bicondicional de la segunda premisa del
conjunto (∀x Rx  Mb) puede desglosarse en dos condicionales en conjunción:(∀x Rx → Mb) &
(Mb→∀xRx).Simplificando el segundo conyunto, puede aplicársele MTT junto con la última fórmula
obtenida del párrafo anterior y derivar ¬ Mb. Si quisiéramos generalizar existencialmente esta
fórmula, llegaríamos a ∃x ¬Mx, pero nunca a ∃x Mx.
JUSTIFICACIÓN:
Ésta NO es la respuesta correcta. La primer premisa del conjunto no es sino una equivalencia de la
segunda premisa explícita, resultado de aplicar Ley De Morgan ¬ ∀x Rx v ¬ ∃x Sx y equivalencia
entre cuantificadores en su versión sencilla; así que no agrega nueva información y ella es
insuficiente para derivar algo hacia la conclusión. La segunda premisa del conjunto promete llegar a
la conclusión con sólo tener una conjunción entre dos cosas que parecen estar a la mano: Pa que sí
tenemos entre las premisas explícitas y ∀x¬Sx que aunque se encuentra en la fórmula de la primer
premisa del conjunto, ahí aparece como un disyunto que jamás se obtendrá categóricamente pues no
tenemos la información para decir que todos tienen la propiedad R para de ese modo extraerle
mediante un Silogismo Disyuntivo. Decir que ∀x Rx equivaldría a decir que ¬∃x ¬Rx lo que
constituiría la negación del otro disyunto en que la fórmula faltante permanece atrapada.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
24
OPCIÓN
DE
RESPUESTA E)
{Sb, ∀x Rx  ¬ ∃x Tx,
Mc¬ (¬Pa v ¬∃z Tz)}
JUSTIFICACIÓN:
Ésta SÍ es la respuresta correcta. La segunda premisa explícita es equivalente por Ley De Morgan a:
¬ ∀x Rx v ¬ ∃x Sx . Con la primer premisa del conjunto: Sb, generalizamos existencialmente y
obtenemos ∃x Sx que con Doble Negación permite aplicar un Silogismo Disyuntivo a la equivalencia
antes obtenida de la segunda premisa explícita, resultando en ¬ ∀x Rx. Al tratarse de la negación
categórica del lado izquierdo de la equivalencia material de la segunda premisa del conjunto,
podemos obtener el tro lado de dicha equivalencia, pero negada a su vez: ∃x Tx, por Doble Negación.
Por su parte, la tercera premisa del conjunto tiene en el lado derecho del bicondicional una fórmula
que por Ley De Morgan equivale a: Pa & ∃z Tz. Este trozo de la premisa se puede obtener haciendo
una conjunción entre la primera premisa explícita y la última fórmula del párrafo anterior. Toda vez
que las variables “x” son equivalentes a las “z”. Con la conjunción categórica, puede obtenerse Mc
por MPP aplicado al bicondicional de derecha a izquierda (o a uno de sus condicionales
equivalentes). Por último, la Generalización Existencial de ésta fórmula nos arroja ∃x Mx, que es la
conclusión que queríamos.
LICENCIATURA: 24. MASTERS: 24.
PREGUNTA:
El historiador Octavio Krouza describe así la situación en la Nueva España: Todos los blancos (españoles
peninsulares y criollos) eran explotadores y dueños de medios de producción. No había ningún blanco pobre que
trabajara como sirviente, capataz o arriero. A su vez, todos los indios eran pobres. Y todos los indios trabajaban
como peones o comuneros. Ningún indio o negro era rico. Además existían indios y negros que no eran
discriminados de manera racista por los blancos. Pero el historiador Kike Some, dice que todas y cada una de las
afirmaciones de Krouza son falsas. Y sabemos que Some siempre dice la verdad.
De las siguientes opciones ¿Cuál sí se sigue de todo lo anterior?
Preámbulo de la Justificación
Dado que se ha dicho que todas las cosas afirmadas por el primer historiador son falsas, hay que convertir éstas
aseveraciones en sus negaciones para saber qué se sigue de ellas. Una vez hechas las conversiones tenemos la
siguiente información:
1)
Existían blancos (españoles, peninsulares o criollos) que no eran explotadores o no eran dueños de medios
de producción.
2)
Algunos blancos eran pobres y trabajaban como sirvientes, capataces o arrieros.
3)
Algunos indios no eran pobres.
4)
Algunos indios no trabajaban como peones ni como comuneros.
5)
Algunos indios o negros eran ricos
6)
Todos los indios y negros eran discriminados de manera racista por los blancos
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Ningún indio rico era discriminado de Esta opción no es la correcta. Porque se ha dicho que todos los indios
manera racista por los blancos pobres.
eran discriminados de manera racista por los blancos, sin importar si
eran ricos o no.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Algunos
blancos
pobres
eran Esta opción no es la respuesta correcta. Porque si bien se ha
discriminados de manera racista por mencionado que los indios eran discriminados por los blancos. No se
algunos indios ricos
ha dicho que los blancos fueran discriminados por los indios. Falta
información que permita llegar a ésta conclusión.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Algunos
indios
ricos
no
eran Esta opción no es la respuesta correcta. Porque se ha dicho que todos
discriminados de manera racista por los los indios eran discriminados de manera racista por los blancos, sin
blancos.
importar si eran ricos o no.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Algunos indios ricos eran discriminados Ésta opción es la respuesta correcta.
de manera racista por blancos pobres.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Todos los indios ricos discriminaban de Porque no hay información que permita saber si los indios
manera racista a los blancos pobres.
discriminaban de manera racista o no a los blancos.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
25
LICENCIATURA: 27.
PREGUNTA:
27. ¿Qué se sigue de las siguientes premisas?: Ningún festival de música es excluyente. Todo festival de música es
heterogéneo. Hay un festival de música que es cosmopolita.
Preámbulo de la Justificación
1)∀x(Fx ¬Ex)
Premisa
2)∀x(Fx Hx)Premisa
3)x(Fx  Ix) Premisa
4)Fa ¬ Ia Supuesto de instanciación existencial 3
5) Fa Simplificación 4
6) Fa ¬Ea Instanciación universal 1
7) Fa Ha Instanciación universal 2
8) ¬Ea Ponendo ponens 5, 6
9) Ha Ponendo ponens 5,7
10) Ha ¬Ea Conjunción 8,9
11) x(Hx¬ Ex)
Generalización existencial 10.
12) x(Hx ¬Ex) Instanciación existencial 11.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
Algo heterogéneo no es excluyente.
JUSTIFICACIÓN:
Esta es la respuesta. La prueba está en el preámbulo de la justificación.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Algo excluyente no es heterogéneo.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Nada heterogéneo es excluyente.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Algo cosmopolita es excluyente.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Algo excluyente no es cosmopolita.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Las premisas no permiten determinar que hay algo que es excluyente.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Las premisas no permiten determinar la relación entre lo heterogéneo y lo excluyente.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Las premisas no permiten determinar que hay algo que es excluyente.
JUSTIFICACIÓN:
No se sigue. Las premisas no permiten determinar que hay algo que no es cosmopolita.
LICENCIATURA: 30.
PREGUNTA:
 Los siguientes símbolos representan las operaciones lógicas conjunción, disyunción y negación
respectivamente.
Una bifurcación después de un punto grande indica
que en las líneas subsecuentes debe leerse la misma
proposición que se encuentra antes de dicho punto, esto es:
Considerando el siguiente diagrama:
¿Cuál expresión lógica es equivalente a la expresión que se obtiene del diagrama?
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
26
Preámbulo de la Justificación
Las expresiones lógicas pueden ser representadas a través de circuitos electrónicos digitales como son las
compuertas lógicas. Las compuertas responden a voltajes aplicados en sus entradas. Para un valor de 0 lógico se
emplea un rango de 0.2V-0.8V, mientras que para el 1 lógico el rango va de 2.4V-5V. Las entradas representan las
proposiciones primitivas en un sistema de lógica a través del cual se puede formar una tabla de verdad para analizar
proposiciones compuestas.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
(PQRS)
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
R&(PQS)
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
P&Q&R&S
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
PQRS
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
(P&Q&R&S)
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta Incorrecta. No es lógicamente equivalente a la expresión generada por el
diagrama de acuerdo a la demostración presentada en la justificación de la respuesta B.
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta Correcta. Empleando las Leyes de Lógica podemos obtener una expresión
lógicamente equivalente y simplificada a partir de la expresión generada por el diagrama.
((pq)&r)(r(q&s))
 (p&q&r)(r&(q&s))
 (p&q&r)(r&(qs))
 (p&q&r)(r&(qs))
 (p&q&r)(r&q)(r&s)
 (r &((p&q)q))(r&s)
 (r &(pq)(r&s)
 r &(pqs)
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta Incorrecta. No es lógicamente equivalente a la expresión generada por el
diagrama de acuerdo a la demostración presentada en la justificación de la respuesta B.
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta Incorrecta. No es lógicamente equivalente a la expresión generada por el
diagrama de acuerdo a la demostración presentada en la justificación de la respuesta B.
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta Incorrecta. No es lógicamente equivalente a la expresión generada por el
diagrama de acuerdo a la demostración presentada en la justificación de la respuesta B.
MASTERS: 1.
PREGUNTA:
¿Cuál de las siguientes opciones no se sigue del siguiente conjunto de premisas?
{P  Q, (R  P)  P, (R  ~P)  ~R}
Preámbulo de la Justificación
De (RP)P y (R~P)~R se sigue que P, como también tenemos que PQ, entonces también se sigue que Q.
Para mostrar que una fórmula no se sigue hay que dar una asignación de valores de verdad que hagan verdaderas a
las fórmulas del conjunto y falsa a la opción que se está evaluando.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
~(P~Q)
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
R  P
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
(Q  R)  R
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
(R  P)  R
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
(Q  P)  ~Q
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, es equivalente a PQ, por lo que sí se sigue.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, se sigue de (R~P)~R
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, se sigue de Q.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, se sigue de P.
JUSTIFICACIÓN:
Correcta, no se sigue. v(P)=V, v(Q)=V, v(R)=V.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
27
MASTERS: 3.
PREGUNTA:
Sea  la constante falsedad, es decir,  siempre tiene el valor de verdad falso. ¿Cuál de las siguientes fórmulas no
es equivalente a P  Q?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, sí es equivalente.
(P)Q
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
((P)~Q)
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
(Q)(P(P(Q)))
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
(PQ)Q
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
((PQ)Q)(((Q)P))
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, sí es equivalente.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, sí es equivalente.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, sí es equivalente.
JUSTIFICACIÓN:
Correcta, no es equivalente.
MASTERS: 6.
PREGUNTA:
Suponiendo que una y sólo una de las siguientes fórmulas es verdadera, ¿cuál es?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto,
pues
dice
que hay o una o dos personas
xyz((z=x  z=y)  Pz))
exactamente que cumplen con P. Si es verdadera, entonces
o es verdadera B o son verdaderas E y D.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, dice que hay exactamente uno. Si es verdadera,
xy(Py  x=y))
también lo es A.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
xyz((~x=y  (~x=z  ~y=z))(Px(Py  Pz))) Correcta, pues dice que hay por lo menos 3 cosas que
cumplen con P. Si es verdadera, todas las demás son falsas.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues dice que hay exactamente 2 objetos que
xy(~x=y  z((z=x  z=y)  Pz)))
cumplen P y es equivalente a E.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta,
pues
es
equivalente
a D.
xy((~x=y  (Px  Py))  z((z=x  z=y)  Pz))
MASTERS: 12.
PREGUNTA:
Un periodista llegó al islote de coral. Los habitantes de este islote siempre alternan una verdad y una mentira, una
verdad y una mentira, etc., y se dividen en tres grupos: los Corales que siempre inician con una verdad; los
Rosados que siempre inician con una mentira y los Salmones cuya primera respuesta puede ser una verdad o una
mentira. Un turista encontró a tres habitantes de la isla sentados alrededor de una mesa circular. Y le preguntó a
cada uno las mismas tres preguntas: ¿Cómo te llamas? ¿Cómo se llama el de la izquierda? ¿A qué grupo pertenece
el de la izquierda? Los nativos contestaron así:
Nativo A: 1) Marcos 2) Hindra
3) Rosado
Nativo B: 1) Hindra 2) Fantomas 3) Coral
Nativo C: 1) Marcos 2) Hindra
3) Rosado
¿A qué grupo pertenecía cada aborigen y, si lo hay, con qué inició sus respuestas el salmón (verdad o mentira)?
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
28
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
A es coral, B es rosado, C es
salmón e inició con una verdad
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
A es rosado, B salmón e inició
con una mentira, C es coral
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
A es salmón e inició con una
verdad, B es rosado, C es Coral
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
A es salmón e inició con una
mentira, B es rosado y C es
Coral
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción no es la correcta. Porque si A es Coral es rosado pero si C es
salmón e inicia con una verdad C se llama Marcos, pero B había dicho que se
llama Fantomas. Como B es rosado, inició con una mentira, de modo que al
decir el nombre de C debió responder con una verdad 
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción no es correcta. Si B es salmón e inicia con una mentira no se
llama Hindra. Pero A dijo que Bse llama Hindra y como se dice que es rosado,
esto debe ser verdad, pues fue su segunda respuesta. 
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción no es correcta porque si C es coral  inicia con una mentira  su
segunda respuesta es una verdad  A se llama Hindra. Pero Como A es salmón
e inició con una verdad A se llama Marcos 
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción no es correcta porque si A es salmón e inicia con una mentira su
tercera respuesta es una mentira también  B no es rosado y aquí se dice que sí
lo es 
JUSTIFICACIÓN:
A es rosado, B es salmón e Esta opción sí es la respuesta correcta. No lleva a ninguna contradicción. Como
inicia con una verdad, C es A es rosado B se llama Hindra y B no es rosado. Lo cual cuadra porque B
coral.
aquí es salmón. Como B es Salmón e inicia con una verdad  B se llama
Hindra, C no se llama Fantomas y C es coral. Y como C es coral su primera
respuesta es una verdad se llama Marcos, A no se llama Hindra y A es rosado.
No sabemos el nombre de A, pero esto no importa.
MASTERS: 17.
PREGUNTA:
Supongamos que tenemos un conjunto de fórmulas Γ y una fórmula α, tales que Γ {α} es consistente y Γ {~α}
es consistente. ¿Cuál de las siguientes opciones es falsa?
Preámbulo de la Justificación
Se sigue de la información que ni ni ~ se sigue de . Además, es consistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Existe un conjunto de fórmulas  tal que  y  Incorrecta, es verdadera. Considérese el caso en el que se agrega
es inconsistente.
a una contradicción.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta
es
verdadera
Considérese el caso en el que se agrega a
Existe un conjunto de fórmulas  tal que  y
 la fórmula .
es consistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, ver el preámbulo.
╞
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta,
ver
el
preámbulo.
El conjunto de fórmulas es consistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Correcta, es falsa. Ver el preámbulo.
╞~
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
29
MASTERS: 18.
PREGUNTA:
Suponga que los siguientes enunciados vienen en un libro de floricultura: Algunas flores son rojas. Todas las flores
son hermosas. Todo lo impresionante es rojo. Todas las rosas son rojas. Todas las rosas son flores. Algunas cosas
armoniosas son azules. Ninguna cosa impresionante es armoniosa. Algunas violetas son preciosas. Todas las
violetas son armoniosas. Ninguna cosa roja es azul. Hay cinco floristas que quieren presumir sus conocimientos y
para ello cada uno afirma tres cosas. ¿Cuál de ellos dice algo que o bien es falso o no es posible saber que se cumple
a partir de lo que dice el libro de floricultura?
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Gerardo: Ninguna cosa armoniosa es Estas afirmaciones se siguen del libro. El primer enunciado se deriva de
impresionante. Algunas violetas no son Ninguna cosa impresionante es armoniosa. Las violetas que no son
impresionantes. Algunas cosas rojas son impresionantes se deriva de Algunas violetas son preciosas, Todas las
flores.
violetas son armoniosas y Ninguna cosa impresionante es armoniosa. El
último enunciado se deriva de Algunas flores son rojas.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Estas afirmaciones se siguen del libro. El primer enunciado se deriva de
Ninguna cosa impresionante es armoniosa y de Algunas cosas armoniosas
son azules. Algunas violetas son armoniosas se deriva de Todas las violetas
son armoniosas y Algunas violetas son preciosas. El último enunciado es
equivalente a Todo lo impresionante es rojo.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
Andrea: Alguna cosa impresionante es Andrea se equivoca al decir que Alguna violeta es impresionante. Esto es
una rosa. Ninguna rosa es armoniosa. falso. Puesto que todas las violetas son armoniosas y nada impresionante
Alguna violeta es impresionante.
es armonioso, sabemos que ninguna violeta es impresionante, por tanto su
negación, el enunciado alguna violeta es impresionante es falso.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
Miguel: Ninguna cosa impresionante es Estas afirmaciones se siguen del libro. El primer enunciado se deriva de
azul. Algunas cosas azules son Todo lo impresionante es rojo y de Ninguna cosa roja es azul. El segundo
armoniosas. No es el caso que alguna enunciado se deriva de Algunas cosas armoniosas son azules. Y el último
violeta no sea armoniosa.
enunciado es equivalente a Todas las violetas son armoniosas.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Karen: Ninguna cosa azul es roja. El primer enunciado se deriva de Ninguna cosa roja es azul. El segundo se
Algunas cosas rojas son hermosas. deriva de Algunas flores son rojas y Todas las flores son hermosas. El
Ninguna rosa es no-flor.
último enunciado se deriva de Todas las rosas son flores.
Mariel: Alguna cosa armoniosa no es
impresionante. Algunas violetas son
armoniosas.
Todas
las
cosas
impresionantes son rojas.
MASTERS: 19.
PREGUNTA:
¿Cuál es la mejor formalización para la siguiente oración?
Nadie es más listo que Pedro, con la posible excepción de José.
Dominio de discurso: Los seres humanos.
Diccionario: a: Pedro, b: José, Lxy: x es más listo que y.
Preámbulo de la Justificación
La formula debe ser un condicional cuantificado universalmente. El antecedente debe seleccionar a todos menos a
José. El consecuente debe decir que los objetos seleccionados no son más listos que Pedro.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
x(~x=b L(x,a))
JUSTIFICACIÓN:
Correcta.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
30
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
x(~x=b L(x,a))  L(b,a)
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
x(~L(x,a) x=b)
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
x(x=b L(x,a))  L(b,a)
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
x(L(x,a) x=b)
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues la oración original no dice que pasa con José y esta
fórmula sí lo dice.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues dice que José es más listo que Pedro.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues dice que José es más listo que Pedro.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues dice que José no es más listo que Pedro.
MASTERS: 20.
PREGUNTA:
Supongamos que tenemos dos conjuntos de fórmulas, Γ y Δ, y una fórmula α, tales que Γ╞ α y Δ╞ ~α. ¿Cuál de las
siguientes opciones no puede ser verdadera?
Preámbulo de la Justificación
 es inconsistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
╞~
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecta, pues ser el caso si  es inconsistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
JUSTIFICACIÓN:
Si , entonces  es inconsistente. Incorrecta, es el caso pues en este caso = que es
inconsistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
JUSTIFICACIÓN:
El conjunto de fórmulas {~} es
Incorrecta, es el caso si ~.
consistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
JUSTIFICACIÓN:
El conjunto de fórmulas {~} es
Correcta, pues no puede ser caso, dado que ╞.
consistente.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
JUSTIFICACIÓN:
Si , entonces  es inconsistente. Incorrecta, pues ser el caso si  es inconsistente.
MASTERS: 23.
PREGUNTA:
Supongamos que estamos en la isla de los caballeros y de los bribones. En esta isla todos son o caballeros o
bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. Un visitante se encontró con tres
nativos, Cirilo, César y Carlos. El visitante sabía que por lo menos uno de ellos era bribón. Se dio el siguiente
diálogo.
Cirilo: Nunca he dicho que “Si soy un caballero, entonces César es un caballero.”
César: Carlos nunca ha dicho “Si soy un caballero, entonces César es un bribón”.
Carlos: Cirilo ha dicho “Carlos es caballero si y sólo si César es caballero.”
¿De qué tipo de persona se trata en cada caso?
Preámbulo de la Justificación
Cirilo es un caballero, pues si miente, entonces si ha dicho Si soy un caballero, entonces César es un caballero, pero
entonces sería un caballero que miente y eso es imposible. Si lo que dice César es falso, entonces Carlos ha dicho Si
soy un caballero, entonces César es un bribón. En consecuencia, Carlos sería un caballero y César un Bribón: Pero
si lo que dice César es cierto, entonces Carlos en bribón, pues hay por lo menos un bribón. De esto se sigue que
Carlos y César son de tipos diferente y la oración Carlos es caballero sii César es caballero es falsa. Por lo tanto,
Carlos miente cuando dice que que Cirilo ha dicho Carlos es caballero sii César es caballero. Por lo tanto, Carlos es
un bribón y César un caballero. Así, Cirilo es caballero, César es caballero y Carlos es un bribón.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
31
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
Cirilo: Caballero, César: Bribón, Carlos: Caballero.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Cirilo: Caballero, César: Caballero, Carlos: Bribón.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Cirilo: Bribón, César: Bribón, Carlos: Caballero.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Correcto, ver preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver preámbulo.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Cirilo: Caballero, César: Bribón, Carlos: Bribón.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Cirilo: Bribón, César: Caballero, Carlos: Bribón.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver preámbulo.
MASTERS: 28.
PREGUNTA:
24. ¿Cuál de las siguientes fórmulas no es lógicamente equivalente a la fórmula (~PQ) & ((P~Q)R)?
Preámbulo de la Justificación
Por la estructura de la fórmula anterior observamos que su tabla de verdad es de la forma:
P
V
V
V
V
F
F
F
F
Q
V
V
F
F
V
V
F
F
(PQ)(PR)(PQ)(QR)
(PQR)(PQR)
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
(PQ)(PR)(PQR)
R
V
F
V
F
V
F
V
F
(PQ)(PQR)?
V
V
F
F
V
F
V
V
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta incorrecta. Esta fórmula sí es equivalente. Se puede probar dividiendo la
tabla de la opción a) para que sea más manejable. Si hacemos solo las asignaciones
que dan como resultado falso (renglones 3,4 y 6 de la tabla anterior); como todas
involucran algún valor de falso y alguno de verdadero, siempre da como resultado dentro
de las conjunciones algún falso, las conjunciones son falsas, y la disyunción de las
conjunciones también. Por otro lado, con respecto a los renglones que dan como
resultado verdadero:
a) En el renglón 1, como todas las asignaciones son verdaderas, y en todas las
disyunciones hay alguna conjunción sin negaciones, alguna conjunción da verdadero, y
la disyunción también; por lo tanto, el resultado de ese renglón de la tabla da verdadero.
b) En el renglón 2, P y Q son verdaderas y R falsa. Esta combinación también dará
verdadero; pues en todos los casos, alguna conjunción da verdadero.
c) En el renglón 5, P es falsa; y Q y R son verdaderas. En consecuencia, la fórmula
PR es verdadera, lo que hace verdadero el primer lado de la disyunción, y con eso
basta para que el resultado sea verdadero.
d) En el renglón 7, P y Q son falsas; y R es verdadera. Con lo cual, PQ es
verdadera, y con eso basta para que toda la fórmula sea verdadera.
e) En el renglón 8, todas las asignaciones son falsas, así que la fórmula (PQR) es
verdadera, y con eso basta para que toda la fórmula sea verdadera.
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta incorrecta. Una simplificación de la Forma Normal Disyuntiva
correspondiente a la tabla de E, nos muestra que sí es lógicamente equivalente.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
32
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
(PQ)(PR)(PQ)(QR)
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
(PQR)(PQR)(PQR
)
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
(PQ)(PR)(RQ)
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta incorrecta. Si analizamos las tablas de cada una de las disyunciones
anteriores, observamos que
P Q R (PQ) (PR) (PQ) (QR)
V V V
V
F
F
V
V V F
V
F
F
F
V F V
F
F
F
F
V F F
F
F
F
F
F V V
F
V
F
V
F V F
F
F
F
F
F F V
F
V
V
F
F F F
F
F
V
F
Si unimos los resultados de esta tabla en disyunción, vemos que el resultado
corresponde con la tabla de E y por tanto es lógicamente equivalente.
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta incorrecta. La fórmula corresponde a la Forma Normal Conjuntiva
correspondiente a la tabla de la fórmula E. De ahí que sí es lógicamente equivalente.
JUSTIFICACIÓN:
Respuesta correcta. Basta observar por separado cada disyunción cuando P, Q y R
sean todas F (falsas), es claro que (PQ)(PR)(RQ) es F(falsa), mientras que E es
V (verdadera).
MASTERS: 29.
PREGUNTA:
29. Supongamos que estamos en la isla de los caballeros y de los bribones. En esta isla todos son o caballeros o
bribones. Los caballeros siempre dicen la verdad y los bribones siempre mienten. Un visitante se encontró con 2
nativos de los que no sabía nada, excepto sus nombres Sebastián y Sergio. El visitante quería saber si había o no
una función de cine a las 4. Se dio el siguiente diálogo.
Sebastián: Si Sergio es un caballero, hay una función de cine a las 4.
Sergio: Si Sebastián es un caballero, hay una función de cine a las 4.
El visitante lo pensó bien y se dio cuenta que todavía no podía saber si había o no función de cine a las 4. Entonces
los nativos hablaron de nuevo.
Sebastián: Si por lo menos uno de los dos es un bribón, entonces hay una función de cine a las 4.
Sergio: Eso es falso.
¿De qué tipo de persona se trata en cada caso? ¿Hay o no una función de cine a las 4?
Preámbulo de la Justificación
Usando la técnica antes descrita, lo dicho por los natives se puede formalizar como: K1(K2F),
K2(K1F), K1((~K1~K2)F), K2~((~K1~K2)F), donde K1: Sebastián es caballero, K2:
Sergio es Caballero y F: Hay una función de cine a las 4. Ese conjunto de fórmulas tiene como
consecuencia que ~K1, K2 y ~F. Por lo tanto, Sebastián es un bribón, Sergio es un caballero y No hay
una función de cine a las 4.
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
JUSTIFICACIÓN:
Sebastián es un caballero, Sergio es un bribón y sí hay función de cine a las 4.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
Sebastián es un caballero, Sergio es un bribón y sí hay función de cine a las 4.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
Sebastián es un bribón, Sergio es un bribón y no hay función de cine a las 4.
OPCIÓN DE RESPUESTA D)
Sebastián es un bribón, Sergio es un caballero y sí hay función de cine a las 4.
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
Sebastián es un bribón, Sergio es un caballero y no hay función de cine a las 4.
Incorrecto, ver preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Incorrecto, ver preámbulo.
JUSTIFICACIÓN:
Correcto, ver preámbulo.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
33
MASTERS: 30.
PREGUNTA:
30. Al diagramar circuitos digitales, los siguientes símbolos representan respectivamente las operaciones lógicas
NOT, ~A; OR, (AvB); AND, (A&B); y NAND, ~(A&B), que se expresa también de manera abreviada como
(A|B):
Para construir los circuitos se interconectan chips que implementan electrónicamente estas operaciones o
compuertas lógicas. Por lo regular cada chip contiene varias compuertas lógicas, pero todas son de un mismo tipo.
Así pues, usando chips que sólo tienen compuertas NAND, se requiere construir un circuito lógicamente
equivalente al representado en el diagrama inferior. ¿Qué expresión representaría tal implementación con la menor
cantidad posible de compuertas NAND? Considera que cuando en una expresión aparecen varias veces los mismos
operandos vinculados por el mismo operador, en un circuito se requiere solamente de una compuerta para ejecutar
dicha operación.
Preámbulo de la Justificación
El meollo del problema reside en que todo operador veritativo-funcional proposicional clásico pueda ser
expresado en términos de la barra de Scheffer A|B = ~(A&B), esto es, la compuerta lógica NAND. Las
equivalencias relevantes para el problema son:
~A = A|A
A&B = (A|B)|(A|B)
AvB = (A|A)|(B|B)
Para solucionar el problema se pueden hacer transformaciones sintácticas a la expresión booleana
correspondiente al circuito, (~A&B)v(A&~B), aplicando dobles negaciones, leyes de DeMorgan y la
equivalencia negación simple-scheffer. También se pueden evaluar las respuestas rápidamente usando
tablas de verdad. La operación lógica representada por el circuito se conoce como disyunción exclusiva
o compuerta XOR. Obtener la equivalencia es fácil pero se requiere agudeza para percatarse que una
de las expresiones requiere menos compuertas para ser implementada debido a que en ella se repite
una operación.
Examen Final XI Olimpiada Internacional de Lógica (Puebla 2014)
34
OPCIÓN DE RESPUESTA A)
((A|A)|(B|B))|(A|B)
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción NO es equivalente. Cuando intentamos obtener una expresión
similar a la orginal, con una disyunción de dos conjunciones, sólo se llega a
algo como esto; aquí las negaciones están distribuidas de otra manera:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
OPCIÓN DE RESPUESTA B)
((A|A)|B)|(A|(B|B))
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción es equivalente pero requiere físicamente 5 compuertas NAND
1.
2.
3.
4.
5.
OPCIÓN DE RESPUESTA C)
((A|B)|A) | ((A|B)|B)
((A|A)|(B|B))|(A|B)
(~A|~B)|(A|B) cambio negaciones simples
~(~A|~B)&(A|B) cambio notación
~(AvB)&(~Av~B) deMorgan
(~A&~B)&~(A&B) deMorgan
~(~(~A&~B)v(A&B)) doble neg y deMorgan
(~A&B)v(A&~B) expresión original
~((Av~B)&(~AvB)) doble neg y deMorgan
~(~(~A&B)&~(A&~B)) doble neg y deMorgan
~(~(~(A&A)&B)&~(A&~(B&B))) equivalencia de negaciones internas
con scheffer
((A|A)|B)|(A|(B|B)) simplificación notación
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción es la CORRECTA. Es equivalente y requiere físicamente 4
compuertas NAND; pues aunque en la expresión la barra de Scheffer
aparece 5 veces, se repite 2 veces la expresión (A|B); por lo cual se puede
ahorrar una compuerta al hacer la implementación física:
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OPCIÓN DE RESPUESTA D)
((A|B)|(A|B))|((A|B)|(A|B))
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción NO es equivalente. Tenemos aquí la conjunción negada de dos
conjunciones negadas.
~(~(A&B) & ~(A&B))
Si aplicamos de Morgan y doble negación para intentar obtener el circuito
original, obtenemos:
((A&B) v (A&B))
OPCIÓN DE RESPUESTA E)
((A|B)|(A|B))|((B|B)|(A|A))
JUSTIFICACIÓN:
Esta opción NO es equivalente. Tenemos aquí la conjunción negada de una
conjunción y una disyuncion.
~((A&B) & (BvA))
Si aplicamos de Morgan y doble negación para intentar obtener el circuito
original, obtenemos:
~(A&B) v ~(BvA)
Aplicando leyes de Morgan por segunda vez:
(~Av~B)v(~B&~A)
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