Relación entre Teoría de Campos y Teoría de Circuitos

Relación entre Teoría de
Campos y Teoría de
Circuitos
Campos y Ondas
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
ARGENTINA
CAMPOS Y ONDAS
Teoría de Campos y Circuitos
• Hemos visto un conjunto de ecuaciones que contienen el
núcleo de la teoría clásica del electromagnetismo
(Ecuaciones de Maxwell)
• Los conceptos, cuando se entienden, son simples aunque
puede haber dificultad matemática en la resolución de los
problemas.
• Las soluciones a menudo serán una buena aproximación
cuando el resultado exacto sea imposible.
• Siguiendo con ejemplos simples, consideraremos la
aplicación de las leyes de Campo para estudiar la relación
con los problemas de Circuitos.
• En la teoría clásica de circuitos se considera fuentes de
tensión o de corrientes aplicadas a interconexiones de
elementos simples tales como resistencias, capacidades e
inductancias.
• Las solución es por medio de las ecuaciones diferenciales.
• Para circuitos lineales con fuentes sinusoidales , el
poderoso método de los fasores provee una eficiente
herramienta de solución.
CAMPOS Y ONDAS
• Los circuitos actuales, especialmente en sistemas
modernos, incluyen no linealidades, elementos activos, no
recíprocos o variables en el tiempo.
• En alta frecuencia la mayoría de los elementos tienen
naturaleza distribuida.
• Los modernos circuitos integrados tienen elementos de
almacenaje de energía, unidades disipativas y partes
activas , construidas en el mismo cristal o depositadas en
una delgada capa de film sobre un substrato común.
• Para mucha de estas generalizaciones los modelos de
elementos concentrados pueden ser construidos y utilizar
la potencialidad del circuito equivalente en el análisis
cuantitativo o cualitativo.
• Aún siendo impráctico el modelo, la filosofía causa-efecto
que es central en el pensamiento de los circuitos es muy
útil en cualquier problema de fuentes de energía y
transferencias o reacción de ellas.
• Consideraremos relaciones de circuitos clásicos y las
ecuaciones de Maxwell.
• Vimos Aproximaciones de Campo para las resistencias de
alta frecuencia (efecto pelicular o SKIN)
• e inductancias y capacidades que almacenan energía.
CAMPOS Y ONDAS
Formulación del Concepto consistente con la Ecuaciones de Maxwell
Primera Ley de Kirchoff
En la teoría clásica de circuitos la primera Ley de Kirchoff establece que la
suma algebraica de corrientes en un nodo es igual a cero.
∑ In = 0
I
1
I
5
n =1
detrás de esta ley está la continuidad de corrientes
∂ρ
∇J = −
∂t
∂
J
.
ds
=
−
ρ .dv
∫∫
∫∫∫
∂t
Q
I
2
I
4
I
3
Si aplicamos esto a la superficie S la única corriente de conducción que llega es
a través de los conductores (cables) , esto es el lado izquierdo de la ec. El lado
derecho es la tasa de cambio negativa de la carga en el tiempo, si algo de
acumulación se produce en el nodo. Entonces podemos escribir
dQ
In = −
∑
dt
n =1
CAMPOS Y ONDAS
dQ
In = −
∑
dt
n =1
∑ In = 0
n =1
•
La comparación indican una aparente diferencia.
– En realidad sumamos una nueva rama a la primera Ley de Kirchoff
que es la corriente capacitiva , dQ/dt, esta existe si es que hay
acumulación de carga en la unión,
– la parte de la izquierda toma en cuenta las corrientes de
conducción y convección,
– SI se incluyen las corrientes de desplazamiento o capacitivas .
∑ Iconducción + Icapacitiva = 0
∑ Iconducción = −∑ Icapacitiva
n =1
n =1
I1
I2
Icapacitiva
CAMPOS Y ONDAS
n =1
Segunda Ley de Kirchoff.
• Lazos simple con elementos concentrados
•
En la teoría de circuitos, la segunda ley establece que la suma de tensiones alrededor
de un lazo debe ser igual a cero, equivalente a
Tensiones aplicadas=suma de caídas de tensiones alrededor del circuito
•Asumimos que la energía está totalmente
almacenada en las impedancias , así como
las pérdidas solo ocurren en Z1, Z2 y Z3.
• Estas representan inductores,
capacitores y resistores.
•Las pérdidas y la energía almacenada en
las interconexiones será despreciada.
CAMPOS Y ONDAS
•
La ley de Faraday puede ser expresada
para cualquier camino cerrado como
v∫ E.dl = −
∂
B.ds
∂t ∫∫
S
2
•La tensión entre dos puntos se definió como :
V21 = − ∫ E.dl
1
∑V = ∫∫ B.ds
n =1
n
S
Donde el lado izquierdo es a la suma de caídas
alrededor de la línea elegida
Consideremos la línea del lazo rectangular,
como asumimos que todas las energías están
almacenadas en los elementos concentrados, el
campo magnético dentro del lazo es cero
∑V
n =1
n
= − V0 + V1 + V2 + V3 = 0
V0 = V1 + V2 + V3
CAMPOS Y ONDAS
V0 = V1 + V2 + V3
• Lo cual es equivalente a la segunda ley de Kirchoff .
• Esto es un caso simple el cual es un circuito a bajas
frecuencias.
• Las leyes de Campo permiten arribar a las leyes de
tensiones en un circuito
• Examinaremos circuitos generales, identificando
expresiones de términos de campos con las
ecuaciones de circuitos.
• Las inductancias, capacidades e impedancias son
calculadas desde la teoría de campos.
CAMPOS Y ONDAS
Campos Aplicados y Densidades de corrientes resultantes
•
Importante relación que aparece en la teoría clásica de circuitos es
la ley de Ohm, la cual es relativa al flujo de corriente que
produce una caída de tensión en el conductor.
J = σ .E
tal como se aplica a un elemento infinitesimal
la densidad de corriente en un punto del conductor,
proporcional al campo eléctrico aplicado a través de la
constante conductividad
. eléctrico E es el campo total en el punto
El campo
Se superponen “Campos parciales”.
Esto es, en un circuito en el cual una tensión externa le ha sido aplicada
, las caídas de tensión por variación de corrientes y cargas del sistema
dejarán una cierta tensión neta disponible
para la caída de tensión óhmica.
CAMPOS Y ONDAS
Campos Aplicados y Densidades de corrientes resultantes
Entonces E puede ser construido con: E=Eo+Ei
• Eo aplicado desde otro sistema (generador externo)
• Ei producido por cargas y corrientes en el circuito considerado o
sistema considerado.
• Si todas las cargas y corrientes se incluyen en las ecuaciones, la
intensidad de campo eléctrico E que aparece en la ecuación debe ser la
intensidad total del campo.
• Si un sistema es considerado como un circuito y está influenciado por
otro sistema llamado generador o fuente de tensión aplicada o campo
aplicado al circuito, las ecuaciones de Maxwell deberían ser aplicadas a la
totalidad del sistema, incluyendo todas las cargas y corrientes del circuito
y su generador.
• Esto podría ser innecesariamente complicado, si el sistema generador
para los propósitos prácticos es independiente del circuito.
• Por ej. si el circuito obtiene su campo aplicado de la influencia de una
antena distante, una batería, una fuente térmica o un generador
de señal bien apantallado, es entonces fácil dividir en 2 partes bien
definidas el campo total.
• Hay un campo que no depende de las cargas y corrientes en el
circuito Eo
• Un campo inducido el cual queda determinado directamente por estas
cargas y corrientes del circuito. Ei
• Las leyes básicas aplicadas solamente a las cargas y corrientes del circuito
dan solamente las cantidades de campo inducido.
CAMPOS Y ONDAS
Campos Aplicados y Densidades de corrientes resultantes
E= Eo + Ei
GENERADOR
CIRCUITO
Antena lejana
R, L, C
Batería
Campo Inducido
por las CARGAS Y
CORRIENTES del
circuito
considerado
Generador
Apantallado
CARGAS Y
CORRIENTES
independientes
del CIRCUITO
CAMPOS Y ONDAS
Campos Aplicados y Densidades de corrientes resultantes
• El campo que debe ser usado en la ley de Ohm es el
campo total, la suma del aplicado más el inducido
J
σ
= (Eo + Ei )
• La componente Ei debida a las cargas y corrientes en
el circuito puede ser establecido convenientemente
en términos de los potenciales
∇xE = −
∇x(E +
CAMPOS Y ONDAS
∂∇xA
∂t
∂A
) = 0 = ∇x(GradU )
∂t
Ei = −
∂A
− ∇U
∂t
Campos Aplicados y Densidades de corrientes resultantes
•
Donde U es el potencial escalar calculado con las cargas del
sistema y A es el vector potencial calculado con las corrientes.
J
σ
= (Eo + Ei )
Ei = −
∂A
− ∇U
∂t
J
σ
= Eo −
Eo =
J
σ
∂A
− ∇U
∂t
+
∂A
+ ∇U
∂t
La ecuación es el típico caso de causa y efecto. Desde una tensión
aplicada resulta un término óhmico, y un término debido a cargas y
corrientes.
Es el primer paso para obtener una ecuación de circuito que relacione
“tensiones” y “corrientes” y está basada en la rigurosa teoría de Campos.
CAMPOS Y ONDAS
Tensiones Aplicados y relaciones de Circuito.
•Consideremos un grupo arbitrario de elementos de un lazo simple, (L,
C, R). Para cualquier punto sobre el camino la relación entre causa y
efecto puede ser tomada como derivada de las ecuaciones de Maxwell.
• Para obtener las ecuaciones del circuito es necesario solamente
integrar la expresión diferencial a lo largo del camino elegido como
circuito
•El primer término está definido como la tensión aplicada al circuito
•El sentido está definido de tal forma que la tensión aplicada al circuito
es positiva en el Terminal 1 con respecto al 4 cuando se produce una
corriente que fluye dentro del circuito desde 1 por una resistencia pura
Eo =
J
σ
+
∂A
+ ∇U
∂t
∂A
Eo
.
dl
=
.
dl
+
∫1
∫1 σ
∫1 ∂t dl + ∫1 ∇U dl
4
4
4
J
(Vo )14 = ∫ Eo.dl
1
CAMPOS Y ONDAS
4
4
Tensiones Aplicados y relaciones de Circuito.
•
•
Para circuitos conteniendo un “Gap” de un capacitor si la corriente es
cero, la integración de la corriente a través del “gap” da cero Vcap=Vo
La integral del campo aplicado es igual a la integral del campo inducido.
4
4
1
1
∫ Eo.dl = ∫ ∇Udl
Caso de corriente continua.
La tensión de la batería causa el efecto de la corriente, y esta es la única
cosa que causa este efecto, ya que no hay campo eléctrico debido a
corrientes alternadas o cargas en las placas del capacitor.
4
4
∫ Eo.dl = ∫
1
CAMPOS Y ONDAS
1
J
σ
.dl
Tensiones Aplicados y relaciones de Circuito.
•
•
•
•
La teoría usual de circuitos diría que la batería aplica tensión entre
los puntos del lazo.
La teoría de Campo dice que primero la batería debe producir un
campo eléctrico en el conductor, de otra manera no habría
corriente fluyendo.
Las dos teorías armonizan cuando la tensión aplicada entre dos
puntos está definida como la integral del campo eléctrico aplicado
entre esos dos puntos.
A los conceptos de las ecuaciones de circuito no le concierne como
la batería causa la tensión, tampoco las ecuaciones de campo
consideran como se produce el campo aplicado.
I
Vo
V1
Eo
Vo=I.R
CAMPOS Y ONDAS
Ei
Eo+Ei=J/σ
J
Ei
Tensiones Aplicados y relaciones de Circuito.
•
•
•
•
•
•
Consideremos un lazo conductor,
tomemos un flujo magnético a
través de este lazo que produzca por
algún sistema independiente una
variación uniforme en el tiempo.
El efecto de esta tasa de cambio
produce una tensión aplicada
continua, por la ley de Ohm se
desarrolla un cierto flujo de
corriente continua.
E
Si el campo en el lazo está oscilando en el tiempo como un receptor de
antena excitado por un campo distante de la antena transmisora, la tensión
aplicada es la integral alrededor del lazo del campo eléctrico debido al
transmisor distante.
En el caso de producir una tensión aplicada mediante una batería, no
sabemos como se produce realmente, solo se sabe que resulta de una
cantidad independiente del camino elegido para el circuito.
Cuando la tensión aplicada proviene del campo de una antena distante,
depende del camino del circuito.
Es diferente para diferentes dimensiones, orientaciones y posición del circuito.
Entonces en general la tensión aplicada alrededor de cualquier lazo donde el
concepto de circuito es aplicado, puede variar radicalmente en magnitud con
diferentes lazos seleccionados, aunque la tensión sea de la misma fuente.
CAMPOS Y ONDAS
Tensiones Aplicados y relaciones de Circuito.
∂A
Eo
.
dl
=
.
dl
+
∫1
∫1 σ
∫1 ∂t dl + ∫1 ∇U dl
4
•
4
J
4
4
V0 = V1 + V2 + V3
La ecuación tiene la misma forma de la segunda ley de Kirchoff, si la integral
de la derecha se define como la caída de tensión alrededor del circuito.
Para frecuencias bajas, tal que las dimensiones del circuito sean pequeñas
comparadas con las longitudes de onda (parámetros concentrados y sin
radiación), se usan las siguientes definiciones:
•
4
∫ Eo.dl
= tensión
aplicada (1 tomado como Terminal +)
1
4
J
∫ σ dl
= caída de tensión en la impedancia interna del conductor R, Li
1
∂A
∫1 ∂t dl
4
= caída de tensión inductiva, inductancia externa Le
4
∫ ∇U dl
1
CAMPOS Y ONDAS
= caída de tensión capacitiva
Baja frecuencia , comparación con la longitud del circuito
CAMPOS Y ONDAS
La Impedancia Interna y el Término de baja frecuencia.
• Por baja frecuencia, se entiende que los circuitos son
pequeños comparados con la longitud de onda (longitud de
onda =velocidad de la luz/frecuencia).
– Las dos hipótesis básicas son:
– La corriente I es la misma en cualquier punto del
camino
– El retardo es despreciado al computar los potenciales A
y U (NO SE CONSIDERA TIEMPO DE VIAJE).
• La corriente NO se distribuye uniformemente sobre una
sección transversal del conductor, entonces la densidad no
puede ser encontrada fácilmente como en el caso de
corriente continua (EC. De DIFUSIÓN).
• Si se elige el camino de integración sobre la superficie del
conductor, el término J/σ da el valor del campo eléctrico
en la superficie Es.
• Si definimos la impedancia interna por unidad de longitud
como el campo en la superficie (tensión por unidad de
longitud) sobre la corriente total I
Zi= Es/I
CAMPOS Y ONDAS
4
4
4
Es
∫1 σ .dl = I .∫1 I .dl = I ∫1 Zi.dl = IZ .
•
•
•
•
J
La impedancia interna tiene una parte imaginaria y una parte real , ya que el
campo en la superficie no está en fase con la corriente total para circuitos de
alterna (Ver notas de Campos Variables en el tiempo)
La elección del camino de integración del circuito a lo largo de la superficie es
arbitraria, y podría haber sido hecho en otro lugar, por ej. en el medio del
conductor.
Pero debe ser tenido en cuenta en el mismo lugar para el tratamiento de cada
uno de los términos de la ecuación.
La elección a lo largo de la superficie es conveniente porque esto da la
separación entre “inductancia interna” e “inductancia externa” para muchas
formas simples.
CAMPOS Y ONDAS
El Término Inductivo a baja frecuencias
∂A
∫1 ∂t dl
4
Para el caso de circuitos pequeños comparados con la longitud de onda.
Para tales circuitos el tiempo necesario para propagar el efecto
electromagnético sobre toda la extensión del circuito es una despreciable
parte del período de la alterna, puesto que por definición de longitud de
onda es la distancia sobre la cual se propaga un período completo.
El retardo puede ser despreciado en el cálculo del vector A en las vecindades
del circuito. El vector A puede escribirse como
A = ∫∫∫
v
CAMPOS Y ONDAS
µJdv
4πr
El Término Inductivo a baja frecuencias
•
La densidad de corriente J puede ser escrita como el producto de la
corriente total I y alguna función vectorial dependiente de las coordenadas
de la sección transversal del conductor es decir f(x1,x2) entonces A es
proporcional a I , asumida constante la corriente alrededor del circuito.
A = I ∫∫∫
v
µ f ( x1, x 2)dv
4π r
•La integral multiplicada por I es una función de la geometría y de la
distribución relativa de la densidad de corriente .
• Entonces L es una función de la configuración del circuito, la
permeabilidad y la distribución relativa de la corriente
•pero no de la corriente total
será definida como
4
L=∫
1
∂A
d
dI
d
=
=
=
dl
LI
L
A.dl
(
)
∫1 ∂t dt ∫1
dt
dt
4
A.dl
I
v∫ A.dl = ∫∫ ∇xA.ds = ∫∫ B.ds
S
CAMPOS Y ONDAS
s
4
L=
∫∫ Bds
S
I
El Término Inductivo a baja frecuencias
L=
∫∫ Bds
S
I
d
d
dI
∂A
∫1 ∂t dl = dt ∫1 A.dl = dt ( LI ) = L dt
4
4
• La ecuación es la forma usual de definición de la inductancia a baja
frecuencia, la cual se define como el flujo concatenado por unidad
de corriente.
• Si la configuración del inductor es tal que el campo magnético se
limita a la región la bobina (entre los punto 1 y 2) solo entre estos
puntos se desarrolla esta tensión.
• Si no hay pérdidas y no hay cargas libres a lo largo de las bobinas
del arrollamiento entonces la tensión debería tener el valor dado
por, con la definición usual de inductancia L.
• El efecto pelicular y el efecto capacitivo introducen
importantes modificaciones a la relación tensión-corriente
para un inductor a moderadas y altas frecuencias.
• El incremento de las pérdidas causadas por el efecto pelicular puede
ser tomada en cuenta por el término de impedancia interna visto en
la sección previa.
• El punto es que el circuito exacto equivalente para un inductor a alta
frecuencia no es posible y el equivalente para alguna frecuencia
puede ser difícil de calcular.
CAMPOS Y ONDAS
El Término Capacitivo a baja frecuencias
•
•
•
•
Como reacción al campo aplicado, la carga libre es distribuida a lo largo
del circuito, particularmente en el Gap del capacitor cuando tal gap existe.
Todas las cargas sobre el circuito son consideradas como fuentes,
Se toma en cuenta el efecto del conductor sobre la distribución de campo
Las cargas pueden ser consideradas como distribuidas en el espacio libre y
el campo producido por las cargas puede ser encontrado usando la
integral apropiada.
U = ∫∫∫
v
CAMPOS Y ONDAS
ρdV
4πε .r
El Término Capacitivo a baja frecuencias
•El gradiente de este potencial es usado en el cálculo de la caída
de tensión capacitiva.
4
3
∫ ∇Udl = v∫ ∇U .dl − ∫ ∇U = 0 + U
1
2
− U3
2
4
2
∫ ∇Udl = v∫ ∇U .dl − ∫ Edl = 0 + U
1
2
− U3
3
La primera integral desaparece puesto que la
integral de línea cerrada de un gradiente es
cero. La segunda parte del lado derecho se
transforma en
U2-U3.
Si la capacidad parásita es despreciada entonces la carga significativa se
concentra en el Gap o discontinuidad, (Q sobre una placa y –Q sobre la otra). El
valor de U es proporcional a Q de modo que
Q
U 2 − U1 =
C
CAMPOS Y ONDAS
•
1/C es la constante de proporcionalidad.
•
La carga en la discontinuidad relativa a la corriente que fluye en el circuito
puede ser expresada como:
Q = ∫ I .dt
Entonces finalmente la caída de tensión capacitiva puede ser escrita como
4
3
1
U
dl
Idt
∇
=
∫1
∫
C2
CAMPOS Y ONDAS
•
•
•
Este es el usual término capacitivo en la teoría clásica de circuitos que
permite la definición de capacidad.
Si hay suficiente carga distribuida a lo largo del conductor en otros puntos
diferentes que en el gap, la variación en el tiempo de esta cargas
constituyen corrientes de desplazamiento las cuales fluyen en caminos
diferentes del circuito elegido.
En este sentido no es un simple lazo y la corriente ya no es más constante
alrededor del circuito.
CAMPOS Y ONDAS
Resumen
• Encontramos los términos incluidos en la resolución
clásica de circuitos de alterna de un lazo simple:
– la resistencia
– la inductancia (interna, considerando el efecto
skin),
– la inductancia externa
– el término capacitivo
• En terminos de ecuación diferencial y fasorial se
puede expresar con la siguiente expresión:
Vo(t ) = ( Li + Le)
dI (t ) 1
+ ∫ I (t ).dt + I (t ).R
dt
C
⎡
1 ⎤
Vo = I ⎢( R + jω Li ) + jω Le +
⎥
j
ω
C
⎣
⎦
CAMPOS Y ONDAS
= Ve( jωt +φ )
Vo