tema 1 Potencias y Raices Cuadradas

IES “Los Colegiales”
Matemáticas 1º ESO
Tema 1 Potencias y Raíces Cuadradas
TEMA 1: POTENCIAS Y RAICES CUADRADAS
1. POTENCIAS
Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación en la que todos los factores son
iguales.
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 Es una potencia.
La base es el factor que se repite (2), y el exponente, el número de veces que se repite (5).
2 · 2 = 22 → Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado».
4 · 4 · 4 = 43 → Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo».
3 · 3 · 3 · 3 = 34 → Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta».
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que
multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.
54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
1.1 Potencias Especiales
•
0 elevado a cualquier número siempre da 0
0a = 0
•
Cualquier número elevado a 0 siempre da 1
a0 = 1
•
“a” puede ser cualquier número natural que no sea 0
“a” puede ser cualquier número natural que no sea 0
1 elevado a cualquier número siempre da 1
1a = 1
•
Cualquier número elevado a 1 es ese mismo número
a1 = a
1.2 Potencias de base 10
101 = 10
102 = 10 · 10 = 100
103 = 10 · 10 · 10 = 1.000
104 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000
105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100.000
106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1.000.000
Para calcular una potencia de base diez se escribe la unidad (1) seguida de tantos ceros
como indique el exponente.
Fco. Javier Sánchez García
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1.3 Operaciones con potencias
1.3.1 Producto de potencias de la misma base
72 · 74 · 73 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 79
72 · 74 · 73 = 72 + 4 +3 = 79
Para calcular el producto de potencias que tienen la misma base se pone la misma base
y se suman los exponentes.
1.3.2 Cociente de potencias de la misma base
28 : 25 = 28 – 5 = 23
Para calcular el cociente de potencias que tienen la misma base se pone la misma base y
se restan los exponentes.
1.3.3 Potencia de una potencia
( 52)4 = ( 5 · 5 )4 = 5 · 5 · 5 · 5 ·
5 · 5 · 5 · 5 = 58
( 52)4 = 52 · 4 = 58
Para calcular potencia de una potencia se pone la misma base y se multiplican los
exponentes.
1.3.4 Potencia de un producto
( 5 · 2 )3 = 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 = 5 · 5 · 5 · 2 · 2 · 2 = 53 · 23
( 5 · 2 )3 = 53 · 23
Potencia de un producto es el producto de las potencias.
1.3.5 Potencia de un cociente
( 6 : 2 )3 = 6 : 2 · 6 : 2 · 6 : 2 = ( 6 · 6 · 6 ) : ( 2 · 2 · 2 ) = 63 : 23
( 6 : 2 ) 3 = 63 : 2 3
Potencia de un cociente es el cociente de las potencias.
Fco. Javier Sánchez García
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1.4 Tabla de los Cuadrados Perfectos
Si intentamos dibujar cuadrados (figuras planas de 4 lados y 4 ángulos iguales), cuyos lados
midan 1, 2, 3, 4, 5, … (números naturales), el área de esos cuadrados será:
lado = 1
lado = 2
lado = 3
lado = 4
lado = 5
…
área = 12 = 1 · 1 = 1
área = 22 = 2 · 2 = 4
área = 32 = 3 · 3 = 9
área = 42 = 4 · 4 = 16
área = 52 = 5 · 5 = 25
Los cuadrados que tienen de área: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 …, son cuadrados perfectos
Así podemos calcular la tabla de los cuadrados perfectos:
12 = 1 · 1 =
1
22 = 2 · 2 =
4
32 = 3 · 3 =
9
42 = 4 · 4 =
16
52 = 5 · 5 =
25
62 = 6 · 6 =
36
72 = 7 · 7 =
49
82 = 8 · 8 =
64
92 = 9 · 9 =
81
102 = 10 · 10 = 100
112 = 11 · 11 = 121
122 = 12 · 12 = 144
…
Fco. Javier Sánchez García
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2. LA RAÍZ CUADRADA
Si el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado el lado, también podemos calcular
lo que mide el lado del cuadrado si sabemos su área.
Por ejemplo, si un cuadrado tiene de área 49, podemos calcular su lado buscando un número
que elevado al cuadrado dé 49. Ese número es el 7, porque 72 = 49.
Lo que acabamos de hacer es una nueva operación que vamos a llamar raíz cuadrada
Area = 49
Área = 49
lado =
 49 = 7 , porque 72 = 49
La raíz cuadrada es la operación “contraria” a elevar un número al cuadrado.
Para calcular la raíz cuadrada de un número, por ejemplo 64, debemos buscar un número que
elevado al cuadrado nos dé 64. Ese número es 8, porque 82 = 64
 64 = 8
porque 82 = 64
Si nos aprendemos la tabla de los cuadrados perfectos, podremos calcular raíces cuadradas.
Para calcular la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto, buscamos en la
tabla de los cuadrados perfectos cuál es el cuadrado perfecto que más se acerca:
34
– 25
9
5
12 = 1 · 1 =
22 = 2 · 2 =
1
32 = 3 · 3 =
42 = 4 · 4 =
52 = 5 · 5 =
62 = 6 · 6 =
9
4
16
25
36
72 = 7 · 7 = 49
82 = 8 · 8 = 64
92 = 9 · 9 = 81
102 = 10 · 10 = 100
...
Fco. Javier Sánchez García
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2.1 Partes de una raíz cuadrada
Radicando
Índice
raíz
34
– 25
9
2
5
Resto
2.2 Prueba de la raíz cuadrada
34
– 25
9
Fco. Javier Sánchez García
5
Radicando =
raíz2 + resto
34
=
52
+
9
34
=
25
+
9
34
=
34
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2.3 Algoritmo para calcular la raíz cuadrada de cualquier número natural
Fco. Javier Sánchez García
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En la siguiente página de internet puedes calcular la raíz cuadrada de cualquier número hasta
de 6 cifras utilizando el algoritmo:
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/9/Usr/eltanque/todo_mate/raiz/raiz_6d_p.html
Fco. Javier Sánchez García
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