Práctica 3.2

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Aplicaciones lineales
Práctica 3.2
(Curso 2009-2010)
1.– Dados dos espacios vectoriales E y F , determinar qué aplicaciones f : E → F de las siguientes
son lineales:
a) E = F = IR3 ; f (x̄) = x̄ + x̄0 , donde x̄0 es un vector constante de IR3
b) E = F = IR3 ; f (x̄) = x̄0 , donde x̄0 es un vector constante de IR3
c) E = F = IR3 ; f (x̄) = (x21 , 0, x2 + x3 ), siendo x̄ = (x1 , x2 , x3 )
d) E = F = Mn×n ; f (A) = A + AT
e) E = F = P3 (x); f (p(x)) = xp0 (x)
2.– Sean V y W dos espacios vectoriales reales; sea {ē1 , ē2 , ē3 , ē4 } una base de V y sea {ū1 , ū2 , ū3 }
una base de W . Si f : V → W es la aplicación lineal definida por
f (ē1 ) = ū1 + ū2 − 4ū3
f (ē2 ) = 2ū1 + ū2 − 2ū3
f (ē3 ) = 3ū1 + ū2
f (ē4 ) = ū1 + 2ū3
Se pide hallar:
a) Matriz de f en las bases dadas
b) Una base de Kerf y otra de Imf
c) Comprobar que se verifica la fórmula de dimensiones
3.– Sea f : K n → K m una aplicación lineal. Demostrar que si {ē1 , ē2 , . . . , ēn } es una base de K n ,
entonces {f (ē1 ), f (ē2 ), . . . , f (ēn )} genera Imf
4.– Se define una aplicación lineal f : IR3 → IR4 tal que
f (ē1 − ē3 ) = ū1
f (ē2 − ē3 ) = ū1 − ū2
f (2ē3 ) = 2ū1 + 2ū3
donde B = {ē1 , ē2 , ē3 } es una base de IR3 y B 0 = {ū1 , ū2 , ū3 , ū4 } es una base de IR4 . Se pide:
a) Matriz asociada a f en las bases B y B 0
b) Ecuaciones implı́citas de Imf
c) Núcleo de f
5.– Se considera el endomorfismo del espacio vectorial IR4 definido de la siguiente forma:
1) El núcleo del endomorfismo es el subespacio vectorial de ecuaciones
n
x+y+z =0
t=0
(x, y, z, t) ∈ IR4
2) Los vectores (1,1,1,0) y (0,0,0,1) se transforman en sı́ mismos
Se pide:
a) Matriz del endomorfismo en la base canónica de IR4
b) Matriz del endomorfismo en la base
B 0 = {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}
6.– Sea f : IR3 → IR2 la aplicación definida por f (x, y, z) = (x + y, z − y). Se pide:
a) Hallar su matriz asociada en la base canónica.
b) Hallar una base de Kerf y otra de Imf .
c) Comprobar que se verifica la fórmula de dimensiones.
7.– Sea f : IR3 → IR2 la aplicación que hace corresponder a los vectores (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)
los vectores (1, 0), (0, 2), (1, 1) respectivamente. Se pide:
a) Matriz asociada a f en las bases canónicas de IR3 y IR2 .
b) Subespacio transformado de V, que tiene como ecuación 5x − 3y − z = 0.
c) Ecuación de f (V ) en la base B = {(1, 1), (2, 0)}.
8.– Se considera la aplicación lineal
f : P3 (x) → P4 (x)
tal que
f (ax3 + bx2 + cx + d) = (a + b + c + d)x4 + dx3 + cx2 + bx + a
a) Calcular kerf y una base de Imf
b) Probar que
W = {αx3 − α, α ∈ IR}
es un subespacio de P3 (x)
c) Hallar f (W )
9.– Sea f : P1 (x) → P2 (x) la aplicación definida por
Z
x
(a1 t + a0 )dt
f (a1 x + a0 ) =
0
siendo Pk (x) el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual que k, se pide:
a) Demostrar que f es lineal
b) Expresión matricial de f en las bases canónicas
c) Hallar kerf
d) Hallar una base de Imf , y ecuaciones implı́citas y paramétricas de Imf
10.– En el espacio vectorial P2 de los polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual que 2,
se considera el endomorfismo f que lleva cada polinomio p(x) en el polinomio p(x)+(1−x)p0 (x).
a) Determinar la matriz de f en la base {1, x, x2 } de P2
b) Dar una base del núcleo de f
c) Dar una(s) ecuacion(es) de la imagen de f , en la base {1, x, x2 }
d) Si p(x) = a + bx + cx2 , calcular la expresión de (f ◦ f ◦ f )(p)
11.– Se considera la aplicación lineal f : M2x2 → P2 (x) tal que
f:
a
c
b
d
→ (a + d) + (a + b − c + d)x + (b − c)x2
siendo M2x2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 x 2 y P2 (x) el de los
polinomios con coeficientes reales y grado menor o igual que 2.
a) Calcular kerf y una base de Imf .
b) Decidir si la aplicación lineal f es inyectiva.
c) Comprobar que se verifica la fórmula de dimensiones.
12.– Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:
(a) Sea f : IR2 → IR3 una aplicación lineal.
la imagen de f tiene necesariamente dimensión 2
la imagen de f podrı́a tener dimensión 3
se cumple dim kerf + dim Imf =3
si f (1, 1) = (0, 0, 0), f no puede ser inyectiva
(b) Sean f, g, h tres endomorfismos de un espacio vectorial V de dimensión finita. Se consideran
las bases B y B 0 del espacio vectorial V . Si las matrices asociadas a f, g y h en B son
respectivamente F, G y H, y la matriz de cambio de base de B en función de B 0 es C
la matriz asociada a f ◦ h ◦ g en B 0 es CF HGC −1
la matriz asociada a f en B 0 es C −1 F C
la matriz asociada a g ◦ h ◦ f en B 0 es CF HGC −1
la matriz asociada a h ◦ f en B es F H
(c) Sea A una matriz 43 × 34, con columnas linealmente independientes, asociada a una
aplicación lineal f.
dim kerf =0
dim Imf =0
dim Imf =43
dim kerf =34
(d) Si f : IR5 → IR es una aplicación lineal cuya matriz asociada es
(1, 0, −1, 1, 2)
Kerf es un subespacio de dimensión ≤ 5
Imf es un subespacio de dimensión ≥ 2
Kerf es un subespacio de dimensión 1
El vector (1, 0, 0, 0, 0) pertenece al núcleo de la aplicación
(e) Sea Pn (x) el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ n. El núcleo de la aplicación
lineal que asigna a cada polinomio su derivada es:
0
El conjunto de los polinomios constantes
xn−1 + x
Ninguna de las respuestas restantes es correcta
(f)Si f : IR3 → M2x2 es una aplicación lineal, la matriz asociada a f tiene
4 columnas y 3 filas
4 columnas y 4 filas
3 filas y 3 columnas
4 filas y 3 columnas
(g)Sea f : IR5 → IR3 es una aplicación lineal, y F su matriz en las bases canónicas
rango(F)=dim kerf
dim kerf=3 - rango(F)
Si rango (F) es igual a 3, entonces f es biyectiva
Si f es sobreyectiva entonces rango(F) es igual a 3.
(h)Si f : IR3 → IR2 es una aplicación lineal, entonces
Existe únicamente un vector v̄ ∈ IR3 que cumple que f (v̄) = 0̄
Existe más de un vector v̄ ∈ IR3 que cumple que f (v̄) = 0̄
dim Img = 2
dim ker(f ) puede ser 0