Relación 1

Lógica Informática (Tecnologı́as Informáticas).
Curso 2015–2016.
Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional.
Ejercicio 1.– Determinar todas las subfórmulas de las fórmulas
((¬p ∨ q) ∧ (q → r))
(¬(¬(¬p ∨ p) ∨ p) ∨ q)
y
Ejercicio 2.– Eliminar todos los paréntesis posibles de las siguientes fórmulas:
(((p → q) ∨ r) → (p ∧ ¬p))
((p → (q ∧ r)) → (¬¬p ∧ q))
(((p ∨ q) ∨ (r ∨ s)) → ¬p)
(¬(p ∧ q) → (q ∧ r))
¬((p ∧ p) ∧ (p ∧ p))
(p → ((q ↔ s) → p))
Ejercicio 3.– Escribir con paréntesis las siguientes fórmulas:
p→q ↔r∨s
p ∨ q ↔ ¬r ∨ s
q → ¬p ∨ r ∨ s
q ∧ ¬q ∨ p → r
Ejercicio 4.– Dada una fórmula proposicional A, sean s(A) el número de estancias de variables
proposicionales en A y b(A) el número de estancias de conectivas binarias en A. Prueba que
para toda fórmula A se verifica que s(A) = b(A) + 1.
Ejercicio 5.– Prueba que existe una única función L que a cada fórmula proposicional, A, le
asocia un número natural, L(A), como sigue:
L(p) = 1 si p ∈ V P .
L(¬A) = L(A) + 1.
L((A ? B)) = L(A) + L(B) + 3, si ? es cualquier conectiva binaria.
¿Qué información nos proporciona L(A) sobre la fórmula A?
Ejercicio 6.– Sea | una nueva conectiva binaria (barra de Sheffer), cuya función de verdad
viene dada por
H| (i, j) = 1 ⇐⇒ i = 0 o bien, j = 0
Sea ↓ una nueva conectiva binaria (negación conjunta) cuya función de verdad viene dada por
H↓ (i, j) = 1
⇐⇒
i=j=0
1. Expresar las conectivas | y ↓ en función de ¬ y ∨.
2. Expresar las conectivas ¬ y ∨, primero utilizando sólo la conectiva | y luego utilizando
sólo la conectiva ↓.
1
Ejercicio 7.– Para cada fórmula, determina todos sus modelos (esto es, las valoraciones de
verdad que hagan que el valor de verdad de la fórmula sea 1).
p → (q → r ∧ q)
(p ↔ q) ∧ (p → ¬q) ∧ p
q → (p ∧ ¬p) → r
(p ∧ r) ∨ (¬p ∧ q) → ¬q
¿Cuáles de las anteriores fórmulas son satisfactibles? ¿Cuáles son tautologı́as?
Ejercicio 8.– Decide razonadamente si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
1. Si F y G son fórmulas consistentes, entonces {F, G} es consistente.
2. Si F es una tautologı́a y G es consistente, entonces {F, G} es consistente.
3. Si G es una contradicción, entonces F → G → F es una tautologı́a.
4. Si F es satisfactible, todas sus subfórmulas también lo son.
5. F es satisfactible si, y sólo si, todas sus consecuencias lógicas también lo son.
Ejercicio 9.– En cada caso, propón ejemplos de fórmulas F y G tales que:
1. ¬F → G es una contradicción.
2. F y F → G son satisfactibles, pero G es una contradicción.
3. F 6|= G y F 6|= ¬G.
4. F |= G y F |= ¬G.
Ejercicio 10.– Expresar mediante fórmulas proposicionales las siguientes afimaciones. En cada
caso indı́quese el significado que se asigna a las variables proposicionales (p, q, etc.) utilizadas.
1. Si el sol brilla hoy, entonces no brillará mañana.
2. O Roberto tiene celos de Chari o no está de buen humor hoy.
3. Cuando la presión atmosférica baja, entonces llueve o nieva.
4. Si has leı́do los apuntes y has hecho los ejercicios, estás preparado para el examen. En
caso contrario, tienes un problema.
5. No habrá cura para el cáncer salvo que se determine su causa y se encuentre un nuevo
medicamento.
6. Si Pablo se encontró con Chari ayer, entonces tomaron café juntos o pasearon por el
parque.
2
7. Juan duerme muchas horas y muy profundamente.
8. Mi hermana tiene un gato blanco y negro.
Ejercicio 11.– Decide razonadamente si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
1. Si {F, G, H} es inconsistente, entonces F |= ¬G ∨ ¬H.
2. {F, G} es consistente si y sólo si {¬F, ¬G} es inconsistente.
3. Si U es un conjunto de fórmulas tal que U 6|= F , entonces U |= ¬F .
4. Si U es un conjunto de fórmulas tal que U |= F , entonces U 6|= ¬F .
Ejercicio 12.– Determinar cuáles de las siguientes fórmulas son consecuencia lógica de la
fórmula A ∧ B y cuáles de A ∨ ¬B:
A, ¬B → A, ¬A ∨ B, B → ¬A
Ejercicio 13.– Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
{p ∨ q} |= p → r
{p ∧ ¬p} |= r → r ∨ q
{p → q, q → p ∧ r} |= p → (p → q) → r
{p ∧ q ∧ r} |= r → ¬p
Ejercicio 14.– Determina si los siguientes argumentos son lógicamente correctos:
1. Si Juan es comunista, entonces Juan es ateo. Juan es ateo. Por tanto, Juan es comunista.
2. Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no
llueve. La temperatura permanece constante. En consecuencia, en caso de que llueva, la
presión atmosférica no permanece constante.
3. Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0.
Luego, x no es divisible por 10.
4. Para que un número x sea divisible por 5, es necesario que el número acabe en 0. El
número x no acaba en 0. Luego, x no es divisible por 5.
5. El número y es negativo si x es positivo. Cuando z es negativo, y también lo es. Por tanto,
y es negativo siempre que o bien x sea positivo o bien z sea negativo.
6. En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado
considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un
fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En
consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha
mejorado considerablemente.
3
Ejercicio 15.– ¿Cuál de las siguientes fórmulas representa la proposición “Llegará en el tren
de las 8:15 o en el de las 9:15, si llega en el primero, entonces tendrá tiempo para visitarnos”?.
Donde p expresa “Llegará en el tren de las 8:15”, q expresa “Llegará en el tren de las 9:15” y
r expresa “Tendrá tiempo para visitarnos”.
1. (p → q) ∧ (p ∧ r)
2. p ∨ q → r
3. p ∨ ¬q → r
4. (p ∨ q) ∧ (p → r)
Ejercicio 16.– Cuáles de las siguientes fórmulas representa la proposición “Si Juan ha instalado
calefacción central en casa, entonces o ha vendido el coche o no pagado la hipoteca”, donde p
expresa “Juan ha instalado calefacción central en casa”, q expresa “Juan ha vendido el coche”
y r expresa “Juan no ha pagado la hipoteca”.
1. p → q ∨ r
2. (p → q) ∨ ¬r
3. p → q ∨ ¬r
4. p ∨ q → ¬r
Ejercicio 17.– ¿Cuáles de las siguientes proposiciones pueden escribirse como p ∨ (q ∧ r), para
p, q y r adecuados?
1. Si la inflación sube y hay elecciones cerca, entonces las pensiones suben.
2. Puedes nadar, o usar la sauna y la ducha.
3. Tienes que comprar pan, queso y vino.
4. Las plantas necesitan agua y alimento, pero no que les hablen.
Ejercicio 18.– Elegir de las afirmaciones siguientes aquella/s que sea/n equivalente/s a ”No
es cierto que sea suficiente trabajar para ser feliz.”
a) No trabajar es suficiente para no ser feliz.
b) Para ser feliz es necesario trabajar.
c) No es posible trabajar y no ser feliz al mismo tiempo.
d) Se puede trabajar y no ser feliz.
e) Se trabaja o no se es feliz.
4