!!!"#$%#&'%()*#+,#-.%/.0 !!!"#$%#&'%()*#+,# -.%/.0 Constituye en el principal procedimiento para estimar sistemas dinámicos representados en la forma de estado-espacio, los cuales tienen muchas aplicaciones econométricas de interés. Tiene su origen en el documento de Kalman (1960) donde describe una solución recursiva para el problema del filtrado lineal de datos discretos. Es un procedimiento matemático que opera por medio de un mecanismo de predicción y corrección. En esencia este algoritmo pronostica el nuevo estado a partir de su estimación previa añadiendo un término de corrección proporcional al error de predicción, de tal forma que este último es minimizado estadísticamente. La representación estado-espacio es una notación conveniente para la estimación de modelos estocásticos donde se asumen errores en la medición del sistema, lo que permite abordar el manejo de un amplio rango de modelos de series de tiempo. Consideremos el sistema general: $ t +1 = F ' $ t + vt +1 ( r "1) ( r "r )(r "1) ( r "1) yt = A' xt + H ' $ t + wt ( n"k ) ( k "1) ( n"r ) ( r "1) ( n"1) ( n"1) #Q si t = # E vt v# = " !0 si t ! # ( ) ' # R si t = # E wt w# = " !0 si t ! # ( ' ) Esta representación se llama de estado-espacio. La primera es la ecuación de estado. Y la segunda la de medida u observación. Algunos ejemplos para motivar: 1) Sea el proceso AR(p): yt +1 % µ = '1 ( yt % µ ) + '2 ( yt %1 % µ ) + ... + ' p ( yt % p +1 % µ ) + & t +1 , )( 2 para t = # & E (& t & # ) = ' $ (0 en otro caso% Entonces, la ecuación de estado será: ) yt +1 % µ & 'y % µ $ ' t $ '! $ ' $ '( yt % p + 2 % µ $% )'1 '2 "' p %1 ' p & $ ) yt % µ & )& t +1 & ' '1 0 " 0 0 $ ' y % µ $ '0 $ t %1 ' $+' $ $ ' = 0 1" 0 0 $ '! $ $ '! ' $ ' $ '! ! " ! ! $ ' y '0 0 " 1 0 $ '( t % p +1 % µ $% (0 % % ( Y la ecuación de medida u observación será: ) yt % µ & 'y % µ $ t %1 ' $ yt = µ + [1 0 " 0] ' ! $ ' $ '( yt % p +1 % µ $% Lo que implica que: ) yt % µ & 'y % µ $ t %1 ' $ $t = ' ! $ ' $ '( yt % p +1 % µ $% )& t +1 & '0 $ vt = ' $ '! $ ' $ (0 % yt = yt A' = µ )'1 '2 "' p %1 ' p & ' $ '1 0 " 0 0 $ F = '0 1 " 0 0 $ ' $ '! ! " ! ! $ '0 0 " 1 0 $ ( % )( 2 0 " 0 0 & ' $ 0 0 " 0 0$ ' Q= '! ! " ! ! $ ' $ '(0 0 " 0 0$% xt = 1 H = [1 0"0] wt = 0 R = 0 Representación de un MA(1): yt = µ + & t + )& t %1 La ecuación de estado: )& t +1 & )0 0& )& t & )& t +1 & '& $ = '1 0 $ '& $ + ' $ % ( t %1 % (0 % ( t % ( La ecuación de observación: )& t & yt = µ + [1 ) ]' $ (& t %1 % Esto implica que: )& t +1 & $ t +1 = ' $ (& t % )& t +1 & )0 0 & F =' vt +1 = ' $ $ (1 0 % (0 % )( 2 0 & Q=' $ yt = yt A' = µ 0% (0 H = [1 ) ] wt = 0 R = 0 xt = 1 CUIDADO: La representación de estado-espacio de un proceso no es única. Por ejemplo el MA(1) puede representarse como: Ecuación de estado: )& t +1 + )& t & )0 1 & )& t + )& t %1 & )& t +1 & ')& $ = '0 0$ ')& $ + ')& $ %( t ( t +1 % ( % ( t +1 % Ecuación de observación: )& t % )& t %1 & yt = µ + [1 0]' $ ()& t % La idea fundamental es calcular la predicción MC lineal del vector de estado ! basándonos es los datos observados de y y x hasta el momento t: $ˆt +1/ t = E ($ t +1 / !t ) ( ) donde !t = yt' ,..., y1' , xt' ,..., x1' ' . El filtro de Kalman calcula esta predicción recursivamente, generando $ˆ1/ 0 , $ˆ2 /1 ,..., $ˆT / T %1 y su error cuadrático medio: Pt +1/ t ' ) ˆ ˆ = E $ t +1 % $ t +1/ t $ t +1 % $ t +1/ t & '( $% ( )( ) ¿Cómo comenzamos? Necesitamos valores iniciales de $ˆ . En el momento 0 no tenemos observaciones 1/ 0 de y por lo que usaremos la esperanza incondicional: $ˆ1/ 0 = E ($1 ) Y su error cuadrático medio asociado: [ ' P1/ 0 = E ($1 % E ($1 ))($1 % E ($1 )) ] Por ejemplo, con un MA(1) el vector de estado es: )& t & $t = ' $ (& t %1 % Entonces: $ˆ1/ 0 y )& 1 & - 0 + = E ' $ = ,, ** (& 0 % / 0 . - )& 1 & + )( 2 0 & P1/ 0 = E ,, ' $[& 1 & 0 ]** = ' 2$ / (& 0 % . '(0 ( $% Paso siguiente es estimar $ˆ2 /1 y P2 /1 o de manera más general, $ˆt +1/ t y Pt +1/ t usando $ˆt / t %1 y Pt / t %1 . Para ello vamos a utilizar el error de predicción de yˆt / t %1 . yˆt / t %1 = A' xt + H '$ˆt / t %1 Cuyo error: yt % yˆt / t %1 = A' xt + H '$t + wt % A' xt % H '$ˆt / t %1 = H ' $ % $ˆ +w ( t t / t %1 ) t Y el ECM se demuestra que es igual a: [ ' ] E ( yt % yˆt / t %1 )( yt % yˆt / t %1 ) = H ' Pt / t %1H + R Ahora usamos dicha predicción de yt para corregir la predicción de $ t , es decir que calcularemos $ˆt / t (ver fórmula 4.5.30 de Hamilton). { [( ) ' ˆ ˆ ˆ $ t / t = $ t / t %1 + E $ t % $ t / t %1 ( yt % yˆ t / t %1 ) {[ ' " E ( yt % yˆ t / t %1 )( yt % yˆ t / t %1 ) ]} %1 ]} " ( yt % yˆ t / t %1 ) y esto se demuestra que es igual a: ( %1 ˆ ˆ $ t / t = $ t / t %1 + Pt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) yt % A' xt % H ' $ˆt / t %1 con MSE: %1 Pt / t = Pt / t %1 % Pt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) H ' Pt / t %1 ) Pero aún no tenemos lo que queremos, que es la predicción de $ˆt +1/ t . Para ello vamos a utilizar la ecuación de estado, a partir de la cual resulta que: $ˆt +1/ t = E ($ t +1 / !t ) = F .E ($ t / !t ) + E (vt +1 / !t ) = F$ˆt / t + 0 Usando lo planteado en la diapositiva anterior: $ˆt +1/ t = F$ˆt / t %1 ( + FPt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) yt % A' xt % H ' $ˆt / t %1 %1 ) $ˆt +1/ t = F$ˆt / t %1 ( + FPt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) yt % A' xt % H ' $ˆt / t %1 %1 ) Y anotando %1 K t = FPt / t %1 H (H ' Pt / t %1 H + R ) Se cumple que: ( $ˆt +1/ t = F$ˆt / t %1 + K t yt % A' xt % H ' $ˆt / t %1 ) A la matriz K se le llama matriz de ganancia. Se cumple que el MSE de esta predicción es: Pt +1/ t = F [P %1 ( ) H ' Pt / t %1 ]F '+Q t / t %1 % Pt / t %1 H H ' Pt / t %1 H + R