MECANISMOS

Mecanismos
MECANISMOS
1. CONCEPTO DE MECANISMO
La función principal de muchas máquinas es producir un determinado tipo de movimiento. Así, por ejemplo,
una lavadora debe conseguir el movimiento giratorio del tambor en el que se encuentra la ropa; en una bicicleta el movimiento de los pedales debe transmitirse a la rueda trasera, para que se produzca el avance de
la bicicleta; etc.
Otras máquinas no tienen como función principal producir un determinado tipo de movimiento, pero sí necesitan que se produzca movimiento para su funcionamiento. Como, por ejemplo, en un reproductor de discos
compactos, cuya función es reproducir música que ha sido previamente grabada, es necesario producir el
movimiento giratorio del disco para que funcione.
Por tanto, ya sea porque el movimiento es la función principal de la máquina, o porque éste sea necesario
para su funcionamiento, lo cierto es que en la mayoría de las máquinas debe producirse algún tipo de movimiento.
Pero, ¿cómo se produce el movimiento en las máquinas?. La respuesta es que toda máquina en la que se
produce algún tipo de movimiento tiene un motor, entendiendo por motor: cualquier dispositivo (natural o
artificial) capaz de producir movimiento a partir de algún tipo de energía.
He aquí algunos tipos de motores, con la energía que utilizan y el tipo de movimiento que producen:
Tabla 1 : Motores
Motor
Energía
Movimiento
Músculo
Química
Lineal
Motor de combustión interna
Química
Circular
Motor eléctrico
Eléctrica
Circular
Pistón hidráulico
Hidráulica
Lineal
Turbina
Hidráulica
Circular
En algunas máquinas el movimiento del motor es el que produce el efecto deseado. Es el caso de un ventilador, donde la hélice que da lugar a la corriente de aire va unida directamente al eje del motor eléctrico.
Pero lo normal es que el elemento de la máquina donde se obtiene el movimiento deseado no esté unido
directamente al motor. Es lo que sucede en un automóvil, en el que las ruedas motrices no están directamente unidas al motor, sino que son necesarios una serie de elementos que sean capaces de transmitir el
movimiento del motor a las ruedas motrices. También sucede lo mismo en una bicicleta, en la que el movimiento de los pedales, producido por el ciclista (que actúa como motor) tiene que ser transmitido a la rueda
trasera.
A estos elementos que actúan de intermediarios entre el motor y el elemento de la máquina en el que se obtiene el movimiento final deseado se les llama mecanismos. Es decir, los mecanismos sirven para transmitir el movimiento de una parte a otra de la máquina.
Decimos que un mecanismo transmite movimiento, cuando el movimiento inicial y final son del mismo tipo. Por ejemplo, en una bicicleta el movimiento de los pedales (inicial) es circular y el de la rueda trasera
(final) también. Por eso, el plato, la cadena y el piñón forman un mecanismo de transmisión de movimiento
en una bicicleta.
© Pedro J. Castela
1
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Pero hay casos en los que el movimiento inicial y final son de diferente tipo, de manera que el primero
puede ser lineal y el segundo circular, o viceversa. Entonces decimos que hay una transformación de movimiento. Por ejemplo, en un trípode para cámara fotográfica (o de vídeo) podemos ajustar la altura (movimiento final de tipo lineal) dándole vueltas a una manivela (movimiento inicial de tipo circular). En este caso
decimos que el mecanismo mediante el cual se consigue eso (mecanismo piñón – cremallera) es un mecanismo de transformación de movimiento.
Además de transmitir o transformar el movimiento en las máquinas, los mecanismos también pueden regular dicho movimiento. Ese es el caso del freno de una bicicleta, que mediante la fricción entre la zapata y la
llanta consigue que disminuya la velocidad de giro de la rueda.
Resumiendo: los mecanismos sirven para transmitir, transformar o regular el movimiento en las máquinas.
plato
cadena
piñón
Fig. 1. Mecanismo de transmisión de una bicicleta
Con lo visto hasta ahora, está claro que en una
máquina el movimiento siempre tiene su origen
en un motor y luego es transmitido, transformado o regulado mediante mecanismos.
Sin embargo, detrás de todo movimiento hay
una fuerza. Es decir, todo movimiento es producido por una o varias fuerzas.
Así, por ejemplo, está claro que el giro de los
pedales en una bicicleta es producido por la
fuerza que el ciclista ejerce sobre los mismos
en el momento oportuno. A su vez, el plato
(que está unido a los pedales) tira de la cadena
y ésta del piñón, haciéndolo girar y con él a la
rueda trasera (Fig. 1).
Vemos, pues, que el mecanismo de transmisión de la bicicleta no sólo transmite movimiento, sino que también transmite fuerza.
Con los mecanismos adecuados se pueden obtener grandes fuerzas a partir de una pequeña
fuerza. Ese es el caso de un gato para levantar
un coche, en el que ejercemos una fuerza determinada en una manivela y obtenemos una
fuerza capaz de levantar el vehículo (Fig. 2) .
Por tanto, ahora podemos dar una definición
más completa de mecanismo:
Un mecanismo es un conjunto de elementos
de una máquina, que sirve para transmitir,
transformar y regular movimientos, así como
para transmitir y transformar fuerzas.
Podemos representar cualquier mecanismo de
forma esquemática como se indica en la siguiente figura:
Fig. 2. Gato elevador de automóvil
Fuerza y
movimiento
de entrada
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Fuerza y
movimiento
de salida
Fig. 3. Concepto de mecanismo.
© Pedro J. Castela
2
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A continuación explicaremos los conceptos de movimiento y fuerza de entrada y de salida, utilizando como
ejemplo el mecanismo de un gato para elevar coches (Fig. 2.).
•
•
•
•
Movimiento de entrada: es el movimiento que actúa sobre el mecanismo. En un gato para
coches sería el movimiento de giro de la manivela, que actúa sobre el tornillo.
Fuerza de entrada: es la que actúa sobre el mecanismo. En el gato sería la que nosotros
hacemos sobre la manivela, produciendo el giro del tornillo.
Movimiento de salida: es el que produce el mecanismo. En el caso del gato sería el
movimiento vertical que hace elevarse al vehículo.
Fuerza de salida: es la que produce el mecanismo. En el caso del gato es la que éste hace
sobre el coche para levantarlo.
2. CONCEPTOS BÁSICOS
En el estudio de los mecanismos es necesario tener claros algunos conceptos básicos de Física, como son
los de fuerza, momento de una fuerza, velocidad lineal y velocidad angular. Por tanto, a continuación
repasaremos dichos conceptos.
2.1. FUERZA
La vida cotidiana nos ofrece muchos ejemplos de los efectos que producen las fuerzas:
•
•
Cuando nos sentamos en el sofá, el cojín se deforma debido a nuestro peso.
Si soltamos un objeto que tenemos en la mano, éste cae hacia el suelo, debido a la fuerza de la
gravedad.
Desde el punto de vista físico, podemos definir la fuerza como la causa de que los cuerpos se deformen o
varíen su velocidad.
La fuerza es una magnitud física de tipo vectorial, igual que la velocidad. Por el contrario, magnitudes como
la presión o la temperatura son de tipo escalar. La diferencia estriba en que para definir la temperatura de
un objeto basta con dar un valor numérico, por ejemplo 20 ºC. Sin embargo, para definir totalmente cómo
es la fuerza que actúa sobre un cuerpo, debemos conocer tres datos diferentes: su dirección, su sentido y
su módulo.
Por ejemplo, la fuerza debida a la gravedad que actúa sobre un objeto (Fig. 4)
tiene dirección vertical, sentido hacia abajo y módulo P = m g, siendo m el valor de su masa y g = 9.81 m/s2 la aceleración de la gravedad.
m
P = mg
Fig. 4. El peso es una
fuerza producida por
la gravedad
© Pedro J. Castela
Las magnitudes vectoriales, como la fuerza y la velocidad, se representan
mediante segmentos terminados en flecha. El tamaño del segmento representa el módulo (valor numérico), la recta que contiene al segmento es la dirección y la flecha indica el sentido. La dirección de una fuerza también recibe el nombre de recta de acción de dicha fuerza.
La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es el Newton
(N), mientras que en el Sistema Técnico es el Kilopondio (Kp), vulgarmente
llamado "Kilo”. La equivalencia entre ambos es la siguiente:
1 Kp = 9,81 N
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2.1.1. SUMA DE FUERZAS
Al ser la fuerza una magnitud vectorial no podemos sumarlas como si fuesen simples números. Para saber
cuál sería el efecto de varias fuerzas sobre un objeto debemos utilizar las reglas mediante las cuales se
suman las magnitudes vectoriales.
Podemos encontrarnos con los siguientes casos:
Tabla 2. Suma de fuerzas
F2
F1
Fuerzas con la misma dirección y sentido: la fuerza resultante R es una fuerza con
la misma dirección y sentido y cuyo módulo
es la suma de los módulos.
R = F1 + F2
F1
F2
R = F2 – F1
F1
F1
R
F2
F2
Fuerzas con la misma dirección y sentidos contrarios: la fuerza resultante R es
una fuerza con la misma dirección, con el
sentido de la mayor y cuyo módulo es la diferencia de los módulos.
Fuerzas con direcciones que forman un
ángulo: la fuerza resultante tiene la
dirección, el sentido y el módulo
correspondiente
a
la
diagonal
del
paralelogramo formado tomando como
lados las dos fuerzas actuantes. Obseva
que la fuerza resultante es menor que si las
fuerzas componentes fuesen de la misma
dirección y sentido.
2.2. MOMENTO DE UNA FUERZA
En el estudio de los mecanismos, tan importante como las fuerzas son los momentos que éstas producen
en los ejes. De hecho, la mayoría de los mecanismos que vamos a utilizar en los proyectos están formados
por elementos que giran alrededor de ejes o unidos a los mismos. Por ejemplo, el mecanismo de transmisión por cadena que hemos visto anteriormente (Fig. 1) .
Volvamos al caso de la bicicleta y supongamos que el ciclista ejerce una fuerza F sobre el pedal (Fig. 5) y
que la distancia entre el pedal y el eje de los pedales es d. El efecto de la fuerza sobre el eje es hacerlo girar con un determinado momento M, cuyo valor es:
M=F⋅d
M
F
d
Fig. 5. Momento producido
por la fuerza sobre el pedal
© Pedro J. Castela
El momento de una fuerza respecto a un punto es igual al
producto de la fuerza por la distancia mínima desde la recta de acción de la fuerza al punto (Fig. 6) .
El momento se representa mediante un arco de circunferencia con una flecha, la cual indica el sentido en el que giraría
el eje si ello fuera posible.
En la práctica son muchas las ocasiones en las que producimos momentos sobre ejes. Por ejemplo, al girar el pomo
de una puerta, al girar el volante de un vehículo, al apretar
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una tuerca con una llave inglesa, al abrir o cerrar un grifo,
etc.
M
d
Observa que si la fuerza se aplicara sobre el eje (o el punto
que elijamos), al ser la distancia d = 0, el momento también
sería 0.
Punto
Recta de acción
F
También es importante darse cuenta que el mismo valor de
momento puede conseguirse con diferentes combinaciones
de fuerza y distancia. De manera que para conseguir el
mismo momento podemos aumentar la fuerza y disminuir la
distancia o viceversa.
2.2.1. PAR MOTOR
Fig. 6. Momento de una fuerza
respecto a un punto
Todos los motores que producen un movimiento circular
tienen un determinado momento en su eje de giro. Dicho
momento se denomina par motor (Fig. 7) . Así, por ejemplo,
podemos “sentir” el par motor de un pequeño motor eléctrico
intentando frenar su eje con los dedos.
Se denomina par porque este tipo de momento es
equivalente a un par de fuerzas, entendiendo por tal un
sistema formado por dos fuerzas pararlelas del mismo
módulo F y sentidos contrarios, separadas una distancia d,
de manera que M = F ⋅ d. (Fig. 8).
M
M
F
d
F
Fig. 7.Par motor en un
motor eléctrico
Fig. 8. Equivalencia entre momento y par de fuerzas
Los valores de F y d pueden ser cualesquiera, siempre que el producto de ambos sea igual al valor del
momento. De manera que un par de fuerzas en el que F1 = 5 N y d1 = 10 cm es equivalente a otro en el que
F2 = 10 N y d2 = 5 cm, ya que ambos equivalen a un mismo momento M = 50 N cm.
2.3. VELOVIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
Puesto que los mecanismos sirven para transmitir fuerzas y movimientos, es necesario tener claro el concepto de velocidad y saber distinguir entre velocidad lineal y velocidad angular.
Cuando un objeto se desplaza por un camino o trayectoria, recorre un determinado espacio (distancia) en
un determinado tiempo. El cociente entre el espacio recorrido y el tiempo tardado en recorrerlo se llama velocidad lineal del objeto:
v=
e
t
La unidad de velocidad lineal es el m/s (metro/segundo) en el Sistema Internacional de medidas (S.I.). Pero, en la práctica también se utilizan otras unidades, como: Km/h, cm/min, mm/s, etc.
© Pedro J. Castela
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La velocidad a la que nos hemos referido hasta ahora es la denominada velocidad lineal, ya que es
la que tiene un móvil que describe una línea, ya sea recta o curva. Sin embargo, en el estudio de los mecanismos es tan importante, o más, el concepto de velocidad angular o velocidad de giro, que se aplica,
fundamentalmente, al estudio del movimiento de cuerpos que giran respecto a un eje, como las ruedas, poleas, manivelas, etc.
A
ω
θ
Supongamos que tenemos una rueda de bicicleta girando
alrededor de su eje (Fig. 9) . Si nos fijamos en el movimiento
de un radio, por ejemplo el OA, veremos que al cabo de un
tiempo t a pasado a ocupar la posición OB, describiendo un
ángulo θ. Si dividimos el valor del ángulo girado entre el
tiempo que ha tardado el radio en pasar de una posición a
otra, obtendremos la velocidad angular de la rueda, es decir, el ángulo girado por unidad de tiempo.
B
O
Llamando
matemática será:
ω
a la velocidad angular, su ecuación
Fig. 9. Velocidad angular
ω=
θ
t
En el S.I. de unidades la velocidad angular se mide en radianes/segundo, siendo 1 radian = 57.3 º. Sin
embargo, en Tecnología se suele expresar la velocidad angular en revoluciones/minuto, que se escribe de
forma abreviada rpm, entendiendo que revolución es sinónimo de vuelta y que, por tanto, equivale a un giro
de 360 º. Además, se sustituye la letra griega ω por la letra N y θ (ángulo girado) por n (número de vueltas),
quedando la ecuación matemática anterior como sigue:
N=
n nº de vueltas
=
t
tiempo
Ejemplo: si la rueda de bicicleta anterior gira 30 vueltas al cabo de 30 segundos, ¿cuál es su velocidad de
giro en rad/s y en rpm?.
Solución:
θ = 30 vueltas x 2π rad/vuelta = 188.4 rad; t = 30 s; luego: ω = 188.4/30 = 6.28 rad/s.
n = 30 vueltas; t = 30 s = 0.5 min; luego: N = 30/0.5 = 60 rpm.
La relación entre N (rpm) y ω (rad/seg) es la siguiente:
Como : θ (rad) = 2πn (rev)
θ
N=
n(rev)
= 2π
t
t (min)
60
⋅ (rad)
=
(seg)
60
2π
En el ejemplo anterior: ω =
© Pedro J. Castela
y t ( seg) =
t
60
(min) , tenemos que :
ω ; luego : ω =
2π
60
N
2π
6,28
N=
60 = 6,28 (rad/seg) .
60
60
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2.3.1. RELACIÓN ENTRE VELOCIDAD LINEAL Y ANGULAR
Vamos a ver qué relación existe entre la velocidad lineal y la velocidad angular en un movimiento circular, que es el que se da en muchos mecanismos.
V
θ
Supongamos que un punto describe un movimiento circular de radio
R (Fig. 10). Durante un tiempo t recorre un espacio e, describiendo
un ángulo θ. En una circunferencia existe la siguiente relación geométrica entre el arco, el ángulo (expresado en radianes) y el radio:
e
ω
e = R ⋅θ
Por tanto:
Fig. 10. Relación entre velocidad
lineal y angular
Teniendo en cuenta que : ω =
V = ω ⋅R =
2π
R ⋅N
60
2π
N
60
Es decir :
V =
e
R ⋅θ
θ
=
= R = ω ⋅R
t
t
t
V = ω ⋅R
podemos sustituir en la ecuación anterior :
V =
2π
R ⋅N
60
2.3.2. VELOCIDAD DE RODADURA Y DE ENROLLAMIENTO
Hay dos casos prácticos en los que podemos aplicar la ecuación vista anteriormente. Uno es el del
problema de saber a qué velocidad se desplaza una rueda si conocemos su velocidad de giro. El otro es
conocer a qué velocidad se enrolla un cable o cuerda en un rodillo, sabiendo la velocidad de giro del mismo.
1 vuelta = 2πR
Velocidad de rodadura:
1 vuelta
----------------- 2πR (m)
N (vueltas/min) ------------------ V (m/min)
R
V
ω
De donde:
V = 2πR ⋅ N (m/min) =
Fig. 11. Velocidad de rodadura
2π
R ⋅ N (m/seg)
60
Observa que la ecuación es diferente según las
unidades que utilicemos para expresar la velocidad.
Ejemplo: Un ciclista va a una velocidad de 60 Km/h en una bicicleta de carrera, cuyas ruedas tienen un
diámetro de 70 cm. ¿Cuál es la velocidad angular de las ruedas, en rpm?.
1000 m
= 1000 m/min ;
60 min
V
1000 m/min
N=
=
= 455 rpm
2πR
2π ⋅ 0,35 m
V = 60 Km/h = 60
© Pedro J. Castela
R = 35 cm = 0,35 m;
V = 2πR ⋅ N ;
Despejando
N:
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Velocidad de enrollamiento:
1 vuelta
R
----------------- 2πR (m)
N (vueltas/min) ------------------ V (m/min)
ω
De donde:
V = 2πR ⋅ N (m/min) =
2π
R ⋅ N (m/seg)
60
Observa que la ecuación es la misma que obtuvimos en el caso
anterior y que depende de las unidades que utilicemos para
expresar la velocidad.
1 vuelta = 2πR
Ejemplo: Un ascensor que parte de la planta baja y sube hasta
la tercera, tarda 3 segundos en subir desde la primera a la segunda a velocidad constante. Si entre planta y planta hay una
altura de 3 metros y el tambor en el que se enrolla el cable tiene un diámetro de 40 cm, calcula: a) la velocidad lineal del ascensor entre la primera y la segunda planta; b) la velocidad angular del tambor.
V
Fig. 12.Velocidad de
enrollamiento
a) Velocidad lineal : V =
e
3m
=
= 1 m/seg = 60 m/min
t
3 seg
b) Velocidad angular : V = 2πR ⋅ N (m/min); R = 20 cm = 0,2 m; Sustituyendo : 60 = 2π ⋅ 0,2 ⋅ N
Despejando : N =
60
= 47,6 rpm
1,26
3. CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS
Vamos a clasificar los mecanismos en función del tipo de movimiento que tengamos a la entrada y a la
salida de los mismos (véase la definición de mecanismo). Puesto que el movimiento puede ser lineal (desplazamiento) o angular (giro) las posibles combinaciones son: a) lineal-lineal, b) lineal-angular, c) angularlineal y d) angular-angular (Fig. 13).
LINEAL-LINEAL
PALANCA
POLEA
LINEAL-ANGULAR
PIÑÓN-CREMALLERA
BIELA-MANIVELA
ANGULAR -LINEAL
PIÑÓN-CREMALLERA
BIELA-MANIVELA
TORNILLO-TUERCA
LEVA
ANGULAR - ANGULAR
POLEAS Y CORREA
RUEDAS DENTADAS
SINFÍN-CORONA
TIPO DE MOVIMIENTO
ENTRADA-SALIDA
Fig. 13.Clasificación de los mecanismos según sus movimientos de entrada y salida.
© Pedro J. Castela
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Observa que los mecanismos piñón-cremallera y biela-manivela pertenecen a dos grupos, ya que con
ellos se pueden conseguir las dos combinaciones de movimientos indicadas, según cuál sea el elemento de
entrada y el de salida. Sin embargo, en los mecanismos de tornillo-tuerca y de leva sólo podemos transformar un movimiento de giro en uno lineal, pero no al revés.
Decimos que un mecanismo es reversible, cuando los elementos de entrada y salida pueden intercambiar
sus papeles. En caso contrario, decimos que es irreversible. Son irreversibles los mecanismos de tornillotuerca, de leva y de sinfín-corona.
Por ejemplo, en el mecanismo sinfín-corona podemos hacer girar la corona (salida) mediante el giro del sinfín (entrada) pero no podemos hacer que gire el sinfín moviendo la corona. Es decir, el sinfín siempre tiene
que funcionar como elemento de entrada (elemento motríz) y la corona como elemento de salida (elemento
movido).
4. MECANISMO DE PALANCA
Es a Arquímedes (287-212 a. De C.) a quien se le atribuye la famosa frase: "Dadme un punto de apoyo y
moveré el mundo". Sea como fuere, lo cierto es que él fue el primero en estudiar de forma sistemática las
llamadas máquinas simples (el plano inclinado, la cuña, el tornillo, la palanca y la rueda), exponiendo la
teoría de su funcionamiento.
Seguramente la palanca fue uno de los primeros instrumentos utilizados por el homo habilis hace más de
dos millones de años. También hoy nosotros seguimos "haciendo palanca" en muchas ocasiones y de una
forma totalmente intuitiva. Por ejemplo, cuando abrimos la tapadera de una lata de pintura con un destornillador.
4.1. ELEMENTOS DE UNA PALANCA
Podemos definir una palanca como una barra rígida que puede girar alrededor de un punto de apoyo (A),
y sobre la que actúan dos fuerzas (Fig. 14).
R
La fuerza de entrada (la que nosotros hacemos) se denomina potencia (P) y la fuerza de salida (la que queremos vencer) la llamaremos resistencia (R). La distancia que hay desde la fuerza de potencia hasta el punto
de apoyo se llama brazo de potencia (BP) y la distancia
que hay desde la fuerza de resistencia hasta dicho punto
de apoyo se denomina brazo de resistencia (BR). Observa cómo varía el valor del brazo de potencia cuando
dicha fuerza no es perpendicular a la palanca (Fig. 15).
Ello se debe a que la distancia desde una fuerza a un
punto no se mide desde el punto de aplicación de la
fuerza, sino desde la recta de acción de ésta.
P
A
BP
BR
Fig. 14. Esquema de una palanca.
R
P
A
BR
BP
Fig. 15. Concepto de brazo de palanca.
© Pedro J. Castela
Ten en cuenta también que las fuerzas P y R son las que
actúan sobre la palanca (sin contar la que se produce
en el punto de apoyo) y no las que la palanca hace sobre
su entorno. Por ejemplo, la figura 14 podría ser la representación esquemática del caso real correspondiente al
intento de retirar la tapadera de una lata de pintura con
un destornillador. P sería la fuerza que hacemos con la
palma de la mano sobre el mango del destornillador, el
punto de apoyo A sería el borde de la lata y R sería la
resistencia que opone la tapadera a ser abierta, no la
fuerza que la punta del destornillador hace sobre la tapadera, que sería una fuerza igual a R, pero de sentido
contrario.
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4.2. TIPOS DE PALANCA
Según la posición relativa de las dos fuerzas que actúan sobre la palanca y del punto de apoyo, se
pueden clasificar las palancas en tres tipos diferentes:
R
P
A
Por ejemplo: una llave desmontable de neumáticos,
un balancín de un parque, una romana, ciertos abrebotellas, unas tijeras, unas tenazas, un alicate, etc.
BR
BP
Palanca de segundo grado: es aquella en la que la
resistencia se encuentra entre el punto de apoyo y la
potencia (Fig. 16).
Fig. 16. Palanca de segundo grado.
R
Palanca de primer grado: es aquella en la que el
punto de apoyo se encuentra situado entre la potencia y la resistencia (Fig.14).
Por ejemplo: una carretilla de albañil, un cortaúñas,
un cascanueces, una máquina para poner tapones de
corcho, una máquina para hacer embutidos, algunos
abrebotellas, etc.
P
BP
A
BR
Palanca de tercer grado: es aquella en la que la potencia se encuentra situada entre el punto de apoyo y
la resistencia (Fig. 17).
Por ejemplo: unas pinzas para coger hielo, la escalera
de un camión de bomberos, la pluma de un camión
grúa, el antebrazo de una persona, el brazo articulado
de una escavadora, etc.
Fig. 17. Palanca de tercer grado.
4.3. LEY DE LA PALANCA
Esta ley fue descrita por Arquímedes y nos dice cuál es la relación que existe entre las fuerzas de potencia
y resistencia en una palanca. Puede enunciarse así:
En una palanca el producto de la fuerza de potencia por su brazo es igual al producto de la fuerza de resistencia por el suyo.
P x BP = R x BR
La ley de la palanca puede deducirse aplicando el concepto de momento de una fuerza y sabiendo que
cuando la palanca está en equilibrio la suma de momentos respecto al punto de apoyo de ser cero (Fig. 18).
R
MR
P
MP
A
BP
BR
Sea MP el momento de la fuerza P respecto del punto
de apoyo y sea MR el correspondiente momento de la
fuerza R respecto del mismo punto. De acuerdo con
la definición de momento de una fuerza tendremos
que:
MP = P x BP
y
MR = R x BR
Cuando la palanca está en equilibrio se cumple que
MP = MR y, por tanto:
Fig. 18. Palanca en equilibrio
© Pedro J. Castela
P x BP = R x BR
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4.2.1. Rendimiento mecánico de una palanca
El rendimiento mecánico de una palanca es el cociente entre la fuerza de resistencia y la fuerza de potencia.
R
Rm =
P
Para una palanca determinada, el rendimiento mecánico puede calcularse dividiendo el brazo de potencia
entre el brazo de resistencia.
Efectivamente; como : P ⋅ BP = R ⋅ BR ; tenemos que :
R BP
=
; luego :
P BR
Rm =
BP
BR
4.2.2. Relación de movimientos de una palanca
LR
Al ser la palanca un cuerpo rígido, existe
una relación entre el movimiento de cada
uno de sus puntos.
LP
SR
X
Y
SP
A
LP
SR
LR
SP
Sea X es el punto de aplicación de la
fuerza de potencia P e Y es el punto de
aplicación de la fuerza de resistencia R.
Llamaremos LP a la distancia desde X al
punto de apoyo A y LR a la distancia
desde Y al punto de apoyo A.
¿Qué
relación
hay
entre
los
desplazamientos de los puntos X e Y?.
Como
tenemos
dos
triángulos
rectángulos
proporcionales,
geométricamente se cumple:
SP SR
=
LP
LR
4.2.3. Ejercicio resuelto
La figura representa a una balanza tipo "romana". El
objeto a pesar se coloca en un platillo que cuelga de
la barra a una distancia fija bde la articulación. Al otro
lado de la articulación se coloca una pesa de valor fijo
P a una distancia a, de manera que equilibre la balanza.
A) ¿En qué tipo de palanca se basa el funcionamiento de esta balanza?. Razona la respuesta.
B) Suponemos que el brazo más largo está equilibrado con el más corto gracias al contrapeso que
éste tiene. Cuando no se coloca peso en el platillo, la pesa P, que es de 0,5 Kg, debe situarse a
una distancia a = 5 cm. ¿Cuánto pesa el platillo
con sus cadenas para colgarlo, sabiendo que b =
5 cm?.
C) ¿A qué distancia a hay que situar la pesa P cuando en el platillo coloquemos 1 Kg de manzanas?
¿Y cuando coloquemos 2 Kg?.
D) ¿Cuál es el mayor peso que podemos medir con
la romana si c = 55 cm? (5 p.)
© Pedro J. Castela
c
b
a
articulación
P
Fig. 19. Balanza tipo “romana”.
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Solución:
A) Se trata de una palanca de primer grado, porque el punto de apoyo se encuentra entre las fuerzas que
actúan sobre la palanca.
B) Si consideramos que el peso P es la fuerza de potencia, el peso del platillo será la de resistencia, que
llamaremos R. Entonces, a será el brazo de potencia y b el brazo de resistencia. Aplicando la ley de la
palanca:
P ⋅ a = R ⋅ b ; Sustituyendo : 0,5 Kp ⋅ 5 cm = R ⋅ 5 cm ; De donde se deduce que : R = 0,5 Kp.
C) Cuando coloquemos 1 Kg de manzanas en el platillo, la fuerza de resistencia será de 1,5 Kp (puesto
que el peso de las manzanas se suma al del platillo). Para equilibrar esta fuerza, la pesa P deberá
moverse hacia la derecha, aumentando el valor de a. Para calcular el nuevo valor de a aplicamos de
nuevo la ley de la palanca:
P ⋅ a = R ⋅ b ; Sustituyendo : 0,5 Kp ⋅ a = 1,5 Kp ⋅ 5 cm ; De donde se deduce que : a = 15 cm.
De la misma forma, cuando coloquemos 2 Kg de manzanas en el platillo, la fuerza de resitencia será de
2,5 Kp, debiéndose desplazar la pesa P aún más a la derecha para equilibrar el peso de las manzanas
y el platillo. Para calcular el nuevo valor de a aplicamos de nuevo la ley de la palanca:
P ⋅ a = R ⋅ b ; Sustituyendo : 0,5 Kp ⋅ a = 2,5 Kp ⋅ 5 cm ; De donde se deduce que : a = 25 cm.
D) Para calcular el máximo peso que podemos medir con la romana, tenemos que suponer que la pesa P
está lo más a la derecha posible, es decir que a = c = 55 cm. Aplicando una vez más la ley de la
palanca, podemos calcular el máximo valor de R:
P ⋅ a = R ⋅ b ; Sustituyendo : 0,5 Kp ⋅ 55 cm = R ⋅ 5 cm ; De donde se deduce que : R = 5,5 Kp.
Como R = peso del platillo + peso de la fruta = 0,5 Kp + peso de la fruta, tendremos que el máximo peso
de fruta que podemos medir es de: 5,5 Kp – 0,5 Kp = 5 Kp.
5. MECANISMO DE POLEA
Eje
Hendidura
Una polea es una rueda que puede girar alrededor de su eje, con
hendidura en su perímetro, a la que puede acoplarse una cuerda, un
cable, una cadena o una correa (Fig. 20).
Las poleas sirven para transmitir y transformar fuerzas, permitiendo
reducir el esfuerzo a realizar si combinamos varias poleas de forma
adecuada, formando los llamados polipastos o aparejos.
Las poleas pueden ser:
Fig. 20. Polea.
•
Fijas: cuando su eje de giro está fijo.
•
Móviles: cuando su eje de giro se desplaza pararlelamente a
sí mismo durante el funcionamiento del mecanismo.
5.1. POLEA SIMPLE
Se trata de un mecanismo formado por una sola polea fija. (Fig. 21).
Este mecanismo se utiliza para levantar pesos de una forma más cómoda que si tirásemos del peso
directamente, pero el esfuerzo a realizar (F) es igual al peso a levantar (P), ya que suponemos que el
rozamiento en el eje de la polea es despreciable.
© Pedro J. Castela
12
Mecanismos
MP
r
Cuando la polea está en equilibrio el momento producido por el esfuerzo
F es igual, pero de signo contrario, al producido por el peso P y puesto
que ambas fuerzas actúan a la misma distancia del eje de giro (el radio
de la polea), se deduce que F = P. Efectivamente:
MF
r
MF = F ⋅ r ;
MP = P ⋅ r ;
MF = MP ⇒
F ⋅r = P ⋅r
⇒ F =P
En una polea simple el espacio recorrido por el esfuerzo (SF) es igual al
espacio recorrido por el peso (SP):
SF = SP
F
5.3. POLIPASTOS
P
Son mecanismos formados por combinaciones de poleas fijas y móviles,
mediante los cuales se consigue reducir el esfuerzo necesario para
elevar un determinado peso, a costa de aumentar el recorrido del
esfuerzo con respecto al recorrido del peso.
Fig. 21.Polea simple
Existen varios tipos de polipastos, pero sólo vamos a estudiar dos de ellos, denominados talla y trócola,
respectivamente.
5.3.1. TALLA
La talla es un polipasto formado por una polea fija y varias poleas móviles. Cada plolea móvil soporta la
mitad de peso que la anterior, si consideramos como primera polea aquella de la que cuelga el peso total.
En la figura 22 podemos ver una talla formada por una polea fija y otra móvil (n = 1). El peso P que cuelga
de la polea móvil se reparte por igual entre los dos extremos de la cuerda que pasa por dicha polea y, a su
vez, el esfuerzo F debe ser igual a la fuerza que actúa sobre el otro extremo de la cuerda en la polea fija.
Por tanto, llegamos a la conclusión de que F = P/2.
P/2
P/4
P/2
P/4
F
F
P/2
P/2
Fig. 22. Talla de n=1
P
Talla de n=1
Veamos qué ocurriría si añadiéramos una polea móvil a la talla
anterior. En este caso tendríamos (Fig. 23) una polea fija y dos
poleas móviles (n = 2). La primera polea móvil soporta el peso
P, por tanto cada extremo de la cuerda de dicha polea debe
soportar un peso P/2. La segunda polea móvil soporta un peso
P/2 y , por tanto cada extremo de la cuerda que la sostiene
debe soportar un peso de P/4, que será igual a la fuerza F con
la que debemos tirar de la cuerda. Es decir: F = P/4.
© Pedro J. Castela
P
Fig. 23. Talla de n=2
13
Mecanismos
Podemos comprobar que si la talla tiene n ploleas móviles, la fuerza F será:
F=
P
2n
n = nº de poleas móviles
5.3.2. TRÓCOLA
La trócola es un polipasto que tiene un número par de poleas, la mitad fijas y la otra mitad móviles. Todas
las poleas del mismo tipo tienen un soporte vertical común. Las poleas tienen tamaños diferentes para evitar
que las diferentes partes de la cuerda, que es única, rocen entre sí.
En la figura 24 podemos ver una trócola de 4 poleas (N =4). Puesto que la
cuerda es única, la fuerza en todos sus tramos debe ser la misma. Como
hay cuatro tramos de cuerda soportando el peso P, cada tramo debe soportar un peso P/4, que será la fuerza que debemos hacer en este caso.
En general, en una trócola de N poleas, la fuerza que debemos hacer es:
F =
F
P
N
N = nº total de poleas
P/4
P/4
P/4
P/4
Ejemplo:
¿Qué peso podemos levantar con una talla de 8 poleas (7 móviles) si tiramos de la cuerda con una fuerza de 10 Kp?. ¿Y si utilizamos una trócola de
8 poleas?
Solución:
En el caso de la talla : F =
P
n
2
Como n = 7, tendremos que :
, de donde : P = 2 n ⋅ F
P = 2 7 ⋅ 10 Kp = 128 ⋅ 10 Kp = 1280 Kp
P
, de donde : P = N ⋅ F
N
Como N = 8, tendremos que : P = 8 ⋅ 10 FKp = 80 Kp.
En el caso de la trócola : F =
P
Fig. 24. Trócola de
N=4
Podemos observar que para el mismo número de poleas con la talla podemos levantar mucho más peso que con la trócola, tirando con la misma
fuerza.
6. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN CIRCULAR
Hay muchas máquinas y aparatos en los que la función de sus mecanismos es trasmitir la fuerza y el movimiento desde un eje de giro motriz (eje de entrada) hasta un eje de salida, donde se produce el movimiento
de giro principal de la máquina o aparato.
En una lavadora, por ejemplo, el movimiento de salida es el del tambor donde se produce el lavado de la
ropa. El movimiento de entrada se produce en el eje de un motor eléctrico. Para transmitir el movimiento
angular del motor al tambor se utiliza un mecanismo de transmisión circular formado por dos poleas y una
correa. Este mecanismo, como veremos más adelante, es sólo uno de entre los que podemos utilizar para
transmitir el movimiento circular entre dos ejes.
© Pedro J. Castela
14
Mecanismos
Un mecanismo de transmisión circular es aquel que sirve para transmitir el movimiento de giro desde un eje
a otro.
Estudiaremos los siguientes mecanismos de transmisión circular:
•
•
•
•
Mecanismos de transmisión por poleas y correa.
Mecanismo de transmisión por cadena o correa dentada.
Mecanismo de transmisión por engranajes.
Mecanismo de transmisión por sinfín y corona
6.1. RELACIÓN DE TRANSMISIÓN
El efecto producido por un mecanismo de transmisión circular depende una característica del mecanismo
llamada relación de transmisión.
La relación de transmisión de un mecanismo de transmisión circular es el cociente entre la velocidad del eje
de entrada y la velocidad del eje de salida.
También puede entenderse como el número de vueltas que da el eje de entrada por cada vuelta que da el
eje de salida. Si se trata de un mecanismo reductor, la relación de transmisión nos indica cuántas veces se
ha reducido el movimiento de giro entre el eje de entrada y el de salida.
Relación de transmisió n = R t =
N
Velocidad eje de entrada
= e
Velocidad eje de salida
Ns
Ejemplo:
Supongamos un motor con una caja reductora, de manera que el motor gira a 6.000 rpm y el eje de salida
de la reductora a 6 rpm, ¿qué relación de transmisión tiene el mecanismo reductor?.
Rt =
Ne
6.000
=
= 1.000
6
Ns
Es decir, el motor da 1.000 vueltas por cada vuelta del eje de salida.
7. MECANISMO DE TRANSMISIÓN POR POLEAS Y CORREA
Cosiste en dos poleas unidas por una correa. El
movimiento se transmite, por rozamiento, desde la
polea motriz (1) hasta la correa y desde ésta a la
polea conducida (2).
D1
N2
N1
D2
Fig. 25. Mecanismo de transmisión por poleas y
correa
© Pedro J. Castela
En la figura 25 podemos ver la representación esquemática de este tipo de mecanismos.
N1 y N2 son las velocidades de giro y D1 y D2 los
diámetros de las poleas. En la polea 1 se produce
el movimiento de entrada y en la polea 2 obtenemos el movimiento de salida. La ecuación que describe el funcionamiento de este mecanismo es:
N1 ⋅ D1 = N 2 ⋅ D2
15
Mecanismos
Para demostrar la ecuación de movimiento del
mecanismo de transmisión por poleas, supongamos que:
e2
θ2
R2
e1
R1
θ1
ω2
ω1
Fig. 26. Movimientos en un mecanismo de
transmisión por poleas y correa.
θ1 = ángulo girado por la polea 1 en un tiempo t,
expresado en radianes.
θ2 = ángulo girado por la polea 2 en un tiempo t,
expresado en radianes.
e1 = espacio recorrido por un punto de la polea 1
en un tiempo t.
e2 = espacio recorrido por un punto de la polea 2
en un tiempo t.
R1 = Radio de la polea 1. R2 = Radio de la polea 2.
ω1 = velocidad angular de la polea 1, en rad/seg.
ω2 = velocidad angular de la polea 2, en rad/seg.
Si no hay patinamiento, debe cumplirse que e1 = e2 . Por geometría sabemos que: e1 = θ1 R1 y e2 = θ2 R2 .
Sustituyendo estas dos expresiones en la primera igualdad: θ1 R1 = θ2 R2 . Si ahora dividimos por el tiempo t
:
θ1
t
⋅ R1 =
θ2
t
⋅ R 2 Es decir : ω 1 ⋅ R1 = ω 2 ⋅ R 2
Y si tenemos en cuenta que : ω =
Y como el factor
O bien : ω 1 ⋅ D1 = ω 2 ⋅ D 2
ya que R =
D
2
2π
2π
2π
⋅ N podemos poner :
⋅ N 1 ⋅ D1 =
⋅ N 2 ⋅ D2
60
60
60
2π
aparece en ambos miembros, podemos eliminarlo , quedando :
60
N 1 ⋅ D1 = ⋅N 2 ⋅ D 2
En un mecanismo de transmisión por poleas y correa podemos calcular su relación de transmisión dividiendo el diámetro de la polea de salida entre el diámetro de la polea de entrada.
D
Rt = 2
D1
Efectivame nte : por definición la relación de transmisió n es R t =
N1
.
N2
La ecuación del mecanismo de transmisió n por poleas es : N 1 ⋅ D1 = N 2 ⋅ D 2 ; de donde :
N1 D2
=
N2
D1
Las características de este mecanismo son:
•
Es un mecanismo silencioso.
•
Se utiliza para transmitir el movimiento entre ejes distantes.
•
Puede producirse el patinamiento entre la polea pequeña y la correa si el par resistente es grande.
Esto generalmente es un inconveniente, pero a veces puede ser un sistema de seguridad cuando el
elemento motriz es movido por un motor eléctrico, pues evitamos que se queme al no quedarse parado.
•
La distancia entre los dos ejes puede variarse ligeramente sin que afecte a su funcionamiento.
Algunas de las máquinas en las que se utiliza este mecanismo son: lavadora automática, motor de automóvil, máquina de coser, radiocasete, reproductor de vídeo.
© Pedro J. Castela
16
Mecanismos
8. MECANISMO DE TRANSMISIÓN POR CADENA O POR CORREA
DENTADA
Cuando se tiene que transmitir el movimiento de giro entre dos ejes distantes, pero no queremos que exista la posibilidad de que se produzca patinamiento, se utilizan dos mecanismos cuyo funcionamiento es
semejante, aunque sus componentes sean distintos:
•
Mecanismo de transmisión por cadena: consta de dos ruedas dentadas, unidas por una cadena
de transmisión. Es el mecanismo utilizado por las bicicletas para transmitir el movimiento desde el
eje de los pedales hasta la rueda trasera.
•
Mecanismo de transmisión por correa dentada: consta de dos ruedas dentadas, unidas por una
correa dentada. Es el mecanismo utilizado en los motores de automóvil para trasmitir el movimiento
desde el eje del motor (cigüeñal) hasta el árbol de levas.
Z1
En la figura 27 puede verse la representación esquemática de estos mecanismos. Observa que las ruedas dentadas se representan mediante dos circunferencias concéntricas, de manera que la corona circular comprendida
entre ambas circunferencias simboliza los dientes.
Z2
N1
En una rueda dentada podemos considerar tres diámetros:
N2
Fig. 27. Mecanismo de transmisión
por cadena o por correa dentada.
•
Diámetro exterior: el correspondiente a la punta
de los dientes.
•
Diámetro interior: el correspondiente a la base
de los dientes.
•
Diámetro medio: la media aritmética entre ambos diámetros.
Este mecanismo puede calcularse igual que si se tratase de un mecanismo de transmisión por poleas, entendiendo que el diámetro que aparece en la fórmula es el diámetro medio de la rueda dentada.
N1 ⋅ D1 = N 2 ⋅ D2
Sin embargo, en todos los mecanismos que tienen ruedas dentadas, suele utilizarse el número de dientes
de la rueda en lugar de su diámetro medio. La relación entre ambas magnitudes se llama módulo.
En una rueda dentada se llama módulo al cociente entre el diámetro medio de la rueda y el número de
dientes que tiene dicha rueda.
Si llamamos D al diámetro medio expresado en milímetros, Z al número de dientes y m al módulo, tendremos que:
D
m=
Z
Para un mismo tamaño de rueda (D) cuanto mayor sea el número de dientes, menor será el módulo y más
pequeños serán los dientes. Por tanto, el módulo es un indicativo del tamaño de los dientes. Si dos ruedas
dentadas forman parte del mismo mecanismo de transmisión por cadena o por correa dentada, deben tener
el mismo módulo.
Para obtener la ecuación de este mecanismo en función del número de dientes de las ruedas, en lugar de
los diámetros medios, basta con saber que D = m x Z, con lo que, sustituyendo en al ecuación del mecanismo:
N1 ⋅ m ⋅ Z1 = N 2 ⋅ m ⋅ Z 2
© Pedro J. Castela
Y si dividimos por m:
N1 ⋅ Z1 = N 2 ⋅ Z 2
17
Mecanismos
En un mecanismo de transmisión por cadena o por correa dentada podemos calcular su relación de
transmisión dividiendo el número de dientes de la rueda de salida entre el número de dientes de la rueda
de entrada.
Rt =
Z2
Z1
Efectivame nte : por definición la relación de transmisió n es R t =
N1
.
N2
La ecuación del mecanismo de transmisió n por poleas es : N 1 ⋅ Z 1 = N 2 ⋅ Z 2 ; de donde :
N1 Z 2
=
N2
Z1
Las características de estos mecanismos son:
•
Sirven para transmitir el movimiento entre ejes distantes.
•
El de transmisión por cadena es ruidoso, pero no así el correa dentada.
•
La distancia entre ejes no tiene que ser precisa.
•
Se evita la posibilidad de patinamiento. En el caso de las correas dentadas deben sustituirse cada
cierto tiempo, pues los dientes de las mismas se van desgastando.
Máquinas donde se utiliza el mecanismo de transmisión por cadena: motor de automóvil, bicicleta, motocicleta, cortacésped, motosierra.
Máquinas donde se utiliza el mecanismo de transmisión por correa dentada: motor de automóvil, máquina
de coser, impresoras de inyección de tinta, coches de radiocontrol.
9. MECANISMO DE TRANSMISIÓN POR ENGRANAJES
Un engranaje está formado, en general, por una pareja de ruedas dentadas cuyos dientes engranan entre
sí.
Las ruedas dentadas pueden ser cilíndricas o cónicas. Las ruedas cilíndricas forman engranajes que
trasmiten el movimiento entre ejes paralelos, mientras que las ruedas cónicas se utilizan para transmitir movimiento entre ejes que se cortan.
Z1
Z2
N1
N2
Fig. 28. Engranaje cilíndrico.
D1
D2
N1
N2
En la figura 28 puedes ver la representación esquemática de
un engranaje cilíndrico. Observa que en la zona de engrane las
zonas dentadas de ambas ruedas deben solaparse.
La rueda motriz (1) transmite el movimiento a la rueda conducida (2) al empujar los dientes de la primera contra los de la segunda. Las ruedas se mueven como si fuesen dos ruedas lisas
de diámetros igual a los respectivos diámetros medios y que se
transmitiesen el movimiento por fricción (Fig. 29). En estas
condiciones, el arco descrito por un punto de la circunferencia
de diámetro D1 debe ser igual al arco descrito por un punto la
circunferencia de diámetro D2 , es decir: e1 = e2 y razonando
como en el caso de la transmisión por poleas (ver página 16)
llegaríamos a la misma ecuación de movimiento que para dicho
mecanismo:
N1 ⋅ D1 = N 2 ⋅ D2
Fig. 29. Ruedas lisas.
© Pedro J. Castela
Pero si tenemos en cuenta el concepto de módulo, estudiado
en el apartado anterior (ver página 17) la ecuación nos queda:
18
Mecanismos
N1 ⋅ Z1 = N 2 ⋅ Z 2
Es decir, es la misma ecuación que para un mecanismo de transmisión por cadena o por correa dentada.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que un engranaje cada rueda gira en sentido contrario a la otra.
En un mecanismo de transmisión por engranaje podemos calcular su relación de transmisión dividiendo el
número de dientes de la rueda de salida entre el número de dientes de la rueda de entrada.
Z
Rt = 2
Z1
Efectivame nte : por definición la relación de transmisió n es R t =
N1
.
N2
La ecuación del mecanismo de transmisió n por poleas es : N 1 ⋅ Z 1 = N 2 ⋅ Z 2 ; de donde :
N1 Z 2
=
N2
Z1
Ejemplo: Un engranaje está formado por un piñón motriz de 15 dientes y una corona conducida de 45 dientes: a) ¿cuál es la relación de transmisión del mecanismo?; b) ¿a qué velocidad gira el piñón, si la corona lo
hace a 300 rpm?.
Rt =
Z2
45
=
= 3;
Z1 15
Rt =
N1
N2
⇒
3=
N1
; de donde : N1 = 300 ⋅ 3 = 900 rpm
300
Observa que la corona tiene 3 veces más dientes que el piñón y por eso gira 3 veces más despacio, siendo
3, precisamente, la relación de transmisión.
Las características de este mecanismo son:
•
Sirven para transmitir el movimiento entre ejes cercanos.
•
Es un mecanismo ruidoso. Para disminuir el ruido, en algunos casos se utilizan dientes helicoidales.
•
La distancia entre ejes tiene que ser precisa para que el acoplamiento de las ruedas sea correcto.
•
Se evita la posibilidad de patinamiento.
Máquinas donde se utiliza el mecanismo de transmisión por engranajes: caja de cambio de automóvil, relojes mecánicos, juguetes, impresoras, fotocopiadoras.
10. MECANISMO DE TRANSMISIÓN POR SINFÍN Y CORONA
Este mecanismo está formado por un sinfín, que es un elemento cilíndrico sobre el que se ha tallado una
rosca semejante a la de un tornillo, y una rueda dentada, que recibe el nombre de corona.
En la figura 30 puedes ver la representación esquemática de este
mecanismo.
Z1= 1
N1
N2
Z2
Fig. 30. Mecanismo sinfín corona
© Pedro J. Castela
En el mecanismo sinfín - corona cuando el sinfín da una vuelta, la corona sólo avanza un diente, de manera que el piñón debe dar tantas
vueltas como dientes tenga la corona para que ésta gire una vuelta
completa. Por tanto, en este mecanismo, la relación de transmisión
coincide con el número de dientes de la corona (Z2), ya que la relación de transmisión es equivalente al número de vueltas que da el
elemento de entrada por cada vuelta que da el elemento de salida.
Rt =
N1
= Z2
N2
19
Mecanismos
Por tanto, la ecuación de movimiento de este mecanismo será:
N1 = N 2 ⋅ Z 2
Ejemplo: Un mecanismo de sinfín-corona tiene una corona de 45 dientes, a) ¿Cuál es su relación de
transmisión?; b) ¿a qué velocidad gira la corona cuando el sinfín se acopla a un motor que gira a 6.000
rpm?
a) R t = Z 2 = 45
b) R t =
N1
6.000
6.000
⇒ 45 =
⇒ N2 =
= 133.3 rpm
45
N2
N2
Las características de este mecanismo son:
•
Sirve para transmitir el movimiento entre ejes cercanos que se cruzan.
•
Es un mecanismo menos ruidoso que un engranaje convencional.
•
La distancia entre ejes tiene que ser precisa para que el acoplamiento del sinfín con la corona sea
correcto.
•
Se evita la posibilidad de patinamiento.
•
Es un mecanismo irreversible, es decir, que sólo puede funcionar en un sentido y este es aquel en
el que el sinfín es elemento motriz.
•
Pueden conseguirse grandes relaciones de transmisión.
Máquinas donde se utiliza el mecanismo de transmisión sinfín - corona: trenes eléctricos de juguete, sistema para tensar las cuerdas de una guitarra, mecanismos reductores en general, limpia parabrisas de automóvil.
11. MECANISMOS QUE TRANSFORMAN EL MOVIMIENTO
Son aquellos mecanismos en los que el movimiento de entrada es de distinto tipo que el de salida, de manera que si el de entrada es circular, el de salida es lineal, y viceversa.
Estudiaremos los siguientes mecanismos que transforman el tipo de movimiento:
•
Mecanismo de leva.
•
Mecanismo piñón – cremallera.
•
Mecanismo biela – manivela.
•
Mecanismo tornillo – tuerca.
12. MECANISMO PIÑÓN - CREMALLERA
Este mecanismo está formado por una rueda dentada (piñón) y una barra dentada (cremallera) con la que
engrana (Fig. 31).
Np
Piñón
Su funcionamiento es el siguiente:
Cremallera
•
Vc
Fig. 31. Mecanismo piñón – cremallera.
© Pedro J. Castela
Transformación de movimiento circular en lineal:
cuando el piñón gira en sentido horario, la
cremallera se desplaza hacia la izquierda, mientras
que si el piñón gira en sentido antihorario, la
cremallera se moverá hacia la derecha. Ejemplos:
dirección de un automóvil, trípode fotográfico, puerta
corredera.
20
Mecanismos
•
Transformación de movimiento lineal en circular: cuando la cremallera es el elemento de
entrada, su desplazamiento provoca el giro del piñón. Ejemplo: utensilio para servir helados.
•
Movimiento circular y lineal del piñón: cuando la cremallera carece de moviento, el piñón gira y
se desplaza sobre la misma. Ejemplo: tren cremallera.
La relación entre el movimiento circular y el movimiento lineal depende del número de dientes del
piñón (Zp) y del número de dientes por unidad de longitud de la cremallera (Zc). Si llamamos Np a la
velocidad de giro del piñón y Vc a la velocidad lineal de la cremallera, por cada vuelta del piñón la
cremallera se desplazará una longitud correspondiente a Zp dientes. Si la cremallera tiene Zc dientes/cm, el
desplazamiento correspondiente a Zp dientes será:
Zc dientes ---------------1 cm
Zp dientes -------------- L cm
De donde, el desplazamiento de la cremallera correspondiente a 1 vuelta del piñón será:
L=
ZP
(cm)
ZC
Por tanto, la velocidad de la cremallera (en cm por minuto) será:
VC = N P × L = N P ×
ZP
(cm/min)
ZC
O bien :
N P × Z P = VC × Z C
Ejemplo: La puerta corredera de una maqueta de puerta automática, tiene un recorrido de apertura de L =
15 cm, siendo el tiempo de apertura de t = 15 segundos. El mecanismo de accionamiento es de piñón –
cremallera, siendo Zp = 15 y Zc = 5 dientes/cm. A)Calcula la velocidad a la que debe girar el piñón (Np). B)
Calcula la relación de transmisión del mecanismo reductor que habrá que acoplar al motor si éste gira a Np
= 6.000 rpm.
Solución:
A) Si la puerta recorre 15 cm en 15 segundos, su vlocidad es:
VC =
1 cm 60 seg
L 15 cm
=
= 1 cm/seg =
×
= 60 cm/min
seg
min
t 15 seg
Sustituyendo en la ecuación del mecanismo:
N P × Z P = VC × Z C
N P × 15 = 60 × 5
N P × 15 = 300
NP =
300
= 20 rpm
15
B) Aplicando la definición de relación de transmisión:
Rt =
6.000 rpm
Ne N M
=
=
= 300
20 rpm
Ns N P
13. MECANISMO BIELA - MANIVELA
El mecanismo biela – manivela permite obtener un movimiento circular (manivela) a partir de un movimiento
lineal alternativo (pistón), como en el caso de un motor de explosión (ver figura). Pero también podemos
obtener un movimiento lineal alternativo a partir del movimiento circular, como en el caso de una máquina
de coser.
© Pedro J. Castela
21
Mecanismos
El movimiento del pistón se transmite a la manivela a través de la biela. El pistón se desliza en el interior del
cilindro, que hace de guía.
El desplazamiento del pistón desde su posición más alta hasta su posición más baja recibe el nombre de
carrera (C) y su valor depende del radio de giro de la manivela (R), siendo:
C = 2R
C
Pistón
Guía
Biela
R
Manivela
Fig. 32. Mecanismo biela – manivela aplicado a un motor de explosión.
14. MECANISMO DE LEVA
El mecanismo de leva permite transformar un movimiento circular (el de la leva) en un movimiento lineal
alternativo (el del vástago) pero no a la inversa.
Eje
a
Leva
b
Muelle
Guía
El mecanismo de leva está formado por: un eje, sobre el
que se monta la leva; un vástago, que se mantiene en
contacto permanente con la leva gracias al empuje de un
muelle; y una guía sobre la que se desliza el vástago.
Cuando la leva gira, el vástago baja y sube de forma
sucesiva. El desplazamiento d del vástago puede calcularse
de la siguiente manera:
Donde b y a son la máxima y la mínima distancia,
respectivamente, desde la superficie de la leva al eje de
giro.
Vástago
d
d =b−a
Fig. 33. Mecanismo de leva.
© Pedro J. Castela
22
Mecanismos
15. MECANISMO TORNILLO - TUERCA
Este mecanismo permite obtener un movimiento lineal contínuo a partir de un movimiento circular. Sin
embargo, pueden darse varios modos de funcionamiento, según qué elemento (tornilo o tuerca) tiene el
movimiento lineal y cuál el circular (ver tabla). En cualquier caso, el movimiento de entrada siempre es el
circular.
Modo
Movimiento tornillo
Movimiento tuerca
Ejemplos
Torno
Lave inglesa
Gato de coche
Elevador de taller
1
Circular
Lineal
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
2
Lineal
Circular
ƒ
Tensor de cables
Gato de carpintero
Mordazas
Tornillo de banco
Grifo
Prensa
3
Circular y lineal
Fija
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
4
Fijo
Circular y lineal
ƒ
El contacto entre el tornillo y la tuerca se produce mediante la
superficie roscada que ambos tienen. Una característica
fundamental de cualquier rosca es el paso (figura), ya que en una
rosca normal (de una sola entrada) el desplazamiento de la tuerca
con respecto al tornillo (o viceversa) por cada vuelta es igual al paso.
El paso suele expresarse en milímetros.
Paso
La relación entre la velocidad de giro N (rpm) y la velocidad lineal V
(mm/min) es:
Fig. 34. Concepto de
paso de una rosca.
V = p × N (mm/min)
Siendo p el paso de la rosca en mm.
Ejemplo: El mecanismo de accionamiento de un puerta corredera de una maqueta de puerta automática es
de tornillo – tuerca. El giro del tornillo produce el desplazamiento de la tuerca, la cual está pegada a la
puerta. La rosca es métrica de 4 mm de diámetro, con un paso de 0.75 mm. Si la puerta debe desplazarse L
= 15 cm en t = 15 segundos, a) calcula la velocidad a la que debe girar el tornillo (varilla roscada); b) calcula
la relación de trasmisión del mecanismo reductor sabiendo que el motor gira a NM = 6.000 rpm.
Solución:
V =
A) La velocidad de la puerta es:
L 15 cm
=
= 1 cm/seg = 60 cm/min
15 seg
t
Sustituyendo en la ecuación del mecanismo:
V =
© Pedro J. Castela
p×N
10
60 =
0.75 × N
10
de donde
N=
60 × 10
= 800 rpm
0.75
23
Mecanismos
B) La relación de transmisión del mecanismo reductor será:
Rt =
6.000 rpm
Ne N M
=
=
= 7,5
800 rpm
Ns
N
Si comparamos este resultado con el obtenido para el mecanismo piñón – cremallera, observamos que la
relación de trasmisión es mucho menor, hasta el punto que se podría conseguir con un mecanismo simple
de poleas en el D2 = 7,5 D1. Así, por ejemplo, si D1 = 5 mm, entonces D2 = 7,5 x 5 = 37,5 mm.
16. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN CIRCULAR COMPUESTOS
Hemos visto cómo se calculan los mecanismos simples de transmisión circular. Algunas veces es suficiente utilizar alguno de estos mecanismos para conseguir el efecto deseado, pero en la mayoría de las
ocasiones, no basta con un mecanismo simple para conseguir la relación de transmisión deseada, ya que
ésta es demasiado grande. Cuando esto sucede, es necesario utilizar un mecanismo compuesto, formado
"enlazando" varios mecanismos simples, que pueden ser del mismo o de diferente tipo.
Un mecanismo compuesto se obtiene haciendo que el elemento de salida de cada mecanismo simple gire
a la misma velocidad que el elemento de entrada del mecanismo simple siguiente.
Esto puede conseguirse de dos maneras: a) uniendo dichos elementos (mediante pegamento, soldadura o
fabricándolos de una misma pieza) en cuyo caso pueden girar libres con respecto al eje común; b) fijando
ambos elementos al eje común (mediante pegamento, soldadura, tuercas, etc). El primer caso es el utilizado
en las cajas reductoras de engranajes, en las cuales todos los engranajes utilizan la misma combinación piñón-corona. El segundo caso lo utilizaremos cuando los elementos disponibles no puedan unirse para volver a ser reutilizados, o cuando queramos diseñar un mecanismo formado por elementos de distinto tipo o
tamaño.
La relación de transmisión de un mecanismo compuesto es igual al producto de las relaciones de transmisión de los mecanismos simples que lo componen.
Si el mecanismo compuesto esta formado por tres mecanismos simples, que llamaremos A, B y C, de manera que el mecanismo A se compone de los elementos 1 y 2, el mecanismo B de los elementos 3 y 4, y el
mecanismo C de los elementos 5 y 6, tendremos que:
R t = R tA ⋅ R tB ⋅ R tC
Ejemplo: supongamos que tenemos el mecanismo compuesto de la figura, formado por un mecanismo sinfín-corona (A), otro de poleas (B) y otro de engranajes (C), cuyos elementos tienen el tamaño siguiente:
Z2=45, D3=20 mm, D4=60 mm, Z5=18 y Z6=45.
Z1= 1
D4
Z6
N1
N2= N3
N
Z2
D3
N4= N5
Z5
Fig. 35. Cálculo de mecanismo compuesto.
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Mecanismos
La relación de transmisión del mecanismo compuesto se calculará de la siguiente manera:
a) Mecanismo sinfín - corona (A) : R tA = Z 2 = 45
b) Mecanismo de poleas (B) : R tB =
D4
60
=
=3
20
D3
Z 6 45
=
= 2,5
Z 5 18
⋅ R tB ⋅ R tC = 45 ⋅ 3 ⋅ 2,5 = 337,5
c) Mecanismo de engranajes (C) : R tC =
d) Mecanismo compuesto : R t = R tA
17. DISEÑO DE UN MECANISMO COMPUESTO
Hemos visto cómo calcular la relación de transmisión de un mecanismo compuesto, una vez conocidas las
características de sus elementos. Vamos a plantearnos ahora el problema contrario: diseñar un mecanismo
que tenga una determinada relación de transmisión.
Aparte del valor de Rt, puede ser que el mecanismo deba cumplir otras condiciones, como que sea irreversible o que no se pueda producir el patinamiento del mismo. También hay que tener en cuenta los elementos disponibles.
Ejemplo: supongamos que tenemos que diseñar un mecanismo con una Rt = 200, para aplicar a un proyecto de una grúa. Otras condiciones a tener en cuenta son:
ƒ
ƒ
El mecanismo debe ser irreversible (que no funcione al revés) y no debe patinar.
Elementos disponibles: poleas (5, 10, 20, 40, 60 mm), ruedas dentadas (13, 15, 18, 38, 58) y sinfín.
Para que el mecanismo sea irreversible, debe contener un mecanismo sinfín-corona. Para que no patine,
debemos evitar el uso de poleas. Esto significa que el mecanismo compuesto estará formado por un mecanismo sinfín-corona y uno o más mecanismos de engranajes.
Empezamos con un sinfín-corona con Z2 = 58. Entonces: RtA = 58. ¿Por qué número hay que multiplicar 58
para que nos dé 200?.
R t = 200 = 58 ⋅ X ⇒ X =
200
= 3,45
58
El número obtenido (3,45) es la relación de transmisión de otro mecanismo que, junto con el de sinfíncorona será una posible solución del problema. Lo que hay que ver es si dicha relación de transmisión
(aproximadamente) puede obtenerse con alguna combinación de ruedas dentadas de las disponibles. Para
ello, probamos con varias combinaciones:
R tB =
Z4
Z3
⇒
R tB =
58
= 3,22
18
R tB =
58
= 4,46
13
R tB =
38
= 2,92
13
R tB =
58
= 3,87
15
Puede verse que las combinaciones más cercanas son 58/18 y 58/15, la primera por defecto y la segunda
por exceso. En este caso, al ser una grúa, es preferible obtener una relación de transmisión por exceso.
Por tanto, el mecanismo compuesto estaría formado por un sinfín corona de 58 dientes y un engranaje con
un piñón de entrada 18 dientes y una corona de salida de 58. Sin embargo, esta no es la única solución posible, ya que si partimos de un sinfín-corona de 38 dientes, la solución sería diferente. Si, además de los
engranajes, pudiésemos utilizar poleas, las posibles soluciones serían aún más numerosas.
Como ejercicio, calcula otras posibles soluciones, siguiendo el método indicado.
Una vez determinados los mecanismos simples que van a formar parte del mecanismo compuesto, dibujaríamos su esquema, utilizando los símbolos adecuados.
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Mecanismos
En nuestro caso, el esquema del mecanismo sería el siguiente.
Ejemplo:
Para la realización de la maqueta de un puente levadizo, necesitamos que el mecanismo reductor tenga
una relación de transmisión entre 300 y 350. a) Diseña el mecanismo reductor, sabiendo que los elementos disponibles son: un sinfín, poleas de 10, 20, 40 y
60 mm (dos de cada), ruedas dentadas de 13, 18 y 38
dientes (dos de cada). b) Dibuja el mecanismo resultante, utilizando los símbolos adecuados.
Motor
Z1= 1
Solución:
Z4 =58
Z2 = 58
a) Como la relación de transmisión que hay que conseguir es grande, elegimos en primer lugar un mecanismo sinfín – corona con una corona de 38 dientes,
cuya relación de transmisión será: Rt = Z2 = 38.
Fig. 36. Diseño de mecanismo compuesto.
Suponemos que la relación de transmisión total es Rt = 325 (valor medio de 300 y 350). Si el mecanismo
compuesto estuviese formado por dos mecanismos simples A y B:
R t = R A x RB
325 = 38 x RB .De donde:
RB = 325 / 38 = 8,55
Como la máxima relación de transmisión que podemos conseguir con los engranajes y poleas disponibles
es 60 / 20 = 3, tenemos que utilizar tres mecanismos simples.
Entonces: Rt = RA x RB x RC .Donde: RB x RC = 8,55
Si como segundo mecanismo utilizamos uno de transmisión por poleas de diámetros de 20 mm y 60 mm,
RB = D4 / D3 = 60 / 20 = 3
. Luego:
3 x RC = 8,55
RC = 8,55 / 3 = 2,85
Es decir, tenemos que utilizar otro mecanismo de engranajes de 13 y 38 dientes, cuya relación de transmisión es exactamente:
RC = Z6 / Z5 = 38 / 13 = 2,92
La relación de transmisión total sería:
Rt = RA x RB x RC = 38 x 3 x 2,92 =332,9
b) El esquema del mecanismo diseñado sería el siguiente:
D4 = 60
Z6 = 38
Motor
Z1= 1
Z2 = 38
D3 = 10
Z5 = 38
Fig. 37. Esquema del mecanismo compuesto diseñado.
Vemos que el eje de la rueda dentada 6 chocaría con la polea 4 si están en planos próximos. Para evitar este problema podríamos separarlos o poner el mecanismo de engranajes a continuación del de sinfín – corona y al final el de transmisión por poleas.
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